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Análisis Matemático II
laura
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"' ANALISIS
MATEMÁTICO
2 -5_,
J
2da. Edición
2012
2 ~ OCT. 201~
J. ARMANDO VENERO B.
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS (U.lU.)
Con la colaboración ~speclal de:
JOSÉ P. MIGUEL CAÑAMERO
Master en Matemáticas y Ciencias de la Computación
University of Brilish Columbia, Vancouver, Canadá.
ALBERTO LUTGARDO YAÑEZ
Master en Matemáticas y Ciencias de la Computación
University of Keñtucky, Kentucky, U.S.A.
R. ISABEL VENERO DE LUTGARDO
Tutora en Matemáticas
Wesl Valley College, California, U.S.A.
'E'DICIO:NTS (i'E~.Jl'R
LIMA PERÚ
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
2da. Edición
J. ARMANDO VENER O B.
Estudios de Magister en MATEMÁTICAS {P.U.C.P.)
Dpto. de tipeo, diagramaci6n y diseño
Ana Maria Vargas Loayza,
Lic. en Educación (UNMSM)
Hecho el Depósíto Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2012-02232
ISBN : 978-612-45216-3-8
© 2012 , Representaciones Gemar E.I.R.L.
Cal. Río Vilcanota 168. Ate. Lima 03
Teléfono: 4466176
rep_gemar09@hotmail .com
COPYRIGHT© 2012, 2006, por Representaciones Cemar E.I.R.L. LIMA · PEl'\Ú
Impreso en Talleres Graficos Top-Job E.I.R.L.
Cal. Río Vilcanota 168. Ale. Lima 03
Impreso en Perú.
Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier me-
dio o método, de este libro sin la autorización legal del
autor y/o de REPRESENTACI ONES GEMAR E.I.R.L.
LIMA- PERÚ.
517 ¡v1111
59¿;¿8
En esta segunda edición de nuestro ANÁLISIS MATEMÁ-
TICO 2 hemos logrado mejorar la presentación de los conceptos teóricos
del CALCULO INTEGRAL, y mostramos muchos detalles prácticos nuevos
interesantes que serán muy útiles para nuestros estudiantes.
Esta segunda edición contiene un Capítulo nuevo [12] ti-
tulado INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y POLINOMIOS DE APROXIMACIÓN
DETAYLOR:
El primer Capítulo presenta la ANTIDERIVACIÓN y la
INTEGRACIÓN NUMÉRICA como operaciones inversas de la DERIVA-
CIÓN.
El segundo Capitulo estudia el importante concepto de la
INTEGRAL DEFINIDA; este concepto se define en este capitulo en forma
independiente de la Integral Indefinida; es decir, no como operación in-
versa de la Derivada sino como un Límite de ciertas sumas llamadas
SUMAS DE RIEMANN, que hará posible, en principio, el cálculo exacto
de áreas de regiones planas encerradas por curvas no convencionales.
El Capítulo 3 estudia los TEOREMAS FUNDAMENTALES
DEL CÁLCULO; éstos relacionan entre si los conceptos de la ANTIDERI-
VADA, la INTEGRAL INDEFINIDA y la INTEGRAL DEFINIDA.
El Capítulo 4 presenta el TEOREMA DEL CAMBIO DE
VARIABLE en una Integral Definida, y que permite calcular una Integral
complicada eligiendo un cambio de variable adecuado para transfor-
marla en una Integral sencilla.
Las INTEGRALES IMPROPIAS se estudian en el Capítulo
5 como extensión de las Integrales Definidas, sobre intervalos de inte-
gración no acotados.
El Capítulo 6 presenta las funciones más importantes del
ANÁLISIS MATEMÁTICO~ a saber, lafunción LOGARITMO y lajunción
EXPONENCIAL. Son vistas sus propiedades exhaustivamente, así como
sus aplicaciones.
Las FUNCIONES HIPERBÓLICAS y sus propiedades se
estucirau en el Capitulo 7 como extensión del capítulo anterior, pues ellas
se clefínen en base a la Función Exponencial.
El Capitulo 8 que ilustra las diversas TÉCNICAS DE IN-
TEGRACIÓN existentes, ha sido escrito con mucho esmero 'y dedicación.
El capítulo 9 estudia el SISTEMA DE COORDENADAS
POLARES en forma detallada y completa.
Los Capítulos I O y 11 presentan las técnicas para calcu-
lar ÁREAS de regiones planas, VOLÚMENES de Revolución,
LONGITUDES DE CURVAS y ÁREAS DE SUPERFICIES DE REVOLU-
CIÓN.
El capítulo [12] presenta la técnica de INTEGRACIÓN
rfu.PEZOIDAL y la REGLA PARABÓLICA de SIMPSON que permiten
hallar un valor aproximado numérico de una Integral Definida con el
grado de precisión que uno quiera. Son extensiones refinadas de la técni-
ca de aproximación por rectángulos de Riemann.
Asimismo, en este capítulo presentamos los POLINO-
MIOS DE APROXIMACIÓN DE TAYLOR que permiten aproximar elegan-
temente el valor de la Integral Definida d~ cualquier función vía la Inte-
gral Definida de un Polinomio, controlando inclusive el error de
aproximación.
Los ejemplos y Ejercicios resueltos se eligieron con la fi-
nalidad de que este libro sea muy útil a nuestros estudiantes de modo que
ellos podrán aprender sin dificultad todos los temas- tratados.
Así, podrán manejar con habilidad las técnicas que les permitirán resol-
ver correctamente los PROBLEMAS propuestos, determinando sus pro-
pios planteamientos, diferentes inclusive a los aquí presentados.
Cada SERIE de EJERCICIOS viene acompañada de su
CLAVE de RESPUESTAS completa. Cuando el Ejercicio propuesto tiene
cierto grado de dificultad, es parcial o totalmente resuelto dentro de su
respectiva CLAVE.
Finalmente, agradezco muchísimo a los profesionales
que hicieron posible que esta segunda edición tenga esta nueva presenta-
ción, académica y visual. En particular, mi más sincero reconocimiento a
mi hermana Ing. Isabel Venero Baldeón (California) y a la Srta. Ana
María Vargas Loayza (Licenciada en Educación, UNMSM) y a los ma-
temáticos M. Se. Alberto Lutgardo Yañez (USA) y M. Se. José Miguel
Cañamero (USA).
J . ARMANDO VENERO BALDEÓN.
Análisis Matemático 2
CONTENID
CAPITULO l. LA AIIT IDERIVADA Y LA 11'TEGRAL INDEFINIDA
1. Teoremas.referentes a Derivadas
2. La Antiderivada de una Función
3. La Integral Indefinida
4. Propiedades Básicas de la Integral Indefinida
5. Métodos de Integración. Integración por Partes
6. Integración por Sustitución Algebraica y Trigonométrica
7. Fórmulas Básicas muy útiles
8. Cálculo de algunas Integrales Curiosas
Serie de Ejercicios
. 2 ~ OCT. 201~
CAPITULO 2 . LA 11'TEGRAL DEFINIDA
1. Introducción
2. Areas de Figuras Planas
3. Particiones. Sumas de RIEMANN
4. La Integral Definida
5. Area e Integral Definida
6. Existencia de Funciones Integrables
7. Cota para el Error de Aproximación de una Integral Definida
8. La Integral Definida como Limite de Sümas
9. Propiedades Básicas de la Integral Definida
Serie de Ejercicios
CAPÍTULO 3 . TEOREMAS FUIIDAMENTALBS DEL CÁLCULO
1. Introducción
2. El Primer Teorema Fundamental del Cálculo
3. El Segundo Teorema Fundamental del Cálculó
4. Teorema del VALOR MEDIO para Integrales
5. Aplicaciones
6. Un Limite Especial
7. La Integral Definida, la Antiderivada y la Integral Indefinida
Serie de Ejercicios
1
2
3
7
10
16
23
24
. . 36
. . 47
. . 47
.. 54
. . 61
. . 69
. . 70
.. 72
. . 81
. . 90
. . 100
. . 105
. . 105
.. 106
. . 111
.. 114
.. 128
. . 132
.. 136
/\116111,ls Matemático 2
CAPITULO 4 . TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
1. Cambio de Variable en una Integral Definida
Serle de Problemas
CAPITULO 5. INTEGRALES IMPROPIAS
1. Introducción
2. Integrales Impropias de Primera Especie
3. Integrales lmpropías de segunda Especie
Serie de Problemas
CAPÍTULO 6. EL LOGARITMO Y LA EXPONENCIAL
1. La Función LOGARITMO NATURAL
2. Propiedades de la Función LOGARITMO
3. Integración de Funciones Racionales del tipo: f px + q
ax2 + bx + e
4. Integración de Funciones Racionales del tipo: f pn ( x )
ax2 + bx + e
5. Cálculo de Integrales Definidas e Indefinidas
6. Diferenciación Logarltmica
7. Cálculo de limites Logarllmicos
8. La Función EXPONENCIAL
9. Propiedades de la Función EXPONENCIAL
10. Estimación del Número e
11. Cálculo de Limites Exponenciales
12. La función POTENCIA GENERAL
13: Logaritmos y Exponenciales en otras Bases
14. Funciones Exponenciales Generalizadas
15. Algunas Formas Indeterminadas
16. Crecimiento y Calda Exponencial
17. Método de Integración por FRACCIONES PARCIALES (Parte A)
18. Cálculo de las Constantes de las Fracciones Parciales
19. Aplicaciones
Serie de Problemas
CAPÍTULO 7. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1. El SENO HIPERBÓLICO y et COSENO HIPERBÓLICO
2. Definición y Gráfica de las otras Funciones Hiperbólicas
3. Las Funciones HIPERBÓLICAS INVERSAS
4. Derivadas de las Funciones HiperbólicasInversas
dx
dx
150
157
165
165
169
175
1~0
182
189
191
194
200
202
205
206
212
.. 214
.. 218
.. 221
227
.. 228
.. 236
.. 238
.. 242
245
. . 253
. . 278
.. 282
.. 288
.. 291
Análisis Matemático 2
5. Relación entre Seno y Coseno Hiperbólicos con una Hipérbola Rectangular . . 300
Serie de Problemas . . 294
CAPITULO 8. TiCRICAS DE INTEGRACIÓN 5 9 2 'J?
1. Integrales Trigonométricas .. 302
2. Integrales por SUSTITUCIÓN
3. FRACCIONES PARCIALES (Parte B). Méto.do de
HERMITE - OSTROGRAOSKI
4. Integrales del tipo: f R ( x , m~) dx
~~
5. Integrales del tipo:
m 1 mk
f R ( x , ( ax+ b ) n1 , ... , ( ax+ b ) nk ) .tx ex+ d ex+ d
6. Integrales del BINOMIO DIFERENCIAL: f xm (a + bxº )P dx
7. Integrales (y Sustituciones de EULER) de la forma:
f R (x , J ax2 + bx + e ) dx
f
P
0
(x)
8. Integrales del tipo: -;:======- dx
~ ax2 + bx + e
9. Integrales del tipo: f 1 .tx
(x - d)k ~ ax2 + bx + e
10. Integración de funciones Racionales de Seno y Coseno
11 . Integración de funciones Racionales de Seno y Coseno Hiperbólicos
12. Fórmulas Recursivas
13. Integrales Indefinidas que no pueden ser representadas
en términos de funciones elementales
14. Otras Sustituciones y problemas diversos
15. Algunas Integrales Impropias
16. Función GAMMA. Evaluación de Integrales Definidas
17. Función BETA. Evaluación de Integrales
Serle de Problemas
CAPITULO 9. COORDENADAS POLARES
1. El Sistema de Coordenadas Polares
2. Fórmulas de Transformación
3. Gráficas en Coordenadas Polares
4. Intersección de Gráficas en Coordenadas Polares
.. 340
.. 343
.. 348
. . 353
.. 361
.. 366
.. 372
.. 375
.. 380
.. 381
.. 395
.. 406
. . 413
.. 420
425
429
.. 436
.. 460
AnAlisis Matemático 2
5. Tangentes a Curvas Polares. El angulo 'V
') '1 nr T ZIJ1!i
CAPITULO to. A'R~AS Y VOLÚMENES
1. Áreas de Regiones Planas (Coordenadas Cartesianas)
2. Áreas de Regiones Planas (Coordenadas Polares)
3. Áreas limitadas por Curvas Paramétricas
4. Volumen de un Sólido con Secciones Plan~s. Paralelas cohocidas
5. Volumen de un Sólido de Revolución. Método del Disco.
6. Volúmenes de Sólidos de Revolución: Método de las Capas Cilíndricas
Concéntricas
7. Volúmenes de Sólidos de Revolución en Coordenadas Polares y
en Ecuaciones Paramétricas
Serie de Problemas
CAPITULO 11. LONGITUD DE ARCO Y ÁREAS DE
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
1. Longitud de Arco de una Curva Plana Paramétrica
· 2. Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas
?· Long~tud de Arco en Coordenadas Polares
4. Áreas de Superficies de Revolución (Paramétricas)
5. Área de una Superficie de Revolución generada por una
función y= f(x)
6. Áreas de Superficies de RevolÚción generadas por una
Curva Polar r = r(9)
7. Centro de Masa de un Sistema de Particulas
8. Centroide de una Región Plana
9. Centroides de Curvas Planas
10. Teoremas de PAPPUS - GULDIN
Serie de Problemas
CAPÍTULO 12. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y
SERIES DE TAYLOR
1. Integración Numérica Aproximada
2. Regla Trapezoidal
3 Regla Parabólica de Simpson
4. Polinomios de Aproximación de Taylor
.. 467
.. 475
.. 503
. . 517
. . 527
.. 537
. . 546
.. 554
. . 565
.. 567
. . 578
. . 586
.. 594
.. 602
.. 608
.. 616
.. 620
.. 640
.. 647
. . 652 .
.. 654
. . 655
.. '659
.. 675
TABLA DE INTEGRALES ÚTILES PARA LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS 682
UNlVEBSIDAD NACIONAL 'llEL CALLAO
JACULTAD DE ll\GEN1H;1A l.1 l.Ci )' lU:CTno~ .
B!!:ll!OTECA ESPECJAUZADA f1LE
: : At~f~~·-St .. ~
ce..:-,...,-_.,_
-51 ¡-·,/·~--·~--- - ··¡--z --~_.__y- ----
COD.vQ. A( _.Q9@._
RECIBIDO POR : ;/:~ ¡/
FECHA; , & o e 1 2014
~4..te ge,U.& fke..u e"-4 ~e4A& ~1",.le& Á•g4 ,
tt¡ 1"& J.. e~Al-4VP,&4 .
