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Sucesiones y Series 273 Capítulo 6 SUCESIONES Definición: Una sucesión de números reales es una función IRINa →: , la cual notaremos n ana =)( . Ejemplo 1: Veamos algunos ejemplos de sucesiones. a) na n = Luego: ,3,2,1 321 === aaa etc. b) n b n 1 = Luego: 3 1 , 2 1 ,1 321 === bbb , etc. c) n n c )1(−= Luego: 1,1,1 321 −==−= ccc , etc. Observación: La representación gráfica de una sucesión se hace en general sobre una recta, ya que este tipo de diagrama nos permite determinar “hacia dónde va” la sucesión. En efecto, la sucesión ( ) 1≥nn a del ejemplo anterior “va hacia infinito” , ( ) 1≥nn b “va hacia cero” y ( ) 1≥nn c “salta entre –1 y 1”. Definición: Se dice que una sucesión ( ) 1≥nn a tiene límite L (notándolo Lalim n n = ∞→ ) εε <−≥∀∈∃>∀⇔ LannINn n00 /0 . Clasificación: Una sucesión es convergente si tiene límite finito, divergente si tiene límite infinito y oscilante si no existe el límite. Sucesiones y Series 274 Ejemplo 2: La sucesión ( ) 1≥nn a del ejemplo 1 es divergente pues +∞= ∞→ n n alim . La sucesión ( ) 1≥nn b es convergente pues 0= ∞→ n n blim . La sucesión ( ) 1≥nn c es oscilante. Propiedades del límite de sucesiones Las propiedades del límite de sucesiones son exactamente iguales a las ya enunciadas para límite de funciones. 1) Una sucesión no puede tener más de un límite. 2) Si ( ) 1≥nn a es una sucesión convergente entonces está acotada. 3) Si Lalim n n = ∞→ y 0>L entonces 0> n a para casi todo n. 4) Si dos sucesiones convergen a un mismo límite L entonces cualquier sucesión comprendida entre ellas también converge a L. 5) Si 0= ∞→ n n alim y ( ) 1≥nn b es una sucesión acotada entonces 0=⋅ ∞→ nn n balim . 6) Algebra de límites: Si aalim n n = ∞→ y bblim n n = ∞→ entonces: i) babalim nn n +=+ ∞→ ii) babalim nn n ⋅=⋅ ∞→ iii) Si 0≠b (entonces 0≠ n b para casi todo n) b a b a lim n n n = ∞→ iv) Si IRk∈ entonces akaklim n n ⋅=⋅ ∞→ v) aalim n n = ∞→ Ejemplo 3: Hallar, si existen, los límites de las siguientes sucesiones. a) ( ) nn n aINna nn 52 23 / 2 2 + + =∈∀ 2 3 5 2 2 3 52 23 52 23 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = + + ∞→∞→∞→ n n lim n nn n n lim nn n lim nnn b) ( ) nnaINna nn −+=∈∀ 2/ ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 22 = ++ = ++ ++ ⋅−+=−+ ∞→∞→∞→ nn lim nn nn nnlimnnlim nnn c) ( ) 1 )1( / + + − =∈∀ n n n aINna n nn Sucesiones y Series 275 Observemos que 0 )1( = − ∞→ n lim n n por ser “cero por acotada” y 1 1 = +∞→ n n lim n , por lo tanto 1 1 )1( = + + − ∞→ n n n lim n n . d) ( ) 72 13 23 / + − + =∈∀ n nn n n aINna Observemos que estamos ante una indeterminación ∞1 , por lo tanto hay que salvarla. 3 13 1 1 13 3 11 13 23 1 13 23 − += − +=− − + += − + nnn n n n Reemplazando en el límite dado, obtenemos: ( ) 2 72 13 3 3 13 72 3 13 1 1 13 23 e n lim n n lim n n n n n n = − += − + +⋅ − − ∞→ + ∞→ e) ( ) n nn n n aINna + − =∈∀ 32 25 / Observemos que la base de esta sucesión tiende a 2 5 cuando n tiende a infinito, por lo tanto +∞= + − ∞→ n n n n lim 32 25 . f) ( ) =∈∀ imparessi5 paressi0 / n n aINna nn Claramente esta sucesión no tiene límite. Observación: En el ejemplo anterior a), b), c) y d) son sucesiones convergentes, e) es una sucesión divergente y f) es una sucesión oscilante. Definición: Se dice que ( ) 1≥nn a es una sucesión creciente si INnaa nn ∈∀≥ + , 1 y se dice que es decreciente si INnaa nn ∈∀≤ + , 1 . En ambos casos decimos que la sucesión es monótona. Teorema: Sea ( ) 1≥nn a una sucesión monótona. a) Si ( ) 1≥nn a es acotada entonces es convergente. b) Si ( ) 1≥nn a no es acotada