Calculo Vectorial-III

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CALCULO VECTORIAL II
1) Integrales de Superficies
Superficies Paramétricas
Una superficie viene dada por una función z = f (x, y) o por una superficie de nivel de una función de tres variables w = f(x, y, z). Así como una curva puede expresarse en forma paramétrica , una superficie también. Tenemos el caso de la recta y el plano, cuyas formas paramétricas son:
 
La función vectorial de la recta será:
r(t)=()i+()j+()k
La función vectorial del plano será:
r(s,t)=)k
En general una superficie S se expresa en forma paramétrica de la siguiente manera:
S:
De esta forma se deduce la forma vectorial de S:
Para calcular la ecuación del plano tangente en P de la superficie S dada por z = f(x, y) , determinábamos las derivadas parciales en P, éstas me daban las pendientes de las tangentes a dos curvas: fx(P) y fy(P) , a partir de estas definíamos los vectores tangentes: A1 = (1, 0, fx(P)) y A2 = (0, 1, fy(P)), cuyo producto vectorial nos daba el vector normal del plano tangente en P: 
De donde N= (-fx, -fy, 1) 
Veamos en forma paramétrica a S dada por z = f(x, y) tomamos como parámetros a x y a y luego
Entonces: 
++
En rx y permanece constante: 
En ry x permanece constante: 
Remplazando:
Luego: 
Por tanto: 
En forma más general: 
Cuando se estudió las integrales dobles se encontró que el área de una superficie S está dada por:
 
Si queremos expresarla en forma paramétrica vemos que:
Remplazando:
 Luego:			dudv
INTEGRALES DE SUPERFICIES DE CAMPOS ESCALARES
Para simplificar la definición de éstas integrales de superficie (IS), vamos a realizar una comparación con las integrales de línea (IL) de campos escalares, e inducir la definición.
La integral de línea se entiende mejor porque me define el área de la cortina que se forma, como acabamos de ver en su estudio.
En cambio la integral de superficie me define la evaluación de la función f(x,y,z) en un área.
En IL ds es longitud de arco en IS dS es área de una superficie
 en la IL se asocia ds con la función f(x, y), en la IS se asocia dS con la función f(x, y, z):
Luego en la IL: f(x, y) ds y en la IS tenemos f(x, y, z) dS
En la IL se define: 
En la IS s tiene; 
Luego como 
Entonces la integral de superficie viene dada por:
Ejemplo
Calcular la integral de superficie S es la esfera de centro en el origen y radio R.
La esfera será: 
Parametrizamos:
 
Luego el Jacobiano en CC. Esféricas: 
I=
I=
I=
I=+0)(2-
 
En las integrales de superficie le sucede lo mismo que en las integrales cuando la curva C es una curva a trozos, en estas S también puede darse que sea la unión de varias superficies simples como S1, S2, S3 y por lo tanto la integral de superficie viene dado por: 
EJEMPLO
Evalue del sólido que esta encima del plano z = 0; debajo de z = x+1 y dentro del cilindro 
; //rrxr//= r
 z
 
 S3 
 
 y
 x
S1
S2
Remplazando:
Parametrizando:
F(r())= 0 
Luego: r())= (cos ,sen ,z)
 , cos ,0); =(0, 0, 1)
=
Luego:
Por tanto: I = 
Integrales de Superficie de Campos Vectoriales
Superficies Orientadas:
Una superficie no orientable la da la Cinta De Mobius, que se obtiene partiendo de una cinta que se le practica un doblez y se unen los extremos:
Cuando a partir de un punto de la cinta empezamos a recorrer esta superficie , debido al doblez-
La normal a la superficie inicialmente
apunta hacia afuera y luego apunta 
hacia dentro.
Por eso se diceque no es orientable. 
Orientación de superficies
 
Orientación Positiva Orientación Negativa
Como sabemos:
N
N
Integrales de superficie de campos vectoriales
Supongamos que S es una superficie orientada con vector normal unitario NU, e imagine un fluido con densidad ρ(x, y, z) y campo de velocidades V(x, y, z) que circula a través de S. Consideremos a S, dada por z = f(x,y), como una superficie imaginaria que permite el paso del fluido (como si fuese una red).
Entonces el flujo (masa por unidad de tiempo) por área unitaria es ρV.
Donde:
ρV 
ρV flujo o caudal másico por unidad de área del fluido.
Si dividimos la superficie S, en mxn partes y tomamos el parche genérico de área Sij, y tomamos el punto intermedio y consideramos el plano tangente en dicho punto en donde el vector normal unitario viene dado por:
Tomamos el campo vectorial en el punto intermedio y consideramos constante al campo de velocidades V( ) de modo que: ρ ).viene a ser el flujo que atraviesa al área Sij en el sentido perpendicular a su plano tangente en 
Como tenemos mxn parches de S, 
representados Sij los sumamos:
 
