Solucion-3 CVE

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UNIVERSIDAD DE PIURA 
Facultad de Ingeniería 
Curso: Análisis Matemático II 
Examen Sustitutorio 
Lunes, 7 de Diciembre de 2009 hora: 2 pm 
Duración: 3h NOMBRE:....................................... 
Sin libros ni apuntes solo calculadoras no programables 
 
 
1) Sea f una función definida en el rectángulo [-1, 1] x [-1, 1] y : 
 
 f(x, y) = 
casosdemáslosen
xyxsiyx
0
2 22
 se pide: (4p) 
 
 a)El esquema geométrico del sólido definido por f(x, y) y el plano z = 0 en el dominio de f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De los esquemas se deduce: 
 
E = { (x, y, z)/ (x, y) ϵ Di; 0≤ z ≤ x+y} 
 
En donde i= 1, 2: D1 ={(x, y)/ ½ ≤ y ≤ 1; -y≤ x ≤ √y/2} 
 
Y D2 ={(x, y)/ 0 ≤ y ≤ 1; √y ≤ x ≤ √y/2} 
 
 
 b) El volumen de dicho sólido. Viene a ser la suma de los volúmenes correspondientes a 
los dominios D1 y D2: 
 
 Vi = 
DiD
yx
dxdyyxdzdxdy
i
][
1
0
 
 
 Para i = 1: 
 V1 = dy
y
y
xy
x
dxdyyxdxdyyx
y
y
D
1
2/1
2
1
2/1
2
2
2
][][
1
 
 (1, 1, 2) z 
2
22
,1,
2
2
 
(-1, 1, 0) 
1 1 
 
0 
 
y 
 
x 
 
Plano: z = x+y 
 
 
 -1 -√2/2 0 Z √2/2 1 x 
P= 
P 
 
D1 
D2 
 
1 y = 2x2 y= x2 
y 
y = - x 
-1/2 
1/2 
 V1 = dy
y
y
xy
x1
2/1
1
2/1
2
2
2
 
 V1 dyy
y
y
yy
y
y
xy
x 1
2/1
2
1
2/1
2
)
2
(
24
2
2
 
 V1 
2/1
1
5
2
682
2
24
2/532
1
2/1
2/32 yyy
dy
yyy
 
 V1 
20
1
4832
80
240
24870
5
2
1
2
48
1
32
1
5
2
6
1
8
1
2/5
x
 
 V1 
240
24833
20
1
4832
80
240
24870
x
 
 Para i =2: 
 V2 = dyy
y
xy
x
dxdyyxdxdyyx
y
y
D
1
0 2/
1
0
2
2
2
][][
2
 
 V2 = dyy
y
xy
xy
y
1
0
2
1
0
2
2
2
 
 V2 dyyyy
yy
y
y
xy
x 1
2/1
1
2/1
2
)2/(
42
2
2
 
 V2 
0
1
2
12
2
582
12
4
2/52
1
2/1
2/3 yydyy
y
 
 V2 
240
24896
5
22
2
12
5
2
8
1
 
 
Luego V = V1 + V2 = 43/80 u
3
 
 
 
2) Sea ),3,75,(),(
73232 yxyxyxyxfyxF , donde RRf
4: es diferenciable. 
Suponga que ),,,()0,0,0,0( dcbafgrad . Determine la derivada de la función F en el 
origen en la dirección del vector unitario ),( 21v ) (5p) 
 
Nos piden calcular Dv F(x, y) = ),(),( 21 yxFyxF yx 
 
Como es en el punto O = (0, 0) 
 
Dv F(0, 0) = )0,0()0,0( 21 yx FF 
 
Cálculo de )0,0()0,0( yx FyF : 
 
Tenemos que ),3,75,(),(
73232 yxyxyxyxfyxF 
 
Hacemos que: 
73232 ;3;75; yxryxwyxvyxu (a) 
 
Luego F(x, y) = f(u, v, w, r): 
y
x
r
y
x
w
y
x
v
y
x
u
rwvuf
y
x
yxF
:
:
.
:
:),,,(
:),(
 
Cálculo de las derivadas parciales de F: 
 
Fx(x, y) = 
x
r
r
f
x
w
w
f
x
v
v
f
x
u
u
f
 
 
Fy(x, y) = 
y
r
r
f
y
w
w
f
y
v
v
f
y
u
u
f
 
 
De (a): 
 
 
723;6;5;2 yx
x
r
xy
x
w
x
v
x
x
u
 
 
 
6322 7;3;7;3 yx
y
r
x
y
w
y
v
y
y
u
 
 
Luego: 
 
Fx(x, y) = 
r
f
yx
w
f
xy
v
f
u
f
x 723652 
 
Fy(x, y) = 
y
r
r
f
yx
w
f
x
v
f
u
f
y 6322 7373 
 
Por tanto: 
 
