SOLUCIONARIO_ÁLGEBRA_1RO

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1S OLUCIONARIO - B ANCO DE PREGUNTA S DE Á LGE B RA - 1.º DE S ECUNDARIA
1. Sea: A = .
8
2 16
8
16 2
 A = 
( )
. ( )
2
2 2
3 8
16 4 2
 A = .
2
2 2
2
2
24
16 8
24
16 8
=
+
 A = 
2
2 124
24
=
Clave A
2. R = 1 2 3 42 3 2 2
3 4 5 30
20 015 017 018
+ + + 
R = 12 + 23 + 32 + 42
R = 1 + 8 + 9 + 16
R = 34
Clave B
3. V = 
3
3 3
n
n n
1 1
3 1-
- +
+ +
 
V = 
3
3
3
3
n
n
n
n3 1
-
+ +
V = 3n + 3 - n - 3n + 1 - n
V = 33 - 3
V = 24
Clave B
4. L = .16
49
64
9
L = .4
7
8
3
32
21=
Clave C
5. A = 3
13 2
24
d n
A = 3
1 3
12
d n
A = 3
1 2
4
d n
A = 3
1
9
12 =d n 
Clave A
6. 64 1623 54 0 2
4
- . . . 32
. . .64 16 1 33 2 4 5 2-_ _i i 
4-2 . 25 . 1 . 9
16
1 . 32 . 1 . 9
18
Clave C
7. M = 4 323 15 2-_ i
M = 415/3 - (25)2
M = 45 - 210
M = 210 - 210 = 0
Clave A
8. Por semejanza: 
x - 3 = 5
 x = 8
Clave A
9. Como los exponentes son iguales, las 
bases deben ser iguales:
6x - 5 = 7
 6x = 12
 x = 2
Clave B
10. Tenemos bases iguales, entonces los ex-
ponentes serán iguales:
3x - 5 = 10
 3x = 15
 x = 5
Clave E
Expresiones algebraicas - Monomios
11. m2 - m = 2 & m2 - m - 2 = 0
 
m - 2
m 1
& m = 2
Reemplazamos:
P(a, b, c) = 4a1b2c4
& GR(a) = 1 / GA(P) = 4 + 2 + 1 = 7
` GR(a) + GA(P) = 8
Clave C
12. GA(M) = 3 + x + 2x = 9
 3x + 3 = 9
 3x = 6
 x = 2 
Clave C
13. E = 8 6
6 14
-
+
E = 2
20 = 10
Clave D
14. GA(P) = x - 3 + 9 = 12
 x - 3 = 3
 x = 6
Clave A
15. R(2; 3) = 2
3 (2)3(3)2
R(2; 3) = 2
3 . 8 . 9
R(2; 3) = 108
Clave B
16. M(a; b) + N(a; b) = 4ab2 + 3a2b3
M(a; 1) + N(a; 1) = 4a + 3a2 = 20
 & 3a2 + 4a - 20 = 0
 
3a 10
 a - 2
& a = 2
Clave E
17. 2m + m2 + 1 = 9
m2 + 2m + 1 = 9
 (m + 1)2 = 9
& m = 2
& GR(x) = 2m = 4
Clave A
18. El producto será:
10x2y5z3
& GA = 2 + 5 + 3 = 10
Clave C
19. • 2a + 3 = 7
 a = 2
• 7 + b + a = 11
 9 + b = 11
 b = 2
El coeficiente será: 
4(2)2 = 16
Clave E
SOLUCIONARIO DE ÁLGEBRA
Teoría de exponentes l
Teoría de exponentes lI
Ecuaciones exponenciales
2Solucionario - Banco de preguntaS de ÁlgeBra - 1.º de Secundaria
20. R(x; y) = x4/3 . y2/3 . .x y35 2821 
R(x; y) = x4/3 . y2/3 . x5/3 . y4/3
R(x; y) = x9/3 . y6/3
R(x; y) = x3 . y2
& GA(R) = 3 + 2 = 5
Clave C
Polinomios
21. P(x; y; z) = 5x4z10 + 2xy7z2 - 7x6y3z12
Analizamos cada término:
GA = 14 GA = 10 GA = 21
GR(x) = 4 GR(x) = 1 GR(x) = 6
GR(z) = 10 GR(y) = 7 GR(y) = 3
 GR(z) = 2 GR(z) = 12
Tomamos los valores más altos:
GR(x) + GR(y) + GR(z) + GA(P)
= 6 + 7 + 12 + 21 = 46
Clave C
22. El GR(x) = a + 3 = 5 & a = 2
La suma de coeficientes será: 
3 + 5 + 2 = 10
Clave B
23. P(3) = (3 . 3 + 2)2 = 112 = 121
Clave A
24. Cambiamos de variable, hacemos x - 3 = a, 
entonces x + 5 = a + 8.
