Integrales de Linea-II

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“INTEGRALES DE LINEA”
La naturaleza de una integral de línea es similar a la de una integral simple, la única diferencia esta en que en vez de integrar en un intervalo lo hacemos a lo largo de una curva C.
Se inventaron en el S. XIX para resolver problemas en donde intervienen corrientes de fluido, fuerzas, electricidad, magnetismo.
Consideramos una curva plana C definida por las ecuaciones parametricas 
Esta curva estará dada mediante la función vectorial
Suponemos que C es una curva suave, con r’ continua y 
Si dividimos el intervalo de variación de t esto es en n subintervalos 
de longitud .
Por tanto si luego los puntos dividen a C en subarcos con longitudes 
 (
y
Como se muestra en la figura.
En el intervalo comprendido entre 
 y 
 tomamos un punto 
, le corresponderá un 
 que se encuentra en el 
subintervalo
 
x
)
 Si f es una función cualquiera de dos variables, cuyo dominio incluye a la curva C, evaluamos f en , la multiplicamos por la longitud del subarco y definimos la suma
 
Definición: si f esta definidas obre una curva suave C, dada por las ecuaciones parametricas , entonces la integral de línea de f a lo largo de C es:
 
Por lo visto anteriormente sabemos que 
Luego: 
 (
C
x
y
z
a
b
Si 
 entonces 
 representa el área de un lado de la “cerca” o cortina, cuya base es C y cuya altura en el punto 
(
x
,y
)
 es 
f(
x,y
)
 
Si C es un segmento de recta, esto es si t 
varia
 entre (a
,0
) y (b,0) entonces 
y=0
, luego 
f(
x,y
)=f(x,0)
 y por tanto 
f(x,0)
 es la traza 2 de la superficie entre 
(a,0)
 y 
(b,0)
)
La integral de línea es una integral ordinaria.
Si C es una curva suave a trozos, es decir, C es la curva de un número finito de curvas suaves , como se muestra en la figura.
 (
C
1
C
2
C
3
C
4
C
5
)
Ejemplo: Evalúe , donde C esta definida por el arco de la parábola entre (0, 0) y (1, 1) seguido por el segmento de recta entre (1,1) y (1,2)
 (
 1
1
2
)
Haciendo 
 
Para elegimos y como parámetro
 
Falta
Integrales de línea en el Espacio.
Suponemos que C es una curva suave dada por 
Usando la notación vectorial: 
Si 
También se dan las integrales de línea a lo largo de C con respecto a x, y, y
De modo análogo se puede escribir:
Ejemplo: Calcular donde C es la hélice circular dada por 
Luego: 
Reemplazando:
Ejemplo 2: 
Integrales de línea de campos vectoriales.
 (
 
m
 P
F
N
)
Supongamos que es un campo de fuerzas continuas en . Deseamos calcular el trabajo realizado por la fuerza de mover una partícula a lo largo de una curva C (
x
y
 
P
o
P
n
C
Dividamos C en 
subarcos
Con longitudes 
 de modo análogo el intervalo 
 del parámetro t queda dividido en n partes iguales 
Elegimos un punto
Del 
subarco
 
, que corresponde a l 
z
)
Si el arco es muy pequeño podemos aproximar dicho avance a través de la tangente en ese punto que es el vector unitario tangente en . Entonces el trabajo realizado por F al mover la partícula de es aproximadamente
El trabajo total realizado para mover la partícula a lo largo de C, será la suma aproximadamente
Luego 
Vemos que el W es la integral de línea, con respecto a la longitud de arco, de la componente tangencial de la fuerza.
Si la curva C esta dada por la función vectorial 
entonces: 
 y como 
Ejemplo: Hallar el W realizado por el campo de fuerza al mover una partícula a lo largo (del cuadrante) de la circunferencia situada en el I cuadrante de R=1
 (
1
)
 
