APLICACIONES DE LA DERIVADA - TEORIA

Vista previa del material en texto

INTRODUCCIÓN 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 INTERPRETACIÓN GEOMETRICA 
DE LA DERIVADA EN UN PUNTO 
 
 RECTA TANGENTE y RECTA 
NORMAL 
 
 FUNCIONES CRECIENTES y 
DECRECIENTES 
 
 EXTREMOS RELATIVOS de una 
FUNCIÓN 
 
 CRITERIO DE LA PRIMERA 
DERIVADA 
 
 EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA 
FUNCIÓN EN [a,b] 
 
 CONCAVIDAD DE UNA 
FUNCIÓN 
 
 CRITERIO DE LA SEGUNDA 
DERIVADA 
 
 
 EJEMPLOS DESARROLLADOS 
 
 TRABAJO PRÁCTICO 
 
 
 
 
 
APLICACIONES de la DERIVADA 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
 6 
 Pág. 2 
 
INTRODUCCIÓN 
El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía, 
psicología, medicina, administración, ingeniería, electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, 
biología, etc. 
 
 
 En física, las derivadas se aplican en aquellos casos donde es necesario medir la 
rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. 
Por ejemplo, si la ecuación que describe el movimiento de un cuerpo es 
 
 
 
 
La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiempo 
 
 
 
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, o la 2ª derivada del espacio respecto al 
tiempo 
 
 
 
Tirón o sacudida es la tasa de cambio de la aceleración, es decir, la derivada de la aceleración con 
respecto al tiempo, la segunda derivada de la velocidad, o la tercera derivada de la posición. 
3
3
2
2
dt
xd
 
dt
vd
 
dt
ad
)t(S 





 
 
 
 
 Para conocer el consumo eléctrico del país en un determinado instante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1
00 attvx)t(x 
dt
dx
)t( v 

2
2
dt
xd
 
dt
vd
)t(a 



http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3n
 Pág. 3 
 
 En problemas de dinámica de fluidos, para conseguir una 
mejor aerodinámica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Si una catenaria entre dos torres está definida por la 
función: 
Donde x e y se miden en hectómetros, halla la altura que tiene 
el cable en el punto más bajo entre las dos torres? 
 
2
1cosh)( C
Cx 
xy 




 
Ecuación general familia de catenarias 
 
 
 Se considera un circuito serie R-L-C al que se le aplica 
un voltaje V(t) de variación sinusoidal dada por la expresión 
)tω(sen V)t(V 0 . La Intensidad I de la corriente que circula 
por el circuito, viene dada por )φtω(sen I)t(I  0 . El valor 
máximo de Io está dado por la expresión 
Z
0VI 0 donde Z es 
la impedancia del circuito y vale: 
2
Cω
1
Lω2RZ 





 
a) Expresa I0 como función de  
b) Suponiendo que la frecuencia angular  de la fuente puede variarse, halla el valor de  que 
corresponde al máximo valor de I0. (El valor que hallarás se conoce como “frecuencia de resonancia”) 
 
 
 Hidráulica 
 
 
 
 
 
wμzgρw)V(ρ
z
P
vμygρv)V(ρ
y
P
uμxgρu)V(ρ
x
P
2
2
2









 Pág. 4 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 
7.1.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA EN UN PUNTO 
Sea una función f continua en (c, d), consideremos los puntos    f(x) x, Q y a(f,aP 
pertenecientes a la gráfica de f con domf x,a  y P punto fijo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los puntos P y Q determinan la recta secante PQ cuya pendiente ms está dada por la tangente 
trigonométrica del ángulo de inclinación , de la misma: 
(1) 
a-x
f(a) - f(x)
 θ tg sm  
 
Si se desplaza Q hacia P (Q P), la abscisa de Q se aproxima a la abscisa de P ( x a); la recta 
secante S (PQ) gira alrededor del punto fijo P tomando distintas posiciones s1, s2, s3 , …, sn 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 5 
 
Si en P la función tiene una recta tangente t que forma un ángulo  con el eje x, se observa que: 
 
 Cuando el punto Q se acerca al punto P la recta secante PQ (S) se acerca a la recta 
tangente t : PQt 
 
 El ángulo  de inclinación de la secante se aproxima al ángulo de inclinación  de la 
tangente:  y por lo tanto tg  tg  . 
 
