Ejercicio 2 6

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Ejercicio 2.6. Resolver la inecuación: √𝑥 + 1 + √𝑥 + 2 < 3. 
 
Solución. 
 
La inecuación es equivalente a: 
 
√𝑥 + 1 < 3 − √𝑥 + 2. 
 
 Teorema 2.7. Para 𝑎 y 𝑏 en ℝ se cumplen las siguientes propiedades: 
1. √𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ [𝑎 ≥ 0 ∧ (𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 ≤ 𝑏2)] [1, 2]. 
2. √𝑎 < 𝑏 ⇔ [𝑎 ≥ 0 ∧ (𝑏 > 0 ∧ 𝑎 < 𝑏2)] [1, 2]. 
 
Aplicando la propiedad 2 del teorema 2.7: 
 
√𝑥 + 1 < 3 − √𝑥 + 2 ⇔ [𝑥 + 1 ≥ 0 ∧ (3 − √𝑥 + 2 > 0 ∧ 𝑥 + 1 < 9 − 6√𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)] 
 
⇔ [𝑥 ≥ −1 ∧ (3 > √𝑥 + 2 ∧ 0 < 10 − 6√𝑥 + 2)] 
 
⇔ [𝑥 ≥ −1 ∧ (√𝑥 + 2 < 3 ∧ 6√𝑥 + 2 < 10)] 
 
⇔ [𝑥 ≥ −1 ∧ (√𝑥 + 2 < 3 ∧ √𝑥 + 2 <
5
3
)] . 
 
Resolviendo por separado √𝑥 + 2 < 3 y √𝑥 + 2 < 5/3 
 
 
Aplicando nuevamente la propiedad 2 del teorema 2.7: 
 
√𝑥 + 2 < 3 ⇔ [𝑥 + 2 ≥ 0 ∧ (3 > 0 ∧ 𝑥 + 2 < 9)] ⇔ [𝑥 ≥ −2 ∧ (V ∧ 𝑥 < 7)] ⇔ (𝑥 ≥ −2 ∧ 𝑥 < 7) 
 
⇔ 𝑥 ∈ [−2, 7⟩. 
 
√𝑥 + 2 < 5/3 ⇔ [𝑥 + 2 ≥ 0 ∧ (5/3 > 0 ∧ 𝑥 + 2 < 25/9)] ⇔ [𝑥 ≥ −2 ∧ (V ∧ 𝑥 < 7/9)] 
 
⇔ (𝑥 ≥ −2 ∧ 𝑥 < 7/9) ⇔ 𝑥 ∈ [−2, 7/9⟩. 
 
[𝑥 ≥ −1 ∧ (√𝑥 + 2 < 3 ∧ √𝑥 + 2 <
5
3
)] ⟹ {𝑥 ≥ −1 ∧ [(𝑥 ≥ −2 ∧ 𝑥 < 7) ∧ (𝑥 ≥ −2 ∧ 𝑥 < 7/9)]} 
 
 
 
 
 
 
 
 
⟹ [𝑥 ≥ −1 ∧ (𝑥 ≥ −2 ∧ 𝑥 < 7/9)] ⟹ (𝑥 ≥ −1 ∧ 𝑥 < 7/9) ⟹ 𝑥 ∈ [−1, 7/9⟩. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∴ CS = 𝑥 ∈ [−1, 7/9⟩. 
−∞ −2 7 +∞ 7/9 
−∞ −2 7/9 −1 +∞ 
Verificando la solución en Wolfram Mathematica: