Reparametrizaciones

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Reparametrizaciones
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrizaciones
Reparametrizaciones
MSc Daniel G. Camacho
Universidad de Piura
Marzo 2010
Reparametrizaciones
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrizaciones
1 Reparametrizaciones
Reparametrizaciones
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrizaciones
Un camino f : I ⊆ < → <n es un objeto matemático que
puede ser caracterizado por:
La curva que describe en el espacio<n.
El sentido en que recorre la curva.
La velocidad con que recorre la curva.
Uno de los objetivos fundamentales en el estudio de los
caminos f : I ⊆ < → <n es el estudio de las propiedades
geométricas de las curvas que éstos generan.
Estas propiedades no dependen de la velocidad con que
se genera la curva sino de la “curva en sı́”, esto es, de la
forma geométrica de la imagen del camino.
Es por medio del camino f que se estudian tales
propiedades.
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Un camino f : I ⊆ < → <n es un objeto matemático que
puede ser caracterizado por:
La curva que describe en el espacio<n.
El sentido en que recorre la curva.
La velocidad con que recorre la curva.
Uno de los objetivos fundamentales en el estudio de los
caminos f : I ⊆ < → <n es el estudio de las propiedades
geométricas de las curvas que éstos generan.
Estas propiedades no dependen de la velocidad con que
se genera la curva sino de la “curva en sı́”, esto es, de la
forma geométrica de la imagen del camino.
Es por medio del camino f que se estudian tales
propiedades.
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Un camino f : I ⊆ < → <n es un objeto matemático que
puede ser caracterizado por:
La curva que describe en el espacio<n.
El sentido en que recorre la curva.
La velocidad con que recorre la curva.
Uno de los objetivos fundamentales en el estudio de los
caminos f : I ⊆ < → <n es el estudio de las propiedades
geométricas de las curvas que éstos generan.
Estas propiedades no dependen de la velocidad con que
se genera la curva sino de la “curva en sı́”, esto es, de la
forma geométrica de la imagen del camino.
Es por medio del camino f que se estudian tales
propiedades.
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Un camino f : I ⊆ < → <n es un objeto matemático que
puede ser caracterizado por:
La curva que describe en el espacio<n.
El sentido en que recorre la curva.
La velocidad con que recorre la curva.
Uno de los objetivos fundamentales en el estudio de los
caminos f : I ⊆ < → <n es el estudio de las propiedades
geométricas de las curvas que éstos generan.
Estas propiedades no dependen de la velocidad con que
se genera la curva sino de la “curva en sı́”, esto es, de la
forma geométrica de la imagen del camino.
Es por medio del camino f que se estudian tales
propiedades.
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Un camino f : I ⊆ < → <n es un objeto matemático que
puede ser caracterizado por:
La curva que describe en el espacio<n.
El sentido en que recorre la curva.
La velocidad con que recorre la curva.
Uno de los objetivos fundamentales en el estudio de los
caminos f : I ⊆ < → <n es el estudio de las propiedades
geométricas de las curvas que éstos generan.
Estas propiedades no dependen de la velocidad con que
se genera la curva sino de la “curva en sı́”, esto es, de la
forma geométrica de la imagen del camino.
Es por medio del camino f que se estudian tales
propiedades.
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Un camino f : I ⊆ < → <n es un objeto matemático que
puede ser caracterizado por:
La curva que describe en el espacio<n.
El sentido en que recorre la curva.
La velocidad con que recorre la curva.
Uno de los objetivos fundamentales en el estudio de los
caminos f : I ⊆ < → <n es el estudio de las propiedades
geométricas de las curvas que éstos generan.
Estas propiedades no dependen de la velocidad con que
se genera la curva sino de la “curva en sı́”, esto es, de la
forma geométrica de la imagen del camino.
Es por medio del camino f que se estudian tales
propiedades.
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Un camino f : I ⊆ < → <n es un objeto matemático que
puede ser caracterizado por:
La curva que describe en el espacio<n.
El sentido en que recorre la curva.
La velocidad con que recorre la curva.
Uno de los objetivos fundamentales en el estudio de los
caminos f : I ⊆ < → <n es el estudio de las propiedades
geométricas de las curvas que éstos generan.
Estas propiedades no dependen de la velocidad con que
se genera la curva sino de la “curva en sı́”, esto es, de la
forma geométrica de la imagen del camino.
Es por medio del camino f que se estudian tales
propiedades.
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Reparametrizaciones
En esta sección estudiaremos los relacionado con el
parentesco existente entre los diversos caminos que
generan una misma curva.
