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Clase #18
Aplicaciones: Fuerza y Trabajo
Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Fuerza y Trabajo
El concepto de trabajo se introduce para medir el efecto acumulado de una fuerza a]
mover un cuerpo de una posición a otra. En ci caso más sencillo, una partı́cula se mueve
a lo largo de una ilnea recta por la acción de una fuerza constante. El trabajo realizado
por tal fuerza se define como ci producto de la fuerza por la distancia durante la cual
actinia. Asi, si la fuerza constante tiene magnitud F y la partı́cula se mueve a lo largo de
la distancia x, entonces ci trabajo realizado por la fuerza está dado por
W = F · x
Definición . [Trabajo] Sea f una función continua sobre un intervalo cerrado [a, b] y f (x)
unidades de la fuerza que actúa sobre unobjeto en el punto x del eje x. Si W unidades es
el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de a hasta b, entonces
W = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
f (x∗i )∆x =
∫ b
a
f (x)dx
Ejemplo 1. Cuando una partı́cula se ubica a una distancia x pies del origen, una fuerza
de x2 + 2x libras actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla desde x = 1 hasta
x = 3?
Solución Sea f (x) = x2 + 2x. Luego el trabajo que se efectúa es
W =
∫ 3
1
(
x2 + 2x
)
dx =
[
1
3
x3 + x2
]∣∣∣∣3
1
=
[
1
3
(3)3 + (3)2
]
−
[
1
3
(1)3 + (1)2
]
=
[
1
3
(27) + 9
]
−
[
1
3
+ 1
]
= (9 + 9)−
(
4
3
)
= 18 − 4
3
=
54 − 4
3
=
50
3
≈ 16,66
1
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Ası́, el trabajo realizado es 503 ≈ 16,66 pies-lb.
Definición . [ley de Hooke] la ley de Hooke establece que la fuerza requerida para man-
tener un resorte estirado x unidades más de su longitud natural es proporcional a x:
f (x) = kx
donde k es una constante positiva (que se denomina constante del resorte). La ley de
Hooke se cumple siempre que x no sea demasiado grande.
Ejemplo 2. Suponga que un resorte tiene una longitud natural de 1 pie y que se necesita
una fuerza de 10 libras para tenerlo comprimido a una longitud de 6 pulgadas ¿ Cuánto
trabajo se realiza al estirar el resorte desde su longitud natural hasta una longitud total
de 2 pies?
Solución Para mover el extremo libre de x = 0 (la posición de la longitud natural) a
x = 1 (estirado 1 pie), debemos ejercer una fuerza variable F(x) determinada por la ley
de Hooke.
Recordemos que
1 pie → 12 pulgadas
De modo que
0,5 pie → 6 pulgadas
Tenemos que
F = −10 (libras) cuando x = −0,5 (pies),
Luego,
F = kx ⇔ 10 = 0,5k ⇔ k = 10
0,5
= 20
2
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AsI, F(x) = 20x, y entonces tenemos que el trabajo realizado al estirar este resorte es
W =
∫ 1
0
20x dx =
[
10x2
]∣∣∣1
0
=
[
10(1)2
]
−
[
10(0)2
]
= 10
Por, lo tanto el trabajo realizado es de 10 libras · pies
Ejemplo 3. Se requiere una fuerza de 40 N para sostener un resorte que está estirado
desde su posición natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿ Cuánto trabajo se hace al
estirar el resorte de 15 a 18 cm?
Solución De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza que se requiere para mantener el
resorte estirado x metros más allá de su longitud natural es f (x) = kx. Cuando el resorte
se estira de 15 a 18 cm, la cantidad estirada es
15cm − 10cm = 5cm = 0,05m.
Esto quiere decir que
f (0,05) = 40
de modo que
f (x) = kx
k(0,05) = 40 ⇒ k = 40
0,05
= 800
Además,
18cm − 10cm = 8cm = 0,08m.
