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CLASE #5
Integrales indefinidas
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Integrales indefinidas
Necesitamos una conveniente notación para las antiderivadas que nos facilite el traba-
jo con ellas. Debido a la relación dada por el teorema fundamental entre las antiderivadas
y las integrales.
Definición . Se usa la notación
∫
f (x) dx para una antiderivada de f y se llama integral
indefinida. ∫
f (x) dx = F(x) + C.
Observación . Debemos distinguir entre una integral definida y una integral indefinida
ya que:
•
∫ b
a
f (x) dx es un número.
•
∫
f (x) dx es una función (más precisamente una familia de funciones).
• La relación entre ellas la proporciona la parte (ii) del teorema fundamental del cálcu-
lo. Si f es continua sobre [a, b], entonces
∫ b
a
f (x) dx =
∫
f (x) dx
]x=b
x=a
= F(b)− F(a).
La eficacia del teorema fundamental depende de que se cuente con una lista de antideri-
vadas de funciones. Por tanto, se presenta de nuevo la tabla de fórmulas de antiderivación
1
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Tabla de integrales indefinidas
Ejemplo 1. Encuentre la siguiente integral indefinida
∫
(3x + 5) dx
Solución Aplicaremos las propiedades de la integral y la tabla de integrales indefinidas∫
(3x + 5) dx =
∫
3x dx +
∫
5 dx
= 3
∫
x dx + 5
∫
dx
= 3
(
x2
2
+ C1
)
+ 5(x + C2)
=
3
2
x2 + 3C1 + 5x + 5C2
=
3
2
x2 + 5x + (3C1 + 5C2).
Como 3C1 + 5C2 es una constante lo podemos escribir solamente como C, de modo que∫
(3x + 5) dx =
3
2
x2 + 5x + C.
2
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Ejemplo 2. Encuentre la siguiente integral indefinida
∫ √
x
(
x +
1
x
)
dx
Solución Primero simplifiquemos la expresión
√
x
(
x +
1
x
)
√
x
(
x +
1
x
)
= x
1
2
(
x +
1
x
)
= x
3
2 +
x
1
2
x
= x
3
2 + x−
1
2
Ahora aplicaremos las propiedades de la integral y la tabla de integrales indefinidas∫ √
x
(
x +
1
x
)
dx =
∫
(x
3
2 + x−
1
2 ) dx
=
∫
x
3
2 dx +
∫
x−
1
2 dx
=
x
5
2
5/2
+
x
1
2
1/2
+ C
=
2
5
x
5
2 + 2x
1
2 + C
Ası́, ∫ √
x
(
x +
1
x
)
dx =
2
5
x
5
2 + 2x
1
2 + C
Ejemplo 3. Encuentre la siguiente integral indefinida
∫ 5t2 − 7
t4/3
dt
Solución Primero simplifiquemos la expresión
5t2 − 7
t4/3
5t2 − 7
t4/3
=
5t2
t4/3
− 7
t4/3
= 5t2−4/3 − 7t−4/3
= 5t2/3 − 7t−4/3
3
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Ahora aplicaremos las propiedades de la integral y la tabla de integrales indefinidas∫ 5t2 − 7
t4/3
dt =
∫
(5t2/3 − 7t−4/3) dt
= 5
∫
t2/3 dt − 7
∫
t−4/3 dt
= 5
(
t5/3
5/3
)
− 7
(
t−1/3
−1/3
)
+ C
= 5
(
3
5
t5/3
)
− 7
(
−3t−1/3
)
+ C
= 3t5/3 + 21t−1/3 + C
Por lo tanto, ∫ 5t2 − 7
t4/3
dt = 3t5/3 +
21
t1/3
+ C
Ejemplo 4. Encuentre la siguiente integral indefinida
∫
(tan2 θ + cot2 θ + 4) dθ
Solución Primero simplifiquemos la expresión tan2 θ + cot2 θ + 4, utilizando identidades
trigonométricas
tan2 θ + cot2 θ + 4 = (sec2θ − 1) + (csc2 θ − 1) + 4
= sec2 θ + csc2 θ − 1 − 1 + 4
= sec2 θ + csc2 θ + 2
Ahora aplicaremos las propiedades de la integral y la tabla de integrales indefinidas∫
(tan2 θ + cot2 θ + 4) dθ =
∫
(sec2 θ + csc2 θ + 2) dθ
=
∫
sec2 θ dθ +
∫
csc2 θ dθ +
∫
2 dθ
= tan θ − cot θ + 2θ + C.
Por lo tanto, ∫
(tan2 θ + cot2 θ + 4) dθ = tan θ − cot θ + 2θ + C.