Dicho parentesco se denomina reparametrización.
La reparametrización de un camino es un cambio de
variable.
Consideremos que la variable de un camino es el tiempo
t . Entonces, una cambio de variable implica un cambio de
dominio, es decir, un cambio de escala de tiempo.
El cambio en la escala de tiempo implica un cambio en la
velocidad de recorrido de la curva.
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En esta sección estudiaremos los relacionado con el
parentesco existente entre los diversos caminos que
generan una misma curva.
Dicho parentesco se denomina reparametrización.
La reparametrización de un camino es un cambio de
variable.
Consideremos que la variable de un camino es el tiempo
t . Entonces, una cambio de variable implica un cambio de
dominio, es decir, un cambio de escala de tiempo.
El cambio en la escala de tiempo implica un cambio en la
velocidad de recorrido de la curva.
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En esta sección estudiaremos los relacionado con el
parentesco existente entre los diversos caminos que
generan una misma curva.
Dicho parentesco se denomina reparametrización.
La reparametrización de un camino es un cambio de
variable.
Consideremos que la variable de un camino es el tiempo
t . Entonces, una cambio de variable implica un cambio de
dominio, es decir, un cambio de escala de tiempo.
El cambio en la escala de tiempo implica un cambio en la
velocidad de recorrido de la curva.
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En esta sección estudiaremos los relacionado con el
parentesco existente entre los diversos caminos que
generan una misma curva.
Dicho parentesco se denomina reparametrización.
La reparametrización de un camino es un cambio de
variable.
Consideremos que la variable de un camino es el tiempo
t . Entonces, una cambio de variable implica un cambio de
dominio, es decir, un cambio de escala de tiempo.
El cambio en la escala de tiempo implica un cambio en la
velocidad de recorrido de la curva.
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En esta sección estudiaremos los relacionado con el
parentesco existente entre los diversos caminos que
generan una misma curva.
Dicho parentesco se denomina reparametrización.
La reparametrización de un camino es un cambio de
variable.
Consideremos que la variable de un camino es el tiempo
t . Entonces, una cambio de variable implica un cambio de
dominio, es decir, un cambio de escala de tiempo.
El cambio en la escala de tiempo implica un cambio en la
velocidad de recorrido de la curva.
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Reparametrizaciones Sea f : I ⊆ < → <n un camino definido en el intervalo I.
Para obtener una reparametrización de f simplemente hay
que dejar correr el tiempo t en I de otra manera.
Este lo logramos con la función ϕ : J → I de variable s.
Mientras la variable s recorre el intervalo J, las imágenes
ϕ(s) recorrerán el intervalo I.
La función ϕ debe ser sobreyectiva para asegurarnos quegenera todos los valores en I.
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Reparametrizaciones Sea f : I ⊆ < → <n un camino definido en el intervalo I.
Para obtener una reparametrización de f simplemente hay
que dejar correr el tiempo t en I de otra manera.
Este lo logramos con la función ϕ : J → I de variable s.
Mientras la variable s recorre el intervalo J, las imágenes
ϕ(s) recorrerán el intervalo I.
La función ϕ debe ser sobreyectiva para asegurarnos que
genera todos los valores en I.
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Reparametrizaciones Sea f : I ⊆ < → <n un camino definido en el intervalo I.
Para obtener una reparametrización de f simplemente hay
que dejar correr el tiempo t en I de otra manera.
Este lo logramos con la función ϕ : J → I de variable s.
Mientras la variable s recorre el intervalo J, las imágenes
ϕ(s) recorrerán el intervalo I.
La función ϕ debe ser sobreyectiva para asegurarnos que
genera todos los valores en I.
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Reparametrizaciones Sea f : I ⊆ < → <n un camino definido en el intervalo I.
Para obtener una reparametrización de f simplemente hay
que dejar correr el tiempo t en I de otra manera.
Este lo logramos con la función ϕ : J → I de variable s.
Mientras la variable s recorre el intervalo J, las imágenes
ϕ(s) recorrerán el intervalo I.
La función ϕ debe ser sobreyectiva para asegurarnos que
genera todos los valores en I.
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Reparametrizaciones Sea f : I ⊆ < → <n un camino definido en el intervalo I.
Para obtener una reparametrización de f simplemente hay
que dejar correr el tiempo t en I de otra manera.
Este lo logramos con la función ϕ : J → I de variable s.
Mientras la variable s recorre el intervalo J, las imágenes
ϕ(s) recorrerán el intervalo I.
