Funciones Vectoriales de Variable Real

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Funciones vectoriales
de variable real
MSc Daniel G. Camacho
Universidad de Piura
Marzo 2010
1 Lı́mites y continuidad
2 Lı́mite
3 Continuidad
Funciones
vectoriales
de variable real
MSc Daniel G.
Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Funciones vectoriales de variable real
Una función vectorial de una variable real, es una función
del tipo
f : I ⊆ < → <n
f(t) es un punto en<n, entonces
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Cada función xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una función
real de variable real.
Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominan
funciones coordenadas de la función f .
Funciones
vectoriales
de variable real
MSc Daniel G.
Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Funciones vectoriales de variable real
Una función vectorial de una variable real, es una función
del tipo
f : I ⊆ < → <n
f(t) es un punto en<n, entonces
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Cada función xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una función
real de variable real.
Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominan
funciones coordenadas de la función f .
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MSc Daniel G.
Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Funciones vectoriales de variable real
Una función vectorial de una variable real, es una función
del tipo
f : I ⊆ < → <n
f(t) es un punto en<n, entonces
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Cada función xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una función
real de variable real.
Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominan
funciones coordenadas de la función f .
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de variable real
MSc Daniel G.
Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Funciones vectoriales de variable real
Una función vectorial de una variable real, es una función
del tipo
f : I ⊆ < → <n
f(t) es un punto en<n, entonces
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Cada función xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una función
real de variable real.
Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominan
funciones coordenadas de la función f .
Funciones
vectoriales
de variable real
MSc Daniel G.
Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Lı́mite
Definición:
Sea f : I ⊆ < → <n una función definida en un intervalo abierto
I de< y sea t0 un punto de I o un punto de frontera de I. Se dice
que el lı́mite de la función f , cuando t tiende a t0, es L(∈ <n),
lo cual se escribe como
lı́m
t→t0
f(t) = L
si dado cualquier � > 0, existe un δ > 0 tal que
t ∈ I, 0 < |t − t0| < δ⇒ ‖f(t) − L‖ < �
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Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Teorema:
Sea f : I ⊆ < → <n una función vectorial de variable real.
Entonces lı́mt→t0 f(t) = L = (l1, l2, . . . , ln) ∈ <
n, si y sólo si
lı́mt→t0 xi(t) = li , donde f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)).
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vectoriales
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Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Definición:
Sea f : I ⊆ < → <n una función definida en el subconjunto
abierto I de< y sea t0 ∈ I. Se dice que f es continua en t0 si
lı́m
t→t0
f(t) = f(t0)
Funciones
vectoriales
de variable real
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Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Una función continua t0 tiene la propiedad de que un
pequeño cambio en t produce pequeños movimientos en
las imágenes f(t) alrededor de f(t0).
Para una función continua,de la definición de lı́mite:
|t − t0| < δ
t está cerca de t0en menos que δ
⇒ ‖f(t) − f(t0)‖ < �
f(t) está cerca de f(t0)en menos que �
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Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Una función continua t0 tiene la propiedad de que un
pequeño cambio en t produce pequeños movimientos en
las imágenes f(t) alrededor de f(t0).
Para una función continua,de la definición de lı́mite:
|t − t0| < δ
t está cerca de t0en menos que δ
⇒ ‖f(t) − f(t0)‖ < �
f(t) está cerca de f(t0)en menos que �
Funciones
vectoriales
de variable real
MSc Daniel G.
Camacho
Lı́mites y
continuidad
Lı́mite
Continuidad
Teorema:
Sea f : I ⊆ < → <n una función definida en el intervalo abierto
I de<, digamos que f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t). Sea t0 ∈ I.
La función f es continua en t0 si y sólo si sus funciones
coordenadas xi : I ⊆ < → < lo son.
	Límites y continuidad
	Límite
	Continuidad