 
 Como ms = tg y mt = tg puede decirse que la pendiente de la secante se aproxima 
a la pendiente de la recta tangente: msmt o que mt es la posición límite de las ms. 
 
 Esto se expresa: (2) sm
ax
limtm

 
 
Reemplazando (1) en (2): 
 (3) 
ax
)a(f)x(f
ax
limtm



 
Y como 
 (4) (a) f'
ax
)a(f)x(f
ax
lim 



 
Entonces 
 
 (a) f'mt  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusión: 
La derivada de una función en un punto de 
abscisa a, mide la pendiente de la recta 
tangente a la gráfica de f en dicho punto. 
 
 Pág. 6 
 
7.2.- RECTA TANGENTE Y NORMAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2.2 ECUACIONES 
Sea la función f: y=f(x) y un punto P(a, f(a)) de la misma, la ecuación del haz de rectas 
que pasa por dicho punto está dado por: 
  (1) a-x mafy  )( 
 
La pendiente de la recta tangente t , denotada por mt, es: mt = tg = f’ (a). 
Reemplazando en (1) se obtiene la ecuación de la RECTA TANGENTE a la gráfica de f en el punto 
P (a, f(a)) 
 
(a)f'tm con a)-(x tmf(a)y  
 
La recta perpendicular a t en el punto P se llama RECTA NORMAL y su ecuación es: 
tm
m con a)-(x nm.f(a)y
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2.1 DEFINICIÓN RECTA TANGENTE: 
 Recta tangente a la gráfica 
de una función en el punto  )(, afa P 
 
 con adomf, es la recta posición límite, si 
existe y es única, de la recta secante PQ 
cuando Q tiende a P a lo largo de la curva.
 
 
 
 Pág. 7 
 
 
Sea 
2
2y-
3
8x
2
4xy-y
2
2x y)F(x,  determine, si existen, las ecuaciones de las rectas tangente y 
normal a F en el punto P(-1,4 ; 2) 
Desarrollo 
a) Determinación de mt 
Para obtener el valor de la pendiente de la tangente se deberá previamente obtener la 
derivada F’(x,y) 
4y8xy
2
2x
xy 4
2
24x
2
4y
dx
dy
 ;xy 4
2
24x
2
4y4y8xy
2
2x.
dx
dy
4xy
2
24x
2
4y
dx
dy
4y.
dx
dy
8xy.
dx
dy
.
2
2x
0
dx
dy
4y.
2
24x
dx
dy
8xy.
2
4y
dx
dy
.
2
2x4xy
0
dx
dy
4y..1
2
24x
dx
dy
x.2y.
2
1.y4.
dx
dy
.
2
x2x.1.y2.
0
2
2y
3
8x
2
4xyy
2
2x ; 0
2
2y
3
8x
2
4xyy
2
2x y)F(x, 

























 
 
b) La pendiente mt de la tangente y la pendiente m de la normal son: 
   
 
 
11
10
nm tm ; 
2 . 4 -(-1.4) . 2 . 8
2
1.4- 2
(-1.4) . .2 4
2
1.4- 24
2
24
2) (-1.4,F'tm 



10
11
 
c) La ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal 
normal recta
8
15
x
8
7
 y
 tangenterecta
7
1
x
7
8
- y
 de ecuación ).(x
11
10
 2y 
 de ecuación 1.4).(x
10
11
 - 2 y - 
:valores los 0n000 doreemplazan )x -(x . m y y - ; )x -(x . mt y y -



4.1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1 
 Pág. 8 
 
7.3.- FUNCIÓN CRECIENTE y FUNCIÓN DECRECIENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3.1.- TEOREMATambién se puede determinar si una función es creciente o decreciente teniendo en cuenta el 
signo de la primera derivada por medio del siguiente teorema 
Sea una función f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el 
intervalo abierto (a,b) 
i) Si f’ (x) > 0  x  (a, b)  f es CRECIENTE en (a, b) 
ii) Si f’ (x) < 0  x  (a, b)  f es DECRECIENTE en (a, b) 
iii) Si f’ (x) = 0  x  (a, b)  f es CONSTANTE en (a, b) 
 
 i ii iii 
Una función f definida en un intervalo abierto (a,b) se 
,dice que es DECRECIENTE en dicho intervalo si y solo sí 
 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) si x 2 < x 2 
 
Una función f definida en un intervalo abierto (a,b) se 
dice que es CRECIENTE en dicho intervalo si y solo sí 
 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) si x 1 < x 2 
 