Año 2050
Cap. 1 • 1 •
1
LA ANTIDERIVADA Y
LA INTEGRAL INDEFINIDA
l . TEOREMAS REFERENTES A DERIVADAS
1.1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO.· Si F ( x) es una función continua en [ a , b ]
y diferenciable en { a , b} , entonces eriste u n número e E ( a , b) ,
por lo menos uno, tal que . 1
F(b) - F(a) == F'(c)·(b - a)
'--~~~~~~~~~~~--'
1.2 TEOREMA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE
Si F (x) es una función continua en [ a • b ) y diferenciable en { a , b)
entonces existe una constante real C tal que F' (x) == o
sobre { a , b} , es decir, tal que F (x) = e , para todo x E [a, b].
1.3 EJEMPLO.· Sobre el intervalo [o, b) , o < b < n/2 , se verifica que, sí
F(r) 2 + (l + Senx)(Secx - 2Cosx -Tanx) + (1+2Senx)Cosx
entonces F ' ( x) = o para x E [ o • b ].
y por lo tanto F (x) = e (CONSTANTE) para X E [o' b J.
Para hallar el valor de esta constante e . es suficiente evaluar F (x
0
) para un
punto x
0
cualquiera de [ o, b). En particular, para x
0
= o
C = F(O) = 2+(1+0)(1-2-0)+(1+2(0))1 = 2
de donde F(x) = 2 , para todo x E {O, b] , o < b < rc/2.
2 Análisis Matemático 2 Cap. 1
Este resultado también se puede verificar muy fácilmente simplificando la regla
de correspondencia de F (x) mediante identidades trigonométricas.
1.4 TEOREMA . Sean F(x ) y G(x) funciones continuas sobre [a, b ] y diferen.
ciables sobre ( a , b ) . Si I G ' ( x) = F' ( x) 1 , para x E
[ a , b J , entonces existe una constante real e tal que
I G(x) = F(x)+ e 1, x E [a,b].
1.5 EJERCICIO.· Si G(x) es una función tal que G' (x) = 3x2 , x E R , halle
la regla de correspondencia de G (x) tal que G (1) = 6 .
SOLUCIÓN.- Sabemos que si F(x) = x 3 entonces F'(x) = 3x2 . Así,
G'(x) = 3x2 = F'(x) , x E IR, => G(x) = F(x) + C
3 por el TEOREMA 1.4. => G(x) = X + e I X E lR .
Evaluamos G(x) para x = 1 , hallando asl el valor de C :
G(l) = 13 + e = 6 (dato) => e = s
3
G(x) = x + 5, para todo x E IR
2. 1 LA ANTIDERIVADA GEN~RAL DE UNA FUNCIÓN
2.1 DEFINICIÓN Una función F (x) se llama una ANTIDERIVADA de otra función
f (x) continua sobre un intervalo I si
I F' (x) = f (x) J , para x E l .
Por ejemplo, la función F (x) = x3 es una antiderivada de la función
f(x) = 3x2 , x EIR, pues F'(x) = 3x 2 = f(x), x E R. ,
Sin embargo, la función G (x) = x3 + 5 es también otra antiderivada de
f ( 1) '2 3 r I X e IR I pues
l J 2 (1 ( r) Dx (x + S) = 3x = f (x) , x E R .
l:ngrneral, si F(x) esunaantiderivadade f(x), esdecir,si
1·' (1) = í(x) entonces F(x)+ e tambiénesunaantiderivadade f(x)
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida - '3 -
para cualquier constante C. pues su derivada coincide con la función f (x):
[ F(x) +e]' = F'(x) = f(x) .
2.2 DEFINICION Si F(x) es un.a antiderivada de f (x) sobre un intervalo 1 ,
es decir, si F' (x) = f (x) sobre I , entonces a la función
-i -G-(-x)-=--F-(x_)_+_c~I se le conoce como LA ANTIDERIVADA GENERAL de f (x).
Asi por ejemplo, la función f (x) = 3x2 tiene su antiderivada general
G(x) = x3 +e. pues G'(x) = 3x2 = f(x).
3. LA IITEGIAI.. INDEFINIDA
3.1 DEF INICION .• Si F( x) es una antiderivada de f ( x) sobre un intervalo I .
esdecir, si F'(x) = f(x) ,entoncesasu ANTIDERIVADA
GENERAL G(x) = F(x) + e seledenotapor
G(x) = J f(x)dx = F(x)+ e x e I
[ pues G'(x) = F'(x) = f(x) ]
y se le llama LA INTEGRAL INDEFINIDA de f (X) .
3.2 NOTA.· Oeestadefinici6nsesigueque G'(x) = F'(x) = f(x), esdecir,
..!!.-Jc(x)dx = f(x).
dx
3.3 EJEMPLOS
a) J 3x 2dx = XJ + C
b) J Cosxdx = Senx + C,
pues (x3 )' = 3x2 .
pues ( Sen ~ ) ' = Cos x .
c) J 1 dx
~ l - x 2
ArcSenx + C , xe(-1,1)
pues (Are Senx)' = xe(-1,1).
2 1t OCT. 2011t ~ 1- x
2
. ·• .
d)
e)
f)
Análisis Matemático 2
J
x2
---dx
1 + x 2
= x - ArcTanx + e , pues
..i.(x - Are Tan~) = 1 - ---
dx 1 + x2
J (1 + Senx) dx = x - Cosx + e
pues ( x - Cosx )' = 1 - (- Senx)
J Sec2 u du Tan u + e . pues ( Tan u )1 =
=
=
Cap. 1
2
X
1 + x 2
1 + Senx
Sec2 u
3.4 DEFINICIÓN En una integral indefinida J f (x) dx a_ la función f (x) se le
llama FUNCIÓN INTEGRANDO , y a la variable x se le denomina
VARIABLE DE INTEGRACIÓN.
3.5 NOTACIONES USUALES
En términos de diferenciales sabemos que Id F (x) = F' (x) dx j . y por
lotanto,si F(x) esunaantiderivadade f(x) entonces
J f(x)dx = F(x)+C , pues F' (x) = f (x)
Y se puede expresar como
a) r F'(x) dx = F(x) + C
·b) J d F(x) F(x) + e
En esta última forma se recupera la función F (x) , salvo una constante, por lo cual se
dice que la integración es la operación inversa de la diferenciación, y también porque
..i. J f(x)dx = .!!_ [ F(x) + C] = F'(x) = f(x).
dx dx
3.6 EJEMPLO.. Por simple inspección vemos que, para n = -1 :
J xº dx = n + 1 X
n+I
+ e
que pudo haberse expresado corno
pues
n + 1
(-X--)' = Xn
n+l
Cllp. l Antiderivada e Integral lntlefinida - 5 -
n + 1 _x _ _ + e
n+I
n + 1
= J d(-x- )
n + 1
J xº dx (1)
3.7 EJEMPLOS .• Con las notaciones de [3 .5) tenemos que, por simple inspección:
4 4
a) J (x3 - 2x + 1) dx = J d ( ~ - x 2 + x) = ~ - x 2 + x + e
4 4
b) J ( Sen2x - Cosx) dx J d(- Cos;2x) - Senx)
= Cos(2x) S e - 2 - enx + .
3.8 NOTA •• Con la notación de integral indefinida, el Teorema [1.4) :
• Sean F(x) y G(.x) dos funciones continuas sobre Ca, b J y diferenciables
sobre ( a , b ) . Entonces
G'(x) = F'(.x) => G(x) = F(x) + e . X E [a, b] •
que es equivalente a aplicar la INTEGRACIÓN INDEFINIDA a la ecuación
G'(x) = F' (x) xe(a,b)
=> f G'(x)dx = J F'(x)dx
J dG(x) = J dF(x)
G(x) + c1 = F(x) + c2
=> G(x) = F(x) + e • xe[a,b]
absorbiendo las dos constantes c1 y c2 en una sola constante e = c2 - c1 •
3.9 RESUMEN .- De aqui en adelante, para integraciones indefinidas emplearemos
cualquiera de los siguientes resultados equivalentes:
a) J G'(x)dx = f F'(x)dx => G(x) = F(x)+C .
b) f dG(x) = f dF(x) => G(x) == F(x)+C ,
3.10 PROBLEMA .• Si F'(x) = 2 - Cosx , x E .IR , donde F(x) X es una
• 6 . Análisis Matemát ico 2 Cap. 1
función continua sobre un intervalo I. Halle esta función tal que F(n) = 1 .
SOLUCIÓN.·
=>
F'(x) = x 2 - Cosx
J F'(x)dx = J (x2 - Cosx)dx
f dF(x)
3 J d(T - Senx)
3
F(x) = .!..__ - Senx + C
3
Como 3 · 3 1 = F(n) = (n /3) - o+ e => e = 1 - (11 /3) •
x3 n3
- - Senx + 1- -
3 3
F(x) =
3.11 PROBLEMA •• Halle las integrales
!
a) J Sen 2x dx
SOLUCIÓN.· Utilizaremos las identidades:
'
t b) J 2 dx Cos x ¡
•
2 2 = { 1 - 2
2
se11
2
x Cos2x = Cos x - Sen x
2Cos x - 1
Sen 2x = Cos-x = 1 - Cos 2~ 1 1 " 1 + Cos 2x
L----2 ___..' ,.___2~
a) J Sen 2x dx + J ( 1 - Cos 2x) dx = ..!... J d ( x _ Sen2x )
2 2
..!... [ x _ Sen 2x ] + e =
2 2
b) J Cos 2x dx = ..!... J (1 + Cos2x)dx = J.. J d ( x + Sen 2x )
2 2 2
..!..[X+ Sen2x ] + e x Sen2x e = - + --·,- + -
2 2 2, 4:
3.12 PROBLEMA •• Calcule f Csc 4 x dx .
SOLUCIÓN.- f Csc 4x dx = f Csc2x · ( 1 + Cot2x) dx
= J Csc 2x d:x + J Cot2x Csc2x dx
Cap. 1 Antiderivada e lntegraUndefinida
. J 2 = J d (- Cotx) + Cot x d(- Cotx)
= - Cot x + J d( = Cot
3x
- Cotx -
3
- 7 -
4. 1 PROPIEDADES BÁSICAS OE LA INTEGRAL INDEFIHJOA I
Dados a , b y e constantes reales ,
(1) J e f (x) dx = e J f (x) dx , C constante real.
(2) J [ f(x) ± g(x) Jdx = J f( x) dx ± J g(x)dx ;
(3) J [af('x)+bg(x)]dx = a J f(x)dx + bf g(x)dx.
(4) Si J f (u) du = F (u) + C , entonces
J f[g(x) ]g '(x)dx = F[g(x)] + C
PRUEBA DE (4) : Como F' (u) = f (u).
J f[g(x)Jg'(x)dx = J F'[g(r) J g'(x)dx
= J F'[g(r)) g'(x)dx = F[g(x)J + e
(6) TEOREMA .. Asumiendo que
1) f ( u) es contínua sobre un intervalo J .
2) u = g(x) = u (x) es una función con derivada continua y
con una función inversa x = g _, (u) sobre un intervalo E .
3) u'(x) :ie o para todo x E E .
4) Rang(u) = u(E) = { u(x)/ x E E} e J.
Entonces, para u E u(E) :
J f[u(x)]u'(x)dx = J f(u) du , u = g_(x)
Este es el TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL INDEFINIDA .
. 8. Análisis Matemáti.co 2 e ~ Cap. l
Su aplicación siempre sigue tos siguientes pasos:
~ Se desea calcular la integral indefinida J b (x) dx
~ En la expresión h (x) dx se buscará una función inversible u = ~(x) , para la
cual du = u' (x) dx, x = x (u) , de_~odo que aparezca una expresión como
h(x)dx = f[u(x)]u'(x)dx = f(u)du
,), Y se aplicará el TEOR. (6):
J h(x)dx = J f[u(x)] u'(x)dx
= J f(u)du , u= u(x).
4.1 NOTA .• En los pasos anteriores se trató de llegar a la integral
J f(u) du u= g(x)
la cual debería ser fácil de evaluar en términos de la nueva variable u .
Ya evaluada, en el resultado se reemplaza u = g (x) , para regresar a
la variable original x .
4.2 EJEMPLO.
J 2x dx = J 1 + x 4 = J-d_u 1 + u 2 haciendo
2
U=X
= Are Tan u + C = Are Tan (x2 ) + C
Este resultado se valida fácilmente pues : D Are Tan ( x
2 ) ==
.X
4.3 PROBLEMA.· Halle f ( l + x3 >9 x 2 dx .
2x
1 + x4
SOLUCIÓN .• Reconocemos que la derivada de x 3 es 3x
2
• y más aún, que la de-
rivada de 1 + x 3 es 3x2 ; luego,
J 3 9 2 (l+x)x dx ::: ..!.. J ( 1 + x 3 )
9
3x
2
dx
3
= ...!_ J ( 1 + x 3 / d ( L + x3 )
3 .
= ..!.. J u9 du ,
3
3
U = 1 + X
Cap. 1 Antiderivada e lntegral Tndefinida
1 u
10
= -(-)+e =
3 10
• 9 •
Esta propiedad (6) se utiliza con mucha frecuencia al calcular integrales indefinidas.
4.4 TEOREMA.· Si u = u (x} es una función diferenciable entonces
Jc u (x)]n·u'(x}dx =
n+I
[ u{x)]
n + l
+ e n ;&"; -1
4.5 TEOREMA.· Si f (x) es una función diferenciable:
n .:e -1 . J [ f(xJ J" f'(x)dx [ f(x) t+l = + e
n + 1
4.6 EJEMPLOS ••
a} J Sen 5 x Cos x dx
b) J (x + 1) dx
J x 2 + 2x + 2
=
J [ f(x) ] 5 f'(x)dx
[f(x)J6 +e =
6
' + J d(x-+ 2x)
J x 2 + 2x + 2
= +I;.
= + f u-1/2 du =
= ru+c =
f(x} = Sen x
Sen
6
x C + .
6
= + f d(x2 + 2x + 2}
J x 2 + 2x + 2
u = x 2 + 2x + 2
1
2
u-(1/2)+1
-----+ e
-(1/2) + 1
En estos problemas el éxito depende de la habilidad para determinar la par-
te del integrando que se va a sustituir por el símbolo ti = u(x} de tal modo que
la integral se transforme en otra más sencilla en términos de la nueva variable u .
Esta habilidad se obtiene con la práctica al resolver varios casos particulares.
- 10 • Análisis Matemático 2 ,.....-------....._ Cap. 1
5. [ MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I
5.1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ( TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE)
Sí u = u (x) es diferenciable en un intervalo 1 :
J f[u(;)]·u'(x)dx = J f(u)du
Para aplicar esta fórmula, se debe expresar el integrando en la forma del miembro iz-
quierdo reconociendo cierta expresíón u = u (x) , con el fin de transformarla en la
integral indefinida de la derecha, de tat modo que esta última sea fácil de resolver.
5.2 EJEMPLO ••
J 5 6 x Sen(x + 2) dx = I J 5 6 - 6x Sen(x + 2) dx
6
I J 6 6 = - Sen(x + 2)d(x + 2)
6
= ..!.. J Sen udu u = x6 + 2
6
6
Cosu e Cos(x + 2) + e = ---+ =
6 6
que se puede_comprobar dírectamente por derivación.
