Unidad-IV-de-Materiales

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.- Circulo de Mohr para Esfuerzo plano 
El círculo usado para obtener algunas de las ecuaciones básicas 
relativas a la transformación de un esfuerzo plano lo introdujo el 
ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918) y se conoce como circulo de 
Mohr para esfuerzo plano. Como se verá este círculo puede utilizarse 
como método alternativo de solución para los problemas. Este método 
se basa en consideraciones geométricas simples y no requiere el uso 
de ecuaciones especializadas, Aunque diseñado para obtener 
soluciones graficas, se presta también al uso de una calculadora. 
Considere un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo 
plano (véase la figura 5.15ª), y sea 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 y 𝜏𝑥𝑦 las componentes del 
esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibújese un punto X de 
coordenadas 𝜎𝑥 y −𝜏𝑥𝑦, y un punto Y de coordenadas 𝜎𝑦 y + 𝜏𝑥𝑦(véase 
la figura 5.15b). Si 𝜏𝑥𝑦 es positivo, como se supone en la figura 6.15ª, el 
punto X está situado debajo del eje 𝜎 y el punto Y encima, como se 
muestra en la figura 5.15b. Si 𝜏𝑥𝑦 es negativo, X se situa encima del eje 
𝜎 y Y debajo. Uniendo X y Y mediante una línea recta se define el punto 
C de intersección de la línea XY con el eje 𝜎 y se dibuja el circulo de 
centro respectivamente iguales a las cantidades 𝜎𝑚𝑒𝑑 y R definidas por 
las ecuaciones (5.10), se concluye que el circulo obtenido es el circulo 
de Mohr para esfuerzo plano. Así las abscisas de los puntos A y B, en 
donde el círculo interseca al eje 𝜎, representan respectivamente los 
esfuerzos principales 𝜎𝑚𝑎𝑥 y𝜎𝑚𝑖𝑛 en el punto considerado. 
 Se nota también que como tan(𝑋𝐶𝐴) = 2𝜏𝑥𝑦 /(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦), el angulo XCA es igual en magnitud a 
uno de los angulos 2𝜃𝑝 que satisfacen la ecuación (5.12). Así el ángulo 𝜃𝑝 que define en la figura 
5.15ª, la orientación del plano principal correspondiente al punto A en la figura 5.15b puede 
obtenerse dividiendo por la mitad el ángulo XCA medido en el círculo de Mohr. Obsérvese además 
que si 𝜎𝑥 > 𝜎𝑦 𝑦 𝜏𝑥𝑦 > 0, como en el caso considerado aquí, la rotación que trae CX a CA es de 
sentido contrario a las agujas del reloj. Pero en este caso el ángulo 𝜃𝑝 obtenido de la ecuación 
(5.12), el cual define la dirección de la normal 𝑂𝑎 al plano principal, es positivo; así la rotación que 
trae 𝑂𝑥 𝑎 𝑂𝑎 es también de sentido contrario a las agujas del reloj. Se concluye que los sentidos 
de rotación en ambas partes de la figura 5.15 son los mismos. Si se requiere una rotación 2𝜃𝑝 en 
sentido contrario a las agujas del reloj para llevar CX a CA en el círculo de Mohr, una rotación en 
sentido contrario al de las agujas del reloj 𝜃𝑝 llevara 𝑂𝑥 𝑎 𝑂𝑎 en la figura 5.15ª. 
 
Como el circulo de Mohr está definido en forma única, el mismo circulo puede obtenerse 
considerando las componentes 𝜎𝑥´, 𝜎𝑦´ , 𝑦 𝜏𝑥´𝑦´, correspondientes a los ejes x´y y´ de la figura 
5.16ª. El punto X´ de las coordenadas 𝜎𝑥´ 𝑦 −𝜏𝑥´𝑦´ , y el punto Y´de las coordenadas 𝜎𝑥´ 𝑦 +𝜏𝑥´𝑦´ , 
están por tanto localizadas en el círculo de Mohr y el ángulo X´CA de la figura 5.16b debe ser el 
doble del ángulo 𝑥𝑂𝑎 se sigue en el angulo XCX´ de la figura 5.16b es el doble 𝑥𝑂𝑥´ de la figura 
 
 
5.16ª. Así el diámetro x´y´ que defines los esfuerzos normales y cortantes 𝜎𝑥´, 𝜎𝑦´ , 𝑦 𝜏𝑥´𝑦´, 
pueden obtenerse girando el diámetro XY un ángulo igual al doble del ángulo 𝜃 formado por los 
ejes x y x´ de la figura 5.16ª se observa que la rotación que hace coincidir el diámetro XY con el 
diámetro X´Y´, en la figura 5.16b, tienen igual sentido que la rotación que se supone los ejes xy a 
los ejes x´ y ‘en la figura 5.16 a. 
La propiedad que se acaba de indicar puede usarse para verificar el hecho de que los planos de 
esfuerzo cortante máximo están a 45° de los planos principales. Ciertamente recuérdese que los 
puntos D y E del circulo de Mohr corresponden a los planos de esfuerzo cortante máximo, 
mientras A y B corresponden a los planos principales (véase la figura 5.17b). Puesto que los 
diámetros AB y DE del circulo de Mohr están a 90° el uno del otro, se sigue que las caras de los 
elementos correspondientes a 45° la una de la otra (véase la figura 5.17ª). 
 