& P(a) = a + 8
Luego:
P(0) + P(1) + P(2) = 8 + 9 + 10
 = 27
Clave E
25. Hacemos x + 3 = a, tenemos:
P(a) = 2(a - 3)2 + 5
Reemplazamos:
P(4) + P(5) = 2(4 - 3)2 + 5 + 2(5 - 3)2 + 5
 = 2 + 5 + 2 . 4 + 5
 = 20
Clave B
Productos notables
26. B = x2 - 6x + 9 - (x2 - 2x + 1) + 4x
B = x2 - 6x + 9 - x2 + 2x - 1 + 4x
B = 9 - 1 = 8
Clave E
27. A = ( ) ( )x x x5 5 32 2+ - + -
A = x x5 32 2 2 2- + -
A = 25 9 16 4- = =
Clave B
28. Por Legendre:
M = 2(4x4 + y6) - 8x4
M = 8x4 + 2y6 - 8x4
M = 2y6
Clave B
29. E2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
E2 = 12 + 2(2) = 16
 E = 4
Clave D
30. M = . . .
4 2 1
2 3 2 1 3 2 1 1 13 3
3 3 3 2 3 2
+ +
+ + + +
_ _i i
M = 
4 2 1
2 3 4 3 2 1
3 3
3 3
+ +
+ + + + 1
M = 
4 2 1
3 1 2 4 13 3
3 3
+ +
+ +
+
_ i
M = 4
Clave D
31. E = (x + y + z)(x + y - z - x - y + z)
E = (x + y + z)(0) = 0
Clave A
División de polinomios
32. P(x) = (4x2 + 5x - 6) q(x)
P(x) = (4x - 3)(x + 2) q(x)
& ( )x
P x
2+ = (4x - 3) q(x) + 0
` El resto es 0.
Clave A
33. Usamos el método de Ruffini:
2 0 0 g 0 0 1 -1
1 2 2 2 2 2 3
2 2 2 g 2 2 3 2
12 ceros
 
El cociente será: 
2x13 + 2x12 + ... + 2x1 + 3
La suma es: 2(13) + 3 = 29
Clave A
34. P(x) = (2x3 + x + 3)d(x) + 3x2 + x - 1
P(-1) = (2(-1)3 - 1 + 3)d(-1) + 3(-1)2 
+ (-1) - 1
P(-1) = (-2 - 1 + 3)d(-1) + 3 - 1 - 1
 
P(-1) = 0 + 3 - 1 - 1 = 1
Clave E
35. Usamos el método de Ruffini:
27 18 -6m 13
-1/3 -9 -3 2m + 1
'3 27 9 -6m-3 14 + 2m
9 3 -2m-1
9 + 3 - 2m - 1 = 15
 - 4 = 2m
 m = -2
El resto será: 14 + 2m = 10
Clave E
Factorización
36. x2z2 + xyz + xzv + yv
xz(xz + y) + v(xz + y)
(xz + y)(xz + v)
Clave C
37. Descomponemos la expresión:
mnx2 + mny2 + xym2 + xyn2
Agrupamos:
mx(nx + my) + ny(my + xn)
(my + xn)(mx + ny)
Clave D
38. P(x) = 6x2 - x - 1
 
3x +1
2x -1
P(x) = (3x + 1)(2x - 1)
La suma es: 3x + 1 + 2x - 1 = 5x
Clave C
39. P(x) = 8x2 - 2x - 3
 
4x - 3
2x + 1
P(x) = (4x - 3)(2x + 1)
Clave E
40. P(x) = x3 + 3x2 + 5x + 3
Usamos el método de Ruffini para hallar 
un factor primo. Probaremos con números 
pequeños hasta que el residuo nos dé 
cero.