 Pág. 9 
 
7.4.- EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN 
7.4.1.- DEFINICIÓN DE MÁXIMO RELATIVO 
Sea una función f y un punto x0 domf, se dice que f(x0) es un MÁXIMO RELATIVO de f si existe un 
intervalo (a,b) que contiene a x0 tal que 
f(x) ≤ f(x0) para todo x  (a,b) incluido en el domf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4.2.- DEFINICIÓN DE MÍNIMO RELATIVO 
Sea una función f y un punto x0  domf, se dice que f(x0) es un MÍNIMO RELATIVO de f si existe un 
intervalo (a,b) que contiene a x0 tal que 
f(x) ≥ f(x0) para todo x  (a,b) incluido en el domf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Los MÁXIMOS RELATIVOS y MÍNIMOS RELATIVOS, de una función se llaman EXTREMOS 
RELATIVOS. 
 
 Pág. 10 
 
7.4.3 .- DEFINICIÓN DE PUNTO CRÍTICO O NÚMERO CRÍTICO 
Si x0 es un número del dominio de la función f, y si 
-   0' 0 xf o 
-   existe no xf 0' 
entonces x0 es un NÚMERO CRÍTICO o un PUNTO CRÍTICO de f. 
 
7.4.3.1.- OTRAS FORMAS DE DESIGNAR LOS NÚMEROS CRÍTICOS1 
Los Número Críticos también reciben los nombres: 
Punto Estacionario es el valor de x0 en el que   0' 0 xf 
Punto Singular: es el valor de x0 en el que   existe no xf 0' 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea la función definida por xxf(x) 3
3 4  . Determine los puntos críticos de f 
Solución 
- El dominio de f son los números reales: domf= R 
- La derivada de f es: 
3 2
333
3
1
3
4
x 
x
 
x 
3
 1
 x 
3
 4
(x)f'
-21
 
- Determinar si existen Puntos Estacionarios: 0(x)f' 
4
1
- x 

 
x 3
14x
 ; 
x 
x
 
00
3
1
3
4
3 23 2
3 
 
- Determinar si existen Puntos Singulares: existe no (x)f' 
3 2x 
x
x 
x
 
(x)f'
.3
14
3
1
3
4
3 2
3  la derivada de f no existe si el denominador es 0  
0 x  x 03
3 2 . Como x = 0 y x = -1/4 dom f, son NUMEROS CRÍTICOS de f. 
 
1 Cálculo - Purcell 
Ejercicio 2 
 Pág. 11 
 
7.4.4.- CONDICIONES NECESARIAS PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS RELATIVOS 
7.4.4.1.- TEOREMA DE FERMAT 
Ofrece una condición necesaria para la determinación de extremos relativos en funciones derivables. 
Teorema 
Si f(x0) es un Extremo Relativo de la función y existe f’(x0), entonces f’(x0) = 0 
 
7.4.4.2.- TEOREMA PARA FUNCIONES DERIVABLES Y NO DERIVABLES EN UN INTERVALO 
Si x0 es un punto del dominio de una función f, y f(x0) es un MÁXIMO RELATIVO o un MÍNIMO 
RELATIVO de f, entonces   0x' f 0  o   0x' f 0  no existe. 
 
 
 
 
0 xen derivable es f );0(xf' 
0)0(x' f tm

 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 xen derivable es no f ; )0(xf' 
)0(x' f tm


 
 
 
7.4.4.3.- RECÍPROCO DEL TEOREMA 7.4.4.2 
La anulación o la no existencia de la derivada de f en un punto de su dominio no son suficientes 
para garantizar la existencia de Extremos Relativos en el punto, tal como se ejemplifica: 
 
 
 
 Pág. 12 
 
 
 
El punto x=0 es Punto de Ensilladura en la función f(x)=x3 ya que en él la tangente es horizontal, 
f‘(x0) =0 pero no hay ni máximos ni mínimos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los puntos donde f’(x0)=0 pero no es Máximo ni Mínimo se llaman PUNTOS DE SILLA o de 
ENSILLADURA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo Explicativo 
 Pág. 13 
 