5.3 EJEMPLOS ••
1) J Se:-f dx = 2 J Sec 2 ..{-; d(..{;)
= 2 J Sec2u du u = rx
2Tan u + e = 2Tan..f7 + e
2) f dx +J dx ~f d(x/a) = 32 + X 2 1 + (x/2)2 1 + (x/a) 2 a
+J du X Por lo tanto, = u= -1 + u 2 a
dx I X
- Are Tan ( - ) + C
a a
, a> O
3 2 + x2
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida - 11 •
5.4 INTEGRACIÓN POR PARTES
Es una técnica que se utiliza para integrar productos de dos funciones.
Dadas dos funciones u = u(x) , v = v(x) diferenciables,
.d •
-(uv)
dx
dv du u-+ v-
dx dx
=> d (u v) = u dv + v du . Integrando ambos miembros :
uv = J d(uv) J udv + J vdu
judv UV - J V du ( .. )
En ( •) no hay razón para considerar explícitamente la constante e en
u v = J d ( uv) , pues la integral J v du originará su propia constante.
La fórmula ( .. ) es llamada FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES l y permite
hallar la íntegra!
J u(x) v' (x~ dx calc_ulando la integral J 11(x)u' (x)dx
en su lugar y usando esta fórmula ( .. ) . Se aplica en aquellos casos en ·donde la
segunda integral es más fácil de calcular que la primera, claro está.
RECOMENDACIÓN •• En la práctíca se siguen los siguientes pasos:
~ Dada la integral J f(x)g'(x) dx
Elegir { u = f(x) =>
dv = g'(x)dx =>
du = f'(x)dx (diferenciando)
g ( x) (integrando) V= J g'(x)dx
~ La fórmula de la integración por partes indica que
J f(x)g'(x)dx = J ud11 =uv - J vdu
= Hx)g(x) - J g(x)f'(x) dx
La integral que aparece en el segundo miembro deberla ser más simple de calcular
que la del primer miembro para que este método sea realmente útil.
Análisis Matemático 2 Cap. 1
5.5 EJEMPLO.· Evalúe J x Cosx dx ! -\
SOLUCIÓN.- Elegimos U = X :::} du = dx
dv = Cosxdx :::} v = Senx entonces
,-
J xCosxdx = J udv = uv - J vdu = x Senx - J Senxdx
= x Senx + Cosx + C •
5.6 EJEMPLO •• Para evaluar J Are Sen x dx :
SOLUCIÓN.· u = Are Sen x
du = -;:=d=x==-
J 1 - x 2
dv = dx
V= X
luego, diferenciando e integrando
y via INTEGRACIOH POR PARTES :
J Are Sen x dx = J u dv = u v - J v du
f X dx = x Are Sen x - --;:===-J 1 - x 2
f X dx Evaluamos J 1 - x 2
d(~2)
J 1 - x 2
= _J_f d(l - x
2
}
2 ~ 1 - x2
= - ~ f r. , u = 1 - x 2
- h + e - J 1 - x 2 + e .
Reemplazando en ( •) :
J Are Senx dx = x Are Senx + ~ 1 - x 2 + C .
3
5.7 EJEMPLO •• Evalúe la integral f -::=X===- dx .
~ 1 - x2
SOLUCIÓN.- Como x3 x 2 x elegimos
2
U = X , dv = --;:=x==- dx J 1 - x 2
du = 2x dx , 1> f dv = f--;:=xdx=
~ 1 - x 2
y diferenciando e integrando :
- J 1 - x 2
Antiderivada e lntegral Indefinida - 13 -
IIU - J V <fil
J c-2x) J1 - x2
= 2 ~ 2 - X 1 - X 2 d(I - X )
u = 1 - x 2
- x
2 J 1 -. x 2 2 113/ 2 + e
3
=
5.8 EJEMPLO .• Evalúe
SOLUCIÓN.- Eligiendo
:::}
2... ( 1 - x 2 /12 + e .
3
= J x 2 Are Sen J 1 - x 2 dx .
u = Are Sen J 1 - x 2
du = - -;:=d=x==-
J 1 - x 2
dv = 11:2dx
x3
v=-
3
3 3
entonces
x f 2+-'J xdx = - Are Sen '# 1 - x
3 3 J 1 _ x2
ver EJEMPLO S. 7 ,
1 = _i_ArcSenJ 1 - x 2 + J_[-x2 J t - x 2 -2-(1- x 2 }3/ 2 ] + C
3 3 3
5.9 EJEMPLO.· Evalúe la integral I = J x 2 Sen 3x dx .
SOLUCIÓN.- Requerimos dos integraciones por partes sucesivas,
a) Eligiendo
=>
2
U ::: X
du = 2xdx
l = _ x 2 Cos3x
3
dv
V :::
Sen3x dx
Cos (3.r)
3
+ ! J x Cos 3x dx
b) Debido a la última integral ahora hacemos la elección
U = X dv = Cos 3xdx
• 14 • Análisis Matemático 2 Cap. 1
=> du Sen 3x IJ = ---
3
dx
x 2 Cos3x 2 [ x Sen3x + J Sen3xdx] = + 3 3 -3
x 2 Cos3x 2 .2_Cos3x + e = + 9 xsen3x + 3 27
5.10 EJEMPLO ,• Calcule = f Are Csc ~ x ; 1 dx para x > o .
SOLUCIÓN. Eligiendo u = Are Csc ~ , dv = dx
entonces se verifica que: du
..¡-; dx
IJ X
Recuerde que Du Are Csc u =
2x (x + I}
-1
u~ u
2
- 1
, u E (l,oo)
y como ~ X X+ 1 > 1 _....... ¡· ..,...,.. x e ( o , oo ) , se ,ene que
·11 ..¡-; x ArcCsc - - -- dx
2 x+l
1
Calcularemos por separado la integral del segundo miembro:
A = J ..¡-; dx
X+ 1
u 2udu
A = f 2 1 + u
1
hacemos X
u
2 du
= 2J 2
l+u
u
2
~ dx 2u du
2 f [ l+u 2 =
l + u
2
1 + u 2
= 2 f ( 1 - ---, ) du
l + u·
= 2 ( u - Are Tan u ) + C
2 ..¡-; - 2 Are Tan .["; + C
x Are Csc ~ - ..¡-; + Are Tan .["; + C ,
J du
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida
5.11 PROBLEMA .. Halle l = J x Are Cos ~ dx , para x > 1 .
SOLUCIÓN.- Como -1 D x Are Cos x = -;===-J 1 - .r2
Apliquemos la integración por partes eligiendo:
xE{-1,1),
• 15 -
u = ArcCos...!... dv = xdx => para X> l verifique que : l'.
dx 2 du l'. Entonces =
X J x 2 - l
V =
2
x
2
1 1 J --ArcCos- - - x dx,
2 X 2 J X2- I
l'.2 1
r = -ArcCos-
2 X
5.12 PROBLEMA .. Halle l f x 2 dx
= ( 1 + x2 )2
SOLUCIÓN.· x 2 = x • x Elegimos
.!.. J x2 - 1 + e
2
d(x2 ) 2 U = X dv X dx =
(1 + x2 )2 2 {l + .l'.2)2
Z = X ,
du = dx 1 f dz 1 . V = = =
2 (1 + z)2 2(1 + z)
=> X l J dx = +
2(l+x
2
) 2 1 + x2
X
.!..ArcTanr +e . = +
2(1 + x 2) 2
• 5.13 EJERCICIO.· Calcule J x2 I = ----dx . (xCosx - Senx)2
SOLUCIÓN.· Observemos el diferencial del cociente
t
(xCosx - Sen.r)
dt = __ x_Se_n_.r_dx _ _
(xCosx - Senx) 2
• 16 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
En la integral I multipliquemos al numerador y al denominador por Sen x en la forma:
--- "'
1 _ J x . x Sen x d x = 'J u . d u .
- Sen x ( x Cos x - Sen x) 2
Apliquemos la integración por partes haciendo:
X U=-- => du (Sen x - x Cos x) dx
Sen x Sen 2 X
(•)
=> V = xSen x dx dv= -------
(x Cos x - Sen x)2 x Cos x - Sen x
uv - J vdu = uv - J (-Cosec;x)dx
l =
X
Sen x [ x Cos x - Sen x ]
- Cotx + C.
6. INTEGRACIÓN POR SUSTITUClóM ALGEBRAICA Y TRIGOMOMURICA
6.1 EJEMPLO .- Calcule I = f x 5 4 1 ·- x 2 dx .
SOLUCIÓN.- Sea u = ~ 1 - x 2
I
= - J {J - 2u 2 + u 4 )u 2 du
2 5 UJ 1 7
-u - - - -u + e
5 3 7
1 - x
2 = u2 =>
=>
-2x dx = 2u du
x dx = -u du
'
2 2 5/2 J 2 3/2
-(1-x) --(1-x)
¡ , 7/2
--(J-x") +C.
7 5 3
6.2 EJEMPLO .- Halle J dx I = ~==-
x ~ XJ - 1
SOLUCIÓN.- Sea u 2 = x 3 - 1 => 2u du = 3x 2 dx U : ~ XJ - J
Cap. l Antiderivada e Integral Indefinida
J x
2 dx ! J _,( du = x 3 ~ XJ - J = = ? {u·+ 1) _,(
= 2.. Are Tan u
3
+ e 2.. Are Tan ~ x 3 - 1
3
6:3 EJEMPLO .• Halle 1 = J --x-- dx .
1 + 2x 4
SOLUCIÓN.- = _
2
1 J __ 2_x_d_x _ _
1 + 2 (x 2 ) 2
= +J d(u) 1 2 - + u
2
2
U= X
~ J
+ e
du
1 + u
:J du = a2 + u2 I u = - AreTan(~) + e 4a a
2
donde a = .{ifí = 1/ ../2 ; hemos utilizado el EJEMPLO 5.3 (2)
../2 Are Tan ( .f2 x 2 ) + e .
4
6.4
¡u
SUSTITUCIONES TRIGONOMtTRICAS
- 17 -
En las integrales que contienen expresiones como
~ a 2 - x 2 ~ a 2 + x 2 y ~ x 2 - a 2 • ta sustitución de ciertas funciones
trigonométricas pueden simplificar el integrando.
6.5 EJEMPLO ,• Halle I = J -;:=x=2 =ª=x=-
~ 3 2 _ x2
(a> O) .
SOLUCIÓN Sea x = a Sen t • t E ( - n/2 , n/2 ) . Aquí x tiene una inversa
t = Are Sen (x/a)
pues t E (-n/2, n/2) => C-0st > o . Como ldx = aCostdt!
- 18 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
1 = f (a 2 Sen 2t)a Cost dt 2 f 2 = a . Sen_!_~
a Cos t
a2J
1 - Cos2t dt
2
= = T f ( 1 - Co~2t)dt
2
2 2
a [ Sen 2t ] e ~[ t - SentCost] + C (•) = - t---- + = 2 2 2
Como x = a Sen t , t E ( - n/2, n/2) ; hare.mos uri diagrama solamente para
t E (O, n/2) :
Según lo cual, en (•)
f x 2 dx
J a2- x2
32 X = -[ Are Sen(-)
2 a
X
a
Sen t = .!..
a
J ª2 _ x2
Cost =
a
] + e
a 2 x x I 2 2 e = -Are Sen(-) - -·1' a - x + .
2 a 2
6.6 EJEMPLO .• Halle I
SOLUélóN.- Sea x = 3 Sec t ,
dx = 3 Sec t Tan t dt ~ x 2 - 9 = 3 I Tan t 1 =
Como ayuda, hacemos un diagrama para t E [o , n/2} :
1 = 2_ f 3 Sec t Tan t dx
3 9 Sec2 t Tan t
= f f Cost dt 3
1
1 = 9 sen t + C +e.
l = 9 X
3 Tant
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida
6.7 EJEMPLO .• Halle 1 = f dx
x
2 ~ x 2 + 5
SOLUCIÓN.-
Sea x=ÍSTant, tE (-n/2 ,n/2}
=> dx = ÍS Sec 2 t dt , J x 2 + 5 = ÍS Sec t
1 = f __ .[s'""s_se_c_~_t_d_t_ = _
5
, f
S Tan
2
t ÍS Sec t
Cos t dt
Sen2 t
u = Sent
--'-+e=
Su
6.8 EJEMPLO .• Halle
---'-+e
S Sen t =
_ 2.. ~ x 5 + S
f dx = --==
X J 4x2 - 9
5 X
SOLUCIÓN.- Sea x = 2.. Sec t
2
+e.
3
d x = 2 Sec t Tan t dt ~ 4x
2
- 9 3 Tant
2.. Sec t Tan t dt 1 = J---2 __ _
2.. Sec t • 3 Tan t
2
.!.. + e
3
t 2x = -ArcSec - + C
3 3
6.9 EJEMPLO.. Evalúe = f dx
(x
2
- 2x + S)
SOLUCIÓN.- f dx I = -(-x---1)_2_+_4
f du
= u2 + a2 [u=x-1,a
[ ver el EJEMPLO 5.3 (2) J
= f
2)
d(x - 1)
(x - 1)2 + 4
.!... Are Tan 2!_ + e
a a
1 ( X - 1) -ArcTan -- + e
2 2
- 20 - Análisis Matemático 2
6.10 EJEMPLO.• Halle
SOLUCIÓN.- Sea u =
= f -~d_(~x_-~1_)~-
( (x - 1)2 + 4 13/2
Sea x = a Tan t d x = a Sec 2 t dt
(u2+ a2)3/2 = (a2Sec2t)3/2 = a3Sec3t
1 = f a Sec 2 t dt
a
3
Sec3 t
= -+ f Cost dt
a
-
1
-Sent + C
ª2
=
f dx (x 2 - 2x + 5)312
6.11 EJEMPLO ,• Halle f x
2 dx
I = -;:::::===-
~ 6x - x 2
SOLUCIÓN.- 6x - x 2 = 9 - (x - 3)2 .
Cap. 1
a
u + e
Sea u = x - 3 entonces x = u + 3 , du = dx :
f (u+ 3)2 --:::===- du ~ 9 - u2
u 3 Sen t , du = 3 Cos t dt
' = f 9(Sent + l)-3co~tdt =
3 Cos t
9 J (Sen2 t + 2Sent + l)dt
1 - Cos 2t dt - 18 Cos t + 9t
2
= ..2..t - ..2..sen2t - 18Cost + 9t + e
2 4
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida - 21 -
27 u 9 u J 9 - u1
-Are Sen- - -·-·----
2 3 2 3 3
J 9 - u 2 1s + e
3
E.. Are Sen ( x - 3 ) - (x - J) J 6x - x 2 - 6 J 6x - x 2 + C .
