Trasformacion Delaplace-I

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Análisis Matemático III 
UNIVERSIDAD DE PIURA 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
L dttfestf
st )()()}({
0

  
L-1 )()}({ tfs  transformada inversa de Laplace 
 
f(t) )}({)( tfLs  
0 
1 
s
1
 
0 
t 
2
1
s
 
0 
 
e
at 
 
as 
1
 
a 
 
t
n
 
1
!
ns
n
 
0 
 
btsen 
22 bs
b

 
0 
 
btcos 
22 bs
s

 
0 
 
btsenh 
22 bs
b

 
|b| 
 
btcosh 
22 bs
s

 
|b| 
 
...),3,2,1( nte nat 
1)(
!
 nas
n
 
a 
 
 
 
PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
 
1. Linealidad: 
221122112211
)({)({)}()({  cctfctfctfctfc  LLL 
2. Cambio de escala: )/(
||
1
}({)()}({ as
a
atfstf   LL 
3. Derivadas: )0()0()0()()({L
)1(21)(   nnnnn ffsfssstf  
 
4. Integral:  
t
a a
dttf
s
s
s
dttf
0
)(
1
)(
1
})({L  
 
5. Primer Teorema de Traslación: Si )()}({)()}({ astfestf at   LL 
6. Segundo teorema de Traslación: 
 )()}()({)()}({ seatuatfstf
as  LL 






at
at
atu
 
 
0
1
)( 
 
Análisis Matemático III 
UNIVERSIDAD DE PIURA 
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 
 
a) Propiedad de linealidad: Si )()}({L 11
1 tfs   y )()}({L 22
1 tfs   , entonces 
)}({)}({)()({)}({
2
1
21
1
2211
11 sasasasas    LLLL 
)()( 2211 tfatfa  
b) Primer Teorema de Traslación: )()}({)}({
11 tfeseas atat    LL 
c) Segundo Teorema de Traslación: )()()}({
1 atfatuse as  L 
Algunos teoremas especiales )()}({ stf L 
Teorema 1: )()}({ sttf L )}({
1
)}({ 11 s
t
s    LL 
Teorema 2: 








s
dss
t
tf
)(
)(
L 

 
s
dsststf })({)}({)( 11  LL 
Descomposición en fracciones simples )}(/)({)( 1 sqsptf  L 
Teorema 1: Si ))()()()(()( nasasasassq  321 
u
u
as
A
as
A
as
A
sq
sp





 
2
2
1
1
)(
)(
 
)/()(
)(
i
as
i
assq
sp
limA
i 


 
ta
i
ieAtf  )( 
 
Teorema 2: Factor Lineal repetido en q(s) 
 
])/()(/[)()( rassqspsG  
 
)(
)()()()(
)(
)(
2
21 sh
as
Ar
as
A
as
A
sq
sp
s
r






  
 
!
)()(
k
sG
limA
k
as
Kr

  1,1,0  rK  ; 
at
n
n
e
n
t
as )!1()(
1 11










L 
 
at
rrrr
e
r
t
aG
r
taG
t
r
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r
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tf 
















)!1(
)(
)!2(
)(
)!2(
)(
)!1(
)(
)(
12)2()1(
 +... 
 
Teorema 3: Factor cuadrático irreducible:  22)( bas  




























  )(
)()[(
)(
)(
)(
)(
)(
22
1
22
11
1
sh
bas
BAs
bas
sG
sq
sp
tf
tf

LLL 
Análisis Matemático III 
UNIVERSIDAD DE PIURA 
]cos[)(1 senbtGbtG
b
e
tf ri
at


 
 )(Im ibaGGi   )(Re ibaGGr  
 
Teorema de convolución: 
)().()}({)}.({}*{ sGsFtgLtfLgfL  
fgdgtfgf t *)()(* 0   = )}().({
1 sGsFL 
 
Teorema del valor inicial: 
 )}({)0()(
0
tfsLlimftflim
st 


 
 
Teorema del valor final: 
 )}({)( tfsLlimtflim
ss 0
 
 
Transformada de función periódica 
Si )(tf es periódica (T=período), entonces: 
 
 sT
T
st
e
dtetf
tfL









1
).(
)}({
0