Examen Parcial 3

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE 
MÉXICO 
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 
 
 
 3° Examen de Cálculo vectorial. Mecatrónica 
Profesora: Eloísa Bernardett Villalobos Oliver 
 
Nombre del Alumno ________________________________Calificación________ 
 
Lee cuidadosamente cada problema y contesta únicamente lo que se te pide. Encierra tu 
respuesta en un rectángulo rojo. 
 
1. Una montaña está definida por la ecuación 
2 2( ) 2( , ) 4x yf x y ye y+= + Si un día de lluvia 
muy intensa la lluvia comienza en el punto (0,1,6.718). 
a) Encuentra la dirección en que la lluvia desciende lo más rápido posible (10 
puntos) 
b) ¿Cuál es la derivada direccional en dirección de 1, 1u = − ? (10 puntos) 
 
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2. Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva que se 
genera al intersectar la superficie 2 2 2( , ) 1 ( 1) ( 2) 4f x y x y y= − − − − + con el plano 1x = 
en el punto (1,1,4) . (20 puntos). 
 
 
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3. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie ( , ) ( 1)xf x y e seny= + en el 
punto (0, , 2)
2

. (20 puntos). 
 
 
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4. Encuentra el límite para la función dada, en caso de que no exista, demuestra 
por qué usando la regla de las trayectorias. (10 puntos): 
 
2
2 2( , ) (0,0)
lim
( 1)(1 )x y
x
x y→ + +
 
 
 
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5. Encuentra los puntos críticos de la función 3 2f( , ) 4 2 1x y x xy y= − + − + e identifica 
que tipo de puntos son (15 puntos). 
 
 
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6. El escudo del Capitán América se analiza en laboratorios de las fuerzas enemigas; 
su borde circular se define por 0.5cosx t= , 0.5seny t= ; el escudo queda inmerso 
en agua cuya temperatura está dada por la función 
( ) 2 3, yT x y x e xy= −
 
Determine la tasa de cambio de la temperatura 
dT
dt , que puede estar afectando 
al borde del escudo, en / 2t = . (15 puntos).