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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA- Clase #14
Aplicaciones: Longitud de Arco
Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto gúıa Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Longitud de arco
¿Qué se entiende por longitud de una curva?
Ahora supongamos que una curva C se define mediante la función y = f(x), donde f
es continua y a ≤ x ≤ b. Podemos obtener una aproximación poligonal a C dividiendo el
intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos extremos x0, x1, . . . , xn y de igual ancho a ∆x. Si
yi = f(xi), entonces el punto Pi(xi, yi) está sobre C, y el poĺıgono con vértices P0, P1, . . . , Pn,
es una aproximación a C.
1
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La longitud L de C es aproximadamente la longitud de este poĺıgono y la aproximación
es mejor cuando se incrementa n.
donde se ha ampliado el arco de la curva entre Pi−1 y Pi y se muestran las aproximaciones
con valores sucesivamente más pequeños de ∆x. Por tanto, definimos la longitud L de la
curva C con la ecuación y = f(x), sobre a ≤ x ≤ b, como el ĺımite de las longitudes de estos
poĺıgonos inscritos (si el ĺımite existe):
L = ĺım
n→∞
n∑
i=1
|Pi−1Pi| =
n∑
i=1
√
1 + [f ′(x∗i )]
2∆x (1)
Luego, por la definición de una integral definida, la expresión anterior se reconoce como igual
a
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx (2)
Note que esta integral existe porque la función g(x) =
√
1 + [f ′(x)]2 es continua.
Teorema 1. [Fórmula de longitud de arco] Si f ′ es continua sobre el intervalo [a, b],
entonces la longitud de la curva y = f(x), a ≤ x ≤ b es
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx
Si usamos la notación de Leibniz para derivadas, podemos expresar la fórmula de la longitud
de arco como:
L =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
Teorema 2. Si g′ es continua sobre el intervalo [c, d], entonces la longitud de la curva
x = g(y), c ≤ y ≤ d es
L =
∫ d
c
√
1 + [g′(y)]2dy =
∫ b
a
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy
2
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Ejemplo 1. Halle la longitud del arco de la parábola semicúbica y =
√
x3 entre los puntos
(1, 1) y (4, 8).
Solución Veamos la gráfica de y =
√
x3 = x
3
2
Para la mitad superior de la curva se tiene
y = x
3
2 y
dy
dx
=
3
2
x
1
2 =
3
2
√
x
y, por tanto, la fórmula de longitud de arco da
L =
∫ 4
1
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx =
∫ 4
1
√
1 +
(
3
2
√
x
)2
dx =
∫ 4
1
√
1 +
9
4
x dx
Si sustituimos u = 1 + 9
4
x, entonces dx = 4
9
du. Note que si x = 1, entonces u = 13
4
, y si
x = 4, entonces u = 10. Aśı,
L =
∫ 4
1
√
1 +
9
4
xdx =
∫ 10
13
4
4
9
√
u du =
4
9
∫ 10
13
4
u
1
2 du
=
4
9
[
2
3
x
3
2
]∣∣∣∣10
13
4
=
4
9
{[
2
3
(10)
3
2
]
−
[
2
3
(
13
4
) 3
2
]}
=
4
9

[
2
3
√
103
]
−
2
3
√(
13
4
)3 = 49
[
20
3
√
10− 26
12
√
13
4
]
=
80
27
√
10− 4
9
(
13
12
√
13
)
=
80
27
√
10− 13
27
√
13
=
1
27
(
80
√
10− 13
√
13
)
≈ 7, 63.
Ejemplo 2. Calcule la longitud de arco de la curva catenaria definida por y = 6 cosh
(
x
6
)
,
desde (0, 6) hasta donde x = 6 ln(6).
Solución Consideremos la función y = 6 cosh
(
x
6
)
. La gráfica de y desde (0, 6) hasta donde
x = 6 ln(6) es
3
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y = y = 6 cosh
(x
6
)
y
dy
dx
= 6 sinh
(x
6
) 1
6
= sinh
(x
6
)
y, por tanto, la fórmula de longitud de arco da
L =
∫ 6 ln(6)
0
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx =
∫ 6 ln(6)
0
√
1 +
(
sinh
(x
6
))2
dx
=
∫ 6 ln(6)
0
√
1 + sinh2
(x
6
)
dx =
∫ 6 ln(6)
0
√
cosh2
(x
6
)
dx
=
∫ 6 ln(6)
0
cosh
(x
6
)
dx = 6 sinh
(x
6
)∣∣∣6 ln(6)
0
=
[
6 sinh
(
6 ln(6)
6
)]
−
[
6 sinh
(
0
6
)]
= 6 sinh
(
6 ln(6)
6
)
= 6 sinh (ln(6))
Recordar que seno hiperbólico se define como
sinh(x) =
ex − e−x
2
Luego,
L = 6 sinh (ln(6)) = 6
[
eln(6) − e− ln(6)
2
]
= 3
(
6− eln(
1
6
)
)
= 3
(
6− 1
6
)
= 3
(
35
6
)
=
35
2
= 17,5
Ejemplo 3. Encuentre la longitud del arco de la parábola y2 = x de (0, 0) a (1, 1).
