Compendio de ARITMÉTICA

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Tu futuro empieza UNALM 
con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 
 
 
TU INGRESO ES DIRECTO 
 
ARITMÉTICA 
Ely Guardia Jara A 
Mónica Gutiérrez Reynoso | 
Noemí Julca Vera 
Renzo Mere Donayre 
Mirtha Pari Ruiz 
Edgar Santisteban León 
Henry Sotero Sánchez LA 
twitter.com/calapenshko 
a 
 
02 
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Universidad Nacional Agraria La Molina 
Rector 
Dr. Enrique Flores MARIAzzA 
Vicerrector Académico 
Dr. JoraeE ALarcón Novoa 
Vicerrectora de Investigación 
Dra. CARMEN VELEZMORO SÁNCHEZ 
 
TU INGRESO ES DIRECTO 
Centro de Estudios Preuniversitarios 
Director 
Ma. Victor Trejo CADILLO | 
Jefe de la Unidad Académica 
Mao. Teório Chire MuriLLo | 
Jefe de la Unidad Administrativa | 
Ixu. MIGUEL DELGADO GARCÍA | 
Edición 2019 ' 
1 
ARITMÉTICA Soxta rovisión: Ely Guardia Jara E 
DuUnivorsidad Nacional Agraria La Molina Impreso por: GRÁFICA BRACAMONTE 
Centro de Estudios Preuniversitarios Gustavo Adolfo Bracamonte Heredia 
Je. Almiranto Guisso 939 - Josús María Callo Eloy Urota N* 076 
Teléfono: 433-5131 (330-7010 / 330-8434 Url. El Mercurro - San Luis - Lira | Í 
e-mail: prolamolinaGHamolina.eodu.pe ToH.: 326-5361 / Lima 30 - Perú | 
Nowena roimprosión, diciembre de 2019 
Tiraje: 1000 ejemplares impreso on ol Poró / Printod im Poru 
Derechos rosorvados. Prohibida su reproducción Pi 
fotal o parcial sin permiso del editor. P 
(ISBN: 978-99/2-2949.8-3 
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca 
Nacional dol Perú WN”: 2079-13414 
ventas 2bracamonte.com.po | 
 
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03 
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INDICE 
Presentación 
Introducción 
UNIDAD 1 
CONJUNTOS 
1.1 Concepto de conjunto 12 
12 Relación de pertenencia 12 
1,3 Determinación de conjuntos 13 
1.4 Número de elementos de un conjunto 13 
1.5 Conjuntos finitos e infinitos 13 
16 Diagramas de Venn-Euler 14 
1.7 Conjuntos numéricos 14 
1.8 Diagramas de Venn-Euler de los conjuntos numéricos 15 
1.9 Conjuntos especiales 15 
1.10 Relaciones entre conjuntos 16 
1.11 Conjunto potencia o conjunto de partes 17 
1.11 Operaciones entre conjuntos I8 
Resumen 24 
Ejercicios resueltos 25 
Ejercicios propuestos 39 
UNIDAD 2 
SISTEMAS DE NUMERACIÓN 
2.1 Conceptos básicos 53 
2.2 Sistema de numeración 53 
2,3 Conversión de un número de un sistema a otro 56 
Ejercicios resueltos 58 
Ejercicios propuestos 66 
UNIDAD 3 
CUATRO OPERACIONES 
3,1 Adición. Progresión Aritmética 75 
3.2 Sustracción. Complemento Aritmético 78 
3.3 Multiplicación 79 
34 División 80 
Resumen 54 
Ejercicios resueltos 85 
Ejercicios propuestos 94 
UNIDAD 4 
DIVISIBILIDAD 
4,1 Números divisibles 102 
4.2 Operaciones con múltiplos 104 
4.3 Criterios de divisibilidad 106 
Divisibilidad entre 3 106 
Divisibilidad entre 9 107 
04 
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Divisibilidad entre 11 108 
Divisibilidad entre 2%, neN 108 
Divisibilidad entre 5%, neN 109 
Divisibilidad entre 7 109 
Ejercicios resueltos 111 
Ejercicios propuestos 121 
UNIDAD 5 
NÚMEROS PRIMOS 
5.1 Número primo 131 
52 Número compuesto 131 
5.3 Criba de Eratóstenes 131 
5.4 Regla para reconocer un número primo 133 
5.5 Números primos relativos o primos entre si (PESD) 134 
5.6 Teorema fundamental de la Arimética, o Teorema de Gauss 134 
5.7. Número de divisores 135 
Resumen 138 
Ejercicios resueltos 139 
Ejercicios propuestos 146 
UNIDAD 6 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
6.1 Máximo común divisor 155 
Métodos de cálculo 155 
Descomposición individual 155 
Descomposición simultánea 155 
Algoritmo de Euclides 156 
Propiedades 158 
6.2 Minimo común múltiplo 158 
Métodos de cálculo 159 
Descomposición individual 159 
Descomposición simultánea 159 
Propiedades. 159 
Resumen 161 
Ejercicios resueltos 162 
Ejercicios propuestos 172 
UNIDAD 7 
NÚMEROS RACIONALES 
7.1 Número Racional 182 
7.2 Fracción 182 
71,3 Clasificación de fracciones 182 
7.4 Números decimales 184 
7.5 Clasificación de números decimales 185 
7.6 Conversión de números decimales en fracciones. 188 
Resumen 191 
Ejercicios resueltos 192 
Ejercicios propuestos 202 
O5 
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UNIDAD $ 
RAZONES Y PROPORCIONES 
8.1 Razón 214 
Razón aritmética 214 
Razón geométrica 215 
8.2 Proporción. 215 
Proporción aritmética 215 
Proporción geométrica 217 
Serie de razones geométricas equivalentes 218 
Resumen 220 
Ejercicios resueltos 221 
Ejercicios propuestos 234 
UNIDAD 9 
PROPORCIONALIDAD 
9.1 Proporcionalidad directa 244 
9.2 Proporcionalidad inversa. 245 
9.3 Proporciónalidad compuesta 248 
Propiedades 248 
Resumen 249 
Ejercicios resueltos 250 
Ejercicios propuestos 259 
UNIDAD 10 
REGLA DE TRES 
11.1 Regla de tres simple directa 287 
11.2 Regla de tres simple inversa 288 
11.3 Regla de tres compuesta. 289 
Ejercicios resueltos 291 
Ejercicios propuestos 299 
UNIDAD 11 
REPARTO PROPORCIONAL 
11.1 Reparto simple directo 287 
11.2 Reparto simple inverso 238 
11.3 Reparto compuesto, 239 
Ejercicios resueltos 291 
Ejercicios propuestos 299 
UNIDAD 12 
PORCENTAJE 
12.1 Notación 307 
-12.2 Operaciones en el tanto por ciento 308 
12.3 Aplicaciones comerciales básicas 308 
12.4 Aumentos y descuentos sucesivos 310 
Ejercicios resueltos 312 
Ejercicios propuestos 318 
 
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UNIDAD 13 
INTERÉS Y DESCUENTO 
13.1 Interés 
Conceptos básicos 326 
Interés simple 326 
13.2 Descuento 327 
Conceptos básicos 328 
Descuento simple 328 
Ejercicios resueltos 329 
Ejercicios propuestos 340 
UNIDAD 14 
ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
12.1 Conceptos básicos 350 
12.2 Presentación y ordenamiento de datos 351 
12.3 Medidas de tendencia central 355 
Resumen 359 
Ejercicios resueltos 360 
Ejercicios propuestos 368 
BIBLIOGRAFÍA 380 
CLAVES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 381 
 
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PRESENTACIÓN 
El Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional Agraria La Molina 
(CEPRE-UNALM), con mucho entusiasmo, reestructuró y relanzó las publicaciones propias, 
con la finalidad de mantener la mejora continua de sus servicios, dirigidos fundamentalmente 
para el beneficio académico de nuestros estudiantes. 
Te presentamos estos mievos ejemplares de muestra colección de 9 libros (Álgebra, 
Aritmética, Geometría, Trigonometría, Biología, Fisica, Química, Razonamiento 
Matemático y Razonamiento Verbal), revisada y corregida con dedicación por los 
Coordinadores y Profesores de cada uno de los cursos que se imparten a nuestros estudiantes 
en su preparación preuniversitaria. 
Cada libro se viene desarrollando de acuerdo a los contenidos que hoy exige la Universidad 
Nacional Agraria La Molina — UNALM y en diversas instituciones de preparación superior, 
considerado un valioso material académico, que contribuirá a consolidar el conocimiento 
y lograr un mejor aprendizaje. 
Las unidades de cada libro, han sido estructuradas con contenidos teóricos y ejemplos 
que facilitan su comprensión, con un conjunto de problemas resueltos con diferentes grados 
de dificultad a manera de guía práctica, y un conjunto de problemas propuestos tambiéncon diferentes grados de dificultad con sus respuestas respectivas, con el objetivo de lograr 
en los estudiantes un auto aprendizaje significativo. 
A ustedes jóvenes estudiantes dejo en sus manos esta colección de libros que es el trabajo 
comprometido de la institución para brindarles una formación académica de calidad, que 
sea la base del desarrollo del éxito de su carrera universitaria; por eso el CEPRE-UNALM 
te prepara para tus éxitos del futuro, y que estos estarán en función de la avidez, empeño 
y dedicación que determines para alcanzar tus metas y objetivos. 
Finalmente quiero expresar mu sincero agradecimiento a cada uno de los Coordinadores 
y su plana Docente por el gran trabajo realizado en forma permanente para la mejora de los 
libros y lograr esta nueva reimpresión. 
Ma. Sc. VÍCTOR TREJO CADILLO 
Director del CEPRE-UNALM 
 
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INTRODUCCIÓN 
El presente libro tiene como objetivo desarrollar los temas del curso de Aritmética que se 
imparten en el Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional Agraria La 
Molina. Los temas se presentan organizados en catorce unidades. En cada tema se exponen 
los conceptos y se presentan ej emplos, ejercicios resueltos y propuestos que complementan las 
exposiciones de los lemas en clases. 
En la Unidad 1 se presenta la noción de conjunto, conjuntos especiales, relaciones y 
operaciones entre conjuntos; la Unidad 2 trata de los sistemas de numeración; en la Unidad 3 se 
presentan las operaciones aritméticas básicas: adición, sustracción, multiplicación y división; 
la Unidad 4 proporciona principios y criterios de divisibilidad; en la Unidad 5 se expone el 
teorema fundamental de la Aritmética y se presenta la regla para reconocer un número primo: 
en la Unidad 6 se exponen el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más 
números enteros positivos y proporciona los métodos para calcularlos. 
La Unidad 7 presenta los números racionales y sus expresiones decimales, y cómo obtener 
la expresión decimal de un número racional escrito como fracción, y viceversa; en la Unidad 8 
la comparación de cantidades mediante una diferencia o un cociente da origen a las nociones de 
razones y proporciones aritméticas y geométricas; en la Unidad 9 se reconocen las relaciones de 
proporcionalidad entre magnitudes, relación directa e inversa; la Unidad 10 presenta la regla de 
tres simple y compuesta para dar solución a ejercicios en los que intervengan magnitudes directa 
o inversamente proporcionales; la Unidad 11 expone los métodos de solución en los problemas de 
reparto proporcional; la Unidad 12 presenta el tema de porcentaje y sus aplicaciones; la Unidad 
13 presenta el tema de interés simple y descuento simple: en la última unidad se exponen temas 
básicos de estadistica desermptiva. 
Cada unidad de este libro se inicia señalando los objetivos a alcanzar, el contenido a tratar y 
los conocimientos previos requeridos, 
 
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UNIDAD 7 
 
TEORÍA DE CONJUNTOS 
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OBJETIVOS 
Al finalizar el estudio de la unidad, el alumno será capaz de: 
l. Determinar un conjunto por extensión y por comprensión 
Establecer la relación de pertenencia 
Determinar la cantidad de elementos de un conjunto 
Establecer relaciones de inclusión y de igualdad entre conjuntos 
Determinar el conjunto de partes de un conjunto 
Efectuar operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia, complemento y 
diferencia simétrica 
Representar gráficamente las relaciones y las operaciones entre conjuntos 
S 
A
p
p
 
A 
8. Resolver problemas de análisis de información utilizando conceptos básicos de la teoria de 
conjuntos. 
CONTENIDO 
Introducción 
11 Concepto de conjunto 
1.2 Relación de pertenencia 
1,3 Determinación de conjuntos por extensión y por comprensión 
1.4 Número de elementos de un conjunto 
1.5 Clases de conjuntos: finitos e infinitos 
1.6 Representación gráfica de conjuntos: diagramas de Venn-Euler 
1,7 — Conjuntos numéricos 
1.8 Diagrama de Venn-Euler de los conjuntos numéricos 
1.9 — Conjuntos especiales 
110 Relaciones entre conjuntos: relación de inclusión y relación de igualdad 
1.11 Conjunto potencia o conjunto de partes 
1.12 Operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia 
simétrica 
Resumen 
Ejercicios resueltos 
Ejercicios propuestos 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
Se requiere que el alumno aplique los conocimientos básicos adquiridos en los temas: 
Operaciones elementales en Z. Resolución de una ecuación lineal con una incógnita. Resolución 
de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Factorización de expresiones algebraicas, 
Teoria de exponentes. Inecuaciones lineales con una incógnita. 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 11 
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TEORÍA DE CONJUNTOS 
INTRODUCCIÓN 
La idea de conjunto es una de las ideas más simples y primitivas en matemática, su rol como 
concepto fundamental en matemática fue hecho explícito por el matemático George Ferdinard 
Ludwig Cantor (1845-1918) con la formulación de la teoría de conjuntos. La cita atribuida al 
matemático David Hilbert (1863-1943) lo resume: 
"Nadie podrá expulsarnos del paraiso que Cantor ha creado para nosotros" 
; George Cantor nació en San Petersburgo, Rusia el 3 de marzo de 1845, 
| Inicio sus estudios universitarios en Zúrich en 1862, pero después de la 
muerte de su padre, al siguiente año, pasó a la Universidad de Berlín, 
donde se especializó en matemáticas, filosofía y fisica. 
Desde los 27 años fue catedrático y dictó clases en la Universidad de 
Halle, y en 1874 publicó su primer trabajo sobre la teoría de conjuntos. 
En 1904 fue palardonado por la Sociedad Real de Londres y admitido 
George Cantor — en la Sociedad Matemática de Londres y en la Sociedad de Ciencias de 
Gotinga. Falleció el 6 de enero de 1918 a los 73 años de edad en Halle, 
Alemania. 
 