 
La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se 
simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del 
elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De la 
figura 5.15 y 5.16 obsérvese que cuando el esfuerzo cortante 
ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento con 
las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está 
colocado por encima del eje 𝜎 en el círculo de Mohr. Cuando el 
esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el elemento 
contra las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara 
está localizado debajo del eje 𝜎 (véase la figura 5.18). En cuanto a 
los esfuerzos normales, se usa la convención usual, es decir, un 
esfuerzo de tensión se considera positivo y se grafica a la 
derecha, mientras una compresión es negativa y se grafica hacia la 
izquierda. 
Ejemplo 
 Para el estado de esfuerzo plano considerado en el ejemplo 5.01, a) trace el circulo de Mohr, b) 
determine los esfuerzos principales, c) halle el esfuerzo cortante máximo y el correspondiente 
esfuerzo normal. 
a) Construcción del círculo de Mohr. Se advierte en la figura 5.19ª que el esfuerzo normal 
ejercido sobre cara orientada hacia el eje x es de tensión (positiva) y que el esfuerzo 
cortante ejercido sobre esa cara tiende a hacer girar el elemento contra las agujas del 
reloj. El punto X del circulo de Mohr, por tanto, se dibujara a la derecha del eje vertical y 
debajo del eje horizontal (véase la figura 5.19b). una inspección similar de las esfuerzos 
normal y cortante ejercido sobre la cara superior del elemento muestra que el punto y 
debe dibujarse a la izquierda del eje vertical y encima del eje horizontal. Dibujando la línea 
XY, se obtiene el centro C del circulo Mohr, su abscisa es: 
 𝜎𝑚𝑒𝑑 = 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
=
50+(−10)
2
= 20𝑀𝑃𝑎. 
 
 
Puesto que los lados del triángulo sombreado son 
𝐶𝐸 = 50 − 20 = 30 𝑀𝑃𝑎 y 𝐹𝑋 = 40 𝑀𝑃𝑎 
El radio del círculo es 
𝑅 = 𝐶𝑋 = √(30)2 + (40)2 = 50 𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
b) Esfuerzos y planos principales. Los esfuerzos principales 
son 
𝜎𝑚𝑎𝑥=𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐴 = 20 + 50 = 70 𝑀𝑃𝑎 
 𝜎𝑚𝑖𝑛=𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 − 𝐵𝐶 = 20 − 50 = 30 𝑀𝑃𝑎 
Recordando que el ángulo ACX representa 2𝜃𝑝 (véase la figura 
5.19b), se escribe: 
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑝 =
𝐹𝑋
𝐶𝐹
=
40
30
 
2𝜃𝑝 = 53.1° 𝜃𝑝=26.6° 
Como a rotación que lleva CX a CA, en la figura 5.20b, es contra las agujas del reloj, la rotación que 
lleva Ox hasta el eje Oa, que corresponde a 
𝜎𝑚𝑎𝑥 En la figura 5.20 a, es también contra las agujas del reloj. 
c) Esfuerzo cortante máximo. Ya que una rotación adicional de 90° contra las agujas del reloj 
CA a CD en la figura 5.20b, una rotación adicional de 45° contra el reloj llevara el eje Oa a 
Od que corresponde al máximo esfuerzo cortante en la figura 5. 20ª. Se observa en la 
figura 6.20b que𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 = 50𝑀𝑃𝑎 y que el esfuerzo normal correspondiente es 
𝜎´ = 𝜎𝑚𝑒𝑑 = 20 𝑀𝑃𝑎. Como el punto D está por encima del eje 𝜎 en la figura 5.20b, los 
esfuerzos cortantes ejercidos sobre las caras perpendiculares a Od en la figura 5.20 a 
deben estar dirigidos de manera que tiendan a rotar el elemento en sentido de las agujasdel reloj. 
 
 
 
 
 
El circulo de mohr provee un modo conveniente de verificar los resultados obtenidos antes, para 
esfuerzos bajo carga axial céntrica (véase la sección 1.8) y bajo carga torsional (véase la sección 
3.4). En el primer caso (véase la figura 6.21a), se tiene 𝜎𝑥 = 𝑃 𝐴⁄ , 𝜎𝑦 = 0 y 𝑇𝑥𝑦 = 0. Los puntos 
correspondientes X y Y definen un circulo de radio 𝑅 = 𝑃 2𝐴⁄ que pasa por el origen de 
coordenadas (véase la figura 6.21b). Los puntos D y E dan la orientación de los planos de esfuerzo 
cortante máximo (véase la figura 6.21c) , así como los valores de 𝑇𝑚𝑎𝑥 y el correspondiente 
esfuerzo normal s´. 
𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝜎´ = 𝑅
𝑃
2𝐴
 (6.18) 
En el caso de torsión (véase la figura 6.22) se tiene 𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 0 𝑦 𝑇𝑥𝑦 = 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇𝑐/𝐽. Los puntos 
X e Y están localizados en el eje t y el circulo de mohr tiene un radio 𝑅 = 𝑇𝑐/𝐽 centrado en el 
origen (véase la figura 6.22b). Los puntos A y B definen los planos principales (véase la 6.22c) y los 
esfuerzos principales. 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 𝑅−
+ = 𝑇𝑐/𝐽−
+ (6.19) 
PROBLEMA MODELO 6.2 
Para el estado de esfuerzo 
plano mostrado, determine: 
a) los esfuerzos principales y 
los planos principales 
b) las componentes del 
esfuerzo ejercidas sobre el 
elemento obtenido rotando el 
elemento dado 30° contra las 
agujas del reloj. 
 
 
 
 
 
 
Construcción del círculo de Mohr. 
Se nota que en una cara perpendicular al eje x, el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo 
cortante tiende a rotar el elemento con las agujas del reloj; se elabora la grafica de X en un punto 
100 unidades a la derecha del eje vertical y 48 unidades sobre el eje horizontal. En forma similar, 
se examinan las componentes del esfuerzo en la cara superior y hacemos la grafica del punto Y 
 