La función ϕ debe ser sobreyectiva para asegurarnos que
genera todos los valores en I.
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Reparametrizaciones Podemos concebir una reparametrización como resultado
de la composición de f con ϕ.
f : I ⊆ < → <n
ϕ : J → I
f ◦ ϕ : J ⊆ < → <n
Si queremos que la composición sea también un camino
debemos exigir que ϕ sea continua.
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Reparametrizaciones Podemos concebir una reparametrización como resultado
de la composición de f con ϕ.
f : I ⊆ < → <n
ϕ : J → I
f ◦ ϕ : J ⊆ < → <n
Si queremos que la composición sea también un camino
debemos exigir que ϕ sea continua.
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Si el camino f es diferenciable (de clase C 1) nos gustarı́a
que esta propiedad no se perdiera con la
reparametrización g = f ◦ ϕ.
Por lo tanto, pediremos que ϕ sea diferenciable (de clase
C 1).
En estas condiciones, según la regla de la cadena
g′(s) = (f ◦ ϕ)′(s) = f ′(ϕ(s))ϕ′(s), s ∈ J
Esta fórmula nos dice que el camino g se mueve, en el
punto g(s) ∈ <n, a una velocidad igual a ϕ′(s) veces la
velocidad con que se mueve el camino f en dicho punto
(t = ϕ(s)).
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Reparametrizaciones Ejemplo:
Sea dado el camino f : [−1, 1]→<2 definido por f(t) = (t , t2).
Se trata de un camino regular:
f ′(t) = (1, 2t) , (0, 0)∀t ∈ [−1, 1].
Sea ϕ : [0, 2π]→ [−1, 1] dada por t = ϕ(s) = − cos s.
ϕ es sobreyectiva y diferenciable.
g(s) = (f ◦ ϕ)(s) = f(ϕ(s)) = (− cos s, cos2 s)
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Reparametrizaciones Ejemplo:
Sea dado el camino f : [−1, 1]→<2 definido por f(t) = (t , t2).
Se trata de un camino regular:
f ′(t) = (1, 2t) , (0, 0)∀t ∈ [−1, 1].
Sea ϕ : [0, 2π]→ [−1, 1] dada por t = ϕ(s) = − cos s.
ϕ es sobreyectiva y diferenciable.
g(s) = (f ◦ ϕ)(s) = f(ϕ(s)) = (− cos s, cos2 s)
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Reparametrizaciones Ejemplo:
Sea dado el camino f : [−1, 1]→<2 definido por f(t) = (t , t2).
Se trata de un camino regular:
f ′(t) = (1, 2t) , (0, 0)∀t ∈ [−1, 1].
Sea ϕ : [0, 2π]→ [−1, 1] dada por t = ϕ(s) = − cos s.
ϕ es sobreyectiva y diferenciable.
g(s) = (f ◦ ϕ)(s) = f(ϕ(s)) = (− cos s, cos2 s)
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Reparametrizaciones Ejemplo:
Sea dado el camino f : [−1, 1]→<2 definido por f(t) = (t , t2).
Se trata de un camino regular:
f ′(t) = (1, 2t) , (0, 0)∀t ∈ [−1, 1].
Sea ϕ : [0, 2π]→ [−1, 1] dada por t = ϕ(s) = − cos s.
ϕ es sobreyectiva y diferenciable.
g(s) = (f ◦ ϕ)(s) = f(ϕ(s)) = (− cos s, cos2 s)
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Más adelante nos interesará calcular la longitud de una
curva entre dos puntos dados. Esto se hará utilizando un
camino f que recorra la curva.
Queremos que nuestra reparametrización respete el
hecho de que si un arco de curva se recorre de dos
maneras distintas, la longitud del arco depende sólo de
éste mismo.
Desde este punto de vista no nos convendrá aceptar
reparametrizaciones de caminos como las del ejemplo
anterior. Pues mientras f recorre la curva una sola vez, g
lo hace dos veces.
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Además hay un punto a considerar respecto a la función
ϕ. Si esta función tiene extremos locales en s1 y s2,
entonces, ϕ′(s1) = ϕ′(s2) = 0.
Se tendrı́a
g′(s1) = ϕ′(s1)f ′(t1) t1 = ϕ(s1)
g′(s2) = ϕ′(s2)f ′(t2) t2 = ϕ(s2)
Entonces, si el camino f es regular, su reparametrización
g no lo podrı́a ser.
La regularidad es una propiedad importante a conservar
en la reparametrización.