1.1 CONCEPTO DE CONJUNTO 
Es la agrupación o colección de objetos llamados elementos. Usualmente los conjuntos se 
denotan con letras mayúsculas y sus elementos van separados por comas y encerrados 
entre llaves [ ). 
Ejemplos 
A =(Chincha, Pisco, Ica, Nazca, Palpa ) 
B= [ 2 2 2) 
C=([ Perú) 
1.2 RELACIÓN DE PERTENENCIA 
Es una relación exclusiva entre un elemento y un conjunto. Se dice que un elemento 
pertenece (€) a un conjunto si éste forma parte de los objetos que forman el conjunto; en 
caso contrario, se dice que no pertenece (€) al conjunto. 
Ejemplo 
Para el conjunto A = (Chincha, Pisco, Ica, Nazca, Palpa) se puede afirmar que: 
“o IcaEA 
Y Nazca EA 
Y llogA 
Y TEA 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 12 
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13 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO 
1,4 
1,5 
Un conjunto queda determinado “por extensión”, cuando se nombran uno a uno sus 
elementos, y quedará determinado “por comprensión”, cuando sus elementos se definen 
por medio de propiedades las cuales deben satisfacer. 
Ejemplos 
A: Conjunto de los números 1 y 4 
B: Conjunto de las letras r, 0, m, a 
Por extensión: 
A=(1,4) 
B =(fr,0,m, a) 
Por comprensión: 
Á=4(x/ (x-— 1) (x — 4) = 0) 
B=(x/x es una letra de la palabra mora ] 
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UNCONJUNTO 
Mediante la noción primitiva del emparejamiento entre los elementos de un conjunto 
cualquiera Á y el conjunto (1, 2,3, 4,...] de los números para contar, se puede establecer 
cuantos elementos tiene el conjunto A. Es decir, que al conjunto Á se le puede asignar un 
número denotado por n(A), que también se denomina la cardinalidad de A, y que es 
igual al número de elementos (no repetidos) de A. 
Ejemplos 
a) Para A=(5,5,7,7,7,9,9,9,9), n(A) = 3 
b) Si B = (x / x es una consonante de la palabra ARITMÉTICA), n(B) =4 
CONJUNTOS FINXITOS E INFINITOS 
Un conjunto es finito si su número de elementos se puede contar y este proceso finaliza 
en algún momento; en caso contrario se dice que es infinito. 
Ejemplos 
Conjuntos finitos 
A=(x x es un mes del año) 
B= (xx esun alumno del CEPRE-UNALM del 2010) 
Conjuntos infinitos: 
Á= (xx esun número par] 
B = (x / x esun número entero] 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 13 
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1.6 DIAGRAMAS DE VENN-EULER 
Son representaciones de los conjuntos por medio de figuras geométricas cerradas 
(circulos, elipses, etc.), en cuyo interior se ubican a los elementos mediante puntos. 
Ejemplos 
ÁA= (a, b,c] A 
B=(1,2,3,d.e,f,9,h, ij ku w x, y, 2) 
 
1.7 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Los conjuntos numéricos más importantes que se estudian en aritmética son: 
= — Conjunto de los números naturales (N) 
Es el conjunto denotado con N y cuyos elementos son usados para realizar la 
operación de contar N = (0,1,2,3,4,5,6,...) 
= Conjunto de los números enteros (Z) 
Es el conjunto denotado con Z, tiene como elementos a los números naturales y a los 
opuestos de éstos Z=(...,-3,—2,-1,0,1,2,3 ...) 
Cuando se desee nombrar a los enteros positivos o negativos, se escribirá: 
Z* =(1,2,3...) y 77 =(-1,-2,-3, ...) respectivamente. 
= Conjunto de los números racionales (Q) 
Es el conjunto que se denota por Q y que tiene como elementos a todos los números 
que se pueden expresar como fracción $ donde a y hb son números enteros con 
b%0. A este conjunto pertenecen los números enteros, los decimales exactos y los 
decimales periódicos. 
0=(5/ayb eZ,b+0) 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 14 
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“Conjunto de los números irracionales (1) 
Es el conjunto que se denota con 1 y está formado por todos los números no 
racionales cuya cantidad de cifras decimales es infinita y no periódica. 
I=(x/x tiene representación decimal infinita y no periódica ] 
Por ejemplo: v2.1. e, V3e 
= Conjunto de los números reales (H) 
Es el conjunto denotado por KR y está formado por los elementos de todos los 
conjuntos anteriores. 
R=(x/x€6Qvx6€1) 
18 DIAGRAMA DE VENN-EULER DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
R 
 
 
 
N 
19 CONJUNTOS ESPECIALES 
Un conjunto unitario es aquel que tiene un solo elemento. 
El conjunto vacio es aquel que no tiene elementos y se denota por la letra priepa $ó[ ). 
El conjunto universal es el conjunto que tiene todos los elementos de un determinado 
contexto, se denota generalmente por la letra U. 
Ejemplos 
Conjuntos unitarios 
Á= (x/x es la capital del Perú] 
B = (2) 
Conjuntos vacios 
E=fx/xeN an 4<x<5). Luego se puede escribir: C =p 0 C=([ ]). 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 15 
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Conjunto Universal 
U = (x/x es un número natural) es el universo de los conjuntos: 
C=(1, 2,3,4,5, 6) y D=(3, 4). 
 