7.5.- CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA 
Las condiciones suficientes para la existencia de Extremos relativos están contenidas en el 
siguiente teorema: 
7.5.1.- TEOREMA 
Sea f continua en (a,b) que contiene al punto x0 y f ‘(x) existe para todo x  (a,b) excepto 
posiblemente en x0, si: 
  fde RELATIVO MÍNIMO un es x f 0 
 bxx 0(x)f'
 
 xax 0(x)f'
 i








),(
),(
)
0
0
 
 
 
 
  fde RELATIVO MÁXIMO un es x f 0 
 bxx 0(x)f'
 
 xax 0(x)f'
 ii)








),(
),(
0
0
 
 
 
 
 
  fde RELATIVO EXTREMO ES NO x f 0 
 b(x x (a, x signo mismo el t iene (x) f' Siiii) 00

 ),)
 
 
 
 Pág. 14 
 
 
 
 Sea la función definida por: 



 2x x.lnxf(x) se pide: 
a) Dominio:  0Rdomf  
 
b) Puntos Críticos 
- La derivada de f es: )ln1(x)' f 2 2
2
ln(x-1(x)f' 
x
2x
 xx  
- Los puntos críticos son: 
 Crít icos Puntos 
e x ; ex ; x ln x ; xf 1-22







 
0.6 x
0.6 - x
10ln10)('
2
1
12
 
f de dominio al x paraexiste no xf pertenece no0)('  
 
c) Intervalos de Crecimiento y decrecimiento y Extremos Relativos si presenta 





















edecrecient 0 (x)f' ; ) (0,6,
 domf 0,6x 
creciente 0(x)f' ; 0,6) (-0,6,
 domf 0,6 -x 
edecrecient 0(x)f' ; 
xxf
1,21) ; (0,6 Relativo Máximo
1,21)- (-0,6; Relativo Mínimo
)6,0,(
ln1)(' 2
 
d) Bosquejo de la gráfica de f 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Rango de f 
rgo f = R- 0 
Ejercicio 3 
 Pág. 15 
 
7.6.- EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN 
7.6.1.- DEFINICIÓN DE MÁXIMO ABSOLUTO 
Se dice que una función f tiene un MÁXIMO ABSOLUTO en un punto x0domf tal que f(x) < f(x0) 
para todo x domf. El número f(x0) es el valor máximo absoluto de la función 
 
7.6.2.- DEFINICIÓN DE MÍNIMO ABSOLUTO 
Se dice que una función f tiene un MÍNIMO ABSOLUTO en un punto x0domf tal que f(x) > f(x0) 
para todo xdomf. El número f(x0) es el valor mínimo absoluto de la función 
 
 
 
 
 
 
El siguiente Teorema establece las condiciones que garantizan la existencia de Extremos Absolutos 
de una función: 
7.6.3.- TEOREMA DEL VALOR EXTREMO – TEOREMA DE WEIERSTRASS 
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo y un mínimo absoluto en 
[a, b]. 
 
7.6.4.- MÉTODO PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN 
 CONTÍNUA EN [A, B] 
1°.- determinar los números críticos o puntos críticos de f, si existen 
2°.- determinar los valores que toma la función en cada punto crítico en (a,b) 
3°.- determinar los valores que toma la función en los extremos del intervalo [a, b] 
4°.- El mayor valor de los valores de la función determinados en los pasos anteriores es el Máximo 
Absoluto de f. 
5°.- El menor valor de los valores de la función determinados en los pasos anteriores es el Mínimo 
Absoluto de f. 
 
 Pág. 16 
 
 
Sea la función f definida por f(x) = x4 - 8 x2 + 16 en -3, 2 
a) halle los extremos globales o absolutos en el intervalo dado. 
b) Verifique graficando con Geogebra 
 
 Se determinanlos puntos críticos de f 
 
 
 
  mínimo valor un hay 0 2, R 0 32 (2) 'f'
mínimo valor un hay 0) Q(-2, 0 32 (-2) 'f'
máximo valor un hay 16 0,P 0 16- (0) 'f'
16
2
12x(x)'' f
:derivada segunda la de Criterio aplicando Extremos los osDeterminam
 4 x; 04
2
x
 0 4x 
 04
2
x .4x 
016x-
3
4x ; 0 (x)' f ;16x -
3
4x (x)' f
 16
2
8x-
4
xf(x) 














23x ; -22x
0 1x
 
 
 Se determinan los valores de la función para los extremos del intervalo x = -3 y x=2 
 25 3,-S 25)3(f  
Se concluye: 
x f(x) Extremos 
-3 25 Máximo 
absoluto 
-2 0 Mínimo 
absoluto 
0 16 Máximo 
relativo 
2 0 Mínimo 
absoluto 
 