Ası́, f (x) = 800x y el trabajo realizado para estirar el resorte de 15 a 18 cm es
W =
∫ 0,08
0,05
(800x) dx =
[
400x2
]∣∣∣0,08
0,08
=
[
400(0,08)2
]
−
[
400(0,05)2
]
= (2,56)− (1) ≈ 1,56
Por tanto, el trabajo realizado es aproximadamente 1,56 J.
Ejemplo 4. Un cable de 200 lb mide 100 pies de largo y cuelga verticalmente desde lo
alto de un edificio. ¿Cuánto trabajo se requiere para subir el cable hasta la parte superior
del edificio?
Solución En este caso no hay una fórmula para la función fuerza, pero podemos aplicar
un razonamiento similar al que originó la definición por medio de aproximación.
3
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cable en pequeños segmentos de longitud ∆x. Si x∗i es un punto en el i-ésimo intervalo,
entonces todos los puntos del intervalo se levantan casi la misma cantidad, digamos, x∗i .
El cable pesa 2 libras por cada pie, de modo que el peso del i-ésimo segmento es 2∆x. Ası́,
el trabajo realizado en el i-ésimo segmento, en pies-libras, es
(2∆x) · x∗i = 2x∗i ∆x
Obtenemos el trabajo total que se realizó sumando todas las aproximaciones y haciendo
que la cantidad de segmentos sea grande (de modo que ∆x → 0):
W = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
2x∗i ∆x =
∫ 100
0
2xdx
=
[
x2
]∣∣∣100
0
=
[
(100)2
]
−
[
(0)2
]
= 10000
Por tanto, el trabajo realizado es 10000 pies-libras.
Ejemplo 5. Un depósito tiene la forma de un cono circular invertido de altura igual a 10
m y radio de la base de 4 m. Se llena con agua hasta alcanzar una altura de 8 m. Calcule
el trabajo que se requiere para vaciar el agua mediante bombeo por la parte superior del
depósito. (La densidad del agua es 1000 kg/m3.)
Solución Midamos profundidades desde la parte superior del recipiente introduciendo
una recta vertical de coordenadas.
6
4
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El agua se extiende desde una profundidad de 2 m hasta una profundidad de 10 m y,
también, dividimos el intervalo [2, 10] en n subintervalos con extremos x0, x1, · · · , xn y
elegimos x∗i en el i-ésimo subintervalo. De este modo el agua se divide en n capas. La
i-ésima capa es aproximadamente un cilindro circular de radio ri y altura ∆x. Podemos
calcular ri a partir de triángulos semejantes.
ri
10 − x∗i
=
4
10
⇔ ri
10 − x∗i
=
2
5
⇔ ri =
2
5
(10 − x∗i )
Ası́, un volumen aproximado de la i-ésima capa de agua es
V = πr2i ∆x
= π
(
2
5
(10 − x∗i )
)2
∆x
=
4π
25
(10 − x∗i )
2 ∆x
de modo que su masa es densidad por volumen
mi = d × V
= 1000 · 4π
25
(10 − x∗i )
2 ∆x
= 160π (10 − x∗i )
2 ∆x
La fuerza necesaria para subir esta capa debe superar a la fuerza de gravedad, y de este
modo
Fi = mig
= 9, 8 · 160π (10 − x∗i )
2 ∆x
= 1568π (10 − x∗i )
2 ∆x
Cada partı́cula en la capa debe viajar una distancia de aproximadamente x∗i . El trabajo Wi
realizado para subir esta capa hasta lo alto del depósito es aproximadamente el producto
de la fuerza Fi por la distancia x∗i .