2 J 2
6.12 PROBLEMA . Una partículaque parte del reposo se mueve a lo largo de una recta
tal que su velocidad en el instante t es 2 Sen t + 3t 2 .
Determine su posición en el instante t =. ,r .
SOLUCIÓN.- Sea x (t) = posición de la partícula en el instante t, a partir t = o
x'(t) = velocidad en el instante t .
Y como la partícula parte del reposo: x(O) = o, x' (O) = o
x' (t) = 2Sent + Jt2
~ J x'(t)dt = J (2 Sent + 3t 2 )dt
f dx = J d(t3 - 2Cos t) X = x(t)
~ X = t 3 - 2Cost + C
~ x(t) = t 3 - 2 Cos t + C .
Con la condición inicial hallamos el valor de e: o= x(O) = - 2 + e => e = 2
Así, la posición de la partícula en cualquier instante t es:
en el instante t
6.13 PROBLEMA.·
x(t) = t 3 - 2Cost + 2
3
,r la partícula se encuentra en la posición: x (11) = 11 + 4
Sea v(t) = t J 1 + t 2 la velocidad de una partícula que se
desplaza a lo largo de una recta en et instante t .
Determine la distancia recorrida por la partícula desde el instante
t1 = Is hasta el Instante t2 = fi .
SOLUCIÓN.- Sea x(t) = posición de la partícula en el instante t.
~ x'(t) = v(t)
Sea s (t) la distancia recorrida desde el instante t 1 = o hasta el instante t, entonces
- 22 - Análisis Matemático 2 Cap. l
s'(t) = 1 v(t) 1 = 1 t ~ 1 + 4 ; 2 1 = t ~ 1 + t 2
s ( t )
" -"r~
"·
=
t ~ 1 + t 2
f t ~ 1 + t 2 dt
..l.c1 + t 2>312 + e
3
Luegt>,
r::.--:- 125 se 11 .l'l ) = - + e ,
3
r:: 27
s(..¡ 15) = - + C
3
=> s(./24) - s(../s) = 98/3 unidades.
6.14 PROBLEMA •• Si la pendiente de una curva en cualquier punto P (x, .y) de ella
es igual a 4 x / ( 4 - x 2 >2 , halle la ecuación de la curva si ha
de pasar por el punto ( fi , 3 ) •
SOLUCIÓN .- Sea y = f (x) la ecuación de la curva, entonces la pendiente de
la recta tangente en cualquier punto (x, y) es
m = f'(x) 4x
J J 4x dx f'(x)dx = (4-x2 )2
2 + e f (x) =
4 - x
2
Y como la curva debe pasar por (x , y) = ( fi, 3) :
3 = fCfi) = - 2- + e
4 - 3
La curva está descrita por la función f(x) =
=> e= 1
__ 2_ + 1
4 - x
2
6.15 PROBLEMA.· En un movimiento rectilineo, la función aceleración de un punto es
a (t) = - 32 en el instante t ~ o . Si la velocidad del punto
es - 20 cuando t = o , y la posición del mismo punto es I o
unidades en la dirección positiva cuando t = o , encuentre la fun-
ción velocidad v(t) y la función de posición x (t) del punto .
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida - 23 -
SOLUCIÓN.- Sabemos que x' (t) = v (t) ; x" (t) = v' (t) = a (t)
entonces a(t) = v' (t) = -32 v(O) = -20
=> v(t) = - 32t - 20 1 es la función VELOCIDAD .
v(t) = x' (t) = -32t - 20 . s(O) = 10
x(t) = -16t 2 - 20t + 10 es la función POSICIÓN •
7.- 1 FÓRMULAS. BÁSICAS MUY: OTILES I
Por simple derivación se comprueba que, si a > o :
a) f dx Are Sen ( .!_. ) J a2 _ x2 = + e a
11 b)
dx I X
= - Are Tan(-) + e
3 2 + x2 a a
c) f dx I X = - ArcSec(-) +e
x J x2 - a2 a a
11
dx
1 1 x-a I
1 = -Ln - - +e 2 2 2a x+a X - a·
d)
11
dx
1 1 x+a I
1 = -Ln - - +e 32 _ x2 2a x-a
e)
f)
1
J Sec(x) dx = Ln I Sec (x) + Tan (x) 1 + e
g) I· J Cosec (x) dx = Ln I Cosec (x) - Cot (x)1 +e
f) J eu dú = e u + e 11 J /<x) f '(x)dx = e f (x) + e ,.
- 24 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
8. 1 CALCULO DE ALGUNAS INTEGRALES CURIOSAS I
8.1 EJERCICIO .• I - J ___ ch. __ _
- 12 Sen x -J Cos x
SOLUCIÓN. Normalizamos los coeficientes:
t I dx ~5 1 = 12 5 -Senx - -Cosx 12 13 13
-!-; I dx = Cos e Sen X - Sen e Cos X Sene = 5/13
Cos 0 = 12/ 13
i I dx -1 ( 5 ) = O= Tan -Sen (x - 0) 12
= -1-f Cosec(x-0)dx
13
= - 1-Lnl Cosec .(x-0) - Cot(x-9) 1 + C
13
= -1-tnl Cosec(x- Tan- 1(-5-)) - Cot(x- Tan- 1(2-)) 1 + C
13 12 12
t - Cos( x - Tan - 1 (5/12)) 1 = -1 Lnl +C.
13 Sen (x - Tan- 1 (5 / 12))
8.2 EJERCICIO .· 1 - f dx
2 Sen x + 5 Cos x
SOLUCIÓN. Normalizamos los coeficienles:
~ ~9 f
dx
1 =
5 2 ../29 Sen x + l'"29 Cos x
29 29
-/~9 f
dx
Sen 0 Sen x + Cose Cos x
-J ~9 I
dx
C-Os (x - 0)
~ 2
5
Sen 0 = 2/ ../29
Cos 0 = 5 / ../2<i
0 = Tan - 1 ( 2_)
5
Cap. 1 Antiderivada e integral Indefinida
-
1- J Sec(x - O)dx
./29
= _I_ Ln I Scc (x - 0) + Tan (x - 0) 1 + C
./29
1 1 ( -1 2 ) ( -1 2 ) 1 --Ln Sec x - Tan (-) + Tan x- Tan (-) + C
./29 5 5
= _I_ Lnl 1 + Sen(x -Tan- 1(2/5)) 1 + C
./29 Cos ( x - Tan - I (2/5))
I Cos6x + 6Cos4x + 15 C-Os2x + 10 8.3 EJ ERCICIO .• 1 = dx Cos5x + 5Cos3x + . lOCosx
SOLUCIÓN. Multiplicamos al numerador y denominador por Cos x
I (Cos6x + 6Cos4x + 15Cos2x + IO)·Cosx l= h (Cos5x + 5Cos3x + IOCosx)·Cosx
Y a los tres productos del denominador aplicamos la identidad trigonométric~
1 .
Cos (a) Cos (b) = - [ Cos (a-b) + Cos (a+ b)]
2
con lo que obtenemos una expresión equivalente al denominador
- 25 -
= ..!.. [ ( Cos 4x+Cos 6x) + 5 ( Cos 2x + Cos 4x) + 10 { Cos (O) + Cos 2x) ] 2 .
= _!_ [ Cos 6x + 6 Cos 4x + 15 Cos 2x + 1 o] • que aparece en el numerador.
2
=
2
J (Cos6x + 6Cos4x + 15Cos2x + 10),Cosx dx
[ Cos 6x + 6 Cos 4x· + 15 Cos 2x + 10]
= 2 J Cos x dx = 2 Sen x + e
8.4 EJERCICJO .·
I dx J Sen
2
x + Cos 2 x J _., ] ----- = dx = [Secx + Sen -cx)Cosx dx
Sen 2 x Cos x Sen 2 x Cos x
Ln I Sec x + Tan x 1 - Cosec (x) + C
- 26 - Análisis Matemático 2 Cap. l
~-- / .,
[ 6 = ,.!_ Ln l 1 + Sen x ¡- - Cosec ( x)
2 -Cos x
= ,.!_ Ln (1 + Sen x)2 = ,.!_ Ln ( 1 + Sen x ) - Cosec (x) + e ] .
2 ( Cos 2 x = 1 - Sen 2~ 2 1 - Sen x
8.5 EJERCICIO .• )
J x e-
2x dx J [(x - 1) + 1]e-
2xdx
(x - 1)3 (x - 1)
3
J e- 2xax +J e- Zxdx = (x - 1)2 (x - 1)3
u= e-2x , dv =
dx
(x - 1)3
du = - 2e-2xdx,
-1
IJ
·2(x- 1)2
e-2x
-~ 2(x - 1)2
e-2x
=
2(x - 1) 2
8.6 EJERCICIO .-
J xex J [(x + 1)""' 1]ex dx = (x + 1)2 (x + 1)2
J ex dx J ex dx = (x + 1)2 (x + 1)
u = ex du = ex dx
dx 1
dv =
(x + 1)2
. V=----
(X+ 1)
ex ~ X = l +-- - _e_+ c. X + 1 X+ J x+l
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida - 27 -
8.7 EJERCICIO .·
I - J dx = J 1 + .,¡-; -~ dx =
- 1 + ..f"i + ri:;:-; 2 ..f"i
= ,.!_ ( 1 + ..f"i) 2 - ,.!_ J ri:;:-; dx
2 2 ..{"i
A
. ')
X = t-En A hacemos dx = 2t dt
=} A = J ~ 1 + t: . 2t dt = 2 J 4 1 + t 2 dt t = Tan (u)
dt = Sec2 (u) du
= 2 J Secu·Sec2 (u)du = Secu·Tanu + LnlSecu +Tanul
t ~ l + t 2 + Ln I t + ~ 1 + t 2 1 •
= 5 ri:;:-; + Ln 1./7 + ri:;:-; 1
,.!_ { (1 + ..f"i ) 2 - [ ..f"i ri:;:-; + Ln I .Jx + ri:;:-; 1 ] } .
2
8.8 EJERCICIO .- I =, J x • Are Tan l + Sen x dx
1 - Senx
SOLUCIÓN.- Si hacemos
u = Tan·I 1 + Sen x
1 - Senx
u = Are Cos ~ 1 - ~en x ~ l - Sen x
Cos2u = 1 - Sen x 2 1 Cos u = - [ 1 + Cos (2u) J
2 2
=} Cos (2u) = - Sen (x) = Sen (- x)
=> 2u + (- x) = ; => 1 u = ~ + f I
J 11 X '12 13 I = x(~ + -)dx = _:_x + -x +e. 4 2 8 6
~ l+Senx
- 28 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
8.9 EJERCICIO ••
2 2 a
x = Cos 0 = 2 Cos - - 1
2
2x dx = - Sen 0 d0
----Tan2(..!.) = 1 - Cos0)
2 l+Cos0
Sen0(1 - Cos0)d0 1 f 2 9 -- Tan (-)d0
2 2
SUGERENCIA:
J 1 + x 2 J 1 - x 2
Are Cos ( ../2 ) - .===- + e J 1 + x 2
OTRO MÉTODO :
Expresando la integral como f xJ 1 - x
2
1 = _..:.._ ___ dx
(l + x2)3/2
y haciendo 1 + x 2 = 2Sen 2u
2x dx = 4 Sen u Cos u du , J 1 + x
2
Tan u = --::=====-J 1 - x 2
f Cot 2 u du = f ( Cosec 2 u - L)du = -Cotu - u + C
J 1 + x 2
Are Tan ( ) + e . = J 1 - x2
8.10 EJERCICIO .·
v ; -Are Sen ( ~ Tan x ) dx
f -'------;::===-
C os 2 x J Tan x - Tan 2 x
0 = Are Cos ( ..r:ra;;; )
= f V,ArcCos(~) dx
Cos2x J Tan x - Tan2x
=> Coso = ~ ,
Cap I Antiderivada e Integral Indefinida - 29 -
Cos 20 = Tan x - 2Cos 9 Sen 0 d0 = Sec 2x dx
f
9!/S (-2 c-~0 ~ d0)
I = --;:===~===="''=v-- = - 2 J e•fsae = - 160 96/s + e
J Cos2 9 - Cos4~
=~ -
S [ ~ 6/5 = - - Are Cos ( v Tan x ) ] + C .
3
8.11 EJERCICIO.· 1 = f x 112 Are Tan [ 2x112 (1 - x)- l/2 ] dx
{
u = Are Tan [
dv = x 112dx
du = dx
¡-; ¡-¡-:::--;- (3 X + l)
V = ]_XJ/2
3
l = 1-x312 Are Tan( 2 .J7 ) _ 1- f x 312dx
J ¡-¡-:::--;- J ..¡-; ¡-¡-:::--;- ( 3 X + 1)
J = J_x3/2 Are Tan( 2.J7 ) - 1- f xdx.
3 ~ 3 ~(3x+I)
A
A = J xdx
¡-¡-:::--;- (3 X + 1) • t
2 = l - X , X = 1- t 2
2l dt = - dx
?
A = - 2 J u- - 1) dt = - 2 f [ ..!_ + 1 ] dt
3t2 -4 _ 3 3(3t 2 -4)
A= _.!_t - 1- ¡ dt
3 9 t 2 -(4/3)
A = _ ]_t _]_ , 1 Lnl t - (2/./J) 1
3 9 2(2/./3) t + (2/./3)
A = - J_ t - fi Ln I ÍJ t - 2 1
3 18 Í3t+2
Por lo tanto ,
• 30 • Análisis Matemático 2 Cap. 1
1 2 3/2T -1 ( 2.r; ) 4 ,.----:: ../J ¡ fi ~ - 21 = - x an + - <i 1 - x + -- Ln + e
3 ~ 9 27 ../3~+2
8.12 EJERCICIO .•
J x
4 - l
I = --;=====- dx
x 2 J x 4 - x 2 + 1 J
(x 4 - x~ ) + (x 2 - 2) = "+\ dx
x2 J x4} x2 + 1
J J.x
4 - x2 + 1 = dx
x2 f
x 2 - 2 + --;=====- dx = A + B
x 2 J x 4 - x 2 + 1
Desarrollamos la primera integral
por partes: u = J x 4 - x 2 + 1 => du 2x
3 - X
J .x 4 - x 2 + 1
dx
dx => 1 dv =- V =
x2 X
A=-
Jx 4 -x2 +1 +J (2x 4-x2 )dx
X x 2 J x 4 - x 2 + 1
l =
J x 4 - x 2 + 1 +J (2x
4
- />+e/ - 2)
dx
X x 2 J x 4 - x 2 + 1
J x 4 - x 2 + 1 + 21 => I J x
4 - x 2 + l +e
X X
8.13 EJERCICIO .• f dx -xº (1 + x 0 ) 112
SUG.: ( Z O = l + x - n 41° + 1 --)
xn
SOLUCIÓN.- n zº - I dZ dx
xn+I
Cap. 1 Antiderivada e Integral [ndefinida
I = J ____ d_x ____ = _ f _z_n_-_1 _dz_,
1 + xº ¡ Z ( )1 n. xn + 1
= - f zº-2dz
xº
zn-·I
---+e
1- n
I xª + 1 (n - 1)/n
--·( ) +e
1 - n xº
8.14 EJERCICIO .• I = J--d_u __
u (uº+ 1)2
SOLUCIÓN.· t = u O + 1 n I n du dt = nu - du = n u -
u
du dt dt -=--=----
u n uº n (t - 1)
I = J dt I J dt = _ _!_ f (t
2
- 1) - t
2
dt
n(t - l)t 2 =-; · (t - l)t2 n (t - t)t2
• 31 •
= - ...!.. J ( t : 1 - -· - ) dt
n t- t - 1
= _ _!_ f [..!.. + +-- 1-]dt
n t t- t - 1
= ...!.. [ Ln I t - 1 1 - Ln I t 1 + ..!.. ] + e ,.
n t
...!..Lnl-u-º-1 +------ +e .
n uº+I n{l+u")
8.15 EJERCICIO.· = J -~(_x_2 _--•~)_dx __ _
(x2+ l)Mi X> 0 .