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Reparametrización
Definición: Reparametrización
Sea f : I ⊆ < → <n un camino regular. Sea ϕ : J ⊆ < → I
una función de clase C 1, sobreyectiva tal que ϕ′(s) , 0∀s ∈ J.
Entonces, el camino g(s) = f ◦ ϕ : J ⊆ < → <n se denomina
reparametrización del camino f .
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Reparametrizaciones
La condición ϕ′(s) , 0∀s ∈ J implica que, siendo ϕ de
clase C 1, se cumple siempre que:
ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, o
ϕ′(s) < 0∀s ∈ J.
Si ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que conserva la orientación.
Si ϕ′(s) < 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que invierte la orientación.
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La condición ϕ′(s) , 0∀s ∈ J implica que, siendo ϕ de
clase C 1, se cumple siempre que:
ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, o
ϕ′(s) < 0∀s ∈ J.
Si ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que conserva la orientación.
Si ϕ′(s) < 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que invierte la orientación.
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La condición ϕ′(s) , 0∀s ∈ J implica que, siendo ϕ de
clase C 1, se cumple siempre que:
ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, o
ϕ′(s) < 0∀s ∈ J.
Si ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que conserva la orientación.
Si ϕ′(s) < 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que invierte la orientación.
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La condición ϕ′(s) , 0∀s ∈ J implica que, siendo ϕ de
clase C 1, se cumple siempre que:
ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, o
ϕ′(s) < 0∀s ∈ J.
Si ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que conserva la orientación.
Si ϕ′(s) < 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que invierte la orientación.
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La condición ϕ′(s) , 0∀s ∈ J implica que, siendo ϕ de
clase C 1, se cumple siempre que:
ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, o
ϕ′(s) < 0∀s ∈ J.
Si ϕ′(s) > 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que conserva la orientación.
Si ϕ′(s) < 0∀s ∈ J, entonces g es una reparametrización
que invierte la orientación.
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Reparametrizaciones Si el camino g : J ⊆ < → <
n es una reparametrización
del camino regular f : I ⊆ < → <n, entonces:
Existe una función ϕ : J → I de clase C 1, sobreyectiva,
con ϕ′(s) , 0∀s ∈ J, tal que g = f ◦ ϕ.
Ambos caminos, f y g describen la misma curva.
Supongamos que dos caminos regulares f : I ⊆ < → <n
y g : J ⊆ < → <ndescriben la misma curva en<n.
Surge la pregunta: ¿Es g una reparametrización de f?
La respuesta es: “No necesariamente”. El siguiente par de
ejemplos ilustra este hecho.
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Reparametrizaciones Si el camino g : J ⊆ < → <
n es una reparametrización
del camino regular f : I ⊆ < → <n, entonces:
Existe una función ϕ : J → I de clase C 1, sobreyectiva,
con ϕ′(s) , 0∀s ∈ J, tal que g = f ◦ ϕ.
Ambos caminos, f y g describen la misma curva.
Supongamos que dos caminos regulares f : I ⊆ < → <n
y g : J ⊆ < → <n describen la misma curva en<n.
Surge la pregunta: ¿Es g una reparametrización de f?
La respuesta es: “No necesariamente”. El siguiente par de
ejemplos ilustra este hecho.
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Reparametrizaciones Si el camino g : J ⊆ < → <
n es una reparametrización
del camino regular f : I ⊆ < → <n, entonces:
Existe una función ϕ : J → I de clase C 1, sobreyectiva,
con ϕ′(s) , 0∀s ∈ J, tal que g = f ◦ ϕ.
Ambos caminos, f y g describen la misma curva.
Supongamos que dos caminos regulares f : I ⊆ < → <n
y g : J ⊆ < → <n describen la misma curva en<n.
Surge la pregunta: ¿Es g una reparametrización de f?
La respuesta es: “No necesariamente”. El siguiente par de
ejemplos ilustra este hecho.
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Reparametrizaciones Si el camino g : J ⊆ < → <
n es una reparametrización
del camino regular f : I ⊆ < → <n, entonces:
Existe una función ϕ : J → I de clase C 1, sobreyectiva,
con ϕ′(s) , 0∀s ∈ J, tal que g = f ◦ ϕ.
Ambos caminos, f y g describen la misma curva.
Supongamos que dos caminos regulares f : I ⊆ < → <n
y g : J ⊆ < → <n describen la misma curva en<n.
Surge la pregunta: ¿Es g una reparametrización de f?
La respuesta es: “No necesariamente”. El siguiente par de
ejemplos ilustra este hecho.
