Teorema de la Divergencia-II

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TEOREMA DE DIVERGENCIA.
El Teorema de la divergencia también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky.
El teorema fue descubierto originariamente por Joseph Louis Lagrange en 1762, e independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George Green en 1825 y en 1831 por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, que también dio la primera demostracion del teorema. Posteriormente, variaciones del teorema de divergencia se conocen como teorema de Gauss, el teorema de Green, y teorema de Ostrogradsky.
Es una analogía, en tres dimensiones, del Teorema de Green en el plano, donde en este caso se establece la relación que existe entre una integral sobre la superficie S y la integral triple de una región sólida E, en la cual la superficie S es su frontera.
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA: 
Sea B una región sólida en el espacio limitada por una superficie simple y cerrada S, con orientación positiva y sea F un campo vectorial tal que sus funciones componentes tengan derivadas parciales continuas de primer orden en la región B y e incluso en S entonces: 
DEMOSTRACIÓN:
Sea 
Entonces
 
Si n es la normal unitaria hacia afuera de S, entonces la integral del lado izquierdo de la superficie del teorema de la divergencia es:
Con las siguientes ecuaciones se podrá demostrar el teorema de divergencia:
 
 
 
Para demostrar emplearemos el hecho de que B es una región tipo 1:
 
		 S
			 
							
		
D
Donde D es la proyección de B sobre el plano xy
Por el teorema fundamental del cálculo tenemos:
La superficie de frontera S esta formada por tres partes: las superficies , y una .Notese que sobre tenemos k.n=0, porque k es vertical y n es horizontal y por esto:
Entonces sin considerar la existencia de una superficie vertical, podemos escribir:
 
La ecuación es y la normal n hacia afuera apunta hacia arriba, de modo que la ecuación:
En tenemos , pero aquí la normal n hacia afuera apunta hacia abajo, de modo que la multiplicamos por -1:
Por tanto:
La comparación con la ecuación 5 muestra que
EJEMPLO 1: Calcular el flujo del campo F(x; y; z) = (0; + tanz; y2) a través del semielipide superior 2x2 + 3y2 + z2 = 6, z 0 con su normal apuntando hacia arriba.
SoluciónO
y
z
x
S1
S2
Resolveremos este problema por el teorema de la divergencia. Si observamos que div F = 0, y llamando (ver figura) S = y V el volumen encerrado por S, podemos plantear:
 (1)
Nos interesa la integral no sobre toda la superficie S, sino sólo sobre S2. Puesto que la integral es un concepto aditivo respecto al dominio de integración, tendremos
 (2)
Vemos que la integral sobre S2 es la misma que la integral sobre S1 cambiada de signo. Calcularemos, pues, esta última, que aparenta ser más sencilla, dado que la normal es un vector vertical y además la superficie carece de componente z. S1 es una elipse sobre el plano xy, 2x2 + 3y2 = 6, que puede ser parametrizada directamente en coordenadas cartesianas como T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)), donde:
 ,
Donde los límites para x y y han sido despejados de la ecuación de la elipse. Para esta parametrización, tenemos que el producto vectorial fundamental será:
Si ejecutáramos el PVF en el orden inverso, nos daría -k. ¿Cuál debemos elegir? El enunciado nos pide que la normal de la superficie elipsoidal apunte hacia arriba, lo cual significa que apunte hacia el exterior del volumen indicado en la figura, que es el que usamos para plantear el teorema de la divergencia. Por lo tanto, para la base también deberemos tomar la normal exterior a dicho volumen, esto es, -k.
Por lo tanto la integral que buscamos vendrá expresada por:
Luego, reemplazando en (2) tenemos 
Que es el resultado que buscábamos. Podrían haberse utilizado también coordenadas elípticas, que hubieran simplificado la integral pero a costa de una mayor complejidad en el cálculo del PVF, lo que significaba aproximadamente el mismo trabajo que operando en cartesianas.
Ejemplo 2: 
Calcular el flujo del campo vectorial a través de la superficie esférica.
					 Z
									 Y										 2			
					2	
 X
Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es . 
Entonces:
Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:
2
3
0
0
div.
 
por teor.
0
ser 
por 
=
×
Þ
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ý
ü
×
=
×
Ñ
=
×
Ñ
òò
òò
òòò
òòò
¯
¯
=
×
Ñ
S
S
V
V
dV
dV
dS
F
dS
F
F
F
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òò
òò
òò
òò
òò
×
-
=
×
Þ
=
×
+
×
=
×
¯
1
2
2
1
0
(1)
 
ec.
por 
S
S
S
S
S
dS
F
dS
F
dS
F
dS
F
dS
F
ï
î
ï
í
ì
£
£
-
£
£
-
=
=
=
2
3
2
2
3
2
-
2
-
2
3
3
 
,
0
x
y
x
x
z
y
y
x
x
k
k
j
i
T
T
N
=
=
´
=
0
1
0
0
0
1
y
x
(
)
(
)
p
p
2
3
8
27
3
2
9
4
3
3
2
/
3
2
2
/
3
3
2
3
1
-
3
3
/
2
-
3
3
/
2
3
3
3
3
1
3
3
-
3
3
/
2
-
3
3
/
2
2
3
3
(2/3)
-
2
(2/3)
-
2
2
3
3
(2/3)
-
2
(2/3)
-
2
2
tablas
-
3
2
)
1
;
0
;
0
(
)
;
0
;
0
(
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
-
=
×
-
=
=
-
=
-
=
-
=
-
=
-
×
=
×
=
×
¯
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ò
ò
ò
ò
ò
ò
òò
ò
ò
òò
dx
x
dydx
y
dydx
y
dydx
y
dydx
y
dS
x
x
x
x
x
x
S
x
x
S
N
F
dS
F
p
2
3
1
2
=
×
-
=
×
òò
òò
S
S
dS
F
dS
F
6