(60.- 48). Uniendo los puntos X y Y mediante una recta, se define el centro C del circulo de mohr. 
La abscisa de C, que representa 𝜎𝑚𝑒𝑑, y el radio R del círculo pueden medirse directamente o 
calcularse como sigue: 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = 𝑜𝑐 =
1
2
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) =
1
2
(100+60)= 80MPa 
𝑅 = √(𝐶𝐹)2 + (𝐹𝑋)2 = √(20)2 + (48)2 = 52𝑀𝑃𝑎 
a) Planos principales y esfuerzos principales. 
Rotamos el diámetro XY en el sentido de las agujas del reloj 
2θp hasta que coincida con el diámetro AB. Se tiene 
tan 2𝜃𝑝 =
𝑋𝐹
𝐶𝐹
=
48
20
= 2.4 
2𝜃𝑝 = 67.4° 
𝜃𝑝 = 33.7° 
Los esfuerzos principales estan representados por las 
abscisas de los puntos A y B: 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐴 = 80 + 52 
 𝜎𝑚𝑎𝑥 = +132𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝑐 − 𝐵𝐶 = 80 − 52 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = +28𝑀𝑃𝑎 
 
Como la rotación que trae XY hasta AB es en el sentido de 
las agujas del reloj, la rotación que trae Ox al eje Oa, que 
corresponde a 𝜎𝑚𝑎𝑥 , es también en el mismo sentido. Se 
obtiene la orientación mostrada para los planos principales. 
b) Componentes del esfuerzo en el elemento rotado 
30°. Los puntos X´e Y´que corresponden en el elemento 
rotado, se obtienen girando XY en el sentido contrario al de 
las agujas del reloj, un ángulo 2θ=60°. Se tiene: 
Ф=180°-60°-67.4° Ф=52.6° 
𝜎𝑥´ = 𝑂𝐾 = 𝑂𝐶 − 𝐾𝐶 = 80 − 52𝑐𝑜𝑠52.6° 𝜎𝑥´ = +48.4𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑦´ = 𝑂𝐿 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐿 = 80 + 52𝑐𝑜𝑠52.6° 𝜎𝑦´ = +111.6𝑀𝑃𝑎 
 
𝑇𝑥´𝑦´ = 𝐾𝑋´ = 52𝑠𝑒𝑛 52.6° 
𝑇𝑥´𝑦´ = 41.3𝑀𝑃𝑎 
Como X´esta localizada encima del eje horizontal, el esfuerzo 
cortante en la cara normal a OX´ tiende a rotar el elemento en el 
sentido de las agujas del reloj. 
PROBLEMA MODELO 6.3 
Un estado de esfuerzo plano consta de un esfuerzo de tensión 
𝜎0 = 8k si ejercido sobre las superficies verticales y de esfuerzos 
cortantes desconocidos. Halle: a) la magnitud del esfuerzo cortante 𝑇0 para el cual el mayor 
esfuerzo normal es 10ksi, b) el correspondiente esfuerzo cortante máximo. 
 
 
 
Se supondrá que los esfuerzos cortantes actúan en los sentidos mostrados. En consecuencias, el 
esfuerzo cortante 𝑇0 en una cara normal al eje x tiende a rotar el elemento en el sentido de las 
agujas del reloj y se traza el punto X de coordenadas 8ksi y 𝑇0 por encima del eje horizontal. 
Considerado una cara horizontal del elemento, se observa que 𝜎𝑦 = 0 y que 𝑇0 tiende a rotar el 
elemento en sentido contrario al de las agujas del reloj, se traza el punto Y a una distancia 𝑇0 por 
debajo de 0. 
Se observa que la abscisa del centro C del circulo de mohr es: 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
1
2
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)=
1
2
(8 + 0) = 4𝑘𝑠𝑖 
El radio R del circulo se halla observado que el máximo esfuerzo norma, 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 10𝑘𝑠𝑖 esta 
representado por la abscisa del punto A y escribiendo 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚𝑒𝑑 + 𝑅 
 10ksi=4ksi+R 
R=6ksi 
a) Esfuerzo cortante 𝑇0. Considerando el triangulo rectángulo CFX, se halla 
cos 2𝜃𝑝 =
𝐶𝐹
𝐶𝑋
=
𝐶𝐹
𝑅
=
4𝑘𝑠𝑖
6𝑘𝑠𝑖
 
2𝜃𝑝 = 48.2° 
𝜃𝑝 = 24.1° 
𝑇0 = 𝐹𝑋 = 𝑅𝑠𝑒𝑛 2𝜃𝑝 = (6𝑘𝑠𝑖)𝑠𝑒𝑛 48.2° 
 
𝑇0 = 4.47𝑘𝑠𝑖 
 
b) Esfuerzo cortante máximo. Las coordenadas del punto D, del circulo de mohr, representa 
el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal correspondiente. 
𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑅6𝑘𝑠𝑖 
𝑇𝑚𝑎𝑥 = 6𝑘𝑠𝑖 
2𝜃𝑠 = 90° − 2𝜃𝑝 = 90° − 48.2° = 41.8° 
𝜃𝑥 = 20.9° 
El esfuerzo cortante máximo se ejerce sobre un elemento orientado como se muestra en 
la figura a. también se muestra el elemento sobre el cual se ejercen los esfuerzo 
principales. 
 
Nota: Si se invirtiera nuestra hipótesis original sobre el sentido de 𝑇0 obtendríamos el 
mismo círculo y las mismas respuestas, pero la orientación del elemento seria como la que 
ilustra la figura b. 
 
4.2.- Análisis de esfuerzo bajo Cargas combinadas 
A menudo es posible analizar un miembro estructural sometido a cargas 
combinadas superponiendo los esfuerzos y deformaciones causados por 
cada carga que actúa por separado. Ahora bien, la superposición de los 
esfuerzos y las deformaciones es permisible solo en ciertas condiciones. 
Un requisito es que los esfuerzos y las deformaciones deben ser funciones 
lineales de las cargas aplicadas. Esto requiere a su vez que el material 
obedezca la ley de Hoce y que los desplazamientos sean pequeños. 
 
Otro requisito es que no debe existir interacción entre las diversas cargas; 
es decir, los esfuerzos y deformaciones causados por una de las cargas no 
deben verse afectados por la presencia de otras cargas. La mayor parte de 
las estructuras comunes satisfacen estas dos condiciones, por lo que el 
uso de la superposición es muy común en el trabajo ingenieril. 
 