SOLUCIÓN.- x 4 + 1 = (x 2 + 1)2 - 2x2 . Podemos expresar la integral como
1 = J --:-:-___ (_x_2 -;::-=l=)=d=x======-
( x2 + 1 >2 - 1
xfi
fi x(x2 + 1)
- 32 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
I J (x2 - l )dx
= .f'i 2 2 2
fi x2 (x + 1) ( ~) - 1
xfi xfi
x 2 + 1
u= ---
- xfi ( '1 )d, x 2 2 Hacemos => du
1 = ~ J du
.., L. u~ u2 - 1
1 = fi AreSee(u) + C
=
. ')
1 x- + 1
r:::- Are See ( r:::- ) + C
..¡ 2 X "i 2
8.16 EJERCICIO .- J (x - 2)dx = --'--;;::::::==-X.¡;-:::-¡~ x 2 - X + 1 X > l.
SOLUCIÓN.·
~ x 2 - X+ 1 Sen0 = .....;_ ___ _
X
=> Cos0d0 (x-2)dx
De la figura, Cos a = .¡;-:::-¡ / x
1 = 2 J (x-2)dx ( ¡;-=-. ) 2x2 ~~x-2 ___ x_+_I
X
Cose d0
Cos0
J x 2 - X+ 1
2 Are Sen ( ) + C = 20 + e =
X
8.17 EJERCICIO .• J x
2 dx
1 = _(_x_C_o_s_x ___ S_e_n_x_)_2
SOLUCIÓN.- Sí hallamos la derivada
..!!... [ ----- ]
dx x Cos x - Sen x
xSen x
(x Cos x - Sen x)2
~ Xl - X+ l
, expresamos
Ca¡,. 1 Antidcrívada e Integral Indefinida - 33 •
1 _ J -x-. xScnxdx
- Sen x (:e Cos x - Sen x)2
e integramos por partes:
Senx - xCosx dx
Sen 2 x
{ d
u = -S-e:-x-x Se~x ~u =
v--------
- (x Cos x - Sen x.>2
:=:,. V=------
xCosx - Sen x
I = uv - [-Cosec (x)]dx ·¡ 2
X 1 = - Cot (x) + e I
Sen x ( x Cos x - Sen x) ·
8.18 EJERCICIO •• J ~ 2x + 1 -'----dx. X+ 1
SOLUCIÓN.- u 2 = 2x + 1 , 2u du = 2dx
x = (u2 - l)/2 , x + 1 = (u2 + l)/2
= J ~-udu
(u 2 + 1)/2
= u2 + l - 1 du
u
2 + 1
= 2 J [ 1 - -., 1- ] du
u-+ 1
2 [ u - Are Tan u ) + C
= 2~ 2x + 1 2Arc Tan~ 1x + 1 + e .
8.19 EJERCICIO •• Jo xdx r = - 1 eJx (1 - x)4 .
SOLUCIÓN.-
I = J [ex - 1) + 1]e- 3x dx
(x - 1) 4
= J [ e- 3x e- Jx ] - --- + dx = (x - 1)3 (x - 1)4
A + B
Por partes en la integral A :·
{
U = -(X --1)3
dv = e-Jx dx
-3 => du -- - - -- dx
(x - 1)4
1 -3::c
V= --e
3
• 34 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
1 = [ --
3
-(:---~-~-)3- - f ;;_r, dx] + f ;;!; dx
I =
,,
e-3x jº
3(x-1)3 ' .:_¡
1 1 3 ---e
3 24
8.20 EJERCICIO .•
Usaremos la identidad Cos (0) = 2 Cos 2 (0/2) - 1
~ 2 + ~ 2 + 2 Cos ( s _¡-; + 4) = ~ 2 + ~ 4 Cos 2 [ 7 (S .¡;'" + 4 ) ]
= ~ 2 + 2Cos[~(S_¡-; + 4)] = ~ 4Cos2 [+(Srx + 4))
l = f 2Cos[_!_(5_¡-; + 4)]·~ =
4 .¡-;
~ Sen [ _!_ ( s .¡-; + 4 ) ] + e .
5 4
8.21 EJERCICIO .• I = fo11/2 dx
J i 3 + 3 Sen x + Cos x
SOLUCIÓN.- Multiplicando al numerador y denominador por Sec2 (x/2) luego de
transformar el integrando al ARCO MITAD :
Sec 2 ( x / 2) / { Sec 2 ( 2... ) [ 3 + 6 Sen 2... Cos 2... + 1 - 2 Sen 2 .!.. ] }
2 2 2 2
Sec2 (x/2)/ [ 4(1 + Tan22...) + 6Tan2... -
2 2
? 2 X X ] · Sec-(x/2)/ [2(Tan - +3Tan- +2)
2 2
= J d[Tan(x/2)]
[ Tan ( 2... ) + 2- ] 2 - ( _!_ )2
2 2 2
---Ln l . 1
2(_1_)
2
[ Tan (x/2) + {3 /2) ] - (1/2)
[ Tan(x/2) + (3/2)] + (1/2)
2 Tan2 2...]
2
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida
= Ln I Tan(x/2) + 1 11 n/2 =
Tan (x/2) + 2
0
Ln(2.) - Ln(_!_)
3 2
8.22 EJERCÍCIO .• · J dx I = .,¡;-:¡:-:¡ + V X + 2
SOLUCIÓN:. x + 2 = t 6 • 6 = m.c.m. { 2; 3} • dx = 6t5 dt
1 = J 6t 5 dt
. t3 + t2
? J 6t3 = --dt
t+I
(6t3 + 6t2 )- 6t2 - 6t + (6t + 6) - 6 dt
t + 1
= J 6t 2(t + 1) - 6t(t· + '? + 6(t + 1) - 6 dt
· t + 1
= J [ 6t2 - 6t + 6 - - 6 - ] dt
t+I
= 2t3 - 3t 2 + 6t - 6 Ln I t + l j + C
- 35 -
1 = 2.,¡;-:¡:-:¡-3Vx+l +6V'x+2 -6Lrt1Vx+2 +il +C.
8.23 EJERCICIO .• J 2x
5
I = _x_
3
_+_x_ dx
SOLUCIÓN.- 2x4 = 2x4 + 2x2 - 2x 2 - 2 + 2
= 2x2 (x 2 + 1) - 2(x2 + 1) + 2
I = J~dx = J[2x2 -2 + --2-]dx
x 2 + 1 x 2 + 1
2 .
= -x3 - 2x + 2Tan- 1.(x) +e.
3 .
Análisis Matemático 2
I SERIE DE EJERCICIOS I
1.- Halle una antiderivada de cada una de las siguientes funciones
a) f(x) = 3x + 2
b) f(x) = x 2 + 2x3
2x + 3x4
c) f(x) = ----
x3
d) f(x) = 3Cos4x
e) f(x) = 2i- - 4-
x X
f) f(x) = Sen 2xCosx
g) f(x) = 4See2 2x
+ 4
h) f(x) = - SeexTanx
)
2.- Encuentre la función F (x) tal que:
i) f (x) = 4x Secx2 Tanx2
j) f(x) = 3Sec 4x
2
k) f (x) = -;:::=x==-
J l + 3x3
1) f(x)=2Sen(2x+S)
m) f (x) = 1
~ax+ b
n) f (x) = (x + t) J 2x 2 + 4x
o) f (x) = (a - bx)3/ 2
p) f(x) = (2x + 3)4 .
a) F'(x) = 3x2 F(I) = 2
b) F' (x) = 2¡/-; F(l) = 4
c) F' (x) = Sen 2x F(1t/J) = 1
d) F'(x) = xJ 9 - x 2 F (./s) = 1
I 2 e) F(x)=xSenx F (.¡-;;;7i) = 1/ 2 .
Cap. 1
3.- La pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) de ella es igual a 4x + 6 .
Si la curva pasa por el punto (1, 1) . dé una ecuación de ella.
4.- La pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) de ella es igual a Cos x .
Encuentre una ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (1!/2, 2) .
5.- En cada punto de una curva cuya ecuación es y = F(x) , o! y = 6x - 2
y en el punto (1 , 2) la pendiente de la curva vale 8 . Halle su ecuación.
6.- Halle las siguientes integrales indefinidas:
a) J dx
.J 1 - x 2 J
dx
d) -;====
.J9 - x2
Cap. l Antiderivada e Integral Indefinida
b) J dx
l + x 2 J
d:c
e) -
25 + x2
J dx c) ---;:===:=-
x .J x 2 - 1 J
dx
f) ----:::====-
X.¡ x 2 - 16
7.- FORMULAS BÁSICAS MUY ÚTILES .• Compruebe por derivación que, si a > o
a) 1 J -;:::::==dx ~
. .J 3 2_ x2
b) 1 J-dx-
. 3 2 + x2
c) f dx · ---;::== x./ x2 - ª2
d) 1 f-dx_
. x2 _ ª2
e) 1 f-dx_
. a2 _ x2
= AreSen(~) + e a
1 X = - Are Tan ( - ) + e
a a
1 X = - Are Sec ( - ) + e
a a
1 1 x-a I -Ln -- +e
2a x+a
= _1_Lnl x+a 1 + e
2a x - a
8.- Evalúe las siguientes integrales:
f ( 1 - x)
2
a) dx
x4
b) ---;::==-f dx
X J 9x2 -
f xdx e) .J & + x2
d) J Sen2x~ 1 + 2Cos2x dx
f) f dx
l + 4x2
g) f ¡-; (xl/2 - 4 )3 dx
i) f -;::=d=x=::;-
.J 16 - 9x2
- 38 - Análisis Matemático 2 Cap. l
e) f Sen x dx j) f dx Cos 2 x 4 + (x - 2)2
9.- Completando cuadrados halle las siguientes integrales:
a) f dx f) J dx x 2 - 4x + 8 ) Sx 2 - 20x + 23
b) f dx g) J dx x 2 - 2x + 4 J -5 - 12x - Jx 2
e) f dx h) J dx J 5 - 4x - x 2 (5x + 1) J 100x2 + 40x - S
d) J dx i) J 6dx J -26 - 16x - 2x 2 5x J 3x 2 - 4
e) f dx
(x + l) J x 2 + 2x - 8
.) J dx
1 ..Jx ¡;--:::-;
10.- Evalúe las siguientes integrales:
a) J xdx d) J dx 5 + X 4 X J x 4 - 1
b) J xdx e) J xdx 6 + (3 + 2x2 >2 J 9 - x 4
c) J Sec
2 x dx f) f dx 6 + 2 Tan 2 x 2x 2 + X+ 1
11 .- Evalúe:
a) f dx 2 b) J 5x + 2 dx .
6x - 12 - 4x ../Tx ~ 1 - 3x
12.- Evalúe las siguientes integralespor el método de Integración por PARTES:
a) J Are Cos x dx , b) J x Are Sec x dx , e) J x Are Tan x dx .
Cap. 1 Antiderivada e Integral indefinida - 39 -
13.- Halle: f xdx a) (2-?x)J/2
c) J J 16 - x 2 dx
e) --==-J dx
x2 J x 2 - 4
g) J x 2 dx
J 21 + 4x - x 2
i) f x .J 2 - Sx dx
14. Calcule las siguientes integrales:
f x
2 + l
a) -;:====-
J 3 + 2x - x 2
J dx c) --;::===-
x J 2x2 + Jx - 2
d) ----;==-J dx
x2 J x 2 + 9
e) J Sec 2x Tan 2x dx
J 2+sec
2
x
15. Resuelva las siguientes integrales:
f ¡;--:;-; a) dx .¡-;:::::-;
J l - Sen 2x c) dx 1 + Sen 2x
2
e) f -;::- : X= :- d X
J 1 - ·x 2
b) J .J 2x - 3
(2x - 3 ) 1/ 3 + 1
dx
d) f x¡;7. dx
f) f x 2 dx
(16 - x2)3/2
h) f x2J 9 - x2 dx
j) f J 2ax - x 2 dx, a> O .
b) f 1 + J x2 + l dx
(x2 + 1 )3/2
SUG: r = 1/u
SUG: x = 3/u
f dx f) .¡-;-:¡:¡ - .¡--;
b) f .¡-;:::::-; dx ¡;--:;-;
f
2
d)
X
dx
1 + X 2
f) J (Tanx + Cotx)2 dx
- 40 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
4
g) J Cos x d
Sen 2x x
k) fx'J1+xdJ
f dx m)
x2 ¡;::::-¡-
o) J du
u4Ja2 - u2
16.- Demuestre que la sustitución:
h) J Sen 4x dx
1) J/gdx
1 - 2x
f
s
. n) X dx
(1-x-4)3/2
) f dx
p .J (x - 1) (2 - x)
o 1/q m + 1
t = ( a + bx ) , donde -- es un
n
entero, racionalizará el integrando de J x m ( a + bxn) p/q dx .
17.- Halle las siguientes integrales:
a) J x 3 ~ 9 + x2 • dx
c) J x J 4 + x dx
18.- Evalúe las siguientes integrales:
a) J -:::=3==- dx
~ 1 - 4x 2
J x
2 ·dx
e)
( 1 + 2x )I/ J
e) Jx2 ArcSenxdx
f x
5 dx
b)
V 9 + x2
d) f x ~ 4 + x 2 dx
J x
2
- 2x + 8 b) dx X¡;-::¡
d) J dx
X J (X - 2) 2 - 4
f) J x Cos3x dx
2
h) J x + 2x dx .
3/ 3 2 1' X + 3X + 1
Cap. l Antiderivada e Integral Indefinida
19.- Halle:
J
(x-x3)1/3
a) dx
4
X
J dx b} --;::===-
x J Sx2 - 8x - 1
d) J Cosx dx
.J Sen 3 x V 1 + Sen 3 I 4 x
J dx e) --x3-~
J Senx dx f) ----Cos2x - 2Cosx + 3
CLAVE DE RESPUESTAS
1.
