Ejercicios-Mecanica-de-Materiales

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÁNICA ESTRUCTURAL 
Período 2015-1 
 
Tarea Práctica Nº 1: 
 
1. Resumir del libro de Timoshenko “History of Strength of Materials”, el trabajo 
realizado por: 
- Parent, sobre la flexión de vigas, resaltando los aciertos que tuvo con la teoría 
actual. 
- Young, definición de Módulo de elasticidad y aportes en resistencia de 
materiales 
- Cauchy, a la teoría de elasticidad (esfuerzos y deformaciones) 
 (3 Puntos) 
 
 
 Parent 
 
 En 1713 Parent publica dos memorias sobre la flexión de vigas, las cuales representan 
avances importantes: 
1.- Demuestra que la ecuación L=Sh/3l no puede ser aplicada a tubos circulares o a vigas 
sólidas; Parent encuentra que para una sección transversal circular sólida, el momento último 
de estas fuerzas con respecto al eje n – n es 5Sd/16, donde “S” es la “Fuerza Absoluta” de la 
viga. Por lo tanto en vigas circulares se debe sustituir 5d/16 en la ecuación inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Según el gráfico anterior, Parent concluye de las ecuaciones de equilibrio que la resultante de 
la fuerza en compresión actuante en la porción bc de la sección transversal ab debe ser igual 
al resultado de la fuerza de tracción F actuante en la porción superior de la misma sección 
transversal. El también nota que además de fuerzas Normales, una fuerza de corte de 
magnitud “L” actuará en la sección transversal ab. 
 
El Problema Estático en la flexión de vigas es resuelto por Parent; muestra claramente que las 
fuerzas resistentes distribuidas sobre la sección transversal incorporada ab debe constituir un 
sistema de fuerzas balanceando la carga externa. En una de sus notas Parent observa que la 
línea neutral puede cambiar durante el incremento de carga y alcanzar la tangente al límite en 
el lado cóncavo en el instante de fractura. Teniendo la distribución de esfuerzos mostrado en 
el grafico anterior, Parent usa los resultados experimentales de Mariotte y muestra que su par 
resistente último coincide con la encontrada experimentalmente si el eje neutral es colocado 
de forma tal que ac:ab=9:11. 
 Young 
 
Young define el módulo de Elasticidad inicialmente como “El módulo de elasticidad de una 
sustancia es una columna de la misma sustancia, capaz de producir una presión en su base la 
cual es el causante de un cierto grado de compresión como la longitud de la sustancia es a la 
disminución de su longitud. Young también habló del peso del módulo y la altura del 
módulo y notó que la altura del módulo para un material dado es independiente de la sección 
transversal de su área. 
 
Young contribuyó mucho en la resistencia de materiales introduciendo el concepto de un 
módulo en tensión y compresión. Él fue también el pionero en analizar esfuerzos acerca del 
impacto y dio un método de cálculo de ellos para materiales perfectamente elásticos los 
cuales siguen la ley de Hooke a la rotura. 
 
 
 Cauchy 
 
 Cauchy introdujo la idea de esfuerzos en la Teoría de la elasticidad. El esfuerzo total 
en un elemento infinitesimal de un plano tomado dentro de un cuerpo elásticamente 
deformado es definido como el resultado de todas las acciones de las moléculas situadas en 
un lado del plano sobre las moléculas en el otro, la dirección del cual intersecta el elemento 
bajo consideración. Asimismo dividiendo el esfuerzo total por el área del elemento se 
obtiene la magnitud del esfuerzo. Considerando un tetraedro, Cauchy demostró que las tres 
componentes de esfuerzos Xn, Yn, Zn en un plano inclinado abc son obtenidas de las tres 
ecuaciones de equilibrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde l, m, n son los cosenos de los ángulos normales al plano abc, y σx, τyz,.. Son la 
normal y componente tangencial de los esfuerzos actuando en “O” en la coordenada de los 
planos xy, xz y yz. 
 
Cauchy también dio las relaciones entre los seis componentes de esfuerzos y los seis 
componentes de deformaciones para un cuerpo isotrópico. Asumiendo que las principales 
direcciones de deformación coinciden con la dirección de los esfuerzos principales y los 
componentes de esfuerzos son funciones lineales de los componentes de deformación, él 
escribió las siguientes ecuaciones: 
 
 
 
 
2. Se 
tiene datos de un ensayo en tracción de una varilla de 5/8” de calidad ASTM A615 
Grado 60 (Ver archivo Excel). Los datos locales, están referidos a una longitud de 50 
mm y los datos globales están referidos a una longitud 200 mm. Se pide: 
- Determinar el esfuerzo de fluencia y la deformación de fluencia 
- Determinar el módulo de elasticidad 
- Determinar el esfuerzo último 
- Determinar el porcentaje de elongación o ductilidad por elongación 
- Determinar el Módulo de resiliencia 
- Determinar el Módulo de tenacidad 
 (3 Puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esfuerzo de Fluencia: 85.55 KN 
 Deformación de Fluencia: 0.118 
 Módulo de Elasticidad: 725 KN 
 Esfuerzo Último: 130 KN 
 Módulo de Resiliencia: 5.56 KN 
 Módulo de Tenacidad: 4800 KN 
3. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema coordenado x,y,z: 
[]=
20
12
15−
12
0
10
15−
10
6