1 3 5 3
-1 -1 -2 -3
1 2 3 0
3Solucionario - Banco de preguntaS de ÁlgeBra - 1.º de Secundaria
& (x + 1) es un factor primo.
Luego:
P(x) = (x + 1)(x2 + 2x + 3)
Como: x2 + 2x + 3 no se puede reducir, 
entonces es un factor primo y es el de 
mayor grado.
Por lo tanto:
Suma de coeficientes = 1 + 2 + 3 = 6
Clave A
Radicación
41. Es igual a:
.
. .
5 5
25 5 25
/ /
/ / /
1 3 3 5
3 5 1 15 1 3
Colocamos todo en la misma base:
.
. .
5 5
5 5 5
/ /
/ / /
1 3 3 5
6 5 1 15 2 3
Por ley de exponentes:
5
5
5
5 5 5( / / )
( / / / )
/
/ /
1 3 3 5
6 5 1 15 2 3
14 15
29 15 15 15= = =+
+ +
Clave A
42. La expresión es igual a:
. .
.
2 3 3
64 3 3
5 45
5 35
.
.
.
. .
2 3
2 3 3
2 3
2 3 3/
/ /
/ / /
5 5
6 5 15
1 5 1 10
6 5 1 15 1 30
=
 . 2
3
2 3
/
/
1 10
1 10
=
Clave C
43. I. ( )3 9 32 !- = = , la premisa es F.
 II. V, por teoría de radicación.
III. V, por teoría de radicación.
IV. V, por teoría de radicación.
Clave B
44. Expresamos todo en potencias:
.a a
( )( )
( )( )
n n n
n n n
3
1
2 3
5
2
1
2 3
4
+ + +
+ + +
a a
Operamos:
( )( )n n n n2
1
3
1
2 3
1
+ - + + +
-
a a
d n
Tenemos:
( )( ) ( )( )n n n n2 3
1
2 3
1
0+ + + +
-
.a a a 1= =
Clave C
45. La expresión es igual a:
. .
. .
3 3 2 2
3 3 2 2
x x
x x x
x
2 2 2
1 1 3 3
1
+
++ + ++
3 . 2
3 2
2
x x
x x x
x
2 2 2
2 1 3 3
1
+
+
+ +
+ + +
+
Factorizando:
( )
3 2
2 3 2
x x
x x x
x
2 2 2
1 2 2 2
1
+
+
+ +
+ + +
+
x
x
1
1
+
+
2 2=
Clave B
46. A = A6 +
A2 - A - 6 = 0
A - 3
A + 2
& A = 3, ya que debe ser positivo.
Clave C
47. B = ...3 3 3
B
S
 & B = B3
 B2 = 3B
& B es igual a 3, ya que debe ser positivo.
Clave C
48. A = 
. .
. .
.
. .
5 3 2
10 3 2
5 3 2
10 3 2
2 43
3
43
3
=
A = .