entonces: • +∞= ∞→ n n alim en el caso que ( ) n a sea creciente. • −∞= ∞→ n n alim en el caso que ( ) n a sea decreciente. *Resolver el problema 1 de la guía de trabajos prácticos. Sucesiones y Series 276 SERIES NUMÉRICAS Definición: Dada una sucesión de números reales ( ) 1≥nn a , se llama suma parcial n-ésima a la suma ∑ = = n k kn aS 1 (por ejemplo: 321321211 ,, aaaSaaSaS ++=+== , etc.). Definición: Se llama serie numérica asociada a una sucesión de números ( ) 1≥nn a , a la sucesión de sumas parciales 1 )( ≥nn S . Ejemplo 4: Sea la sucesión 1)1( +−= n n a . Calculemos las sumas parciales de sus términos: M 01111 1111 011 1 43214 3213 212 11 =−+−=+++= =+−=++= =−=+= == aaaaS aaaS aaS aS Luego, la serie asociada es: ( ) ),0,1,0,1( K= n S Clasificación: Como una serie es por definición una sucesión ( la de sumas parciales), se clasifican de igual manera: a) Convergente cuando n n SlimS ∞→ = es un número finito. b) Divergente cuando n n Slim ∞→ es un infinito. c) Oscilante cuando no existe n n Slim ∞→ . Definición: Llamamos suma de una serie al límite de la sucesión de sumas parciales 1 )( ≥nn S cuando éste existe, es decir, cuando es convergente. Notación: ∑∑ = ∞→∞→ ∞ = == n k k n n n k k alimSlima 11 Observación: De todo lo anterior se concluye que la expresión “sucesión de sumas parciales correspondiente a la sucesión ( ) 1≥nn a ” es equivalente a decir “la serie ∑ ∞ =1n n a ”. Cabe aclarar que con la misma expresión ∑ ∞ =1n n a se denota al límite de la sucesión 1 )( ≥nn S , con lo cual, si este límite existe, ∑ ∞ =1n n a es un número real. Sucesiones y Series 277 Así hablamos, por ejemplo, de la serie ∑ ∞ =1 1 n n refiriéndonos a la sucesión 1 )( ≥nn S de sumas parciales: = K, 12 25 , 6 11 , 2 3 ,1)( n S , aunque, más adelante vamos a ver, esta serie es divergente (serie armónica) y, por lo tanto, no existe ∑ ∞ =1 1 n n como número real. Por lo tanto, el núcleo de este capítulo estará en determinar criterios que nos permitan determinar si una serie converge o no. Condición necesaria de convergencia: Si la serie ∑ ∞ =1n n a converge entonces 0= ∞→ n n alim . Observación: La recíproca de esta proposición no es cierta, ya que existen series que cumplen esta condición y no son convergentes. Tal es el caso de serie armónica ∑ ∞ =1 1 n n , como probaremos más adelante. Por lo tanto, la condición 0= ∞→ n n alim es necesaria pero no suficiente, es decir, que si una serie la cumple nada puede asegurarse sobre el carácter de la misma. Pero si no la cumple ( es decir, 0≠ ∞→ n n alim ) puede afirmarse que la serie no converge. Antes de seguir resolveremos algunos ejercicios a modo de ejemplo. Ejemplo 5: Escribir en forma de sumatoria y aplicando la condición necesaria de convergencia indicar cuales de las siguientes series no pueden ser convergentes: a) K++++=∑ ∞ = 5 4 4 3 3 2 2 1 1n n a Para escribir en forma de sumatoria debemos hallar la expresión del término general: ∑∑ ∞ = ∞ = + =∴ + = 11 11 nn nn n n a n n a Ahora calculamos el límite del término general: ∑ ∞ = ∞→∞→ ∴= + = 1 1 1 n n n n n a n n limalim no converge b) K+++++=∑ ∞ = 120 1 24 1 6 1 2 1 1 1n n b Para escribir en forma de sumatoria debemos hallar la expresión del término general: ∑∑ ∞ = ∞ = =∴= 11 ! 1 ! 1 nn nn n b n b Ahora calculamos el límite del término general: ∴== ∞→∞→ 0 ! 