 
 
1,10 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 
INCLUSIÓN 
Sea U un conjunto universal. Se dice que A está incluido o contenido en otro A, si todo 
elemento de A a su vez es un elemento de B, que se denota escribiendo ACB o BA. 
 
 
Representación gráfica: 
E U 
Se puede afirmar: 
Y Aestá incluido en B 
Y” Aestá contenido en B 
“Y Becontienea A 
Y Aesun subconjunto de B 
Ejemplos 
a) El conjunto A = ([—1,1) es un subconjunto de B = (—1,0,1,2) 
b) El conjunto de los naturales N está contenido en Z 
c) El conjunto A = (1,2) es un subconjunto de B = (2,1) 
Observaciones 
= Todo conjunto está incluido en sí mismo: Á <A, VA. 
= El conjunto vacio se considera incluido en cualquier conjunto: $ CA, VA. 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 16 
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IGUALDAD DE CONJUNTOS 
Dos conjuntos A y E son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos elementos, 
Simbólicamente: A=B «<— (ACB A BECA) 
Ejemplo 
Los conjuntos A=[1,2,3] y 8 =(1,1,3,2,3) son iguales. 
Subconjunto propio 
Se dice que Á es subconjunto propio de E, si A está incluido en E y A es diferente de 
B. En este caso, número de subconjuntos propios de B = 24) — 1 
Ejemplo 
Son subconjuntos propios de A = [a, b,c) los siguientes: 
$. (a). (b), (e). (a,b). (a,c) y [b, e. 
 
 
Conjuntos disjuntos 
Se dice que dos conjuntos A y E son disjuntos si no tieneo ningún elemento en común. 
Representación gráfica: 
U 
A B 
Ejemplos 
Los siguientes conjuntos son disjuntos: 
a) A=(-1,0,1) y B=(-2,2,4) 
bj) El conjunto de números racionales (Q) y los irracionales (1), 
CONJUNTO POTENCIA 
Dado un conjunto A. se denomina conjunto potencia o conjunto de partes de A. al 
conjunto de todos los subconjuntos de A, Se denota por PLA). 
Simbólicamente: P(A) =[X/X € AL edcer XEP(A) == XcA 
Si“n” es el número de elementos de A. entonces P(A) tiene 2" elementos, es decir: 
NP) = 204 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 17 
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Ejemplo 
Dado el conjunto A=(-1,0,1). como n(4)=3. entonces. PLA) tiene 2*=8B 
elementos, Estos subconjuntos de Á son: 
$. (0. (00. (0. (21,0). (0,1). (11), A. 
Luego P(A) = |, (—. (o). 11). (1,0) (0,1) (1,14 A] 
Observaciones 
“ SixEdA, entonces (x) € PGA) 
* Sifx] Cc A. entonces ((1)] e P(A) 
= $ y Á son elementos de P(A) 
1.12 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
UNIÓN 
La unión de los conjumos A y Bes el conjunto formado por los elementos que 
pertenecen a oa b. 
Simbolicamente se indica porn ALE = [lx f TEA xEB) 
En cada uno de los siguientes diagramas, la región sombreada corresponde al conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
Av, 
U 
nd E) = 14) + (8) (406) S5i¡Ac HB; entonces. n(d-8) = n(8) 
A o LEA 
a 
[atea 12220 
E rd 
A 
na) = AY + (8) si Ay E ron disjuntos 
5 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 18 
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Ejemplos 
Dados los conjuntos A = (1,2,3), 8 =(2,4,5,6,71, € =([5,6,7), se tiene 
AUB =([1,2,3.4,5,6,7] 
BOC =(2,4,5,6,7] 
AUC =(1,2,3.5.6.7] 
 
INTERSECCIÓN 
Intersección de los conjuntos A y E es el conjunto formado por los elementos comunes 
de AyB. 
Simbólicamente se indica por: AB =(r/X€ A AxXebB) 
En cada ino de los siguientes diagramas, la región sombreada corresponde al conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
AGE, 
pr y 
A A 
Aci SiAcB: entonces. 10408) = 0) 
L! 
ó O) 
Ana) = 4, sd y 8 son disjuntos 
Ejemplos 
Dados los conjuntos A = (1,23). 8 =(2,456,7) y E = (5,6,7]. se tiene: 
AB =1(2) 
BOC = (56,7) 
AC=[I=4 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 19 
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con nosotros TU INGRESO ES DIRECTODIFERENCIA 
La diferencia de los conjuntos A y E es el conjunto formado por los elementos que 
pertenecen a Á y que no pertenecen a 6, 
Simbólicamente: A—=B=([x/x€ A AaxeB) 
En cada uno de los siguientes diagramas, la región sombreada corresponde al conjunto 
ÁA=UB. 
 