2
2 2
2
2 1/
/
/
/
4 3
1 3
4 3
4 3
= = & A = 1 
Clave A
49. B = (71/2 - 1/3 + 51/3 - 1/4)(71/6 + 51/12)-1
B = 
(7 )
( )
5
7 5 1 1/ /
/ /
1 6 1 12
1 6 1 12
+
+ = =
Clave C
Racionalización
50. M = .
11
16 11
11
5
11
11- =
M = 11
5 11
Clave D
51. Necesitamos que la raíz se anule, por lo tanto 
multiplicaremos por un valor que lo haga:
A = .
a b c d a b c d
a b c d6
6 7 5 811 5 4 6 311
5 4 6 311
A = 6
a b c d
a b c d
abcd
a b c d6
11 11 11 1111
5 4 6 311 5 4 6 311
=
La suma será: 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Clave B
52. B = .
3
27
3
3
34 4
4
B = .3
27 3 9 3
4 4=
Clave A
Ecuaciones de primer grado
Planteo de ecuaciones
53. 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4)
5x - 10 + 3x = 6x + 8
 2x = 18 & x = 9
Clave A
54. Eliminamos los denominadores, multipli-
cando por diez:
4(x + 1) - 3(x - 1) = 7x+ 1
 4x + 4 - 3x + 3 = 7x + 1
 6 = 6x
 x = 1
Clave A
55. Como x es diferente de cero, podemos 
multiplicar todo por x2.
x x
2
5
3
2
2
95+ =
 x6
19
2
95=
 x = 15
Clave B
56. x2 3 1 0- + =
 x2 3 1- =-
 2x - 3 = (-1)2
 2x - 3 = 1
 x = 2
si reemplazamosx = 2, resulta un absurdo 
2 = 0
` La ecuación es incompatible.
Clave E
57. Como la ecuación es de primer grado, el 
coeficiente de x2 debe ser cero, entonces:
m - 1 = 0 & m = 1
La ecuación queda:
- 3x + 5 - 9 = 0
 x = 3
9 5
3
4
-
- =-
Clave D
58. q
x p q
p
x q p+ - = - +
px + p2 - qp = xq - q2 + qp
 x(p - q) = 2qp - p2 - q2
 x = ( )
p q
p qp q22 2- -
- +
 x = ( )p q
p q 2
-
- -
 x = q - p
Clave C
4Solucionario - Banco de preguntaS de ÁlgeBra - 1.º de Secundaria
59. Sea a el menor número:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = 2000
 5a + 1 + 2 + 3 + 4 = 2000
 5a + 10 = 2000
 a + 2 = 400
 a = 398
 & a + 4 = 402
Clave E
60. Sean los números: a - 2, a , a + 2
a - 2 + a + a + 2 = 102
 3a = 102
 a = 34
& 4(a - 2) = 4 . 32 = 128
Clave B
61. Sean los números:
a - 3, a - 2, a - 1, a, a + 1, a + 2, a + 3
La suma de ellos es: 7a
& 14a = 1246 & 2a = 178
Nos piden: 2(a + 3) = 2a + 6 = 184
Clave A
Sistema de ecuaciones lineales
62. Multiplicamos la segunda ecuación por dos:
2x + 4y = 16
2x + 6y = 22
Ahora restamos, la segunda menos la 
primera:
2y = 6
 y = 3 & x = 2
La solución es: (2; 3)
Clave C
63. El sistema es incompatible si:
k
k2
1
1
1
1
3
!
+ = -
& (k + 1)(k - 1) = 2 & k2 - 1 = 2
& k = 3 0 k = 3-
Como se cumple: 
3 3k k2
1
1
1
/! !