Sij
 
V( )
Plano
Llevando al límite cuando m y n tienden a 
 =
Si el campo de velocidades lo hacemos ρ = F:
La Integral de Superficie de un Campo Vectorial F viene dada por: I 
 Como 
y 
Vamos a ver las formas que asume la Integral de Superficie de un Campo Vectorial:
Forma cartesiana:
Como N = (
Como F = (P, Q, R):
 
Formas Paramétricas de la Integral de Superficie de C. Vectoriales
I 
I 
Ejemplo
Evaluar la si F(x, y, z) = (y, x, z) y S es la frontera del sólido E limitado por el paraboloide y los planos x = 0, y = 0 y z = 0.
En donde 
Por tanto:
 
 
F.N= (y, x, z) . =z=0
 
0 1 y
Z
1
1
S1
S2
S3
S4
 
 
 
 , 
 
x 
x (
Como F(x, y, z) = (y, x, z)=F((, , )
F((, , )
F(= + 
Remplazando:
Por último:
 
Otras aplicaciones en Electricidad
La Ley de Gauss, que dice que la carga encerrada en una superficie cerrada S es: Q= en donde es una constante =8.8542x 
2) Se da cuando se tiene que el campo vectorial es un campo 
 Eléctrico, esto es, F = E
 Entonces la integral: me brinda el Flujo Eléctrico
 a través de la superficie S.
3) En Transmisión de Calor, si la temperatura en punto (x,y,z) 
 de una superficie es u(x,y,z). 
 Entonces el flujo eléctrico se define como el campo vectorial
 dado por u
En donde k es la conductividad térmica
Entonces el Flujo Térmico se define como:
Ejemplo
La temperatura u de un punto cualquiera X de la superficie de una bola metálica es proporcional al cuadrado de su distancia hacia su centro. Encuentre la rapidez del flujo térmico que atraviesa la esfera S de radio a con centro en el centro de la bola. 
Tomando como centro de la bola el origen, tenemos:
Donde C es una constante de proporcionalidad. Entonces el flujo térmico es:
Luego: 
La normal a la esfera = 
a
X//N
Como S está dado por: = 
 a
Remplazando:
 
“TEOREMA DE STOKES”
 
Se puede considerar que este teorema es una versión del Teorema de Green en V3. Mientras que el Teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de la curva C frontera de la región D con la integral doble sobre una región plana D
 
El Teorema de Stokes relaciona una integral de línea de un alrededor de una curva cerrada C, con una integral de superficie S que tiene como frontera a C en el espacio V3.
Enunciado:
Sea S una superficie suave a trozos y orientada que esta limitada por una curva frontera C, cerrada suave a trozos y positivamente orientada. Sea F un campo vectorial cuyas componentes P, Q y R tienen derivadas parciales continuas en
una región abierta que contiene a S. 
Entonces:
Demostración
Hacemos el gráfico con los datos
del enunciado
F = (P, Q, R)
La demostración la realizaremos para cuando S es una superficie dada por z = g(x, y) y sea C la curva frontera de S es simple, a trozos, cerrada y orientada positivamente, y que g(x, y) tiene derivadas parciales de segundo orden continuas, dado que el caso general es muy complicado.
La forma que se ha usado para la demostración ha sido trabajando con los dos miembros por separado y llegar así a una igualdad.
Tesis:rotF==(, 
Tenemos que S: z = f(x, y)
La superficie de nivel: g(x, y, z) = z – f(x,, y)
El gradiente de g viene hacer el vector normal a la superficie:
 