 
Determinar el tensor de esfuerzos en un nuevo sistema de coordenadas, el cual esta 
definido por la rotación de los ejes “x” e “y” con un ángulo de 30º en forma 
antihorario respecto al eje “z”. 
(2.0 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPa 
COS 30 SEN 30 0 20 12 -15 COS 30 -SEN 30 0
σ= -SEN 30 COS 30 0 12 0 10 SEN 30 COS 30 0
0 0 1 -15 10 6 0 0 1
25.3923 -2.6603 -7.9904
σ= -2.6603 -5.3923 16.1603
-7.9904 16.1603 6.0000
4. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema coordenado x,y,z: 
[]=
10
0
0
0
8
0
0
0
4−








 
Determinar el tensor de esfuerzos en un nuevo sistema de coordenadas, l1=1, m2=1/2, 
m3= - 3 /2, n2= 3 /2 
(2.0 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para hallar N3 = N1xN2
 
 
 
 
 
 
1 0 0 10 0 0 1 0 0
σ= 0 1/2 0 8 0 0 1/2
0 1/2 0 0 -4 0 1/2
 
- 
- 
 
10.0000 0.0000 0.0000
σ= 0.0000 -1.0000 -5.1962
0.0000 -5.1962 5.0000
5. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema coordenado x,y,z: 
[]=
20
10
10−
10
30
0
10−
0
50








 
Determinar el esfuerzo normal Pn y el esfuerzo de corte Ps , cuando se tienen los 
siguientes cosenos directores del plano: l=2/ 14 , m= 1/ 14 , n=-3/ 14 
(2.0 puntos) 
 
 
Aplicando la ec. 2.9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vector Esfuerzo 
 
 
 
 
Modulo del Vector 
 
 
 
 
 
Hallando σPN y σPS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema coordenado x,y,z: 
[]=
0
1−
0
1−
4
2−
0
2−
0








 
Determinar: 
- Los esfuerzosnormales principales y sus direcciones 
- Esfuerzo cortantes máximos y sus direcciones 
- Dibujar el círculo de Mohr correspondiente 
- Esfuerzo normal octaédrico y el esfuerzo cortante octaédrico 
(3.0 puntos) 
 
 
Hallamos las Invariantes y planteamos la ecuación cúbica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reemplazando en la ecuación cúbica se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPa 
 
 
 
 
 
 
 
Las ecuaciones para hallar la dirección de los vectores son (para el caso de σ1): 
 
 
 
 
 
 
Haciendo l1=1 en las dos primeras obtenemos: 
 
 
 
 
El módulo del vector N1 será: 
 
 
 
 
El vector unitario será: 
 
 
 
 
 
 
Las ecuaciones para hallar la dirección de los vectores son (para el caso de σ2): 
 
 
Haciendo l2=1 en las dos primeras obtenemos: 
 
 
 
 
 
El módulo del vector N2 será: 
 
 
 
 
El vector unitario será: 
 
 
 
 
 
 
Haciendo producto cruz se obtiene N3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esfuerzos Cortantes Máximos y sus direcciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando las ecuaciones 2.35: 
 
 
 
 
 
 
Dirección del Esfuerzo Cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esfuerzo normal octaédrico y el esfuerzo cortante octaédrico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dibujar el círculo de Mohr correspondiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Las componentes del esfuerzo en un punto son: 
0018.0=XX , 0012.0−=YY , 0025.0−=ZZ , 0015.0−=XY 
0010.0−=XZ , 0008.0−=YZ . 
Determinar las deformaciones principales y las direcciones correspondientes, y la 
deformación de corte máxima. Dibujar los círculos de Mohr. 
(2.5 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Se registraron las siguientes lecturas en una roseta de deformaciones unida a la 
superficie de un componente estructural: 
6
4
6
3
6
2 10240101901090
−−− −=−=−= xxx 
Cuál debe ser la lectura en el medidor 1? Hallar las deformaciones principales en el 
plano de la roseta y ubicar los valores de los medidores en el círculo de Mohr. 
 
(2.5 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolviendo :
tg(2Ɵp)=86/50
Ɵp=29.91°
Ƴmax=200x10⁻⁶
 ysen²(60)+Ƴxysen(60)cos(60)
 ysen²(120)+Ƴxysen(120)cos(120)
 x+0.433Ƴxy=52.5x10⁻⁶
 x-0.433Ƴxy=-97.5x10⁻⁶
 x=-90x10⁻⁶
Ƴxy=173.21x10⁻⁶
 
 
 xy=86.6x10⁻⁶
 max=-240x10⁻⁶
 m n=-40x10⁻⁶