Si bien hay muchas maneras de analizar una estructura sometida a más de 
un tipo de carga, por lo general el procedimiento incluye los siguientes 
pasos: 
 
 
1.- Se elige un punto en la estructura para determinar los esfuerzos y las deformaciones (Por lo 
general se escoge un punto en una sección transversal, donde los esfuerzos son grandes; por 
ejemplo, en una sección transversal, donde el momento flexionante tiene su valor máximo). 
 
2.- Para cada carga sobre la estructura se determinan las resultantes de esfuerzo en la sección 
transversal que contenga el punto seleccionado (Las posibles resultantes de los esfuerzos son una 
fuerza axial, un momento de torsión, un momento flexionante y una fuerza cortante). 
 
3.- Se calculan los esfuerzos normal y cortante en el punto seleccionado debido a cada una de las 
resultantes de esfuerzos. Además si la estructura es un recipiente a presión, determinar los 
esfuerzos debidos a la presión interna. 
 
 
El procedimiento descrito para analizar los esfuerzos en los puntos A y B, puede usarse en otros 
puntos. Los puntos donde los esfuerzos calculados con la formula de flexión y las formulas de los 
cortantes tienen valores máximos y mínimos, llamados puntos críticos, los esfuerzos normales 
debidos a la flexión son máximos en la sección transversal 
de momento flexionante máximo que se presentaen el 
soporte, por tanto, los puntos en las partes superior e 
inferior de la viga en el extremo empotrado son los puntos 
críticos para el cálculo de los esfuerzos. 
 
Como paso final, los esfuerzos principales y los esfuerzos 
cortantes máximos en los puntos críticos pueden 
compararse entre sí para determinar los esfuerzos 
normales y cortantes máximos absolutos en la barra. Con 
la variedad de situaciones practicas no parece tener limite, 
no vale la pena obtener formulas especificas para calcular 
los esfuerzos máximos. Cada estructura suele tratarse 
como caso especial. 
 
Selección de los puntos críticos 
 
http://3.bp.blogspot.com/-QRm1tUKfY-M/TsFPlBOb-sI/AAAAAAAAACw/FvpWQVGN3V0/s1600/ana+3.JPG
 
Si el objetivo del análisis es determinar 
los esfuerzos máximos en 
cualquier parte de la estructura, 
entonces hay que escoger los puntos 
críticos en secciones transversales 
donde las resultantes de esfuerzos 
alcancen los valores máximos. Ya en 
dichas secciones se elegirán los puntos 
en que los esfuerzos normales o los 
esfuerzos cortantes tengan sus valores máximos. Si la selección de los puntos se hace con buen 
juicio, podremos estar razonablemente seguros de haber obtenido los esfuerzos máximos en la 
estructura. Sin embargo, a veces es difícil reconocer de ante mano donde se localizan los esfuerzos 
máximos en el miembro. Entonces quizá sea necesario investigar los esfuerzos en un gran 
número de puntos. Otras estrategias también pueden resultar útiles, como obtener ecuaciones 
especificas para el problema en consideración o a elaborar hipótesis simplificadoras a fin de 
facilitar un análisis que podría resultar sumamente difícil sin ellas. 
 
 Ejemplo: Un poste circular hueco con diámetro exterior de 220 mm y diámetro interior de 180 
mm sostiene un letrero de dimensiones de 2.0 m x 1.2 m. El letrero esta desplazado 0.5 m del 
centro del poste y su borde inferior esta 6.0 m sobre el terreno. 
 
 
 
Solución 
 
La presión del viento contra el letrero produce una fuerza 
resultante W que actúa en el punto medio de este y es igual a la 
presión p multiplicada por el área A sobre la que actúa: 
 
 
 
 
http://3.bp.blogspot.com/-SSSgow3VpEU/TsFTHzuK1VI/AAAAAAAAADI/gpx-RW-yThU/s1600/ana+5.JPG
http://1.bp.blogspot.com/-dW_y--bMnyo/TsFNF9q31NI/AAAAAAAAACY/c43Bwzn99Vw/s1600/ana+1.JPG
http://2.bp.blogspot.com/-A01-erwkiSM/TsFSK3BK1II/AAAAAAAAADA/R-3gW4X4pfI/s1600/ana+4.JPG
 
 
 
 
La línea de acción de esta fuerza esta a una altura h = 6.6 m sobre el suelo y una distancia b = 1.5 
m de la línea central del poste. La fuerza del viento que actúa sobre el letrero es estáticamente 
equivalente a una fuerza lateral W y a un par de torsión T que actúa sobre el poste. El par es igual 
a la fuerza W multiplicada por la distancia b: 
 
 
 
 
 
 
Las resultantes de esfuerzos en la base del poste son un momento flexionante M, un par de 
torsión T y una fuerza cortante V. Sus magnitudes son: 
 
 
 
El examen de estas resultantes de esfuerzos muestra que los esfuerzos de flexión máximos 
ocurren con el punto A y los esfuerzos cortantes máximos con el punto B; Por tanto A y B son 
puntos críticos donde deben determinarse los esfuerzos. 
 
Esfuerzos en el los puntos A y B. El momento flexionarte M produce un esfuerzo de tensión en el 
punto A pero ningún esfuerzo en el punto B. El esfuerzo de tensión en el punto A se obtiene con la 
formula de flexión: 
 
http://2.bp.blogspot.com/-A9GoNQhCyGE/TsFUkEyQKhI/AAAAAAAAADQ/4cj0RXSEjRs/s1600/ana+6.JPG
http://3.bp.blogspot.com/-VwmTx4fhIYE/TsFVYvuPqEI/AAAAAAAAADY/aDYyG6g3e5I/s1600/ana+7.JPG
http://2.bp.blogspot.com/-NcTkl9TgQfU/TsFXJiZ5LvI/AAAAAAAAADg/FGADvsk5iQQ/s1600/ana+8.JPG
 
 Donde d2 es el diámetro exterior (220 mm) e I es el momento de inercia de la sección transversal. 
El momento de inercia es: 
 
 
 Donde d1 es el diámetro interior. Por la tanto el esfuerzo de tensión en el punto A es. 
 