=(
Aquí se da el paso de S a D
rotF. 
Como z = f(x, y)
rotF. 
Remplazando: 
dA (I)
Ahora operamos sobre el primer miembro:
La función vectorial de C: 
r(t) = (x(t), y(t) , g(x(t), y(t)) ) = (x, y, z) 
Luego: (II)
Como z = g(x, y)= g(x(t), y(t)) en donde 
Por La Regla de la cadena: 
Entonces: 
De (II): r’(t) dt = dr= 
Con este cambio pasamos de la curva C a la curva C1
Sabemos que: F(x, y, z) = (P, Q, R)
Operando:
F.dr = (P, Q, R). 
F.dr = 
F.dr = 
F.dr =
Al definir el gráfico inicial, hemos definido a la curva C1 en el plano XY y le hemos asignado el sentido positivo, y es una curva simple y cerrada que circunscribe al dominio D de S. 
Por otro lado al analizar las funciones que han resultado de nuestro estudio: son funciones que dependen de P, Q, R y de f(x, y) que poseen derivadas parciales continuas por hipótesis.
Por tanto podemos afirmar que la integral definida en (C), cumple con el Teorema de Green, por tanto aplicaremos el teorema a dicha integral dada en (C).
Luego:
P’(x,y)= 
 y Q’= en done z = f(x, y)
Luego por el Teorema de Green tenemos:
Determinamos las derivadas parciales de P’ y Q’:
P’(x,y)=
 
Q’=
Como: por el T. De Clairaut
Operando:
Remplazando:
Comparando (I) con (II) vemos que son iguales, lqqd.
1
Ejemplo
Dado el campo vectorial F(x, y, z) = (yz, xz, xy) y siendo la superficie S la parte de la esfera dentro del cilindro =1 y encima del plano z = 0. Se pide verificar el Teorema de Stokes.
:
Interceptando la esfera con el 
cilindro:
Restando y operando: porque z>0
La curva C frontera de S se encuentra en el plano y en la superficie lateral del cilindro: r(t) = (cost, sent, ) 
Como: 
=1 
S
C
Calculando 
Como: r(t) = (cost, sent, ) y F= (yz, xz, xy) 
Entonces: r’(t) = ( -sent, cost, 0)
F(r(t))= (t, t, sentcost)
F(r(t)). r’(t) = ( -sent, cost, 0).(t, t, sentcost)=
F(r(t)). r’(t) = t+t= t
Remplazando:
0 (I)
Trabajando el segundo miembro:
rotF=
Remplazando:
Comparando ( I ) y ( II ): vemos que son iguales.
Teorema de la Divergencia
Sea “E” una región sólida simple y sea “S” la superficie frontera de E, dada con orientación positiva. Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes P, Q y R tienen derivadas parciales continuas, sobre una región abierta que contiene a E. Entonces:
Demostración:
Vamos a trabajar los dos miembros para llegar a una igualdad, tomando el segundo miembro:
==
=
Trabajando el primer miembro: F = ( P, Q, R )
Comparando ( I ) y ( II ):
Nuestro problema consiste en demostrar estas tres igualdades, las cuales las resolveremos para los casos particulares, por ejemplo para demostrar (3) usaremos una región tipo I dada por E = { (x, y, z)/ (x, y) εD, u1(x, y) z u2 (x, y)} 
Trabajando: 
I (A)
S1
Trabajando: 
Calculamos: 
=1
 
Calculamos: 
El signo menos (-) de N es porque apunta hacia abajo.
Remplazando:
 -
Calculamos: 
Como la superficie S3 es un cilindro cuya generatriz es paralela al eje ZZ, entonces el vector normal a esta superficie estará sobre un plano horizontal y por tanto tendrá la forma N3=(a1, a2, 0)
Por tanto: N3 .k=(a1, a2, 0).(0, 0, 1)=0
Remplazando:
Sumando estas tres integrales:
 
 (B)
Ejemplo
Sea F(x, y, z) = z tg-1(y2) i + z3 ln(x2+1) j + z k. Aplicando el teorema de la Divergencia encuentre el flujo que atraviesa la parte del paraboloide x2 + y2 + z = 2 que está encima del plano z=1 
Por el Teorema de la Divergencia:
 
E={(x,y,z) / (x, y)ϵD; 1}	 
D={(r,}
Como me piden el Flujo que atraviesa la
superficie del Paraboloide que está encima de z=1:
	 (1)
S2
D
Por F: P= ; Q= z3 ln(x2+1) ; R = z
DivF = =1
Remplazando:
)dA=
Cálculo de =
Como S1 es el plano z = 1: N2= (0, 0,-1)
F.N2=(z tg-1(y2) ,z3 ln(x2+1) ,z ).(0,0,-1)=-z
 
u
N
 
S 
C z=f(x,y) 
D 
1
C