1 n limblim n n n nada puede asegurarse sobre el carácter de ∑ ∞ =1n n b Sucesiones y Series 278 *Resolver el problema 2 de la guía de trabajos prácticos. Propiedadesde las series numéricas 1) Si la serie ∑ ∞ =1n n a converge a un número A, entonces para todo número real k la serie ∑ ∞ =1n n ak converge al número Ak ⋅ . En símbolos: ∑∑ ∞ = ∞ = = 11 n n n n akak 2) Si la serie ∑ ∞ =1n n a y la serie ∑ ∞ =1n n b convergen a los números A y B respectivamente, entonces la serie ∑ ∞ = + 1n nn ba converge a BA + . En símbolos: ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = +=+ 111 n n n n n nn baba 3) El carácter de una serie no se altera si se suprime de ella un número finito de términos. Serie geométrica: Vamos a ver ahora un tipo importante de serie, la llamada serie geométrica de razón IRr∈ . Su forma general está dada por: K+++=∑ ∞ = 2 0 raraara n n donde a es el primer término y r es la razón. Analicemos la convergencia de esta serie. Sea n S la suma n-ésima de la serie. 12 − ++++= n n rararaaS K restando miembro a nn n rarararaSr ++++= −12 K miembro n n raarS −=− )1( Luego, si 1≠r despejando nos queda que r r aS n n − − = 1 )1( Veamos los distintos casos que se pueden presentar: • 01 =⇒< ∞→ n n rlimr r a r a r r alimSlim n n n n − = − − = − − = ∞→∞→ 11 )01( 1 )1( Por lo tanto, como el límite de n S es finito la serie es convergente y su suma es r a S − = 1 . • ∞=⇒> ∞→ n n rlimr 1 Por lo tanto, la serie es divergente. Sucesiones y Series 279 • K+++=⇒= ∑ ∞ = aaaar n 1 1 Por lo tanto, la serie es divergente. • K+−+−=−⇒−= ∑ ∞ = aaaaar n n 1 )1(1 Por lo tanto, la serie es oscilante. Ejemplo 6: Indicar el carácter de las siguientes series geométricas. Si son convergentes indicar su suma. a) K−+−+−=∑ ∞ = 8 1 4 1 2 1 12 1n n a Escribamos esta serie en forma de sumatoria: ∑∑ ∞ = − ∞ = −= 1 1 1 2 1 2 n n n n a Claramente 2=a y 2 1 −=r . Como 1 2 1 <=r , la serie converge a: 3 4 2 1 1 2 1 = + = − = r a S b) K++++=∑ ∞ = 421 2 1 1n n b Escribamos esta serie en forma de sumatoria: ∑∑ ∞ = − ∞ = = 1 1 1 2 2 1 n n n n b Claramente 2 1 =a y 2=r . Como 12 >=r , la serie no converge (diverge). c) K+−+−=∑ ∞ = 3333 1n n c Escribamos esta serie en forma de sumatoria: ( )∑∑ ∞ = − ∞ = −= 1 1 1 13 n n n n c Claramente 3=a y 1−=r . Por lo tanto, la serie no converge (oscila entre 0 y 3). * Resolver el problema 3 de la guía de trabajos prácticos. FÓRMULA DE TAYLOR Y MAC LAURIN Sea f una función derivable hasta el orden )1( +n . En un entorno E del punto 0 x es posible aproximarla mediante un polinomio )(xP n de grado n según potencias de )( 0 xx − cuyo valor y el de sus n derivadas sucesivas en 0 xx = sean iguales al valor de la función y el de sus n derivadas sucesivas en el mismo punto. Dicho polinomio )(xP n se denomina polinomio de Taylor y es: Sucesiones y Series 280 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxP )( ! )( )( !2 )( )()()()( 0 0 )( 2 0 0 000 −++− ′′ +−′+= K La diferencia entre la expresión de )(xf y el polinomio de Taylor )(xP n que la aproxima se denomina resto o término complementario que será notado )(xR n . )()()( xPxfxR nn −= El valor del término complementario nos da el grado de precisión con que el polinomio de Taylor )(xP n aproxima localmente (para x cerca de 0 x ) los valores de la función )(xf . Puede demostrarse que una expresión para el cálculo del término complementario es la siguiente: 1 0 )1( )( )!1( )( )( + + − + = n n n xx n f xR ξ donde ξ es un valor comprendido entre 0 x y x. Observación: La aproximación de una función mediante un polinomio de Taylor depende para cada x del grado del polinomio, mejorando cuando aumenta n. Al escribir )()()( xRxPxf nn += obtenemos lo que se conoce como la fórmula de Taylor : 444 3444 21 444444444 3444444444 21 K )( 1 0 0 )1( )( 0 0 )( 000 )( )!1( )( )( ! )( )()()()( xR n n xP n n n n xx n xf xx n xf xxxfxfxf + + − + +−++−′+= Reemplazando en la fórmula de Taylor 0 x por cero, obtenemos la fórmula de Mac Laurin: 44 34421 44444444 344444444 21 K )( 1 )1( Laurin Mac de polinomio )( )( 2 )!1( )( ! )0( !2 )0( )0()0()( xR n n xP n n n n x n f x n f x f xffxf + + + +++ ′′ +′+= η donde η es un número comprendido entre 0 y x. Ejemplo 7: Hallar el polinomio de Taylor de grado 4 en 20 π =x para la función xxf sen)( = . xxf sen)( = 1)()( 20 == πfxf xxf cos)( =′ 0)()( 20 =′=′ πfxf xxf sen)( −=′′ 1)()( 20 −=′′=′′ πfxf xxf cos)( −=′′′ 0)()( 20 =′′′=′′′ πfxf xxf iv sen)( = 1)()( 20 == πiviv fxf 4 0 03 0 02 0 0 0004 )( !4 )( )( !3 )( )( !2 )( )()()()( xx xf xx xf xx xf xxxfxfxP iv −+− ′′′ +− ′′ +−′+= 24 )( 2 )( 1)( 4 2 2 2 4 ππ − + − −= xx xP Sucesiones y Series 281 Ejemplo 8: Calcular un valor aproximado del o100sen utilizando el polinomio del ejemplo anterior. Hacemos primeramente la conversión de grados sexagesimales a radianes: 7453,1 9 5 100 ≅= π o 9848,0 24 )5708,17453,1( 2 )5708,17453,1( 1)7453,1( 42 4 = − + − −=P Ejemplo 9: Desarrollar en potencias de )1( +x el polinomio 12)( 245 ++−+= xxxxxf . En este caso )()( xPxf = y 1 0 +=− xxx por lo tanto 1 0 −=x . 54 32 )1( !5 )1( )1( !4 )1( )1( !3 )1( )1( !2 )1( )1()1()1()( + − ++ − + ++ −′′′ ++ −′′ ++−′+−= x P x P x P x P xPPxf viv 12)( 245 ++−+= xxxxxf 0)1( =−f 1285)( 34 +−+=′ xxxxf 0)1( =−′f 22420)( 23 −+=′′ xxxf 2)1( =−′′f xxxf 4860)( 2 +=′′′ 12)1( =−′′′f 48120)( += xxf iv 72)1( −=−ivf 120)( =xf v 120)1( =−vf Observemos que como 0)( =xf vi el resto o término complementario vale cero. 5432 )1( 120 120 )1( 24 72 )1( 6 12 )1()( +++−+++= xxxxxP Por lo tanto: 5432 )1()1(3)1(2)1()()( +++−+++== xxxxxPxf Ejemplo 10: Hallar el polinomio de Mac Laurin la función xexf 2)( = de grado 4. xexf 2)( = 1)0( =f xexf 22)( =′ 2)0( =′f xexf 24)( =′′ 4)0( =′′f xexf 28)( =′′′ 8)0( =′′′f xiv exf 216)( = 16)0( =ivf Por lo tanto: 432 !4 16 !3 8 !2 4 21)( xxxxxP ++++= *Resolver los problemas 4, 5, 6 y 7 de la guía de trabajos prácticos. Sucesiones y Series 282 APLICACIONES ECONÓMICAS Las series geométricas encuentran su aplicación en el cálculo del valor de una renta perpetua. Llamamos renta a una sucesión de pagos efectuados periódicamente a través del tiempo con distintas finalidades como la constitución de un capital, la extinción de una deuda, etc. Cuando el número de cuotas no es finito, es decir la duración de la renta es ilimitada, la misma recibe la denominación de renta perpetua. Notemos: C = capital i = interés mensual =∞ ),( iV valor de la renta 1)1( −+= iv factor de actualización Luego, si 1 )( ≥nn v representa el valor actual de cada uno de los pagos, podemos escribir: KK +++++=∞ n vvvviV 321 ),( KK +⋅++⋅+⋅+⋅=∞ n vCvCvCvCiV 32),( ( )KK +++++⋅=∞ nvvvvCiV 32),( La suma indicada entre paréntesis es la suma correspondiente a una serie geométrica de razón 1<= vr y por ende convergente. Llamando a dicha suma S, sabemos que se puede calcular por la fórmula INn∈∀ , donde a es el primer término de la serie. Sustituyendo a por v y r por v, obtenemos: i i i i i i v v S 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 = + −+ + = + − + = − = Por lo tanto, i CiV 1 ),( ⋅=∞ Ejemplo 11: Analicemos el caso de querer saber la deuda que podríamos contraer hoy si estuviéramos dispuestos a pagar indefinidamente $50 mensuales con el 5% de interés mensual capitalizable por mes comenzando con el primer pago dentro de 30 días. 1000 05,0 1 50 1 ),( 05,0 50$ =⋅=⋅=∞⇒ = = i CiV i C *Está en condiciones de resolver el problema 8 de la guía de trabajos prácticos
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