Ejemplo 5. Encuentre la siguiente integral indefinida
∫
(
2 cot x − 3 sen2 x
sen x
dx
Solución Primero simplifiquemos la expresión
2 cot x − 3 sen2 x
sen x
, utilizando identidades
trigonométricas
2 cot x − 3 sen2 x
sen x
] = 2
(
cot x
sen x
)
− 3
(
sen2 x
sen x
)
= 2
(
1
sen x
· cot x
)
− 3 sen x
= 2 csc x cot x − 3 sen x
4
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Ahora aplicaremos las propiedades de la integral y la tabla de integrales indefinidas∫
(
2 cot x − 3 sen2 x
sen x
dx =
∫
(2 csc x cot x − 3 sen x) dx
= 2
∫
csc x cot x dx − 3
∫
sen x dx
= 2(− cot x)− 3(− cos x) + C
= −2 cot x + 3 cos x + C
Ası́, ∫ 2 cot x − 3 sen2 x
sen x
dx = −2 cot x + 3 cos x + C
Ejemplo 6. Evalúe la siguiente integral definida
∫ π/3
π/6
cos θ dθ
Solución Aplicando la tabla de integrales∫ π/3
π/6
cos θ dθ = sen θ
]θ=π/3
θ=π/6
= sen(π/3)− sen(π/6)
=
√
3
2
− 1
2
=
√
3 − 1
2
Ejemplo 7. Evalúe la siguiente integral definida
∫ 3
1
(
x2 − 3x + 5
)
dx
Solución Aplicaremos las propiedades de la integral definida y la tabla de integrales∫ 3
1
(
x2 − 3x + 5
)
dx =
∫ 3
1
x2 dx − 3
∫ 3
1
x dx + 5
∫ 3
1
dx
=
1
3
x3
]x=3
x=1
− 3
(
1
2
x2
)]x=3
x=1
+ 5 x
]x=3
x=1
=
1
3
[(3)3 − (1)3]− 3
2
[(3)2 − (1)2] + 5[3 − 1]
=
1
3
(27 − 1)− 3
2
(9 − 1) + 5(2)
=
1
3
(26)− 3
2
(8) + 10
=
26
3
− 24
2
+ 10
=
26
3
− 12 + 10
=
26
3
− 2
=
20
3
5
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Ası́, ∫ 3
1
(
x2 − 3x + 5
)
dx =
20
3
Ejemplo 8. Evalúe la siguiente integral definida
∫ 1
0
|x(2x − 1)| dx
Solución Sea f (x) = |x(2x − 1)| = |x| |2x − 1|, Como 0 ≤ x ≤ 1 siempre es positivo,
entonces se tiene que f (x) = x |2x − 1|:
Para evaluar la integral debemos tener cuidado con el signo del valor absoluto..
|2x − 1| =

2x − 1 si 2x − 1 ≥ 0
−(2x − 1) si 2x − 1 < 0
=

2x − 1 si x ≥ 1/2
1 − 2x si 2x − 1 < 1/2
De modo que f (x) = |x(2x − 1)| < 0 si 0 ≤ x ≤ 1/2 y f (x) = |x(2x − 1)| ≥ 0 si
1/2 ≤ x ≤ 1. Ahora, aplicando las propiedades de la integral definida∫ 1
0
|x(2x − 1)| dx =
∫ 1/2
0
x(1 − 2x) dx +
∫ 1
1/2
x(2x − 1) dx
=
∫ 1/2
0
(x − 2x2) dx +
∫ 1
1/2
(2x2 − x) dx
=
(
x2
2
− 2x
3
3
)]x=1/2
x=0
+
(
2x3
3
− x
2
2
)]x=1
x=1/2
=
[(
(1/2)2
2
− 2(1/2)
3
3
)
− 0
]
+
[(
2(1)3
3
− (1)
2
2
)
−
(
2(1/2)3
3
− (1/2)
2
2
)]
=
[(
(1/4)
2
− 2(1/8)
3
)]
+
[(
2
3
− 1
2
)
−
(
2(1/8)
3
− 1/4
2
)]
=
(
1
8
− 1
12
)
+
(
1
6
− 1
12
+
1
8
)
=
(
1
8
+
1
8
)
+
(
− 1
12
− 1
12
)
+
1
6
=
1
4
− 1
6
+
1
6
=
1
4
.
Por lo tanto, ∫ 1
0
|x(2x − 1)| dx = 1
4
.
Ejemplo 9. Encuentre las siguientes integrales indefinidas
1.
∫
(10x4 − 2 sec2 x) dx.
6
https://wlh.es/v2/1690385411075/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
2.
∫ ( cos θ
sen2 θ
)
dθ.
3.
∫ 3
0
(x3 − 6x) dx.
4.
∫ 2
0
(
2x3 − 6x + 3
x2 + 1
)
dx.
5.
∫ 9
1
(
2t2 + t2
√
t − 1
t2
)
dx.
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 399 y 400.
7
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Referencias
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McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
8
https://wlh.es/v2/1690385411089/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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