 
 
Ejercicio 4 
 Pág. 17 
 
7.7.- CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN 
 
7.7.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CÓNCAVA HACIA ARRIBA 
 
Se dice que la gráfica de f es CÓNCAVA HACIA 
ARRIBA, en el punto P(x0, f(x0)) si existe f´( x0) y si existe 
un intervalo (a,b) que contiene a x0 tal que para todo x 
≠ x0 y x (a,b), el punto (x, f(x)) en la gráfica está 
arriba de la recta tangente a la gráfica en (x0, f(x0)). 
 
 
 
 
7.7.2.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CÓNCAVA HACIA ABAJO 
 
Se dice que la gráfica de f es CÓNCAVA HACIA ABAJO, 
en el punto (x0, f(x0)), si existe f´(x0) y si existe un intervalo 
(a,b) que contiene a x0 tal que para todo x ≠ x0 y x 
(a,b), el punto (x, f(x)) en la gráfica está abajo de la 
recta tangente a la gráfica en (x0, f(x0)). 
 
 
 
 
 
7.7.3.- TEOREMA DE CONCAVIDAD 
El estudio de la concavidad de una función está vinculado con el signo de la segunda derivada, 
como lo establece el siguiente teorema: 
Teorema 
Sea f una función cuya derivada segunda existe en algún intervalo abierto (a,b) 
a) Si f´´(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), entonces la gráfica de f es CONCAVA 
HACIA ARRIBA en (a, b) 
b) Si f´´(x)< 0 para todo x en el intervalo (a,b), entonces la gráfica de f es CONCAVA 
HACIA ABAJO en (a, b) 
 Pág. 18 
 
7.7.4.- PUNTO DE INFLEXIÓN 
7.7.4.1.- DEFINICIÓN INTUITIVA 
Se dice que la gráfica de una función continua en x0, tiene punto de Inflexión en (x0, f(x0)) si la 
curva cambia de concavidad al pasar por el punto x0. 
 
7.7.4.2.- DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN 
Sea una función f continua en x0. Un punto. (x0, f(x0)) es PUNTO DE INFLEXIÓN de la gráfica de f, si 
la curva tiene allí recta tangente y si existe un intervalo (a,b) que contiene a x0 tal que para todo 
x  (a, b): 
 
 
    bx x xfy x a, x xf 00 ,0)(''0)(''  
 
 
 
 
    bx x xfy x a, x xf 00 ,0)(''0)(''  
 
 
 
 7.7.4.3.- CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE PUNTO DE INFLEXIÓN 
Es importante destacar que la definición dada anteriormente nada dice sobre la existencia, o no, 
de f’’(x0 ) para que haya Punto de Inflexión. Conocer las condiciones permitirá localizar los 
posibles Puntos de Inflexión. Las mismas están contenidas en los siguientes Teoremas. 
 
7.7.4.3.1 - TEOREMA 
Si  )f(x x P 0,0 es un Punto de Inflexión de la gráfica de f, entonces 
existe no )(x'f' ó 0 xf 0)('' 0 
 
7.7.4.3.2 TEOREMA 
Si la función f es derivable en algún intervalo (a,b) que contiene a x0 y si (x0, f(x0 )) es Punto de 
Inflexión de la gráfica de f en el cuál existe f’’(x0 ) , entonces f’’ (x0 )= 0 
 
 Pág. 19 
 
7.7.4.- VERIFICACIÓN GRÁFICA 
Se pueden verificar las definiciones y teoremas enunciados, en la siguiente derivación gráfica: 
 
 Funcion derivable en (a,b) Función derivable en (a,b) excepto en x0(a,b) 
 Gráfica a Gráfica b 
 
 
 
 
 Pág. 20 
 
7.7.5.- RECÍPROCO DEL TEOREMA 7.7.4.3.2 
La anulación de la segunda derivada de f en un punto de su dominio 0 xf )('' 0 no es suficiente 
para garantizar la existencia de Puntos de Inflexión en el punto, tal como se ejemplifica. 
 
 
Considere la función 
6)( xxf  cuya gráfica se muestra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se observa que 0)0('' f pero como la función es: 
- cóncava hacia arriba ( 0)('' xf ) para todo x < 0 y es 
- cóncava hacia arriba ( 0)('' xf ) para todo x > 0 
El origen de coordenadas no es Punto de Inflexión de f. 
 