2.
3.
~ x 2 + 2x + e I
3 4 2 3 2 a) b) .!-+.!-+e e) --+-x +e·
3 2 X 2
1
d) 3 e) 3 1 f) 1 3 4 sen4x + e , --+-+4x+c 3 Sen x +e; X X2
g) 2 Tan 2x + C , h) -Secx+C . i) 2Secx2 +c ;
j) 3Tan x + Tan 3 x + C ; k) ! ~ 1 + 3x3 +e; 1) -Cos(2x + S) + e
m) .!. .J ax + b + e ;
a
n) -¡;-(2x 2 + 4x)3/ 2 + e ;
o) 2 5/2 p) -
1
-(2x + 3}5 + e . --(a - bx) +e
Sb 10
3 ,-- 3 Cos2x
a) F(x) = x + 1 ; b) F(x) = 4 ..¡ x ; c) F(x) = - - ---
4 2
11 (9 - x 2 )3/ 2
d) F(x) = - - ----
3 3
2
e) F (x.) = 1 - Cos x
2
2 y = 2x + 6x - 7 4. y :: 1 + Sen x .
5. y' = 3x2 - 2x + 7 3 2 y = X - X + 7X - S
6. a) Are Sen x + e b) Are Tan x + e c) Are Sec x + e ;
- 42 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
8.
9.
d) Are Sen .!... + C
3
I X I X
e) -Are Tan-+ e; f) -ArcSec- +e.
S S 4 4
a) 1 1 1 b) ---+---+e u= 3x = AreSee3x + e
3x3 x 2 x
e) J 8 + x 2 + e d) 1 3/2 - 6 ( 1 + 2 Cos 2x) + C
e) (1/Cos x) + e = See x :j f) u = 2x . 1 = -.!.. Are Tan 2x
2
+e
g) -.!.. ( x 312 ...: 4) 4 + e
6
h) .¡-; = u Tan2u = Sec 2u - 1 I = 2 Tan ¡-; - 2 .[-; + e
I Jx
= -ArcSen- + C
3 4
i) u = 3x ;
i) u=x-2
I X - 2
l = - Are Tan(--)+ e.
2 2
a) .!. Are Tan ( x - 2 } + e ;
2 2
e) ArcSen(~) + C
3
1 X - 1
o) .fi ~re Tan( .fi ) + e
1 ( X + 4 )
d) .JT Are Sen fi + e
e) .!.AreSec(~) + e ;
3 3
f) 1 Ar T .fs (x - 2) + C ,-:-:- e an r::-
.., IS ,.¡ 3
g) - 1- Ar s ( .fi <x + 2> ) e · .fi e en ..{, + . h) I A 5 2 es,+ 1) 15 re ec 3 + e
i) 3 cllx) -ArcSee -- + e
5 2
j) 2 Are Sen ( ¡-; ) + e .
3
2
2 X 2x
2 + 3 10. a) b) l --ArcTan-- + e .¡-¡; Are Tan +e
fi fi ¡-¡ · 4 6 .
e) 1 . ( Tan x 1 2 ../3 Are Tan ../3 ) + e d) -ArcSecx + C
2 3 3 2
l 2 2 4x + 1 e) - Are Sen ( ..!...... ) + e f) .¡-:¡ Are Tan ( ..{, ) + C
2 3
11 . a) 1 ( 4x - 3 - --Are Tan )
· 2.fT 2,/3
+e
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida
b) Hacer primero 3x = u2 ; luego u = Sen v
1 = f Are Sen .,¡-3"; - ~ .¡T; ~ 1 - Jx + e .
12. a) x Are Cos x - ~ 1 - x 2 + C , b) ~
2
Are Sec x
1 2 1 e) 2 (x + l)ArcTanx - 2 x +e.
13. a) 2 ( 4 - 7x ) - +e 49 J2-1x
b) Hacer 2x - 3 = u6 • y luego dividir u8 ¡ (u 2 + 1) •
1 = 3 [ (2x-3)
116
(2x-3)
5
/
6
Jix - 3
7 - S + 3
J x 2 - 1
2
- 43 -
+ e
- 6,J lx - 3 + Are Tan ~ 2x - 3 ] + e .
C) 8 Are Sen : + ~ J 16 - x 2 + C .
d) X= U2- J: 1 = 1..(x + 1)5/2 _ 1..(x + 1)3/2+
5 3
e) x = 2 See u :
f) X=4Senu :
~ x 2 - 4
J=...a..--- +c .
4x
1 = -;:=X==-
~ 16 - x 2
- Are Sen .!.. + e .
4
9) 2 ,, s . 33 i: - 2 / 2 x + 6 x - = ., enu . 1 =-Are Sen(--)-~ 21+4x-x (--)+C
· 2 S 2
h) 81 x x 2 / 2 -
8
- Are Sen 3 - 8 ( 9 - 2x ) ~ 9 - x + e .
i) 2 ( S/2 4 3/2 ·
125
2 - Sx) - 75 ( 2 - sx) + e.
J
.) a x - a x - a J 2 -
2
Are Sen(--)+(--) 2ax - x + e
a 2a ·
14. a) x - 1 = u = 2 Sen v :
X - 1
1 = 4AreSen(--)
2
1..~3+2.x-x
2 ·(x+3} +e
2
- 44 - Análisis MatemAtieo 2 Cap. 1
15.
b) x = Tan u = -;:::::::x= =-- + Are Tan x + e
~ 1 + .r2
c) 1 4 - 3.r d) J x 2 + 9 - fi Are Sen ( ) + e ; -
2 Sx 9.r
+ e
e) J 2 + Sec2 x +e; f) 2..c (X+ 1)3/2 + XJ/2 ] + C
3
a) aArcSen..3.-.r±7 + C;
a -
b) X 4 2 2 +e a Are Sen-+ a - x
a
c) Tan 2.r - x - See 2x + e ; d) X - AreTan.r + e
e) I r 2 -[ X 1 - X
2
- Are Sen x ] + e ; f) -2Cot2X + e
g)
Sen 2.r - 6.r - 4Cot x
4
+e h) ..!_ [ Jx - 2 Sen 2x + Sen 4.r] + e
8
S 3
i) l il Cos X - Cos X + e - [4.r - Sen4x] + e 32 S 3
k) 1 +X= u 2 ; l = 2._(I + .r)7/ 2 - ~(I + x)5f 2 + 2._(I + x)3f 2 + C
7 S 3
1) -}ArcSen2.r --}J 1 - 4x2 + e
2 m) x = 1/u , u = v • v = Sent:
I = 2..~ - AreSen-1- + e
X .,¡-;
n) u x 2 I x
2
u = Sen v : I = - [ -;::===- - Are Sen x ] + C
2 J 1 - x4
o) x = a Sen v ; 4 2 - 2 Cse v = Csc v Cse v
J ª2 - x2 2 2
I = - [ a + 2.r ] + e
3 .r3a4
p) Complete cuadrados:
11 solución: 11 = Are Sen (2.r - 3) + e
21 solución: r2 = 2AreTan~(x-.')/(2-x) +C
Cap. 1 Antiderivada e Integral Indefinida - 45 -
Note que: 2 Are Tan~ (x - 1) / (2 - x) = 2!.. + Are Sen (2x - 3)
2
2 2 5/4 2 J/2
17. a) -(9+x) (Sx-36)+C; c) -(4+x) (3x-8)+C
45 15
18.
19.
b) 2..[ (9+x2}8/3 _..!..!.(9+x2//3+.!!._(9+x2//3] + C'
2 1 5 2
d) ...!_(4 + x 2 /
12
+C.
3
a) 3 -AreSen(2x) + C
2
b) u= ~x-4 . X= u 2 + 4
I = 2 3/2 J -(x - 4) + 4 X - 4
3
e) u= 1 + 2.r .
. dx = 2u du
+ 8 Are Tan
~x-4
2
+e
1 = -3- (1 + 2x) 8/J - - 3-(1 + 2x/f3 + .2.._(l + 2x) 2/J + C
64 20 16
d) X ::: 1/u : l~-4 I = - + C
2 X
e) Integrar por partes, luego hacer: u = 1 - x 2
XJ 1 2 3/2 1 2 1/2
I = - Are Sen X - - (1 - X ) + - (1 - X ) + e
3 9 3
3 2 Cos3x
xSenx - .!..sen x + -Cosx + --- + e
3 3 9
f)
g) Hacer u = x 3 • luego u = 1 - v2
I = -2..(t - x 3 / 12 + 2._(I -x3 / 12 + C
9 IS
h) -}cx3 +Jx2 + 1) 213 + C .
a) v = l/x2 ( = _ 2_(_ 1 _ _ I )4/3 + e
8 2
X
b) U ::: 1/ X I = - Are Sen (
1 5J ) + e
X 21
e) Hacer x = u4 / 3 , luego u - 1 z 2 además
- 46 - Análisis Matemático 2 Cap. 1
= -s [ cx
3
/
4
- 1)
312 I I ¡
- ----- - 1' x 3/
4
- 1 + ArcTan 1' x 3 4 - l] + C
3 3
d) Hacer consecutivamente: u = Sen x , z = u 3/ 4 ; y como
z513 c1 + z)113 = z2 Vez +_1>1z • hacer 1,3= z10 +z>:
I = [ - 2 (1 + sJn 3 I 4 x ) 213 / ~ Sen x ] + e .
e) x - 1 = u~ u = Tan v:
I = LArcTan ~ + (Jx + l) ~ x - 1
4 4x2
+e .
J 1 - Cos x ) 1 ( a Tan x )
f) ../T Are Tan ( ../T + e ; g) -;¡;- Are Tan b + C .
Cap. 2
2
LA INTEGRAL
DEFINIDA
-1. INTRODUCCIÓN. -
- 47 -
La aparición de LA DERIVADA fue originada por el problema de
hallar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella. En este
capítulo se estudia LA INTEGRAL DEFINIDA como otra herramienta matemática
originada por la necesidad de calcular áreas en forma precisa.
Estos dos problemas, que parecen ser independientes, están muy
relacionados entre sí, como veremos en el capítulo siguiente.
2. 1 AREAS DE fIQURAS PLANAS
Analizaremos el problema de hallar el área de la región plana 9l.
acotada por la gráfica de la curva
f (x) = x 2 , por el EJE X , y
por las rectas verticales x = o
( EJE Y) y x = 2 .
' \
y
4 ------
' '2 f(x) = X
2 X
- 48 - · Análisis Matemático 2 Cap. 2
2.1 ESTIMADOS PARA EL PROBLEMA
a) Una aproximación por defecto se puede hallar usando una serie de rectángu·
los como en .la figura :
y
4 --------
f(3/2)
~
f (l)
f (1/2) -
O 1/2 1 3/2 2 X
Fig. (a)
y usaremos el hecho que f (x) = x 2 es no negativa sobre [o, 2 J.
En la figura (a) se ven tres rectángulos, aunque en realidad se han considerado
cuatro rectángulos (el primero tiene altura O) determinados por una división del intervalo
[o, 2 J en cuatro subintervalos que constituyen las bases de dichos rectángulos.
YJ
1 1 1 ~
1/2 1 3/2 2 X
X~ X¡ X2 X3 X4
Los subintervalos tienen, en este caso particular, la misma longitud: 1/2 y cuyas altu·
ras miden respectivamente
f(x
0
) = f(O) = O f(x1) = f(l/2) = 1/4
f(x 2 ) = f(I) = 1 , f(x3·) = f(J/2) = 9/4
Aproximamos por- defecto el valor del área A sumando las áreas de los
cuatro rectángulos:
Cap. 2 La Integral Definida
f(x0 )(x1 - x0 ) + f(x1)(x2 - x 1) + f(x 2 )(x3 - x 2 )
+ f(x3 )(x4 - x 3 )
4
= E f(x¡_ 1Hx¡ -x¡_ 1)
i=I
- 49 -
y
Área A¡ =
f(x¡_ 1Hx¡- X¡_ 1)
f(X¡ _ 1)
X
En este caso la soma de las áreas de los rectángulos A¡, ¡ = 1, 2, 3, 4,
tiene el valor siguiente
4 4
"'A,= "f(x. 1)(x. - X· 1) L, 1 L, 1- 1 1-
i= 1 i=I
= f(x0 )(x1 - x0 ) + f(x1)(x2 - x1) + f(.x 2 )(x3 - x2 )
+ f(x
3
)(x4 - x3 )
= (O)(+)+ (-¡- )( ~ ) + (1) ( +) + ( : )( ! )
= 14/8 :::: 7/4 = l.75
Por lo tanto
4
A~ E A¡
i= 1
4
""'f(x. 1)(x.- x . 1) = 7/4 = 1.75. L, 1- 1 1-
i = 1
Al conjunto de números { x
0
, x1, x 2, x3 , x4 } con x0 =o , x4 = 2. que
determina la división del intervalo [ o, 2] se le llama una PARTICIÓN del intervalo
[ o , 2 J y se le denota por q> .
A la suma que nos dio la aproximación por defecto el valor del área A se le
llama una SUMA INFERIOR de la función f CORRESPONDIENTE A LA PARTICIÓN DA-
DA q> DEL INTERVALO [ o, 2 J .
- 50 - Análisis Matemático 2 Cap. 2
b) Hallaremos otra aproximación por defecto dividiendo el intervalo ( o • 2 ]
en más subintervalos mediante otra partición <P1 más refinada y que conten-
ga a la partición anterior <P como la siguiente
:¡ 1 1 1 ' .l. .l. .l. 5 .l. .]_ 2 4 2 4 4 2 4
O= x' o x' 1 x' 2 x' 3 x' 4 x' s x' 6 x'· 7 xi= 2
\ j
<P = V~ O, x;, x;, xi , . . . , xi = 2 }
donde x~ = ..i.. , i = o 1 2 s 1 4 • , • .. . • •
..
X
Como vemos en la figura siguiente, la apr9ximación (por defecto) mejora en este caso.
y
o
t
x'
o
3/4
t
' Xi - 1
f(x) ::x2
t
x'.
1
5/ 4 6/4 7/ 4 2
t
x'
8
X
~hora nos hemos aproximado por defecto más aún pues conseguimos cuatro áreas adi-
cionales * en blanco de la figura anterior.
8 8
A ?: .E A¡ = E f ( x¡ _ 1)(xi - x; _1)
1 = 1 i= 1
donde todas las longitudes de las bases miden x '. x' = 1 - i - 1 1/4
Cap. 2 La Integral Definida - 51 -
A ?: f(o)J.. + re..!.+!. + tc2-)..!.. + rc2..>..!..
4 44 44 44
+ f(I)..!.. + reí.)..!.. + rc2..)J.. + fC..?..>J.. =
4 44 24 44
= ¡" [ 1 1 9 25 9 49 - 0+-+-+-+I+-+-+-]
4 16 4 16 16 4 16
= 140/64 = 2.1 .