Wi = Fix∗i
= 1568πx∗i (10 − x∗i )
2 ∆x
Para encontrar el trabajo total en el vaciado del tanque, sumamos las contribuciones de
5
https://wlh.es/v2/1690384956870/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
cada una de las n capas y después tomamos el lı́mite cuando n → ∞
W =
n
∑
i=1
[
1568πx∗i (10 − x∗i )
2 ∆x
]
=
∫ 10
2
1568πx (10 − x)2 dx = 1568π
∫ 10
2
x
(
100 − 20x + x2
)
dx
= 1568π
∫ 10
2
(
100x − 20x2 + x3
)
dx = 1568π
[
50x2 − 20
3
x3 +
1
4
x4
]∣∣∣∣10
2
= 1568π
{[
50(10)2 − 20
3
(10)3 +
1
4
(10)4
]
−
[
50(2)2 − 20
3
(2)3 +
1
4
(2)4
]}
= 1568π
{[
5000 − 20000
3
+
10000
4
]
−
[
200 − 160
3
+
16
4
]}
= 1568π
{[
5000 − 20000
3
+ 2500
]
−
[
200 − 160
3
+ 4
]}
= 1568π
[
5000 − 20000
3
+ 2500 − 200 + 160
3
− 4
]
= 1568π
[
7500 − 204 − 20000
3
+
160
3
]
= 1568π
[
7296 − 19840
3
]
= 1568π
[
21888 − 19840
3
]
= 1568π
(
2048
3
)
≈ 3,4 × 106
Por tanto, el trabajo realizado es aproximadamente 3,4 × 106 J.
Ejercicios . para practicar
1) ¿Cuánto trabajo se realiza cuando un elevador levanta una roca de 200 kg a una
altura de 3 m?
2) Cuando una partı́cula se localiza a una distancia de x metros desde el origen, una
fuerza de cos
(xπ
3
)
newtons actúa sobre ella. ¿ Cuánto trabajo se realiza al mover
la partı́cula desde x = 1 hasta x = 2 Interprete su respuesta considerando el trabajo
realizado desde x = 1 hasta x = 1,5 y desde x = 1,5 hasta x = 2.
3) Se requiere una fuerza de 10 lb para mantener estirado un resorte 4 pulg más de su
longitud natural. ¿ Cuánto trabajo se realiza al estirar el resorte desde su longitud
natural hasta 6 pulg más de su longitud natural?
4) a) La ley de Newton de gravitación establece que dos cuerpos con masas m1 y m2
se atraen entre sı́ con una fuerza
F = G
m1m2
r2
donde r es la distancia entre los cuerpos y G es la constante gravitacional. Si
uno de los cuerpos esta fijo, determine el trabajo necesario para llevar al otro
desde r = a hasta r = b.
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vertical hasta una órbita a 1000 km de altura. Puede suponer que la masa de la
Tierra es de 5,98 × 1024 kg y está concentrada en su centro. Tome el radio de la
Tierra como 6,37 × 106 m y G = 6,67 × 10−11N × m2/kg2.
5) Un acuario que mide 2 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de profundidad está lleno
con agua. Determine el trabajo que se requiere para extraer por bombeo la mitad del
agua de dicho acuario. (Recuerde que la densidad del agua es de 1000 kg/m3).
6) Una piscina circular tiene un diámetro de 24 pies, los lados miden 5 pies de altura
y la profundidad del agua es de 4 pies. ¿Cuánto trabajo se requiere para extraer por
bombeo toda el agua por uno de los lados? (Recuerde que el peso del agua es de
62,5 lb/pies3.)
7) Si el tanques está lleno con agua. Determine el trabajo necesario para que, mediante
bombeo, el agua salga por el tubo de descarga.
8) Si el tanques está lleno con agua. Determine el trabajo necesario para que, mediante
bombeo, el agua salga por el tubo de descarga.
9) Si el tanques está lleno con agua. Determine el trabajo necesario para que, mediante
bombeo, el agua salga por el tubo de descarga. (utilice el hecho de que el peso del
agua es de 62,5 lb/pies3)
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10) Si el tanques está lleno con agua. Determine el trabajo necesario para que, mediante
bombeo, el agua salga por el tubo de descarga. (utilice el hecho de que el peso del
agua es de 62,5 lb/pies3)
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