Ejercicio Explicativo 
 Pág. 21 
 
 
 
 Continuamos el estudio de la función del ejercicio N° 3 
 Sea la función definida por: 



 2x x.lnxf(x) se pide: 
 
a) Dominio:  0Rdomf  
b) Posibles Puntos de Inflexión 
- La derivada segunda de f es: 
x
(x)'f' 
x
2x
2
2
(x)'' f  
- Los posibles puntos inflexión son: 
 PIhay oN domf x paraexiste no 
x
2
-(x)'f' ; existe no 
 
 PIhay oN 
x
2
-(x)'f' ; 


0
0
(x)'f'
 0(x)'f'
 
 
c) Intervalos de Concavidad 
 












abajo hacia Cóncava 0 (x)f' ; ) (0,
Inflexión de Punto existe o domf 0 x
arriba hacia Cóncava 0(x)'f' ; 0 
x
xf N
),(
2
)('
 
 
d) Bosquejo de la gráfica de f 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Rango de f 
rgo f = R- 0 
 
 
 
Ejercicio 5 
 Pág. 22 
 
f’’(x) > 0 
y 
y’ 
y’’ 
 
7.8.- CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 
El siguiente Teorema permite determinar la existencia, o no, de extremos relativos de f. 
 
7.8.1.- TEOREMA 
Sea una función f derivable en el intervalo abierto (a, b) que contiene a x0 y sea x0 un 
PUNTO CRÍTICO de f en el que f’(x0 ) = 0 (punto estacionario), si existe f’’(x0) y: 
 
f(x) de RELATIVO MÍNIMOun es xf xf Si ii
f(x) de RELATIVO MÁXIMOun es xf xf Si i
)(0)('')
)(0)('')
00
00


 
Si xf 0)('' 0  este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la Primera Derivada 
 
7.8.2.- DERIVACIÓN GRÁFICA. 
Permitirá comprobar gráficamente el Criterio de concavidad, Puntos de Inflexión y Criterio de la 
Segunda Derivada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÓNCAVA HACIA ARRIBA 
CÓNCAVA HACIA ABAJO 
 Pág. 23 
 
f’’(x) < 0 
f’’(x) = 0 
 
 7.8.3.- PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 
 
a.- Obtener la derivada primera de f 
b.- Determinar los Puntos Estacionarios   0' 0 xf 
c.- Obtener la derivada segunda de f 
d.- Aplicar el Teorema 7.8.1.- y decidir* 
 
* Si para algún Punto Estacionario x0, el criterio nada dice ( 0 xf )0('' ) se obtienen derivadas 
sucesivas de f y se va reemplazando el punto estacionario x0 en ellas. 
Si el grado n de   0 xn ' f )0( es: 
- n es impar: x0 es la abscisa de un Punto de Inflexión 
- n es par: x0 es la abscisa de un Extremo relativo 
 
 
 
 
 Sea 2 3x44x f(x)  determine los extremos relativos de f aplicando 
 el criterio de la segunda derivada, 
a) Derivada primera de f: 
 xx4 (x)'f 
2
12
3
 
b) 
 
Puntos Estacionarios: 
 
 










3 2x
 0 1x
 0 3)-(x
 ; 24x 
 x
2
4x
0 xx4
0 xx4 (x)'f 
0
03.
2
12
3
2
12
3
 
 
c) 
Derivada segunda de f: 
 
24x 
2
12x (x)'' f  
 
d) Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada: 
 
Ejercicio 6 
 Pág. 24 
 
  25- 3, en Relativo Mínimo 0 39 12. (3)''f 
 dice nada crit erio el 0 12.0 (0)''f 


.24
0.24
 
 
e) Como para x = 0 el criterio nada dice, obtenemosf’’’(x) y particularizamos: 
 
 0 24 - 0 24. (0)'''f 
x24 (x)'''f 


24
24
 
Como el grado n de la primera derivada para la cual 0)0( nf es IMPAR, el punto Q(0, 2) es 
Punto de Inflexión de la gráfica de f. 
 
f) Para obtener otros Puntos de Inflexión, si los tuviera, se hace 0 (x)'' f 
 
 
 








 2 x
obt enido ya 0 x
 02-x12x 024x 
2
12x (x)'' f