TP Funciones especiales Ej 21-1

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UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico Unidad 5. FUNCIONES ESPECIALES- EJERCICIO 21 1
SOLUCIÓN Y COMENTARIOS
a. )3xln()x(f 
 Dominio de f:
Como la función logaritmo está definida para los números reales mayores que cero debe ser:
-x + 3 > 0  x < 3
Luego
Domf = (-; 3)
 C0
Para hallar el conjunto de ceros igualamos la función a cero.
ln(–x+3) = 0  e0 = –x+3  1– 3 = –x  x = 2
Entonces C0 = {2}
 C+ y C-
Consideremos los intervalos del dominio de la función: (-; 2) y (2; 3) y como la función logaritmo
es continua en su dominio, usamos el teorema de Bolzano para determinar el signo de la función
en cada uno de estos intervalos.
–3(–∞; 2) y f(–3) = ln6 >0
Luego f(–3)>0
Por lo tanto: C+ = (–∞; 2)
2,5 (2; 3) y f(2,5) = ln (-2, 5+3) < 0
Luego f(2,5) < 0
Por lo tanto: C - = (2; 3)
b. )3xln()x(f 
 Dominio de f:
Como la función logaritmo está definida para los números reales mayores que cero debe ser:
|x| - 3 > 0  |x| > 3 x < - 3 ó x > 3
Luego
Domf =  - [-3; 3]
21. Hallá en caso, el dominio, los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f.
  





x-2
1
lnf(x)e.40;encosx)ln(-1f(x).d
)4(xlnf(x).c3)-|xln(|f(x)b.3)ln(-xf(x)a. 2
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 C0
Para hallar el conjunto de ceros igualamos la función a cero y resolvemos.
4xó4x|x|43|x|13|x|e0)3xln( 0 
Entonces:
C0 = {–4; 4}
 C+ y C-
Para buscar C+ recordamos que la función ln x es positiva para los x> 1.
Entonces para buscar el conjunto de positividad de )3xln()x(f  vemos para que valores de
su dominio es |x| - 3 > 1.
Luego si xDomf = - [-3; 3] es:
|x| - 3 > 1  |x| > 1 + 3  |x| > 4  x< - 4 ó x > 4
x (-; -4)  (4; +)  - [-3; 3]
Así
C+ = (-; -4)  (4; +)
Para buscar C - recordamos que la función ln x es negativa para los x< 1.
Entonces para buscar el conjunto de negatividad de )3xln()x(f  vemos para que valores de
su dominio es |x| - 3 < 1.
Luego si xDomf = - [-3; 3] es:
|x| - 3 < 1  |x| < 1 + 3  |x| < 4  -4 < x< 4
x (-4; 4)  - [-3; 3]
Así
C- = (-4;-3) (3; 4)
c. )4xln()x(f 2 
 Dominio de f:
Como la función logaritmo está definida para los números reales mayores que cero debe ser:
x2 – 4 > 0  x2 > 4  |x| > 2  x < - 2 ó x > 2
Luego
Domf =  - [-2; 2]
 C0
Para hallar el conjunto de ceros igualamos la función a cero y resolvemos.
5xó5xx54-x14-xe04)-xln( 22202 
Entonces:
C0 =  5;5
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 C+ y C-
Para buscar C+ recordamos que la función ln x es positiva para los x> 1.
Entonces para buscar el conjunto de positividad de )4xln()x(f 2  vemos para que valores de
su dominio es x2 – 4 > 1.
Luego si xDomf = - [-2; 2] es:
x2 – 4 > 1  x2 > 1 + 4  x2 > 5  5xó5x 
x (-; - 5 ) ( 5 ; +)  - [-2; 2]
Así
C+ = (-; - 5 ) ( 5 ; +)
Para buscar C- recordamos que la función ln x es
negativa para los x< 1.
Entonces para buscar el conjunto de negatividad de
)4xln()x(f 2  vemos para que valores de su
dominio es x2 – 4 < 1.
Luego si xDomf = - [-2; 2] es:
x2 – 4 < 1  x2 < 1 + 4  x2 < 5 
5x5 
x  )5;5(  - [-2; 2]
Así
C- = (- 5 ;-2)  (2; 5 )
d.   4;0en)xcos1ln()x(f
Al buscar el dominio de f vemos que debe ser
-1+cos x>0  cos x>1
Pero no existe ningún número real que verifique que cos x > 1; en consecuencia tampoco existe un
número real que verifique )xcos1ln()x(f  y Domf = Ø.
e. 







x2
1ln)x(f
 Dominio de f:
Para hallar el dominio tenemos en cuenta dos condiciones:
o Que la función logaritmo está definida para los números reales mayores que cero.
o Que el denominador de
x2
1

debe ser distinto de cero.
Entonces tenemos:
0x2y0
x2
1


Para que se cumpla 0
x2
1


debe ser 2 – x > 0 por lo que es x < 2 (1)
Para que se cumpla 2 – x 0 debe ser x2 (2)
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De (1) y (2) es x < 2.
Luego
Domf = (-; 2)
 C0; C+ y C
-
Trabajando en forma similar a los ítems a y b de este ejercicio, tenemos que:
C0= {1} C
+ = (1; 2) C- = (–∞; 1)