Solución Consideremos la función x = y2. Luego,
dx
dy
= 2y.
L =
∫ 1
0
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy =
∫ 1
0
√
1 + (2y)2 dy =
∫ 1
0
√
1 + 4y2 dy
4
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Hacemos la sustitución trigonométrica
2y = tan(θ)
y =
1
2
tan(θ) y dy =
1
2
sec2(θ)dθ
Ahora, cambiaremos los ĺımites de integración
Si y = 0 =⇒ 1
2
tan(θ) = 0 ⇔ θ = tan−1(0) = 0.
Si y = 1 =⇒ 1
2
tan(θ) = 1 ⇔ θ = tan−1(2) = α..
Ahora, haciendo la sustitución tenemos que
L =
∫ 1
0
√
1 + 4y2 dy =
∫ α
0
1
2
√
1 + tan2(θ) sec2(θ) dθ
=
1
2
∫ α
0
√
sec2(θ) sec2(θ) dθ =
1
2
∫ α
0
sec(θ) sec2(θ) dθ
=
1
2
∫ α
0
sec3(θ) dθ =
1
2
· 1
2
[sec(θ) tan(θ) + ln | sec(θ) + tan(θ)|]|α0
=
1
4
{[sec(α) tan(α) + ln | sec(α) + tan(α)|]− [sec(0) tan(0) + ln | sec(0) + tan(0)|]}
=
1
4
(sec(α) tan(α) + ln | sec(α) + tan(α)|)
Como tan(θ) = 2, entonces
sec2(θ) = 1 + tan2(θ) = 1 + (2)2 = 1 + 4 = 5
sec(θ) =
√
5
Aśı,
L =
1
4
(sec(α) tan(α) + ln | sec(α) + tan(α)|) = 1
4
(
2
√
5 + ln |
√
5 + 2|
)
=
(√
5
2
+
ln |
√
5 + 2|
4
)
≈ 1,478
Función de la longitud de arco
Si una curva suave C tiene la ecuación y = f(x),a ≤ x ≤ b, sea s(x) la distancia a lo largo
de C del punto inicial P0(a, f(a)) al punto Q(x, f(x)). Entonces s es una función, llamada
función longitud de arco. Luego,
s(x) =
∫ x
a
√
1 + [f ′(t)]2 dt
5
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La derivada de longitud de arco es
ds =
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
y esta ecuación se escribe a veces en la forma simétrica
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2
Ejemplo 4. Encuentre la función longitud de arco para la curva y = x2 − 1
8
ln(x) tomando
a P0(1, 1) como el punto de partida.
Solución Si f(x) = x2 − 1
8
ln(x), entonces
f ′(x) = 2x− 1
8x
[f ′(x)]
2
=
(
2x− 1
8x
)2
= 4x2 +
1
64x2
− 1
2
1 + [f ′(x)]
2
= 1 +
(
4x2 +
1
64x2
− 1
2
)
= 4x2 +
1
64x2
+
1
2
=
(
2x+
1
8x
)2
√
1 + [f ′(x)]2 =
√(
2x+
1
8x
)2
= 2x+
1
8x
Aśı, la función longitud de arco está dada por
s(x) =
∫ x
1
√
1 + [f ′(t)]2 dt =
∫ x
1
(
2t+
1
8t
)
dt
=
[
t2 +
1
8
ln(t)
]∣∣∣∣x
1
=
[
x2 +
1
8
ln(x)
]
−
[
1 +
1
8
ln(1)
]
= x2 +
1
8
ln(x)− 1
Por ejemplo, la longitud de arco a lo largo de la curva de (1, 1) a (3, f(3)) es
s(3) = (3)2 +
1
8
ln(3)− 1 = 9 + 1
8
ln(3)− 1 = 8 + 1
8
ln(3) ≈ 8,1373
Ejercicios . para practicar
1. Determine la longitud exacta de las siguientes curvas.
a) y = 1 + 6x
3
2 ; 0 ≤ x ≤ 0
b) y4 = x (x+ 4)3; 0 ≤ x ≤ 2, y > 0.
c) y =
x3
3
+
1
4x
; 1 ≤ x ≤ 2
6
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d) x =
y4
8
+
1
4y2
; 1 ≤ y ≤ 2
e) x =
1
3
√
y (y − 3) 1 ≤ y ≤ 9
f) y = ln(cosx) 0 ≤ x ≤ π
3
g) y = ln(secx) 0 ≤ x ≤ π
4
h) y = 3 +
1
2
cosh(2x) 0 ≤ x ≤ 1
i) y =
1
4
x2 − 1
2
lnx 1 ≤ x ≤ 2
j) y =
√
x− x2 + sin−1
(√
x
)
k) y = ln
(
1− x2
)
0 ≤ x ≤ 1
2
l) y = 1− e−x 0 ≤ x ≤ 2
7
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