 
 
 El par de torsión T produce esfuerzos cortantes, en los puntos A y B. Podemos calcular dichos 
esfuerzos con la formula de torsión: 
 
 
 
Donde Ip es el momento polar de inercia: 
 
 
 
Entonces 
 
http://1.bp.blogspot.com/-qypQrTW-oRc/TsFYFqyaK4I/AAAAAAAAADo/dYFMc9eoeUc/s1600/ana+9.JPG
http://4.bp.blogspot.com/-CwyrVneVVbE/TsFYwHcxo2I/AAAAAAAAADw/Og4w5qJL5P8/s1600/ana+10.JPG
http://4.bp.blogspot.com/-2YAs4nNwPAE/TsFaHd0fOXI/AAAAAAAAAD4/vRgZZFSrx9g/s1600/ana+11.JPG
http://3.bp.blogspot.com/-qjfSSI_6q90/TsFa0vxh2EI/AAAAAAAAAEA/QwNrxczM-6w/s1600/ana+12.JPG
 
 
 
Por último calculamos los esfuerzos cortantes en los puntos A y B debidos a la fuerza cortante V. el 
esfuerzo cortante en el punto A es cero y el esfuerzo cortante en el punto B se obtiene con la 
fórmula del cortante para un tubo circular : 
 
ecu (j) 
 
Donde r2 y r1 son los radios exterior e interior, respectivamente, y A es el area de la seccion 
transversal: 
 
 
 
Al sustituir los valores numéricos en la ecu (j), obtenemos: 
 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/-tS9pqWP7tkk/TsFbHLujs_I/AAAAAAAAAEI/vytqmLeXSwc/s1600/ana+13.JPG
http://3.bp.blogspot.com/-VNKJ7GS4hMQ/TsFb9aDkr2I/AAAAAAAAAEQ/AO2zdWJ6wyI/s1600/ana+14.JPG
http://2.bp.blogspot.com/-5VIvqjk4XjQ/TsFcq3AgnhI/AAAAAAAAAEY/w3QgrroWn8k/s1600/ana+15.JPG
http://1.bp.blogspot.com/-ubhmdUjHvsI/TsFdZG4IgiI/AAAAAAAAAEg/uJYbqq1Yljc/s1600/ana+16.JPG
 
Ahora hemos calculado todos los esfuerzos que actúan sobre los puntos A y B de la sección 
transversal. 
 
Elementos de esfuerzo. El siguiente paso es mostrar estos esfuerzos sobre elementos de esfuerzo. 
Para ambos elementos, el eje "y" es paralelo al eje longitudinal del poste y el eje x es horizontal. 
En el punto A, los esfuerzos que actúan sobre él elementos son 
 
 
 
 
 
 
 En el punto B, los esfuerzos son 
 
Puesto que no existen esfuerzos normales que estén actuando sobre el elemento, en el punto B se 
encuentra en estado de cortante puro. Ahora que conocemos todos los esfuerzos que actúan 
sobre los elementos de esfuerzo, podemos usar las ecuaciones para determinar los esfuerzos 
principales y los esfuerzos cortantes máximos. 
 
Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos en el punto A. Los esfuerzos principales se 
obtienen con la ecuación: 
 
Sustituimos 
 
http://2.bp.blogspot.com/-YXTjxlx1L2U/TsFe7F-W02I/AAAAAAAAAEo/i6iZqSKc1j8/s1600/ana+17.JPG
http://4.bp.blogspot.com/-kPQrIlJJpRE/TsFfRkHXRoI/AAAAAAAAAEw/6hzUKaKfyHI/s1600/ana+18.JPG
http://4.bp.blogspot.com/-faYKrPyPsug/TsFgt5q6NMI/AAAAAAAAAE4/ppJ2VqCsA0E/s1600/ana+19.JPG
 
 
 
Los esfuerzos máximos en el plano pueden obtenerse con la ecuación 
 
 
 
Este término se evaluó antes, por lo que vemos de inmediato que 
 
Puesto que los esfuerzos principales tienen signos opuestos, los esfuerzos cortantes máximos en el 
plano son mayores que los esfuerzos cortantes máximos en el plano son mayores que los 
esfuerzos cortantes máximos fuera del plano; por tanto, el esfuerzo cortante máximo en el punto 
A es de 28.2Mpa. 
 
Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en el punto B. Los esfuerzos en este punto son 
 
 
Dado que el elemento está en estado cortante puro, los esfuerzos principales son 
 
http://2.bp.blogspot.com/-XaCh4n_9Rws/TsFhGn5YdqI/AAAAAAAAAFA/U_RmX79-E3Y/s1600/ana+20.JPG
http://4.bp.blogspot.com/-13U7H93mwvg/TsFhjDJ7txI/AAAAAAAAAFI/NLjofIjGHIQ/s1600/ana+21.JPG
http://2.bp.blogspot.com/-mTAV6X-gGCA/TsFh9Z2eV5I/AAAAAAAAAFQ/u9g2QDx4sNU/s1600/ana+22.JPG
http://2.bp.blogspot.com/-k64xWnAbQmc/TsFjcdO-okI/AAAAAAAAAFY/FO6kTRX9Y3g/s1600/ana+23.JPG
http://3.bp.blogspot.com/-s0FhxK-Bsaw/TsFkUSWoZ9I/AAAAAAAAAFo/5NVQb-G4f4g/s1600/ana+24.JPG
 
y el esfuerzo cortante máximo en el plano es 
 
Los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano tienen la mitad de este valor. 
 
