Examen Parcial 2

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE 
MÉXICO 
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 
 
 
 2° Examen parcial de Cálculo vectorial. 
Profesora: Eloísa Bernardett Villalobos Oliver 
 
Nombre del Alumno ____________________________________No. Control________. 
Instrucciones: 
Resuelva los siguientes ejercicios y encierre el resultado en un rectángulo de color 
rojo. Simplifique las expresiones que resulten lo mas que pueda. Todas valen 10 
puntos. 
1. Encuentre para la curva: ˆˆ ˆ( ) ( ) ( cos )t t tr t e sent i e t j e k= + + . El vector tangente 
unitario, simplifique las expresiones lo más que se pueda. 
 
 
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2. Encuentre la longitud de la curva 
2 ˆˆ ˆ( ) (cos ) ( cos )r t t tsent i sent t t j t k= + + − + en 
el intervalo (0, )
4

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Encuentre la velocidad a partir de la aceleración dada con las condiciones que se 
indican. (15 puntos) 
 
ˆˆ ˆ( ) 6 (12 2)
ˆˆ ˆ(0) 2 0 1
ta t ti t j e k
v i j k
= + + +
= + +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Encuentre para la curva: cos( ) ( )x t tsen t= + y ( ) cos( )y sen t t t= − , las ecuaciones 
paramétricas de la recta tangente vertical para 0t  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. En un partido de futbol, un estudiante del ITC realiza un tiro hacia la portería desde 
una altura de 1 m sobre el piso y con un ángulo de 57.8° sobre la horizontal. 
a) ¿Con que velocidad debe lanzar el balón para lograr un alcance máximo de 
9.2m? 
b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar el balón? 
 
 
 
 
 
 
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6. Encuentre para la curva: ˆˆ ˆ( ) ( ) ( cos )t t tr t e sent i e t j e k= + + la ecuación del plano 
normal en el punto t= 0 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Encuentra la curva que resulta de la intersección de las superficies: 2 2 9x y+ = y 
29z x= − . Utiliza el parámetro x=3cos(t). Escríbela como función vectorial ( )r t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. Transforma la siguiente ecuación a coordenadas rectangulares 
5
3cos 8
r
sen 
=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. Encuentra 
0
lim ( )
t
r t
→
 para  
2
2
ˆˆ ˆ( ) arctan
2 2 5
t t
t t
e e
r t i j t k
e t e
−
−
   
= + +   
+ +   