+
-
Los valores de k son: 3 ó 3-
Clave E
64. |A| = 5x - 4 = 6
 5x = 10
 x = 2
Clave D
65. Sumamos la primera ecuación con la 
tercera:
3x + 5y + x - 5y + 2z = 17 + 2z - 9
 4x = 8
 x = 2
Reemplazamos en la segunda ecuación:
171(2) + 20y = 402
 20y = 60
 y = 3
En la primera ecuación: 
3(2) + 5(3) = 17 + 2z
 z = 2
La suma es: 2 + 3 + 2 = 7
Clave A
66. Reemplazando los valores nos queda el 
siguiente sistema:
a - 1 + 2b = 7
1 - b + 2 = 0
c - 1 + 2a = 4
De la ecuación dos, b = 3 y reemplazando 
en la primera ecuación obtenemos:
a - 1 + 6 = 7
 a = 2
& c - 1 + 4 = 4 & c = 1
` a + b + c = 2 + 3 + 1 = 6
Clave C
Ecuaciones de segundo grado
Planteo de ecuaciones
67. Usamos el método del aspa simple:
x2 + 3x - 28 = 0
x 7
x -4
& (x + 7)(x - 4) = 0
Las raíces son: 4; -7
Clave A
68. Usaremos el método de la fórmula general:
x2 + 2x - 5 = 0
x = ( ) ( )2
2 4 4 1 5!- - - 
x = 2
2 2 6 1 6! !- =-
& x1 = -1 + 6 0 x2 = -1 - 6
Clave A
69. x2 + 2mx + 1 - m2 = 0
Usaremos la fórmula general:
x = ( ) ( )m m m2
2 4 4 1 12 2!- - -
x = 4 4 4m m m2
2 2
!- - +
x = - ( )m m2
4 2 12
!
-
x = -m m2 12! -
& x1 = -m + m2 12 - 0 
 x2 = - m - m2 12 - 
Clave E
70. Usamos el método de la fórmula general:
x = ( ) ( )m m6
4 3 42!- -
& x1 = 
m m
6
482- + - 0
 x2 = 
m m
6
482- - -
Por el enunciado:
( )m m m m
6
48
6
3 482 2- + - = - - -
 -m + m 482 - = -3m - 3 m 482 -
 m m4 48 22 - =-
 m m48 2
2 - =-
Elevamos al cuadrado:
m2 - 48 = m4
2
 m4
3 2 = 48 & m2 = 64
& m = 8 0 m = -8, el mayor valor es 8.
Clave A
71. Planteamos la ecuación:
a2 - 6 = 5a
a2 - 5a - 6 = 0
a - 6
a + 1
& a = 6 0 a = -1
Clave E
Desigualdades e inecuaciones
72. 3x + 4 < 2x + 1
 x < -3
Clave A
73. 5x - 12 $ 3x - 4
 2x $ 8
 x $ 4
Clave C
5Solucionario - Banco de preguntaS de ÁlgeBra - 1.º de Secundaria
74. 2x - x3
5
3 10> + 
2x - x3 10 3
5> +
 x3
5
3
35>
 x > 7
Por lo tanto: x ! G7; +3H
Clave B
75. x x x2 3 6
1
6 6
5#+ + +
 x x6
5
6
1
6 6
5#+ +
 x6
4
6
4#
 x # 1
Por lo tanto: x ! G-3; 1]
Clave B
76. 2 # 2x - 10 / 2x - 10 # 20
12 # 2x / 2x # 30
 6 # x / x # 15
& x ! [6; 15] 
Clave A
77. 5x + 1 < 6x + 3 / 6x + 3 < 7x + 9
 -2 < x / -6 < x
& x ! G-2; +3H
Clave C
78. x + 3 > 6 / x + 6 < 11
 x > 3 / x < 5
Como es entero, entonces: x = 4
Clave C
Valor absoluto
79. |6x - 8| = 2x - 11
& 2x - 11 $ 0 / (6x - 8 = 2x - 11 0 8 - 6x = 2x - 11)
 x $ 2
11 / (4x = -3 0 19 = 8x)
 x $ 2
11 / (x = 4
3- 0 x = 8
19 )
` No hay solución, x ! Q.
Clave E
80. | |x
2 2 10+ =
 | |x
2 8=
 | |x 4
1=
& x = 1/4 0 x = -1/4 & x ! {-1/4; 1/4}
Clave E
81. | | | |
| | | |
2 1
4 3
-
- + - = 2
4 3
2
7+ =
Clave B
Logaritmos
82. log1/31/729 = log3729 = log33
6
Es igual a: 6log33 = 6
Clave B
83. L = log
3
[log2(8)]
L = log 3 [3]
L = log 3 3 = 2
Clave C
84. G = .log log16
75
50
81
243
32+d dn n
G = log .