Fx(0, 0) = 
r
f
w
f
v
f
u
f
0050 = 
v
f )0,0,0,0(
5 
 
Fy(0, 0) = 
v
f
r
f
w
f
v
f
u
f )0,,0,0,0(
70070 
 
Por hipótesis sabemos que: 
 
l
r
rwvuf
k
w
rwvuf
j
v
rwvuf
i
u
rwvuf
rwvuf
),,(),,(),,(),,(
),,( 
 
Como x = 0 e y = 0 en (a): u = 0; v=0; w=0; y r = 0 
 
),,,(
),,,,(),,,(),,,(),,,(
),,,( dcbal
r
oooof
k
w
oooof
j
v
oooof
i
u
oooof
oooof
 
 
De donde se deduce que: b
v
f )0,0,0,0(
 
 
De modo que: Dv F(0, 0) = b)75( 21 
 
 
3) Se tiene un sólido definido por la intersección de un cilindro circular de radio R y una 
esfera cuyo radio es el doble del radio del cilindro y su centro se encuentra en la superficie 
del cilindro. Se pide: (6p) 
 
a) El esquema geométrico de dicho sólido, usted deberá elegir la posición de estas 
superficies del modo más conveniente en el sistema de coordenadas XYZ. 
 
 
 
 Elegimos una esfera de centro en el origen y radio R: 
 
 
 x
2
 + y
2
 + z
2
 = R
2
 
 
 Luego el cilindro será: (x-R/2)
 2
+ y
2
 = R
2
/4 
 
 x
2
 + y
2
 – Rx = 0 
 
 Usando coordenadas cilíndricas: 
 
 x = rcosθ; y = rsenθ; z = z 
 
 El cilindro en CC.CC.: r2 –rRcosθ = 0 
 
 De donde se deduce que r = Rcosθ 
 
 
 Luego D = {(r, θ)/ -π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ Rcosθ} 
 
 Y E ={ (r, θ, z)/ (r, θ) € D; 
222222 yxRzyxR } 
 
 
 
y 0 R/2 R x 
z 
y 
 
0 Z R/2 R x 
D 
b) Determinar el volumen del sólido. 
 
 Por simetría podemos calcular la parte superior: 
 
 V/2 = 
DD
yxR
o
dAyxRdAdz 222
222
 
 V/2 = 
2
2:
22
2
2
cos
0
2/1222
2
cos
0
22
du
rdr
rdrdu
RRu
drdrrRrdrdrR
RR
 
 
30
cos
332
3332/3222/3
2/1 RsenRRrRuduu 
 
 V = dsensen
R
dsen
R
2
2
2
3
2
2
3
3
1cos
3
2
:1
3
2
 
 
 
c) El área de la superficie esférica interceptada por el cilindro. 
 
 Sabemos que: S = dAff
D
yxx
122 
 
 Z = f(x, y) = 
222
222
222 :
yxR
y
f
yxR
x
f
yxR
y
x
 
 
 
222
2
222
2
222
2
22 11
yxR
R
yxR
y
yxR
x
ff yxx 
 
222
22 1
yxR
R
ff yxx 
S = dA
yxR
R
D
222
pasando a coordenadas cilíndricas: 
 
2
2
222
2
2
22
2
2/122
cos
022
2
2cos)1(
)1()(
RRdsenRS
dsenRrdrdrRRrdrd
rR
R R
D
 
Como son dos casquetes: S = 2 πR
2
 
 
 
4- Demuestre que la suma de las intersecciones de cualquier plano tangente a la superficie 
czyx con los ejes coordenados es una constante. (5p) 
 
Se tiene la superficie que expresada de la siguiente manera se tiene: 
F(x, y, z) = czyx = 0 
 
El gradiente de F será el vector normal de dicha superficie: 
 
Nk
z
j
y
i
x
F
2
1
2
1
2
1
 
 
Si tomamos un punto cualquiera de S tal como Po =(xo, yo, zo) entonces 
 
czyx 000 (a) 
 
Entonces N = k
z
j
y
i
x 000 2
1
2
1
2
1
 
 
De la ecuación normal del plano se tiene: X.N = Po.N 
 
M: 000
0
0
0
0
0
0
000
2
1
222222
zyx
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
 
 
Por (a): M: c
z
z
y
y
x
x
000
 
 
Cálculo de las intersecciones con los ejes: 
 
Con el eje XX: 
 
y = z = 0 : 
0
0
xcxc
x
x
 
 
Con el eje YY: 
 
x = z = 0 : 0
0
ycyc
y
y
 
 
Con el eje ZZ: 
 
y = x = 0 : 0
0
zczc
z
z
 
 
Sumando las tres intersecciones: x + y + z = cczyx 000 que es una 
constante.