A pesar de que es una integral de línea a lo largo de C, al invertir el camino o orientación esto se debe a que el vector unitario tangente se sustituye por su opuesto cuando se invierte la orientación de C.
Ejemplo: Evalúe donde y C es el cubo torcido dado por: 
Finalmente se observa la relación entre las integrales de línea de campos vectoriales e integrales de línea de campos escalares.
Si F es un campo vectorial sobre y esta dado por que actúa a lo largo de C.
“Teorema fundamental del calculo”
El teorema fundamental del cálculo para integrales simples dice:
 
donde F’ es continua en 
Si consideramos a (vector gradiente) de una función de f, como una especie de derivada de f , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del teorema fundamental para integrales de línea.
Teorema:
Sea C una curva suave dada por la función vectorial . Sea f una función diferenciable de dos o tres variables cuyo vector gradiente es continuo en C. Entonces
 
Dice que podemos calcular la integral de un campo vectorial conservativo *
Esta integral de línea de es el cambio total en f.
* Un campo vectorial F se llama conservativo si es el gradiente de alguna función escalar, es decir, si existe una función f tal que . F se llama función potencial.
 Demostración: 
Ejemplo: Calcule el W realizado por el campo gravitacional
 Al mover una partícula con masa en el punto a lo largo de una curva C suave a trozos.
Si F es un campo vectorial conservativo siendo una función escalar
 
Luego: 
 
Independencia de la trayectoria
Del ejemplo anterior podemos ver que la integral de línea es independiente de C y solo depende de las condiciones de inicio y fin, si los campos vectoriales son conservativos.
 (
Curva cerrada si sus extremos coinciden
 
va
 de B a 
A
 y si 
va de A 
a
 B 
 va de B a 
A
 por tanto -
 tienen el mismo inicio y el mismo final.
C
1
C
2
A
B
C
)
 
Teorema: es independiente de la trayectoria en D si y solo si para cualquier trayectoria cerrada C en D.
Si siempre que C sea una trayectoria cerrada en D, tomemos dos trayectorias de A a B en D y definamos C como la curva formada por seguida por 
Por tanto 
La interpretación física es que el trabajo realizado al mover un objeto en un campo de fuerza conservativo a lo largo de una trayectoria cerrada es cero.
Teorema:
Supongamos que F es un campo vectorial continuo en una región convexa abierta D (por tanto D no contiene ninguno de los puntos de su frontera). Si es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo en D, es decir, existe una función tal que 
 (
X=(
x
,y
)
) (
C
2
C
1
 
C
2
’
 
C
1
’
A=(
a
,b
)
D
Demostración:
Sea A=(a, b) un punto fijo en D. La función potencial deseada f se define como 
 para cualquier punto 
)
Como es independiente de la trayectoria, no importa cual trayectoria C, de (a,b) a (x,y), se utilice para evaluar f(x,y). Como D es abierta, existe un disco contenido en D con centro (x,y). Elijamos cualquier punto(x,y) del disco, con y construyamos C de manera que este formada por cualquier trayectoria de (a,b) a (x,y) seguida por el segmento de recta horizontal de .
Entonces: 
 
Como 
 
Como en 
 
Como es independiente del camino, ahora vamos de A a y de este a X, en donde 
Luego 
Derivando respecto a y: 
Como en 
Por tanto: 
Si 
 
Como en 
 
Luego 
Tipos de Curvas y regiones
 (
Curvas
Simple no cerrada
No simple no cerrada
Simple cerrada
No simple cerrada
)
 (
Regiones
Simplemente conexas
 
No son simplemente conexas
)
Teorema: Si es un campo vectorial conservativo donde P y Q tienen derivadas parciales continuas de orden en un dominio D, entonces en todo D se tiene que:
 
Por lo tanto se tiene que 
Como tiene derivadas parciales continuas de orden
 
Como por el Teorema de Clairaut
Entonces 
Teorema: Sea un campo vectorial sobre una región D abierta y simplemente conexa. Supongamos que P y Q tienen derivadas parciales continuas de orden y en toda la región D
Entonces F es conservativo.
Ejemplo: 
Determine si el campo vectorial es o no conservativo.
Como 
Como no es conservativo
Ejemplo: ¿Esconservativo o no?
Si es conservativo encuentre tal que 
Evalúe la integral de línea 
C es la curva dada por 
 cte de integración
Como es conservativo solo depende de las entonces
Si 
 