 
U uU 
 
5148; entonces, n(A — 8) = 0 
 
ur L 
 
A-=B,siBCA n(A= BE) =n(4), s:A y E son disjuntos 
Ejemplo 
Dados los conjuntos A=(1,2,3), B=(2,4,5,6,7) y [ =15,6,7] se tiene: 
A=B=(1,3] 
B=C=(2,4] 
A—-C=(1,2,3) 
 
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO 
El complemento de A. es el conjunto formado por los elementos del conjunto universal 
que no pertenecen a A. Se denota por C(4) =A'=AS, 
Simbolicamente: A'=U—A=[x/(x€U AXE A) 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 20 
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Enel diagrama de Wenn. la región sombreada corresponde a: A? 
 
 
Ejemplo 
Si YU =(1,234,5,6,7) es el universo de A = (24.6) entonces A' = [1,3,5,7]. 
 
sl 
.3 
A? 
+5 
 
Diagramas de Lewis-Carroll 
u 
CE 
PRE 
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Son similares a los diagramas de Wenn-Euler. son figuras generalmente rectangulares, las 
cuales permiten representar al universo como la unión de conjuntos disjuntos o como la 
unión de conjuntos con sus respectivos complementos. 
Ejemplos 
a) Para un conjunto A 
 
 
 
bj Para dos conjuntos A y B 
B B' 
 
 
 
 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 
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21
 
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c) Para tres conjuntos A, By C 
 
 
 
 
B B' 
Á 
A 
C E CE E 
DIFERENCIA SIMÉTRICA 
La diferencia simétrica de los conjuntos A y E es el conjumo formado por los elementos 
no comunes de A y 8. 
Simbólicamente: AAB = (A BEBA) = (AB) (4706) 
En cada diagrama, la región sombreada corresponde a AAB: 
 