Nota: Si se requieren los esfuerzos máximos en cualquier parte del poste, hay que 
determinar también los esfuerzos en el punto crítico diametralmente opuesto al punto A, por que 
en dichopunto el esfuerzo de compresión debido a la flexión alcanza el valor máximo. Los 
esfuerzos principales en ese punto son 
 
 
 
 
y el esfuerzo cortante máximo es de 28.2 MPa; por tanto, el esfuerzo de tensión máximo en el 
poste es de 55.7 MPa, el esfuerzo máximo de compresión es de -55.7 MPa y el esfuerzo cortante 
máximo es de 28.2 MPa (Recuerde que solo se han considerado los efectos de la presión del viento 
en el análisis. Otras cargas, como el peso de la estructura, también producen esfuerzos en la base 
del poste). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/-x8MB9CXFVo4/TsFkiEHQ_tI/AAAAAAAAAFw/Hojtucfi7GU/s1600/ana+25.JPG
http://1.bp.blogspot.com/-zn_TG9ZYNJ4/TsFlqqWz9tI/AAAAAAAAAF4/ozodAmxLtOI/s1600/ana+26.JPG
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3.- Circulo de Mohr para Deformaciones 
 
El estado general del esfuerzo y la deformación es tridimensional, pero hay configuraciones 
geométricas particulares que pueden ser tratadas de manera distinta. 
Esfuerzo plano 
El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir biaxial, también se conoce como esfuerzo 
plano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal sea igual a cero. Esta situación es 
común en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascarón delgado pueden también 
tener un estado de esfuerzos plano lejos de sus bordes o de sus puntos de sujeción. Estos casos se 
pueden tratar con el procedimiento más sencillo de las ecuaciones 4.6. 
Deformación plana. 
Hay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las 
deformaciones principales (digamos ε3) es igual a cero, y las deformaciones restantes son 
independientes de la dimensión a lo largo de su eje principal, n3, éste se conocerá como 
deformación plana. Esta situación ocurre en geometrías particulares. Por ejemplo, si una barra 
larga, sólida, prismática está cargada únicamente en la dirección transversal, aquellas regiones 
dentro de ella que estén lejos de cualquier restricción en sus extremos tendrán en esencia una 
deformación igual a cero en la dirección a lo largo del eje de la barra, y se tratará de una 
deformación plana. (Sin embargo, el esfuerzo no es igual a cero en la dirección de deformación 
igual a cero.) Un dique hidráulico largo puede considerarse con una situación de deformación 
plana, en regiones muy lejos de sus extremos o de su base, donde está sujeto a estructuras 
vecinas. 
 
Desde hace mucho tiempo los círculos de Mohr4 han sido una forma de solución gráfica de la 
ecuación 4.6 y de determinar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzos planos. Muchos 
libros de texto sobre diseño de máquinas presentan el método del círculo de Mohr como una 
técnica primordial de solución para la determinación de esfuerzos principales. Antes de la llegada 
de las calculadoras y de las computadoras programables, el método gráfico de Mohr era una 
forma razonable y práctica de resolución de la ecuación 4.6. Hoy día, sin embargo, es mucho más 
 
práctico determinar numéricamente los esfuerzos principales. Sin embargo, presentamos el 
método gráfico por varias razones. Puede servir como verificación rápida a una solución numérica, 
o quizás sea el único método viable si falla la energía de su computadora o si se agotan las pilas de 
su calculadora. 
También cumple con el útil objetivo de ser una presentación visual del estado de los esfuerzos en 
un punto. 
También hay círculos de Mohr en el caso de esfuerzos tridimensionales, pero no está disponible 
ningún método de graficación para crearlos directamente a partir de datos de esfuerzos aplicados, 
excepto en el caso especial de que uno de los esfuerzos principales sea coincidente con un eje del 
sistema de coordenadas xyz seleccionado, es decir, cuando uno de los planos es el del esfuerzo 
principal. Sin embargo, una vez calculados los esfuerzos principales a partir de la ecuación 4.4c 
mediante alguna técnica adecuada de determinación de raíces, se pueden dibujar círculos de 
Mohr tridimensionales según los esfuerzos principales calculados. 
El plano de Mohr --en el cual se trazan los círculos de Mohr- se organiza con sus ejes mutuamente 
perpendiculares, aunque en el espacio real el ángulo entre ellos representa 180º. Todos los 
ángulos dibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa es 
el eje para todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales aplicados σx, σy y σz, se trazan a 
lo largo de este eje y los esfuerzos principales σ1, σ2 y σ3 también se determinan sobre este eje. 
La ordenada es el eje para todos los esfuerzos cortantes. Se utiliza para trazar los esfuerzos 
cortantes aplicados τXY, τXZ y τYZ y determinar el esfuerzo cortante máximo5. Mohr utilizó una 
regla convencional de signo para esfuerzos cortantes, que hace que los pares esfuerzo cortante en 
sentido del movimiento de las agujas del reloj sean positivos, lo que no es consistente con la regla 
de la mano derecha, ahora estándar. Aun así, esta regla convencional de la mano izquierda se 
sigue empleando para el círculo de Mohr. La mejor manera de demostrar el uso del círculo de 
Mohr es mediante ejemplos. 
 
Ejemplo. 
 
Determinación de los esfuerzos principales mediante los círculos de Mohr 
Problema Un elemento de esfuerzo biaxial como se muestra en la Figura 4-2 tiene σx = 
40.000 psi, σy = 20.000 psi y τxy = 30.000 psi en sentido contrario al de las manecillas del reloj 
(ccw). Se pide trazar los círculos de Mohr para determinar los esfuerzos principales. 
Solución Véanse la Figura 4-2 y la Figura 4-5. 
 
1 Se trazan los ejes del plano de Mohr según se muestra en la Figura 4-5b, y márquelos como σ y τ. 
 
2 Se sitúan los esfuerzos dados σx, (como línea OA) en cualquier escala práctica a lo largo del eje 
de esfuerzos normales (horizontales). En este ejemplo σx., es un esfuerzo de tensión (positivo). 
 
