Teorema de la Divergencia-I

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Teorema de la divergencia
Teniendo el teorema de Green en una versión vectorial se sabe que donde C es la curva de frontera positivamente orientada de la región plana D. Si buscáramos extender este teorema a campos vectoriales en , podríamos hacer el cálculo de que donde S es la superficie de frontera de la región solida E. Resulta que la ecuación 1 es verdadera, bajo apropiadas hipótesis y se denominan Teorema de la divergencia. Observe su similitud al Teorema de Green y al teorema de Stokes en que relaciona la integral de una derivada de una función (div F en este caso) sobre una región a la integral de la función original F sobre la frontera de la región.
Sea E una región solida simple y sea S la superficie de frontera E, dada con orientación positiva(hacia afuera).Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene E. Entonces 
 
Entonces el teorema de la divergencia dice que, bajo las condiciones dadas, el flujo de F por la superficie de frontera de E es igual a la integral triple de la divergencia de F sobre E
Demostración 
 Sea F= P i + Q j + R k Entonces
 div F= 
De modo que 
Si n es la normal unitaria de S hacia afuera, entonces la integral de superficie en el lado izquierdo del teorema de la divergencia es