Teorema de Green
Green (1793 – 1841) científico ingles, estudio la teoría matemática de electricidad y magnetismo. Autodidacta y a los 40 ingreso a Cambridge y murió 4 años después de graduarse.
 (
D
C
C
D
Tipos de orientaciones
)
Teorema de Green
Sea una curva C suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada del plano, y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales contínuas en una región abierta que contiene a D entonces:
La notación se utiliza para indicar que la integral de linease calcula usando la orientación positiva de la curva cerrada.
Otra notación: 
 indica orientación positiva de la curva frontera
Esta ecuación comparada con el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo
 
Los miembros comprenden las derivadas y el segundo los valores de las funciones originales F, Q, P solo en la frontera. 
Demostración del Teorema de Green para los casos en que D es una región tipo I o II
Si Región tipo I
Tenemos que 
 y 
De (1) =
 
 (
C
1
C
2
C
3
C
4
D
a
b
Descomponiendo C en 
calcularemos
 
en
 c/u de ellas
En 
: Si tenemos como parámetro 
 
)
 En: Como el sentido es de derecha a izquierda, invertimos la orientación y calculamos . De modo análogo tomamos como parámetro a x luego 
La 
 
Para demostrar la otra tomamos 
Ejemplo: Evaluar donde C es la región definida por los segmentos de recta que unen los puntos (0,0), (1,0) y (0,1) en ese sentido 
Este problema lo podemos resolver como si fuera una integral a lo largo de .
 (
El cálculo se simplifica mucho si usa el Teorema de Green.
Por el T. de G: 
) (
0
C
1
y=1--x
C
2
C
3
1
1
)
Otra aplicación en el cálculo de áreas. Esto se da cuando
 
Existen varias posibilidades, por ejemplo cuando 
a) 
b) 
c) 
 
Ejemplo: calcular el área limitada por la elipse 
 (
a
b
0
)
Aunque el Teorema de Green se ha demostrado para regiones simplemente conexas es posible entenderlo para los casos cuando D es la unión finita de regiones simples.
 (
C
3
-
C
3
C
2
-
C
2
)
También el Teorema de Green se puede extender para calcular las integrales de regiones con agujeros o no simples conexas.
 (
C
2
C
1
1
D
Sean 
 y
dos superficies cerradas simples
Están orientadas de modo que al recorrer ambas curvas, 
la región D
 esta siempre a la izquierda.
 
dirección
 + y 
 dirección - 
)
Si dividimos D en dos regiones D’ y D’’ por rectas como se muestran en la siguiente figura y aplicamos el Teorema de Green a cada una de ellas.
 (
D’
D’’
)
Ejemplo: Si demuestre que para toda trayectoria cerrada simple que contiene al origen.
Como C es arbitraria es difícil calcular la integral dada, por tanto consideremos un círculo C’ orientado positivamente con centro en el origen y radio a de modo que se encuentre dentro de C
 (
C
D
C
’
Por el teorema visto
Como 
)
Entonces 
 
Por tanto: si podemos calcularla
[
]
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
t
z
t
y
t
x
f
dS
z
y
x
f
C
b
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ò
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ç
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æ
+
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ø
ö
ç
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æ
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2
2
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r
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ò
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(
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b
a
b
a
dt
t
r
S
dS
z
y
x
f
)
(
'
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1
)
,
,
(
ò
ò
=
C
b
a
dt
t
z
t
z
t
y
t
x
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dz
z
y
x
f
)
(
'
))
(
),
(
),
(
(
)
,
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ò
ò
ò
ò
+
+
=
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+
C
C
C
C
Rdz
Qdy
Pdx
dz
z
y
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R
dy
z
y
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Q
dx
z
y
x
P
)
,
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,
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ø
ö
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ø
ö
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æ
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1
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,
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2
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p
p
p
p
p
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2
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segmento
C
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recta
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C
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A
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5
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4
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5
,
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(
)
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4
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2
2
2
49
2
29
10
2
29
10
)
26
10
(
)
5
10
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4
(
5
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