Ecuaciones de primer orden de Lagrange y Clairaut

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Julio Alberto Floridas del Castillo 74022998 
Ecuaciones de primer orden de Lagrange y Clairaut 
En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias existen diferentes tipos de ecuaciones 
diferenciales de primer orden. Prácticamente se dividen tipos de ecuaciones diferenciales de 
primer orden. Prácticamente se dividen en 2 tipos, resueltas respecto a la derivada y no 
resueltas a la derivada. Lasen 2 tipos, resueltas respecto a la derivada y no resueltas a la 
derivada. Las ecuaciones de Lagrange y Clairaut son un caso particular de él segundo tipo, 
ecuaciones de Lagrange y Clairaut son un caso particular de él segundo tipo, no resueltas 
respecto a la derivada. No resueltas respecto a la derivada. 
Ecuación de Lagrange 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de Clairaut 
 
 
Donde g(x) es una función continuamente diferenciable en interés que presenta este tipo de 
ecuaciones se debe al hecho de que tiene como solución de suma familia de rectas. Además, la 
envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, 
en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. La solución de la ecuación 
diferencial de Clairaut se obtiene siguiendo el mismo procedimiento del caso de la ecuación 
diferencial de Lagrange. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Geométricos y Trayectoria Ortogonal 
Problemas Geométricos 
Trataremos problemas geométricos que se pueden plantear y resolver mediante ecuaciones 
diferenciales que se obtienen considerando la interpretación geométrica de la derivada que, como 
sabemos, es la pendiente de la recta tangente a la curva (gráfica de la función) en un punto. 
 
Curvas definidas por sus tangentes y normales 
Ejemplo 
Determinar una curva para la cual la pendiente de la recta tangente en cada punto es r veces la 
pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trayectoria Ortogonal 
Las trayectorias ortogonales de una familia de circunferencias concéntricas son las líneas que 
pasan a través de su centro común. Si la trayectoria interseca las curvas dadas en un ángulo 
arbitrario, pero fijo, entonces se la conoce como trayectoria isogonal. 
 
¿Como encontrar la familia ortogonal dada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
Obtener la familia ortogonal de la familia: 
Y=cx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden a Circuitos eléctricos simples 
Una fuerza electromotriz (por lo general una batería o un generador) produce un voltaje de E(t) 
volts (V)y una corriente de I(t) amperes (A) en el instante t. 
El circuito también contiene un resistor con una resistencia de R ohms () y un inductor con una 
inductancia de L henrys (H). 
 
Ejemplo Suponga que en el circuito simple 
 3. El valor límite de la corriente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución de Ecuaciones Diferenciales lineal no Homogénea por el método de coeficientes 
indeterminados 
En esta sección se parte de la una ecuación diferencial lineal no homogénea 
 
Solución por coeficientes indeterminados 
El método de coeficientes indeterminados es adecuado para ecuaciones diferenciales con 
coeficientes constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resuelve la ecuación 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
Resuelva la ecuación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución de Ecuaciones Diferenciales por método de variación de parámetros. Método del 
Operador Inverso 
El método de variación de parámetros es un procedimiento útil para la obtención de una 
solución particular yp(x) de la ecuación diferencial ordinaria lineal (no homogénea) y se basa 
en el conocimiento de la solución general de la lineal homogénea asociada a dicha edo. 
Haciendo referencia a las lineales de segundo orden diremos que el método de variación de parámetros 
es útil para obtener una solución particular yp(x) de la lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
Utilizando el método de variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución 
general de la ecuación diferencial ordinaria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
Utilizando el método de variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución 
general de la ecuación diferencial ordinaria. 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Operador Inverso 
A continuación, te mostramos en este post problemas resueltos paso a paso de la aplicación del 
operador inverso, si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas del operador inverso. Te invitamos 
a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para aplicar el operador 
inverso, ya que son una herramienta que nos permite hallar la solución particular de una E.D.O lineal de 
orden superior completa. Esperamos que estos ejercicios te ayuden a entender el tema. 
Ejemplos de aplicación del operador inverso 
Ejemplo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integración de EDO completa empleando el método del operador inverso 
Luego de explicar cómo aplicar el operador inverso a funciones de $x$, ahora te mostramos en este post 
problemas resueltos paso a paso de como emplear el operador inverso para hallar la solución de una 
E.D.O Lineal de orden superior completa, si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas del 
operador inverso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicaciones diversas de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, Circuitos Eléctricos, 
Péndulo simple. Ecuación diferencial de Oscilación: libre y amortiguada. Resonancia. 
Aplicaciones diversas de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 
La Ley de Hooke: 
Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido 
de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se 
reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto. 
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección 
del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k 
es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos 
alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero 
k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces, 
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie. 
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie. 
Segunda Ley de Newton: 
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la 
posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es 
definido por: 
W = m . g 
Ejemplo: Resolver e interpretar el problema de valor inicial: 
 
 
 
 
solución: Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende 
de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; 
se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones 
iniciales a la solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuitos Eléctricos 
Los CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN son circuitos que contienen ORDEN son circuitos que 
contienen solamente un componente que almacena energía (Puede ser un capacitor o 
inductor Bobina), y que además pueden describirse usando solamente una ecuación 
diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos de primer orden son los 
CIRCUITOS RC (Resistencia y Capacitor) y los CIRCUITOS RL (Resistencia e Inductor). 
LEY DE KIRCHOFF 
Los principios físicos que gobiernan los principios físicos que gobiernan los circuitoseléctricos 
fueron establecidos circuitos eléctricos fueron establecidos por Gustav Robert Kirchhoff en 
1859. principios son los siguientes: 
LEY DE LA CORRIENTE DE KIRCHOFF: 
La suma algebraica de las corrientes que fluyen en cualquier punto de unión debe anularse. 
LEY DE VOLTAJE DE KIRCHOFF: 
la suma algebraica de los cambios instantáneos del potencial (caída de voltaje) en torno de 
cualquier lazo cerrado debe anularse. 
a ley de la corriente de Kirchhoff implica que la misma corriente pasa por cada elemento del 
circuito. 
 
 
Para aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff, debemos conocer la caída de voltaje a través de cada 
elemento del circuito. Estas fórmulas para el voltaje aparecen a continuación: 
De acuerdo con la ley de Ohm, la caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a 
la corriente que pasa por la resistencia. 
 
La constante de proporcionalidad R se llama RESISTENCIA.