Comparando los·resultados de (a) y (b) tenemos que A ?: 2 .1 ?: l.75
de modo que si continuamos refinando más nuestra nueva partición <P1 , haciendo cre-
cer ilimitadamente el número de subintervalos de [o , 2 ] , nos aproximamos cada vez
más al valor exacto del área A, pero por defecto, por construcción.
2.2 NOTA.. Para ambos casos (a) y (b) , en cada rectángulo con base en el sub-
intervalo [ x¡ _ 1 , x¡ ] , hemos determinado la altura como la imagen
f ( x ¡ _ 1 ) del extremo izquierdo x¡ _ 1 de dicho subintervalo.
Como la función f (x) = x 2 es creciente sobre [o, 2 J , esto deter-
minó que la aproximación sea POR DEFECTO.
e) Calcularemos ahora el área A en forma EXACTA mediante un proceso de
LÍMITE tomando previamente una partición genérica del intervalo [ o , 2 J
{J! = { x
0
:: 0 , X ¡ , • . • , X¡_ I , X¡ , • . . , X
0
= 2 }
l
donde X¡ :: i =0,1,2, . . . , n .
Según esto: X = 2(..Q_) = 0 1 o n
X = 2(~ ) = 2 ,
D n
• 52 -
n
A > E A¡
i=I
=
n
Análisis Matemático 2
_s_(i _ 1)2
n3
E f(x . 1)(x. - x. ) . 1- 1 1-1 •=•
n n 8
Cap. 2
i=l,2, ... ,n
E _s_u _0 2 = E (i ..:.. 1)2 ¿por.qué?
i = 1 n 3 3 n í= 2
8 n-1
-- "' .2 -"---, =
n
3
i = 1
...!_ (n - J) n (2n - 1)
n 3 6
Haciendo crecer el número n de subintervalos ilimitadamente e n -t
00
)
obtenemos el valor exacto del área A :
n
A= lfm E A. == lfm _s_ (n - l)n(2n - 1)
n -too i = 1 ' n -too n3 6
A= lím
P-+oo
.!.c1 - ..!..H2 - ..!..> =
3 n n
~(1)(2) ::;
3
8
3
2.3 NOTACIÓN .• A la p 1· "6 m' d I ar 1c1 n -s: e a parte (b) que contiene a la parlición P
se le llama uñ REFINAMIENTO de p .
A las diferencias ( x¡ - x¡ _ 1) se le,!i denota
4X¡ =: X; - X¡ - I
y miden las longitudes de los subintervalos [ x¡ _ 1 , x¡ J .
En los ejemplos anteriores se eligieron las medidas .:l. x. de un
• 1
mismo valor constante., pero esto no siempre tiene que ser así.
d) A _continuación calcularemos el valor exacto del á.rea A por un proceso de lí-
mite pero aproximándonos POR EXCESO . Ello requiere tomar los rectángulos
de la forma siguiente :
Cap. 2 La Integral Definida 3 -
y
Área A. = f (x. )(x. - x. 1) I l I l -
o Xi-1 X¡ 2 X
donde la altura del rectángulo cuya base es el' subintervalo [ x ¡ _ 1 • x ¡ ] se tomó
como la imagen f (x¡) del extremo derecho x¡ de dicho subintervalo. Esto es asl
pues en este caso, la función f es creciente sobre [ o , 2 J .
, ... , xn = 2} Sea <P = { x 0 = o, r¡ , x 2 , • • • , r¡ _ 1 • x¡
una partición del intervalo [o, 2 J tal que ( como en el caso (c) ) :
i
X, =: 2(-)
, n i=0,1 , 2, ... ,n.
A¡ = f(x¡Hr¡ - xi_ 1) = f(2!_).2. = n n
n n g¡2
A~ E A¡::; E 8 ~ .2
i=I i=I n3
- L..., l
n
3
i = l
n
A= lim E A¡=
n-+oo i=l
=
= 8 n(n + 1)(2n + 1)
n3 6
8 n(n + 1)(2n + 1)
llm
n-+oo n3 6
lim ~(l + ..!..)(2 + ..!..) =
n-+oo 3 n n
8
3
Vemos en (e) y (d) que ya sea que nos aproximemos por exceso o por defecto para
encontrar el valor exacto del área _A , tuvimos necesidad de emplear un proceso de lí-
mite cuando el número n de subintervalos crece ilimitadamente: n -+ oo .
- 54 - Análisis Matemático 2 Cap. 2
2.4 NOMENCLATURA. A las sumas que aproximan el valor del área A por EXCESO
se les llama SUMAS SUPERIORES de f correspondientes a
una partición <P del Intervalo {o, 2 J.
3 . ( PARTICIONES . SUMAS ,DE RIEMANN. 1
3.1 DEFINICIÓN.· Sea (a, b J un intervalo cerrado con a < b ; el conjunto de
números { x
0
, x 1 , ••• , xn} e [a, b J es denominado una
PARTICIÓN <P de [ a , b ) si
(
a = \x0 < x 1 < x 2 < • .. < Xi -1 < X¡ < .. • < XD = b
y se le denota p~
<P = {x
0
, x1 , ••• , xn} = 0,1,2, ... , D}
Esta partición _determina una división del Intervalo [ a , b J en n subinter-
valos { xi _ 1 , x ¡ J , i = l , 2 , .. • , n .
A la longitud de cada subintervalo se le denota por
i=l,2, ... ,n.
Cuando estas longitudes tienen la misma medida
b-a
A X. = (x · - X· I) = --
1 , 1- n 'vi=l,2, . .. ,n
se dice que LA PARTICION ES REGULAR • y en tal caso:
X¡ = a+ '·(~) n
Por ejemplo
x
0
= a+ O = a
i=l,2, ... ,n
b-a a+ n(--)
n
b .
Cap. 2 La Integral Definida - 55 -
3.2 DEFINICIÓN.· Si el intervalo cerrado [a, b l' consiste de un sólo punto a
(a = b) , se denomina una PARTICIÓN de [a, a J al conjunto
unitario
<P = { x
0
= a , x1 = a } = {a} .
Esta partición determina en [a, a J un único ºsubintervalo' [x
0
, x1 J = [a, al
de longitud cero: A x 1 = x1 - x 0 = a - a = o .
3.3 DEFINICIÓN.· Se llama NORMA de la partición <P = { x
0
= a , x
1
, •••
.. . , x = b } de [ a , b J y se le denota por I IP I a la n
mayor de las longitudes A x; :
IIPI = máx{ Ax¡= (x¡ - X¡_ 1)/ i = 1, 2, .. . , n }
= máx{ (x1 - x 0 ), (x2 - x 1), .. . , (xn - xn_ 1} }.
U EJEMPLO .• Dado el intervalo (o, s J y la partición
I J 9 } <J! = { o, -, 1, -, 2, 3, -, 5
4 2 2
calculando las longitudes A x ¡ de diferencias consecutivas vemos
que NORMA DE ¡p= 1 <P 1 = ~ - 3 = 2.. = 1.5 .
2 2
3.5 EJEMPLO .• Dado el intervalo ( a , b J • a < b • y la partición REGULAR
donde
b-a
X¡ = a + i (--) , i = O, 1 , .•. , n
n
x
0
= a , x
8
= b , entonces b-a Ax. = x. - x. 1 = ---. 1 1 1-
0
b-a
¡... ---e
n
y la norma de la partición es 1 <P 1 ·= (b - a)/ n .
3.6 DEFINICIÓN.. Si <P = { x¡ / i = o, 1 , .•• , n } y <1'1 = { xi / i =
= o , 1 , ... , m } son dos particiones de C a , b ] tales que
<P e <P1 ( es decir que cada punto de división X¡ de <P es
- 56 - Análisis Matemático 2 Cap. 2
también un punto de <P1 ) entonces a la partición <P' se le llama
un REFINAIIIENTO de la partición <P •
3.7 EJEMPLO •• Dado el intervalo [ 1 , s J , la partición .
<P
1
= { 1 , I.S , 2.2 , 3 , 3.S , 3.8 , 4.2 , 4.7 , 5 }
es un refinamiento de <P = { 1, 2.2, 3, 3.8, 4.7, s } pues <P e cp' .
Además, l<PI = 1, 2 • l<P'I = 0,8 .
3.8 SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES
~
y = f (x) es una FUNCION ACOTADA
[a, b] • es decir, i existen dos números m y M tales que
sobre el intervalo
'-2' f (x) ~ M , V x E (a, b]
entonces dada una partición <P = { x í ¡ i = o , 1 , ... , n }
define (para i = 1 , 2 , .. . , n ) el número
M
1
.(f) = Sup{ f(x)/ xe[.x. 1 ,x.J}
• - 1
de [a, b J se
como el SUPREMO (o Menor Cota Superior ) de los valores de la función ( Supremo
de las imágenes) sobre el intervalo C x . 1 , x . J ; y se define el n(,mero 1- 1
m¡(f) =. lnf { f(x) / X E [X¡_,, X¡]} '
como el INFIMO (o Mayor Cota Inferior ) de los valores de la función f sobre el inter-
valo [ x . 1 , x. J 1 - 1
y
M
m m¡CO
a b X
Cap. 2 La Integral Definida - 57 -
3.9 NOTA. Ax¡ = Cx¡ - x¡ _ 1) ~ o siempre , por definición de partición.
3.10 EJEMPLO.• Oadalafunción f(x) = x1 • xe(0,2] y la partición
<P = {o . 3 1 . 2 }
2 4
t t t i t
Xo x, x2 X3 X4
M
1
(f) = Sup{ f(x)/ xe[x
0
,x1 J}
= Sup{ x 2 / x E [O , 1/2) } = Sup (0 , 1/4) = 1/4
m
1
(f) = lnf { f(x) / x E [ x
0
, x1 ) }
= Inf { x 2 / x E [O , 1/2] } = Inf [O, 1/4] = O
M3(f) = Sup { f(x) / x e [ x2 , x 3 ) }
= Sup { x 2 / x E ( 3 / 4 , 1 ] } = Sup [ _!_ , l] = 1
16
m3 (f) = lnf { f{x} / X E [ X2 , X3 ] }
= Inf { x 2 / x E [3/4, l] } = lnf[..!.., 11 = ..!..
16 16
y
f(x) = x 2
o 1/2 3/4 1 2 X
3.11 EJEMPLO .· Dada la función f (x) = x2 . x E [ -2, 2] y la partición
• 58 • Análisis Matemático 2 Cap.2
M1(f) = Sup { f(x) / X E ( X 0 , XI )
2 = Sup{ X / X E [-2, -1/4]
m1CO = lnf { f(x) / X E [ X 0 , X¡ ]
= ~M { x 2 ¡ x E [-2 , -1/4)
M 2 (f) = ~qp { f(x) / X E [ x 1 , x 2 ] .......___
=Sup{x2 / xe(-1/4,3/4]
m 2 (f) = lnf { f(x) / X E [ X¡ , x2 ]
. 2
=lnf{x/ X E [-l/4, 3/4)
y
4
}
2 }
t
} 1 = Sup [-, 4] = 4
16
}
} 1 1 = lnf (-, 4) = -
16 16
}
} 9 9 = Sup [O,-]= -
16 16
}
} 9 = Inf [O,-] = O
1
• ---- __ ...
1 ' •
1 1 1
1 1
1 1
·;~;):
2 1
16
í (x) = x 2
-2 -1/4 3/4 4/3 2 X
3.12 NOTA.. Para el subintervalo [-1/4, 3/4 J hemos utilizado la propiedad de
4
los números reales que indica que
::;x<l. =>
- 4
9
16
=> f(x) = x 2 E [O, 9/16} = f([-1/4, 3/4))
Cap.2 · La Integral Definida • 59 •
3.13 DEFINICIÓN •• Dada una función f acotada sobre [ a, b J entonces existen
M¡(f) y mi (f) para cada i = 1, 2, .. . , n , tales que
m s m¡(f} 5 M¡CO s M correspondientes a la PAR-
TICIÓN P = { x ¡ / i = o , 1 , ... , n } del intervalo [ a , b ] , se define la
SUMA SUPERIOR de f correspondiente a la PARTICIÓN <P de [a, b] al número
n
U(f,P) = " M . (f)(x . - x. 1) = LJ 1 1 ·-i= 1
n
" M.(f} · Ax. LJ 1 1
i=I
y la SUMA INFERIOR de f correspondiente a la PARTICIÓN <P de C a, b J a
n n
L(f ,<P) = " m.(f)(x. - x. 1) = LJ 1 1 1-
i=I
¿. mi(f) • Ax¡
i=I
A ambas sumas se les denomina SUMAS DE RIEMANN.
3.14 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA .• Cuando f es una función no negati -
va ( f ~ o ) estas sumas tienen una interpretación geométrica sencilla.
m¡(f)
m
y
La suma superior
n
U(f,<P) = ¿ M¡(f)(x¡-X¡_ 1)
i= I
M
X
n
E M¡(O·AX¡
i = 1
representa la suma de las áreas de los rectángulos POR EXCESO sobre cada subinter-
valo [ x. 1 , x. ] de altura M. (f) mientras que la suma inferior L(f, <P) ,- 1 1
- 60 - Análisis Matemático 2 Cap.2
n n
L(f,P) = E m¡ (f)(x¡ - X¡_ 1) = E m¡(f) · Ax¡
i =I i =I
representa la suma de las áreas de los rectángulos POR DEFECTO sobre el subinter-
valo [x¡ _,, x¡ ] de altura m¡(O .
3.1 4' NOTA .. Si la función f es creciente se toman los valores mínimos m¡(O
en el extremo izquierdo x¡ _ 1 , y los valores máximos M¡ (f) en
·el extremo derecho x¡ del subintervalo [ x¡ _ 1 , x¡ 1.
3.15 PROPIEDADES DE LAS SUMAS DE RIEMANN .•
1.- m(b - a) ~ L (f, <P) 5 U(f, P) 5 M(b - a)
2. Si <P' es u refinaQ1iento de <P • es decir <P e <P1 entonces
L(f,P) 5 L f,P1) 5 U(f,<P1 ) 5 U(f,P)
por contener P 1 más puntos que la partición cp .
.,
1
Cuando se añaden puntos a una partición, las sumas inferiores aumentan su valor.
f
x0 x1 x2 X0 x0 r x 1 s x 2 t xn
Cuando se añaden puntos a una partición, las sumas superiores tienden a decrecer.
Cap. 2 La Integral Definida - 6 1 -
4. j u INTE6AA.L DEFINIDA I
Sea <PT el conjunto de todas las particiones posibles
<P de un intervalo [ a, b] . Siendo f una función acotada sobre (a, h), existen
números m y M tales que
m 5 f ( x) ::; M , para todo x E ( a , b ] .
Además ya vimos que para cada partición P en <PT se cumple que
m(b - a) :::; L(f, <P) 5 U(f, <P) ::; M(b - a)
Esto indica que el conjunto { L ( f, <P) ¡ <P E <P T } de todas las sumas infe-
riores obtenidas tomando todas las particiones posibles <P del intervalo [a, b J
está acotado superiormente por el número M (b - a). Por lo tanto, el conjunto
{ L ( f, cp) I <P E <P T }' tiene un SUPREMO (Minima Cota Superior).
Asimismo, el conjunto { U(f, P) ¡ p E <PT } de todas las sumas supe-
riores tiene un ÍNFIMO (máxima cota superior).
A estos valores Supremo e Intimo se les denota de una forma especial.
4.1 DEFINICIÓN .•
b
f a f = Sup { L(f, 'P) / <PE q:>T }
lnf{ U(f, c:P) / p E (PT}
INTEGRAL INFERIOR
desde a hasta b
INTEGRAL SUPERIOR
desde a hasta b
4.2 LEMA .. SJ f está acolc1da en [a, ·b J , y m ::; f (x) ::; M para todo
x E [ a , b J , entonces
lll(b-a)::; J!r 5 J: f $ M(b-a)
PRUEBA.- Por la propiedad de las sumas inferiores y superiores
1: f = Sup { L(f, IP) / <PE <l'y } ~ L(f, IP) ~ m(b - a) .. . (a)
- 62 • Análisis Matemático 2 Cap. 2
-b fa f lnf{U(f,<P)/ <Pe<PT} :5 U(f,<P) :5 M(b-a) ... (p)
para cada partíción <P de [ a , b J .
Sean <P1 y <P2 dos particiones cualesquiera de (a, b) y sea <P = <P1 u <P2 un
refinamiento de ambas particiones <P1 y <P2 ; por lo tanto
=>
L(f, P1) $ L(f, <P) $ U(f, <P) $ U(f, P2 )
L(f, P
1
) $ U(f, P2 )
Fijando <P
2
, las sum_§ls inferiores L ( f, <P1) para cada partición <P1 e <P T , están
acotadas superiorm(nte por u ( f, <P2 ) ; _ asi, ~I conjunto { L (f, P1 ) / P1 e <P 1 }
tiene un Supremo (~nima cota 1t1perior) tal que
Sup{L{f,Pl)/ <P,e<PT} :5 U(f,<P2>
es decir [ah f s U(f, <P2 ) (r)
De esta última desigualdad vemos que f ab f es una co-
ta inferior de los U(f, P2 ) para cualquier partición <P2 e <PT . Por lo tanto el
conjunto { U (f, P2 ) / <P2 e <P1 } tiene un lNFIMO (máxima cota inferior) tal que
es decir ... (ó)
y la conclusión del Lema se sigue de (a) , ( p) y ( 8) .
4.3 DEFINICIÓN.· Una función f se dice que es INTEGRABLE SOBRE [a, b) si f
está acotada sobre [ a , b ] y si
b -b
Ía f = Ía f
y en tal caso , a este valor común se le llama LA INTEGRAL DEFINIDA
(DE RIEMANN) DE f SOBRE [a, b] y se le denota por: j b f
a
Otra notación es
b b J f(x)dx = J f .
a a
Cap. 2 La Integral Definida - 63 -
4.4 NOTA .• El símbolo ' x ' de la igualdad anterior es un SIMBOLO MUDO o
VARIABLE MUDA y puede ser reemplazado por cualquier otro simbo-
lo conveniente
b b J f ::: J f(x)dx =
a a .
b fa f(t)dt b = fa f(u)du
como
J
rt/2 1t/ 2 ;e/ 2 ;c/2
= J
O
Cos x dx = J
O
Cos t dt = J
O
Cos u du Cos o
b
En la notación J f , elsímbolo J es una s estirada y representa un sim-
a
bolo de integración, o de sumatoria generalizada.
El simbolo J ab f (x) dx representa la INTEGRAL de la función cuya re-
gla de correspondencia es f (x), para los valores x variando desde a hasta b.
4.5 TEOREMA .• Si a = b, y f está definida en x = a :
a J f(x)dx = O .
a
PRUEBA .• El intervalo [ a , a ) contiene un solo punto x = a • de modo que
cualquier partición P de [ a , a J tiene la forma
<P = { x
0
= a , x1 = a }
de modo que el conjunto de imágenes { r (x) ¡ x e [a, a J } = { f (aj } con-
siste de un solo punto f (a) el cual coincidirá con su supremo y su Intimo .
m
1
(f, P) = Ínf{ f(;) / x E [a, a] }
M1 (f, P) = Sup { f(x) / x E [a, a] }
f (a)
f(a)
1
L(f, P) = E m¡ (f, P) 4X¡
i= 1
m
1
(f, <P)(x
1
- x
0
)
1
U(f, P) = ¿ M¡(0 4 X¡
i= 1
M1 (f, <P)(x1 - x 0 )
f(a)(a - a) = O
f(a)·(a - a) = O
- 64 - Análisis Matemático 2
J a f _a = Sup{ L(f,P)/ Pe<.PT} = Sup{O} = O
= ínf{ U(f, P) / Pe <PT } = Ínf{O} = o
J a f = J a f = Jaª f = O •
a -ª
Cap. 2
4.6 TEOREMA .• Si f es integrable sobr~ [ a , b ] y P una partición de ( a , b ]
entonces
Jab f m(b - a) $ L(f, P) $ $ U(f, P) $ M(b - a)
Asumiendo que f (x) = 1/x es integrable sobre [ 1, 4] , aproxi-
mar el valor de J 4 ..!... dx .
1 X
SOLUCIÓN .• Tomemos la partición P = { 1, .l., 2, 2.., 3, 4 } .
2 2
Como f (x) = 1/ x es decreciente y continua sobre [ 1, s] enton- .
ces los ínfimos de f sobre [ x. 1 , x . ] son alcanzados para el extremo derecho ,_ 1
y los supremos en el extremo Izquierdo x .
1
•
1-
y
M = f(I) = 1
m = f(4) = 1/4
M
m
o 3/2 2 5/2 3 4
i o 1 2 3 4 5
X¡ 1 3/2 2 5/2 3 4
f(x¡) 1 2/3 1/2 2/5 1/3 1/4
X
Cap. 2 La Integral Definida
1/2 j 112 ¡ 112 l 112 1
5
L(f, P) = E m¡(f)Ax¡
i=I
5 5
U(f,P) = E M¡(f)Ax¡ = E f(x¡ _ 1)Ax¡
i=I i=I
L(f,P) = 2. • ..!..+..!.. • ..!..+2. . ..!..+..!. • ..!..+..!..·I l. 20
32 22 52 32 4
U(f, P) l · ..!..+2. . ..!..+..!.. • ..!..+2. • ..!..+..!..·I = l.616
Como
2 32 22 52 3
L(f, P) $ J b ..!... dx $ U(f, P ,) , aproximamos
a X
J
b ¡
-dx
a X
..!..[L(f,P)+U(f,(1')] = 1.408
2
b . :>
y en general: I fa f(x)dx - : [L(f , P)+U(f,P)] 1
- 65 -
$ ...!.. [ U(f , P) - L(f, P) ]
2
Esta última cantidad es una cota superior del error cometido al aproximar el valor de la
integral por ...!...[ L(f, P) + U(f, P)].
2
14 1 -dx I X
Así en .el ejemplo anterior el error cometido al aproximar
= 1.408 , es menor o igual a la cota ..!.. [ 1.616 - 1.20 ] = 0.208 .
2
Más adelante probaremos que el valor exacto de esta integral es
Ln ( 4) = 1.386 y aquí lo hemos aproximado por 1.408 cometiendo un error de
1.408 - t .386 = 0.022 que está muy por debajo de la cota del error de aproxi-
mación 0.208 .
De este modo se cumple el TEOREMA [4.6] en este caso
1.20 = L(f, P) $ f 4 - 1 áx ·= 1.386 $ U(f, P) ::: 1.616
I X
Como M = f(l) = 1 , m = f(4 ) == 1/4 , a = J , b = 4
- 66 - Análisis Matemático 2 Cap. 2
1
m(b - a)= (-)3 = 0.75 , M(b - a) = (1)3 = 3
4
entonces se verifica todo el TEOREMA [4.6]; es decir,
m(b - a) $ L(f, <P) $ J 4 ...!_ dx $ U(f, <P) ~ M(b - a)
I X
donde m = l / 4 , M = l (ver la figura) :
($ f 4 1 1.20 $ - dx I X = 1.386 $ 1.616 $ 3 .
1
4.8 EJEMPLO .• Si f es integrable sobre [ o , 9 ] , demuestre que
osf 9 2 .r;c1x5 9.
0 1 + X
SOLUCIÓN .- Hallaremos los valores m y M , mínimo y máximo de
f(x) = 4 ..¡-; sobre [ o·, 91:
l t X
Como f' (x) = 20 - x) , PUNTOS CRITICO$: x = O, l, 9 , entonces
.[; (1 + x)2
{
creciente para x e [ o , 1 J
f (x) es
decreciente para x e [ 1 , 9 ]
M = f(I) = 2, 6 m = mín { f(O) = O, f(9) = - } = O
5
Además , con a = o , b = 9 :
19 4.[; dx O = m(b - a) $ ~ M(b - a) O l + X (2)(9) = 18 .
4.9 TEOREMA .• Una función acotada f es integrable en ( a , b] si y sólo si
para cada e > o siempre es posible hallar una partición
<P , que depende de e, tal que
U(f, <P) - L(f, <P) < e .
Cap. 2 La lntegral Definida - 67 -
4.10 TEOREMA .• ' Correspondiente a una partición P de [a, b J , entonces para
cualquier elección de xk E [ xk- l, xk J :
n
a) L(f,P) $ E f(xk)(xk- xk_,) $ U(f,P)
k=I
b) Si f es integrable entonces
b n
I J f(x)dx - E f(xk)(xk- xk-1) 1 $ U(f,P)-L(f,<P)
ª k= 1
4.11 EJERCICIO.. Asumiendo que f (x) = 1/ x es integrable sobre ( l, 4 J uti-
lice la partición <P = { l , 2.., 2 , 2.. , 3 , 4 } para aproximar et valor de la integral
2 2
J
4 l
-dx =
I X
con n = s donde ik es el punto medio del subintervalo [ xk-l' xk J
SOLUCIÓN .- f (x) = ...!_
X
k
xk
rcik >
Axk
f Ci1)
f (i2)
f (xs)
o
y
l
S/4
4/5
1/2
2 3 4
7/4 9/4 11/4
4/7 4/9 . 4/ll
1/2 1/2 1/2
3/2 : 2 5/2 3
ysegún(b) del Teorema [4.11] lasuma
, k = 1, . . . , S
5
7/2
2/7
1
4 X
- 68 - Análisis Matemático 2 Cap.2
4 4 4 4 2
-+-+-+-+- = 1.3754
10 14 18 22 7
es una aproximación al valor de la integral indicada; y según (a) del mismo,
el error cometido no excede el valor de: (ver ejemplo 4.7)
U(f, P) - L(f, P) = 1.616 - 1.200 = 0.416
Más adelante, veremos que el valor exacto de la integral es L n ( 4) = 1.386 y lo
hemos aproxim~ 1.3754 cometiendo un error de Ln (4) - l.3754 = 0.0!06
que está muy ppr deba/o de la cota superior del error (TEOREMA 4.11 ) dada por
U(f, <P) - L(f, <P) = 0.416
4.13 TEOREMA .• Si f es no decreciente ( o no creciente) sobre [ a , b ) , en-
tonces f es integrable sobre [a , b] .
PRUEBA .- Demuestre que para cada partición P :
U(f,P)-L(f,P) $ IPllf(b)-f(a)I
donde I P I es la norma de la partición P .
4.14 TEOREMA •• Si f es integrable sobre [ a , b] , entonces la curva grá-
fica de f sobre (a, b J tiene ÁREA CERO.
4.15 TEOREMA .. Si f(x) = .o , para todo x E [a, b] excepto un núme-
ro finito de puntos, entonces
b J f (x) dx = O .
a
4.16 EJEMPLO •• Si f es la función definida por
{
l , x=l , x=2
f(x)= O , xE[-l,6]-{1,2 , 4 , S , 6}
2, x=4,x=5 , x=6
6
entonces,pore1Teorema4.15 J f(x)dx =o .
-1
4.17 TEOREMA.. Si f es diferenciable sobre [a, b] y si I f' (x) 1 $ k
para todo x E [ a , b] , entonces
a) Para cada partición P de [ a , b J :
U(f , <P) - L(f , P) $ k l<Pl(b - a) .
b} f es integrable sobre [ a • b]
Cap. 2 La Integral Definida - 69 -
c) 1 j bf(x)dx _ _!_[U(f,P)+L(f , P) J 1 $ _!_kl<Pl(b-a) ·
a 2 2
5. ÁREA E INTEGRAL DEFINIDA
En esta sección consideraremos únicamente
funciones no negativas f ~ o sobre [ a • b J . Definamos en el plano la región
~ = { (X, y) / X E [a, b) , Y E ( 0, f(X)] }
denominada la región debajo de f desde a hasta h.
. f (x) f ~ o
a X b X
Así, ~ es la región acotada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales
x=a , x=b.
Denotamos el área de la región ~ por:
I Área(~) = A: (f} 1 , f ~ o
para funciones f acotadas y no negativas sobre [ a , b J .
Debemos definirla de modo tal que satisfaga las siguientes tres propiedades:
1) Si o $ . f (x) $ g (x) para todo x e [a , b] entonces
y
a b X
- 70 - . Análisis Matemático 2
2) PROPIEDAD ADITIVA: Para e E [ a , b ] :
y
A: (f) ::: A: (f) + A~ (f)
I
a
3) Si f es la función constante f (x) = e , e 2:: o :
y
Cap. 2
e b X
Te I A:(f) = C·(b-a) 1
e
l +---K...."-'-"-~'-4---.
a b X
5.1 DEFINICION .• Sea f 2:: o e integrable sobre { a , b ] , entonces el área bajo
la gráfica de f desde a hasta b se define como
b J f(x)dx
a
6. ElISTENCIA DE FUNCIONES INTEGRABLES
Ya sabemos que las funciones decrecientes y las funciones
crecientes son integrables; ahora veremos que las funciones eontinuas sobre un in-
tervalo cerrado [ a , b ] son también integrables sobre [ a , b ) .
6.1 TEOREMA .• Si f es una función continua sobre [ a, b] entonces f
es integrable sobre [a, b] .
6.2 TEOREMA .• Si f es continua sobre ( a , b J
e > o existe 6 > o tal que
I f
b n
. a f(x)dx - k"ft f(.i\Hxk- xk_1)
, entonces para cada
< e . para·
Cap. 2 La Integral Definida • 71 •
todapartición <P con l<PI < 6, y toda elección de xk E [xk-1' xk].
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