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Reparametrizaciones Si el camino g : J ⊆ < → <
n es una reparametrización
del camino regular f : I ⊆ < → <n, entonces:
Existe una función ϕ : J → I de clase C 1, sobreyectiva,
con ϕ′(s) , 0∀s ∈ J, tal que g = f ◦ ϕ.
Ambos caminos, f y g describen la misma curva.
Supongamos que dos caminos regulares f : I ⊆ < → <n
y g : J ⊆ < → <n describen la misma curva en<n.
Surge la pregunta: ¿Es g una reparametrización de f?
La respuesta es: “No necesariamente”. El siguiente par de
ejemplos ilustra este hecho.
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Ejemplo:
f :] − π, π[→<2 f(t) = (sin t , sin 2t)
g :]0, 2π[→<2 g(s) = (sin s, sin 2s)
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Reparametrizaciones
Cuando la variable toma valores en el intervalo [−π, 0] se
genera el lazo izquierdo. Cuando toma valores en [0, π] se
genera el lazo derecho, cuando toma valores en [π, 2π] se
genera el lazo izquierdo nuevamente y ası́ sucesivamente.
f(−π) = (0, 0), f(−π/2) = (−1, 0) f(−π/4) = (−
√
2/2, 1).
Ocurre que g(π) = f(0).
Si g es una reparametrización de f , entonces debe ocurrir:
g(π) = f(ϕ(π)) = f(0)
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Cuando la variable toma valores en el intervalo [−π, 0] se
genera el lazo izquierdo. Cuando toma valores en [0, π] se
genera el lazo derecho, cuando toma valores en [π, 2π] se
genera el lazo izquierdo nuevamente y ası́ sucesivamente.
f(−π) = (0, 0), f(−π/2) = (−1, 0) f(−π/4) = (−
√
2/2, 1).
Ocurre que g(π) = f(0).
Si g es una reparametrización de f , entonces debe ocurrir:
g(π) = f(ϕ(π)) = f(0)
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Cuando la variable toma valores en el intervalo [−π, 0] se
genera el lazo izquierdo. Cuando toma valores en [0, π] se
genera el lazo derecho, cuando toma valores en [π, 2π] se
genera el lazo izquierdo nuevamente y ası́ sucesivamente.
f(−π) = (0, 0), f(−π/2) = (−1, 0) f(−π/4) = (−
√
2/2, 1).
Ocurre que g(π) = f(0).
Si g es una reparametrización de f , entonces debe ocurrir:
g(π) = f(ϕ(π)) = f(0)
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Cuando la variable toma valores en el intervalo [−π, 0] se
genera el lazo izquierdo. Cuando toma valores en [0, π] se
genera el lazo derecho, cuando toma valores en [π, 2π] se
genera el lazo izquierdo nuevamente y ası́ sucesivamente.
f(−π) = (0, 0), f(−π/2) = (−1, 0) f(−π/4) = (−
√
2/2, 1).
Ocurre que g(π) = f(0).
Si g es una reparametrización de f , entonces debe ocurrir:
g(π) = f(ϕ(π)) = f(0)
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Reparametrizaciones
Las derivadas de ambas funciones son:
f ′(t) = (cos t , 2 cos 2t) f ′(0) = (1, 2)
g′(s) = (cos s, 2 cos 2s) g′(π) = (−1, 2)
Si g fuese una reparametrización de f debe cumplirse:
g′(s) = f ′(ϕ(s))ϕ′(s)
(−1, 2) = ϕ′(π)(1, 2)
No existe real tal que se cumpla la igualdad arriba escrita.
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Las derivadas de ambas funciones son:
f ′(t) = (cos t , 2 cos 2t) f ′(0) = (1, 2)
g′(s) = (cos s, 2 cos 2s) g′(π) = (−1, 2)
Si g fuese una reparametrización de f debe cumplirse:
g′(s) = f ′(ϕ(s))ϕ′(s)
(−1, 2) = ϕ′(π)(1, 2)
No existe real tal que se cumpla la igualdad arriba escrita.
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Las derivadas de ambas funciones son:
f ′(t) = (cos t , 2 cos 2t) f ′(0) = (1, 2)
g′(s) = (cos s, 2 cos 2s) g′(π) = (−1, 2)
Si g fuese una reparametrización de f debe cumplirse:
g′(s) = f ′(ϕ(s))ϕ′(s)
(−1, 2) = ϕ′(π)(1, 2)
No existe real tal que se cumpla la igualdad arriba escrita.
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