3 Se lleva el esfuerzo σy (como línea) a lo largo del eje normal de esfuerzos. En este caso σy es un 
esfuerzo de compresión (negativo). 
 
4 La Figura 4-2 muestra que el par de esfuerzos cortantes τxy crea un par en sentido contrario al 
de las agujas del reloj sobre el elemento. Este par se equilibra con el par en sentido de las agujas 
del reloj proporcionado por los esfuerzos cortantes τy. Estos dos esfuerzos cortantes (τxy y τyx,) 
son de igual magnitud, de acuerdo con la ecuación 4.2, y positivos, de acuerdo con la regla de 
signos convencionales de esfuerzos. Pero, en vez de utilizar la regla convencional de signos de 
 
esfuerzos, se trazan en el círculo de Mohr de acuerdo con la rotación que implican para el 
elemento, según la regla convencional de signos de la mano izquierda: positivo en sentido de las 
agujas del reloj y negativo en sentido contrario al de las agujas del reloj. 
 
5 Dibujamos una línea vertical hacia abajo --en sentido contrario al movimiento de las agujas del 
reloj - del extremo de τx, (como línea AC) para representar la magnitud a escala de τxy. Trazamos 
una línea vertical hacia arriba -en sentido del movimiento de las agujas del reloj- del extremo de 
σsy (como línea BD) para representar la magnitud a escala de τyx. 
 
6 El diámetro de un círculo de Mohr es la distancia del punto C al punto D. La línea AB corta a CD. 
El círculo se dibuja tomando esta intersección como centro. 
 
7 Dos de los esfuerzos normales principales se determinan a continuación como las dos 
intersecciones que este círculo de Mohr hace con el eje de esfuerzos normales, en los puntos P1, y 
P3: σ1 = 52.426 psi, y σ3 = -32.426 psi. 
 
8 Dado que en este ejemplo no hay esfuerzos aplicados en la dirección z, se trata de un estado de 
esfuerzos de dos dimensiones, y el tercer esfuerzo principal σ2, es igual a cero, y se localiza en el 
punto 0, que también se identifica como P2. 
 
9 Todavía deben dibujarse otros dos círculos de Mohr. Los tres círculos de Mohr quedan definidos 
por los diámetros (σ1 – σ2), (σ1 – σ3) y de (σ2 – σ3), que son las líneas P1P2, P1P3 Y P2P3. Los tres 
círculos aparecen en la Figura 4-5c.10 Trazamos líneas tangentes horizontales desde los extremos superior e inferior de cada círculo 
de Mohr hasta su intersección con el eje del cortante (vertical). Ello determina los valores de los 
esfuerzos cortantes principales, asociados con cada par de esfuerzos normales principales: τ13 = 
42.426, τ12 = 26.213 y τ23 = 16.213 psi. A pesar de tener únicamente dos esfuerzos normales 
principales distintos de cero, hay también tres esfuerzos cortantes principales distintos de cero. 
Sin embargo, sólo el mayor de ellos, τmáx= τ3= 42.426 psi es de interés para efectos de diseño. 
 
11 También podemos determinar los ángulos (con respecto a nuestros ejes xyz originales) de los 
esfuerzos normales principales y los cortantes principales, partiendo del círculo de Mohr. Estos 
ángulos, si el material es homogéneo o isótropo, sólo tienen un interés académico. En caso de no 
ser isótropo, las propiedades del material dependen de la dirección y entonces la dirección de los 
esfuerzos principales es de importancia. El ángulo 2Φ = -45' de la Figura 4-5a representa la 
orientación del esfuerzo normal principal con respecto al eje de las x en nuestro sistema original. 
La línea DC del plano de Mohr está en el eje de las x en el espacio real, y los ángulos se miden de 
acuerdo con la regla convencional de la mano izquierda de Mohr ---en sentido del movimiento de 
las agujas del reloj- Dado que en el espacio real los ángulos del plano de Mohr son el doble, el 
ángulo del esfuerzo principal σ1 con respecto al eje x en el espacio real es Φ = -22.5'. El esfuerzo 
σ3 será de 90º a partir de σ1 y en el espacio real el esfuerzo cortante máximo τ13 estará a 45º del 
eje de σ1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4.- Rosetas de Deformación. 
Una roseta de deformación es un arreglo de tres galgas extensiométricas utilizado para medir el estado 
de deformaciones de un material en el plano, lo cual implica medir la deformación normal en x , 
la deformación normal en y y la deformación cortante en el plano . Debido a que una 
galga sólo puede medir la deformación normal, a veces resulta más conveniente utilizar una roseta de 
deformación. 
 
Las deformaciones unitarias son medidas únicamente en 
el plano en el que se encuentran las galga 
extensiométrica y como el cuerpo no tienen esfuerzos en 
su superficie, los medidores pueden estar sometidos 
a esfuerzo plano, pero no a deformación plana. La línea 
que es normal a la superficie libre es un eje principal de 
deformación, por lo que la deformación unitaria normal 
principal, sobre todo ese eje no puede ser medida por la 
roseta de deformación. Esta deformación unitaria hace 
que haya un desplazamiento en el plano, sin embargo no 
afecta las medidas obtenidas.1 
http://es.wikipedia.org/wiki/Galga_extensiom%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/wiki/Galga_extensiom%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/wiki/Galga_extensiom%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Roseta_de_deformaci%C3%B3n#cite_note-0
 
Aunque pueden crearse infinidad de combinaciones para el arreglo de galgas, existen dos que son las 
más utilizadas: la roseta rectangular y la roseta delta. 
Para nombrar a cada una de las galgas se usan las primeras letras del abecedario, comenzando por la 
roseta horizontal y siguiendo el sentido opuesto de las manecillas del reloj. 
Para estados biaxiales de esfuerzos (muy común en el uso de Galgas Extensiométricas), una roseta de 
dos o tres elementos puede ser utilizada para determinar los esfuerzos principales que allí se 
presenten. 
 