u 
 
 
Fr 
 
AAB =A-—BE BA AAB <= AGUB, si A y B zon disjuntos 
Ejemplo 
Dados los conjuntos A = (1,2,3), E = (2,4,5,6,7] y € = [5,6,7), se tiene: 
AAB =(1,3,4,5,6, 7] 
BAC = [2,4) 
AAC =(1,2,3,5,6,7) 
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
1. Leyes de idempotencia 
la AUÁ =A 1.b 
2. Leyes de identidad 
2. La Augp=A 2.1.b 
22a ALU =U 2.2.b 
3. Leyes conmutativas 
ja —mduB=BUA 3.b 
4. Leyes asociativas 
4a (AVBJAC = AQU(BUC) Ab 
5. Leyes distributivas 
54 ABC) = (AUBIÍANC) 5.b 
6. Leyes del complemento 
6.1 ALA* =U 6.b 
(AY =A 
7. Leyes de Morgan 
Ta (AUGBY =A'NB' 7.b 
8. Adicional 
A-B =AnB' 
ANA =A 
AU =A 
An =p 
AnB = BA 
(ARBIAC = ABC) 
An(BUC) = (ANBJO(ANC) 
AGA'=64 
U"=p, '=U 
(ANBY = AU B' 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 23 
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RESUMEN 
= Conjunto 
Agmpación o colección de objetos llamados elementos. 
= Conjuntos Numéricos 
WN =(0,1,2,3,4,5,6,...) 
E 
Q=(8/a y beZ,b+0) 
R=(x/x€Q vxel) 
= Conjuntos especiales 
o Conjunto unitario, n(A) = 1 
o Conjunto vacio, n(4) =0 
o Conjunto universal, U 
= Relaciones entre conjuntos 
o Inclusión 
Número de subconjuntos de A: 
Número de subconjuntos propios de A: 
A=B + (ACB A BcA) o Igualdad 
= Conjunto potencia 
P(A) = (X/X c A) 
n[P(A)] = 294 
= Operaciones entre conjuntos 
Z=(...,-3,-2,-1,0,1,2,3 ...) 
ACB aV:xe4=>x€B 
2n(a) 
gn) 3 
Unión: AUB =(x/x€Av x€eB) 
Intersección: ANB=(x/x€AnxE€B) 
Diferencia: A—-B=1x/xE€A AxE€B) 
Complemento: A'=U-A=(x/x€UAx€A) 
Diferencia simétrica: AAB = (A - BJU(B — A) = (AUB) — (AB) 
= Leyes 
5 AvdA=A, AGA =4A 
o AUÁ=A, ANU=A 
AU =U, And =$ 
o AUB =BUA, AnNB = BA 
2. (AuBJuC = AU(BUC), 
o. AU(BAC) = (ACVB)A(ALC), 
oe AVA'=U, APA'=4 
. (AY =4A, U"=qQ, 
o (48) =A MB" 
o A-B=AnB' 
(ARBINC = AM(BAC) 
AN(BOC) = (AB) OV(ANC) 
p'=U 
(ANBY =4'W4B"' 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 24 
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EJERCICIOS RESUELTOS 
1. Seael conjunto A = (a, b, c, d). ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 
Y aEA 1 ezA ni) cÉA 
Resolución 
Dato: A= (a, b, c, d) 
DD Laexpresión a €Á indica que “e” es un elemento del conjunto A. 
Observando el dato A = fa, b, c, d) se concluye que “a” pertenece al conjunto A, 
por lo tanto la afirmación a € A es VERDADERA. 
ii) La expresión e € Á indica que “e” noes un elemento del conjunto A. 
Observando el dato A = [a, b, c, d], se concluye que “e” no pertenece al conjunto A, 
por lo tanto la afirmación es VERDADERA. 
111) La expresión c E A indica que “c” noes un elemento del conjunto 4. 
Observando el dato A = (a, b, c, d), se concluye que “c” pertenece al conjunto A, 
por lo tanto la afirmación es FALSA. 
De tres afirmaciones, dos son verdaderas y una es falsa, 
Respuesta: DOS afirmaciones son VERDADERAS. 
2. Determine el valor de "x", si el conjunto A =(fx+ y, 25, 3x — 2y) es unitario. 
Resolución 
Datos: A=1x+ y, 25,3x-2y) y n(4) = 1 
Pregunta: ¿Y? 
Del dato, para que Á sea un conjunto unitario sus elementos deben ser iguales, es decir, 
x+y=25 y 3x — 2y = 25; se forma un sistema de dos ecuaciones con dos variables, 
Resolviendo el sistema: 
x+y=25 
3Ix—2Zy =25 
se multiplica la primera ecuación por 2 y se suman las ecuaciones, 
2 + 2y=50 
5x1 = 75, de donde x= 15, 
se reemplaza el valor de x en la primera ecuación: 
x+y=2Z5 
15+y =25, de donde y = 10 
Verificación: se reemplaza x e y enel conjunto: A= (25, 25,25) y se comprueba que 
a es unitario. 
mesta:: elvalorde “x” es 15 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 25 
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3. Sean A=([a?, b4+ 2) y B=(4, -3) dos conjuntos iguales con a > 0. Halle al valor 
de (a + b). 
Resolución 
Datos: —A=[(a?%, b+2) B=(4,-3), A=B ya>0 
Pregunta ¿(a+b)? 
De los datos, si los conjuntos A y B' son iguales se puede afirmar que tienen los mismos 
elementos. 
Teniendo en cuenta que a*>0 y con la condición a > 0, se forman las siguientes 
ecuaciones: a% =4 y b+2=-3_asiseoblienea=2 y b=-5 
Verificación: —a > 0, se cumple la condición 2 > 0, 
se reemplaza los valores obtenidos para a y b, A = (4,—3), se cumple la 
condición A =8B, 
espuesta: (a + b) =-3 
4. Sea el conjunto A= (3, (5,2), (1)). 
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas. 
D (5) EP(A) ii) p E P(A) iii) (1) € PA) iv) AE P(A) 
Resolución 
Dato: A= (3, 15,2), (y) 
iD 15) € P(4) 
Los elementos del conjunto de partes de A son subconjuntos de A, por tanto la relación 
[5] € P(4) también se puede expresar como: [5] c A, 
La relación de inclusión (5) C A se puede expresar como: 5 € A. 
Se observa el conjunto A y se afirma que la expresión 5€ 4 es FALSA, por tanto 
la expresión (5) € P(A) también es FALSA. 
ii) EPA) 
Para todo conjunto A: p € P(A), por lo tanto, el conjunto vacío es siempre un 
elemento del conjunto de partes de A, f E P(A). La afirmación es VERDADERA. 
ii (1)€P(4) 
Los elementos del conjunto de partes de A son subconjuntos de A, por tanto la relación 
también se puede expresar como: (1) c A. 
La relación de inclusión (1) € A se puede expresar como1 € A: . 
Se observa el conjunto A y se afirma que la expresión 1 € A es FALSA, por tanto la 
expresión (1) € P(A) también es FALSA. 
iv) AEP(A) 
Loselementos del conjunto de partes de Á son subconjuntos de A, por tanto la relación 
Á E P(A) también se puede expresar como Á € A, por tanto la afirmación A € P(A) 
siempre es VERDADERA. 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 26 
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5. Sean los conjuntos A =(1,3,5) y B=(2,4,6)] talesque AcU y BcU. 
Establezca el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 
Y (1,2) U id (o, (9) c PU) iii) [p, (2,4,6)) € P(B) 
Resolución 
Datos: A=(1,3,5) B=(2,4,6) AcUyBcuU 
1) (1,2) e U. WERDADERA 
Como los conjuntos 4 y BE son subconjuntos de U sus elementos también son 
elementos del conjunto U, Los elementos 1 y 2 son elementos del conjunto U, por 
tanto, el conjunto (1,2) está incluido en el conjunto U, es decir, (1,2) CU. 
ii) [p, (1)) e P(A). VERDADERA 
Los elementos del conjunto potencia de A son los subconjuntos del conjunto A. 
Como p< A y (1) A, el conjunto (q, (1)) está contenido en el conjunto de 
partes o conjunto potencia de A. 
iii) [p, (2,4,6)) € P(B). FALSA 
Porque el conjunto [ó, (2, 4, 6)) no es un subconjunto de B. 
6. Paola sale a pasear todos los días con dos o más de los ocho perritos que tiene en su casa. 
Con mucho cuidado procura llevar cada día 4 un grupo diferente. ¿Cuántos días podrá 
mantener dicha costumbre? 
Resolución 
Datos: — Paola tiene 8 perritos. 
Pregunta: Grupos diferentes de dos o más perritos. 
Se asigna una etiqueta a cada perrito y se forma el conjunto de perritos de Paola. 
P=1[Pr Pa Pa Par Ps» Po» Pr Pa) 
De acuerdo al ejercicio, se debe formar grupos de dos o más, es decir subconjuntos de P de 
dos o más elementos. 
El total de subconjuntos de P es 2% = 256, incluyendo al conjunto vacio y a los 8 
conjuntos unitarios. 
Por tanto, los subconjuntos de P de dos o más elementos son en total: 2% — 9 = 247. 
Respuesta: Podrá mantener dicha cosmmnbre 247 dias. 
7. Lós conjuntos 4 y E” tienen 128 y 32 subconjuntos respectivamente, y el conjunto An 8 
tiene 8 subconjuntos. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto AB ? 
Resolución 
Datos: 
Subconjuntos de A: 128, es decir n(P(A)) = 128=2” 
Subconjuntos de B: 32, es decir n(P(B)) = 32 =2* 
Subconjuntos de AMB: 8, es decir n(P(ANB)) = 8= 23 
Pregunta: ¿ n(P(AUB))? 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 27 
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PRE 
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Se recuerda que: n(P(4)) = 214). es el número de subconjuntos de A. 
n(P(4)) = 2" =27, de donde n(A) =7 
n(P(B)) = 2"(P) =25, de donde n(B) = 5 
n(P(ANB)) = 29408) = 2%, de donde n(AnMB) =3 
En el gráfico, se coloca la cantidad de elementos en cada región: 
 
