Unidad3_Glosario_Derivadas

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Definiciones Principales 
 
 
 
Derivada: Llamaremos derivada de la función f en el punto de abscisa 0xx  a: 
h
xfhxf
limxf
h
)()(
)( 00
0
0



 
 
 
Teorema: Si una función es derivable en 0x , entonces es continua en 0x . 
Recordar que la recíproca de este teorema es falsa. 
 
 
Función derivada: Si f está definida en un intervalo ),( ba y es derivable en todos los 
puntos de dicho intervalo, para cada ),( bax nos queda definida una función ( )(xfx  ) 
llamada la función derivada de f y que se indicará f  . 
 
 
Propiedades 
1) )()()()( 000 xgxfxgf  
2) )()()()()()( 00000 xgxfxgxfxgf  
3) 
 20
0000
0
)(
)()()()(
)(
xg
xgxfxgxf
x
g
f 








 
4) )()()( 00 xfkxfk  
 
Estudiar la tabla de derivadas. 
 
 
Regla de la cadena: )())(()()( 000 xgxgfxgf  
 
 
Derivada logarítmica: Consideremos la función )()()( xgxfxh  . 
 Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad. 
)()(ln)(ln xgxfxh  
 Usamos la propiedad de logaritmo que establece abab lnln  . 
)(ln)()(ln xfxgxh  
 Derivamos ambos miembros recordando utilizar regla de la cadena. 
)(
)(
1
)()(ln)()(
)(
1
xf
xf
xgxfxgxh
xh
 
 Despejamos )(xh . 






 )(
)(
1
)()(ln)()()( xf
xf
xgxfxgxhxh 
 Reemplazamos )(xh . 
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





 )(
)(
1
)()(ln)()()( )( xf
xf
xgxfxgxfxh xg 
 
 
Interpretación geométrica de la derivada: )( 0xf  es igual a la pendiente de la recta 
tangente a la gráfica de f en el punto de coordenadas ))(,( 00 xfx . 
Luego, las ecuaciones de las rectas tangente y normal son: 
)()()( 000 xxxfxfy  )(
)(
1
)( 0
0
0 xx
xf
xfy 


 
 
 
Derivadas sucesivas: A la derivada de la función derivada f  la llamaremos derivada 
segunda y la denotamos f  . Análogamente, podríamos definir )(  ff , )(  ff iv , etc. 
llamadas, respectivamente, derivada tercera, derivada cuarta, etc. Comúnmente se conocen 
como derivadas de orden superior de f. 
 
 
Diferencial: Llamamos diferencial de f en 0xx  a xxfdf  )( 0 . 
 
La expresión de la función diferencial para )(xfy  es dxxfdy )( 
 
 
Interpretación geométrica del diferencial: El diferencial de la función f en 0xx  es igual 
al incremento que sufre la recta tangente a f en 0xx  al pasar de 0x al punto incrementado 
xxx  0 . 
Recordar que para valores pequeños de x ocurre que dff  . 
 
 
Funciones económicas marginales: La noción de marginalidad nos busca conocer qué 
ocurrirá en el margen, es decir, cómo reaccionará la función económica f ante un pequeño 
cambio en la variable x a partir de un x dado. Hablaremos de costo marginal, ingreso 
marginal, beneficio marginal y demanda marginal. 
 
 
Elasticidad: La elasticidad de una función económica es igual al valor límite de la razón de 
cambio porcentual en la función respecto al cambio porcentual en la variable de la que 
depende (precio, cantidad, etc.), cuando el cambio en la variable tiende a cero. 
Si )(xfy  , podemos definir la elasticidad de y con respecto a x como: 
 
dx
dy
y
x
Ex
Ey
. o bien )´(
)(
xf
xf
x
Ex
Ey
 
 
Recordar la clasificación de la función económica de acuerdo al valor que toma el módulo de 
la elasticidad.