Ejercicios valor absoluto

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|−𝑥| = |(−1)𝑥| = |−1||𝑥| = |𝑥|. 
 
Ejercicio 3.1. Demostrar la desigualdad triangular: |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|. 
 
Solución. 
 
Teorema 3.2. Para todo 𝑥 ∈ ℝ, se tiene: 
 
1. |𝑥|2 = 𝑥2 [1, 2, 3]. 
2. |𝑥2| = 𝑥2 [1, 2, 3]. 
 
Aplicando el Teorema 3.2, se tiene: 
 
|𝑥 + 𝑦|2 = (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2. 
 
Teorema 3.3. Para todo 𝑥 ∈ ℝ, se tiene: 
 
|𝑥| ≥ −𝑥 ∧ |𝑥| ≥ 𝑥 [1, 2, 3]. 
 
Aplicando el Teorema 3.3, se tiene: 
 
𝑥 ≤ |𝑥| ⟹ 2𝑥𝑦 ≤ |2𝑥𝑦| ⟹ 2𝑥𝑦 ≤ |2||𝑥||𝑦| ⟹ 2𝑥𝑦 ≤ 2|𝑥||𝑦| 
 
⟹ 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ≤ 𝑥2 + 2|𝑥||𝑦| + 𝑦2. 
 
Aplicando el Teorema 3.2, se tiene: 
 
⟹ 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ≤ |𝑥|2 + 2|𝑥||𝑦| + |𝑦|2 ⟹ (𝑥 + 𝑦)2 ≤ (|𝑥| + |𝑦|)2 
 
⟹ |𝑥 + 𝑦|2 ≤ (|𝑥| + |𝑦|)2 ⟹ |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|. 
 
Ejercicio 3.2. Resolver la siguiente ecuación: |𝑥 − 5| = 2𝑥. 
 
Solución. 
 
Teorema 3.5. 
 
|𝑥| = 𝑏 ⇔ [𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑥 = −𝑏 ∨ 𝑥 = 𝑏)]. 
 
Aplicando el teorema 3.5. 
 
|𝑥 − 5| = 2𝑥 ⇔ [2𝑥 ≥ 0 ∧ (𝑥 − 5 = −2𝑥 ∨ 𝑥 − 5 = 2𝑥)] 
 
⇒ [𝑥 ≥ 0 ∧ (3𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = −5)] ⇒ [𝑥 ≥ 0 ∧ (𝑥 = 5/3 ∨ 𝑥 = −5)] 
 
⇒ [𝑥 ∈ [0,+∞⟩ ∧ (𝑥 ∈ {5/3} ∨ 𝑥 ∈ {−5})] ⇒ (𝑥 ∈ [0,+∞⟩ ∧ 𝑥 ∈ {−5, 5/3}) 
 
⇒ 𝑥 ∈ ([0,+∞⟩ ∩ {−5, 5/3}) ⇒ 𝑥 ∈ {5/3} ≡ 𝑥 = 5/3. 
 
Comprobando la solución en Wolfram Mathematica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3.3. Resolver la siguiente ecuación: |𝑥2 − 3𝑥 − 7| = 3. 
 
Solución. 
 
Aplicando el teorema 3.5. 
 
|𝑥2 − 3𝑥 − 7| = 3 ⇔ [3 ≥ 0 ∧ (𝑥2 − 3𝑥 − 7 = −3 ∨ 𝑥2 − 3𝑥 − 7 = 3)] 
 
⇒ [V ∧ (𝑥2 − 3𝑥 − 7 = −3 ∨ 𝑥2 − 3𝑥 − 7 = 3)] ⇒ (𝑥2 − 3𝑥 − 7 = −3 ∨ 𝑥2 − 3𝑥 − 7 = 3) 
 
⇒ (𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 ∨ 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0) ⇒ [(𝑥 − 4)(𝑥 + 1) = 0 ∨ (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0] 
 
⇒ [(𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 4) ∨ (𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 5)] ⇒ (𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 5) 
 
⇒ (𝑥 ∈ {−2} ∨ 𝑥 ∈ {−1} ∨ 𝑥 ∈ {4} ∨ 𝑥 ∈ {5}) ≡ 𝑥 ∈ {−2, − 1, 4, 5}. 
 
Comprobando la solución en Wolfram Mathematica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3.5. Resolver la inecuación: |𝑥2 − 4| ≥ −2𝑥 + 4. 
 
Solución. 
 
Teorema 3.6. Sean 𝑥, 𝑎 ∈ ℝ, entonces: 
 
1. |𝑥| ≤ 𝑎 ⇔ [𝑎 ≥ 0 ∧ (−𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎)] [1, 2, 3]. 
2. |𝑥| ≥ 𝑎 ⇔ [𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎] [1, 2, 3]. 
 
Aplicando la propiedad 2 del teorema 3.6 
 
|𝑥2 − 4| ≥ −2𝑥 + 4 ⇔ [𝑥2 − 4 ≤ 2𝑥 − 4 ∨ 𝑥2 − 4 ≥ −2𝑥 + 4] ⇒ [𝑥2 − 2𝑥 ≤ 0 ∨ 𝑥2 + 2𝑥 − 8 ≥ 0] 
 
⇒ [𝑥(𝑥 − 2) ≤ 0 ∨ (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) ≥ 0] ⇒ [𝑥 ∈ [0, 2] ∨ 𝑥 ∈ (⟨−∞, −4] ∪ [2, +∞⟩)] 
 
⇒ 𝑥 ∈ (⟨−∞, −4] ∪ [0, +∞⟩) ≡ 𝑥 ≤ −4 ∨ 𝑥 ≥ 0. 
 
Comprobando la solución en Wolfram Mathematica