Cuando se conocen las direcciones de los esfuerzos principales, se puede utilizar una roseta de dos 
elementos ubicados a 90°, empleada con las direcciones de los ejes alineados con los esfuerzos 
principales. Las direcciones de los esfuerzos principales se pueden determinar con bastante precisión. 
por ejemplo, según la forma del objeto al que se le van a medir los esfuerzos y el modo en que éste 
está cargado, puede dar una idea de la ubicación de dichos esfuerzos por la simetría del problema. 
Otra manera de determinar las direcciones de los esfuerzos principales puede ser mediante el método 
de "PhotoStress® testing.", que consiste en aplicar una pequeña capa o lámina sobre el objeto o pieza 
al que se le van a determinar los esfuerzos, para luego cargarse. Dicha lámina se visualiza a través de 
un polariscopio de reflexión y el esfuerzo sobre dicha lámina se determina mediante un patrón de 
colores que revela de manera inmediata la distribución de los esfuerzos, señalando las áreas en donde 
están concentrados. Posteriormente y por medio de un transductor óptico montado sobre el 
polariscopio de reflexión, se puede obtener una medida cuantitativa de los esfuerzos obtenidos. 
En la mayoría de los casos de superficies que están siendo sometidas 
a esfuerzos, en los que no se conocen las direcciones de los esfuerzos 
principales, se puede utilizar una roseta de tres elementos, que puede 
ser ubicada en cualquier dirección, pero generalmente se recomienda 
que la disposición de una de sus grillas se encuentre alineada con un 
eje principal de la pieza en estudio. 
Cuando se piensa utilizar una roseta, debemos tener en cuenta si la 
roseta a utilizar es simple-plana o es apilada. Para una longitud de 
galga determinada, la roseta simple-plana es mejor que la apilada en 
cuanto a la transferencia de calor a la pieza u objeto que estamos 
analizando y generalmente ayuda a obtener más estabilidad y 
precisión en las mediciones de esfuerzos estáticos. Cuando existe un 
esfuerzo significativo perpendicular a la superficie, la roseta simple-plana 
arroja datos de esfuerzos más precisos pues todas las áreas se encuentran 
más próximas a la superficie de la pieza de prueba posible. Otra 
consideración es que las rosetas apiladas son difíciles para contornear 
superficies circulares que las rosetas simple-plana. 
 
Roseta Perpendicular 
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Configuraci%C3%B3n_Galgas.png?uselang=es
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ROSETA_PERPENDICULAR_(T).svg?uselang=es
 
Roseta de deformación a 90°, las galgas son ubicadas en esta posición para medir deformaciones, 
conocidas las direcciones los esfuerzos principales. 
Una roseta se dice que es perpendicular o “T” cuando sus galgas están arregladas con una diferencia de 
90°, a diferencia de las rosetas rectangulares o delta que se componen de tres galgas, este arreglo se 
compone únicamente de dos, por lo que una galga se encontrará en posición horizontal y otra en 
posición vertical. Las rosetas perpendiculares deben ser usadas únicamente cuando se conozcan las 
direcciones de los esfuerzos principales en el punto de la superficie sobre la que se hace el ensayo. 
Partiendo del supuesto de que se conocen las direcciones de los esfuerzos principales, con este arreglo 
de galgas, las deformaciones son las siguientes: 
 
 
 
 
 
 
Roseta Rectangular 
Roseta de deformación a 45°, las galgas son ubicadas en esta 
posición para pode 
r medir deformaciones en todas las direcciones. 
Una roseta se dice que es rectangular cuando sus galgas están 
arregladas con una diferencia de 45° entre sí, por lo que una 
roseta se encontrará en posición horizontal, una en posición 
vertical y otra a un ángulo de 45°. 
Con este arreglo de galgas, las deformaciones son las siguientes: 
 
 
 
 
 
Roseta Delta 
 
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Roseta_de_deformaci%C3%B3n_a_45%C2%B0.jpg?uselang=es
 
Roseta equiangular, las galgas forman un triángulo equilátero, es 
decir, forman ángulos de 60° entre ellas. Las tres direcciones 
obtenidas serán las componentes normales de deformación. 
 
Se dice roseta delta, también llamada como roseta equiangular a 
aquella que tiene sus galgas posicionadas con una diferencia de 60° 
entresí, por lo que habrá una en posición horizontal, otra a 60° y, 
por último, una a 120°. Esta roseta forma un triángulo equilátero 
Con este arreglo de roseta las deformaciones en los ejes son las 
siguientes: 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo. 
2.- Determine los esfuerzos principales de la flecha de acero. La Flecha tiene un diámetro de 3 pulg. 
Las poleas pesan 250 lb. Cada una, y las tensiones en las bandas son opuestas. Las chumaceras de las 
extremos permiten rotación suficiente de modo que los apoyos extremos pueden considerarse como 
articulados. Desprecie el peso de la flecha. 
= Mc/I 
s = Tc/J 
= Mc/I = (1425 x 12) (1.5)/ ( /64) (3)ª = 6690 lb/pulg² 
s = Tc/J = (500 x 16) (1.5)/ ( /32) (3)ª = 1510 lb/pulg² 
σ = ( σx + σy ) / 2 + / - 
σ = -6690 + 0 +/ - " (-6690 + 0)² + 1510² 
σ ð ððððð ð ðððð ð ðððð lb/pulg² 
σ ð -3345 - 3760 = -7015 lb/pulg² 
3.- Ahora determine el esfuerzo cortante máximo de la flecha. 
σ = 
= " (-3315 - 0)² + 1510² = 3670 lb/pulg² 
http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Roseta_equiangular.jpg?uselang=es
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES 
DE LA REGIÓN CARBONÍFERA 
 
 
 
 
Materia: MECÁNICA DE MATERIALES. 
 
 
 
UNIDAD IV 
 
 
Tema: “Esfuerzos Combinados y Deformaciones”. 
 
 
Alumno: Fernando De la Rosa Muñoz