. .16 50
75 81
243
32d n
G = log . .
. .
1 2 3
3 1 2d n
G = log(1) = 0
Clave B
85. A = (log3)(log310)
A = log
log
log10
3
10
3
3
3f _p i
A = log33 = 1
Clave C
86. B = 
log
log
log
5
8
25
2
2
2f _p i
B = 
.
.
log
log
2
1 5
3 2 5
2
2_ i
B = 3 . 4 = 12
Clave D
87. J = . .log log log
log
23 35 52
53
5
J = log
log
22
53
5
J = 5 3log 35 =
Clave B
6Solucionario - Banco de preguntaS de ÁlgeBra - 1.º de Secundaria
Funciones
88. 2x - 1 = 5 / y + 5 = 8
 x = 3 y = 3
& x2 + y2 = 32 + 32 = 18
Clave C
89. Una función cumple que para un mismo 
valor en la abscisa solo hay un valor en 
la ordenada.
& a + 3 = 2a - 1
 4 = a
& 3b - 1 = b + 3
 2b = 4
 b = 2
` ab = 4 . 2 = 8
Clave D
90. Piden: 
5 4
9 1+ -
 9
9 - 1 = 0
Clave A
91. Se cumple:
•  f(12) = 12 - 3a
 b = 12 - 3a
•  f(4a) = 4a - 3a
 6 = a
•  f(c) = c - 3a
 12 = c - 3a
Se deduce: a = 6, b = -6, c = 30
& a + b + c = 6 - 6 + 30 = 30
Clave E
92. Por definición de función:
3m - 1 = 8
 m = 3
Hallamos la suma de los elementos del 
dominio:
5 + 2(3) + 3 + 6 = 20
Clave C
93. Por definición de función:
b2 - 2 = b
b2 - b - 2 = 0
b - 2
b + 1
& b = 2 0 b = -1
Pero por definición de función, no puede 
tomar -1, ya que este valor posee otra 
imagen (igual a 3).
& b = 2
El rango es: {-2; 2; 3}
Clave B
94. El dominio es R, ya que no hay ninguna 
restricción.
Como: -3 < x < +3
 -3 < 4x - 1 < +3
El rango también será todos los reales: R
Clave E
95. Sabemos que el denominador debe ser 
diferente de cero.
x - 7 ! 0
 x ! 7
& x ! R - {7}
Clave D
96. Sabemos que:
x - 4 $ 0
 x $ 4
& x ! [4; +3H
Clave C
97. F(x) = x2 + 3x + 1
F(x) = x 2
3
4
9 1
2
+ - +d n
F(x) = x 2
3
4
52+ -d n 
Sabemos que:
-3 < x < +3
-3 < x + 2
3 < +3
 0 x 2
3 <
2
3# + +d n
x4
5
2
3
4
5 <
2
3#- + - +d n
& F(x) ! [- 5/4; +3H
Clave A
Progresiones
98. Como es progresión aritmética:
x + x = x x2
2+
2x + 2 x = 3x & x = 2 x
` x = 2 & x = 4
Luego la progresión será: 4; 6; 8; 10
La suma es: 4 + 6 + 8 + 10 = 28
Clave B
99. a54 = a1 + 53r = -61 ... (1)
a4 = a1 + 3r = 64 ... (2)
Restamos (1) - (2):
50r = -125 & r = -2,5
Clave E
100. Como es progresión geométrica:
 (2x - 1)2 = (11 - x)(9x + 3)
 4x2 - 4x + 1 = 99x + 33 - 9x2 - 3x
13x2 - 100x - 32 = 0
 (x - 8)(13x + 4) = 0
& x = 8, ya que es entero
Clave C