EXA2-CIntegral-Raúl Andrés Guillén Rangel-IMKTBB11AMarzo-Julio2021

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA 
INGENIERÍA MECATRÓNICA 
CÁLCULO INTEGRAL 
SEGUNDO PARCIAL (VALOR:50%) 2da. Oportunidad 
 
Instrucciones: 
1.0 El nombre del archivo con el cual se envía es: EXA2-CINT-NOMBRE COMPLETO-IMKT-MARZO-
JULIO 2021 
2.0 Hora y fecha de envío: 7-07-2021 9:00 a.m. 
3.0 Para los exámenes de recuperación NO HAY REVISIONES NI RETROALIMENTACIÓN DE 
EXÁMENES únicamente se sube al Sistema Integral de Información su resultado global, el cual pueden 
consultar una vez que se le notifique de su resultado. 
4.0 Anexar las fotos de sus resultados en cada uno de los ejercicios, no olvidar mostrar el procedimiento 
en forma detallada, clara y ordenada. Subrayar el resultado con un color distinto al negro. 
5.0 Todas las fotos deberán estar colocadas en forma vertical, si alguna se encuentra en formato 
horizontal, no será evaluada, ser nítidas y claras. 
6.0 El valor del examen es de 50 puntos en total. 
7.0 Se solicita al alumno ser HONESTO en todo momento, caso contrario, si el alumno no demuestra 
este comportamiento se anulará todo su EXAMEN y no se otorgará ninguna nueva oportunidad para 
realizarlo, además se notificará de este hecho tanto a la Jefatura del Departamento de Ciencias Básicas 
como a la Vocalía de Cálculo Integral. El alumno se responsabiliza del resultado obtenido del examen y 
de su actuar durante el tiempo de duración de este. 
Una vez aclarado el apartado anterior favor de firmar el documento: _______________________ 
 
SECCIÓN DE EJERCICIOS 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: _____________________________________________FECHA:__________________ 
 
Resuelva las siguientes integrales, aplicando la técnica de integración más adecuada para cada una. 
1) 2 ( )x sen bx dx 
𝑢 = 𝑥2 
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑆𝑖𝑛𝑏𝑥𝑑𝑥 
Raúl Andrés Guillén Rangel 07/07/2021 
𝑣 = −
𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥
𝑏
 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
−
𝑥2𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥
𝑏
− ∫ −
2𝑥𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥
𝑏
𝑑𝑥 
−
𝑥2𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥
𝑏
+
2
𝑏
∫ 𝑥𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥𝑑𝑥 
𝑣 =
𝑆𝑖𝑛𝑏𝑥
𝑏
 
−
𝑥2𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥
𝑏
+
2
𝑏
(
𝑥𝑆𝑖𝑛𝑏𝑥
𝑏
− ∫
𝑆𝑖𝑛𝑏𝑥
𝑏
𝑑𝑥) 
−
𝑥2𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥
𝑏
+
2𝑥𝑆𝑖𝑛𝑏𝑥
 𝑏2
−
2
𝑏2
∫ 𝑆𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑑𝑥 
−
𝑥2𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥
𝑏
+
2𝑥𝑆𝑖𝑛𝑏𝑥
 𝑏2
+
2𝐶𝑜𝑠𝑏𝑥
𝑏3
+ 𝑐 
 
2) 
2
3 2
7 4
2
x
dx
x x x
−
+ −
 
7𝑥2 − 4
𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 + 2
+
𝐶
𝑥 − 1
 
7𝑥2 − 4 = 𝐴(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 𝐵𝑥(𝑥 − 1) + 𝐶𝑥(𝑥 + 2) 
𝑥 = 1 
3 = 3𝐶 
𝐶 = 1 
𝑥 = −2 
24 = 6𝐵 
𝐵 = 4 
𝑥 = 0 
−4 = −2𝐴 
𝐴 = 2 
7𝑥2 − 4
𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
=
2
𝑥
+
4
𝑥 + 2
+
1
𝑥 − 1
 
2 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + 4 ∫
1
𝑥 + 2
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 
2 ln|𝑥| + 4 ln|𝑥 + 2| + ln|𝑥 − 1| + 𝑐 
 
 
3) Al acelerar, un cohete quema combustible de manera que su masa disminuye con el tiempo. 
Supongamos que la masa inicial del cohete al despegar (incluyendo su combustible) es m, el 
combustible se consume con una rapidez r, y los gases de escape son expulsados con velocidad 
constante ve (respecto al cohete). Un modelo para la velocidad del cohete en el tiempo t está dado 
por la ecuación: 
 
 
 
donde g es la aceleración debida a la gravedad y t no es demasiado grande. Si g=9.8 m/s2, m=30000 
kg, r=160 kg/s y ve=3000 m/s, encuentre la altura del cohete un minuto después del despegue. 
𝑣(60) = −(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(60𝑠) − (3000 𝑚 𝑠⁄ ) ln
(30000𝑘𝑔) − (160 𝑘𝑔 𝑠⁄ )(60𝑠)
(30000𝑘𝑔)
 
𝑣(60) = −(588.6 𝑚 𝑠⁄ ) − (3000 𝑚 𝑠⁄ ) ln
20400𝑘𝑔
30000𝑘𝑔
 
𝑣(60) = −(588.6 𝑚 𝑠⁄ − (3000 𝑚 𝑠⁄ ) ln 0.68 
𝑣(60) = −(588.6 𝑚 𝑠⁄ ) − (−1156.99 𝑚 𝑠⁄ ) 
𝑣(60) = 568.387𝑚