U 
 
de donde: n(AwB) = 9, por tanto: 2 "(448) = 29 = 512 
Respuesta 
El conjunto (Au B) tiene 512 subconjuntos. 
8. De 40 personas encuestadas, respecto a que hacen en su tiempo libre, se tiene la siguiente 
información: 20 leen revistas, 18 escuchan música y 10 realizan ambas actividades. 
¿Cuántas de las 40 personas no realizan ninguna de estas actividades? 
Resolución 
Datos: Leen revistas: 20 
Escuchan música; 18 
Leen revistas y escuchan música: 10 
Pregunta: ¿Cuántas de las 40 personas no realizan ninguna de estas actividades? 
Sea R el conjunto de las personas que leen revistas y sea M el conjunto de las personas que 
escuchan música. 
En el gráfico, se coloca la cantidad de elementos en cada región: 
 
U 
12 
 
Si el total de personas es 40, en el diagrama se observa que doce no leen revistas ni 
escuchan música. 
Respuesta: 12 de las 40 personas no realizan ninguna de las dos actividades, 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 28 
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9, Sean los conjuntos Á y B tales que: 
n(AvB) = n(4) + n(B) 
n(A—B)=4 
n(B - A) =3 
¿Cuál es la cantidad de subconjuntos propios del conjunto (AB)? 
Resolución 
Datos: n(4.B) = n(4) + n(B). n(A-5)=4 y n(B-A)=3, 
Pregunta: ¿cantidad de subconjuntos propios de (AB )?. es decir 2 "48 — 1 
Diagramas correspondientes a la unión de los conjuntos A y B: 
 
 
 
n(40B) = 24) + (8) - nlanB) n(AoB) =12(4) + (8) 
 
 
 
níALB) =n(4) n(AuB) = (8) 
Según el dato del ejercicio estamos en el segundo caso n(ALB) = n(A) + 108). en el 
cual AMB = q. es decir A y B son disjuntos. 
Se observa: A-B=A y B-A=B 
n(A) =4 y n(B) =3, de donde n(4uB) = n(A4) + (8) =7 
Por tanto 248 — 1] =2? -1=127 
Respuesta: 127 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 29 
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10. La operación entre conjuntos que representa la repión sombreada del siguiente diagrama es: 
 
 
 
 
U 
Resolución 
Dato: el diagrama 
Pregunta: ¿Qué operación representa la repión sombreada? 
Obeervando el diagrama: 
or 
 
 
Una parte de la región sombreada representa AmO y la otra parte (B-C)-—A 
Por tanto, la región sombreada representa la operación: 
[An €] [(B — €)- A) 
Otra posibilidad: 
[45€] uv [8 — (40 0)] 
Otra posibilidad: 
B-[(C—-AJ LAMB) =C] 
11. En un grupo de 45 personas, 15 no juegan ajedrez, 25 no juegan damas y 5 no juegan 
damas ni ajedrez, ¿Cuántas personas del grupo juegán damas y ajedrez? 
 
Resolución 
Datos: a? total de personas: d5 
vw” de personas que no Juegan ajedrez: 15 
o” de personas que no juegan damas: 25 
n? de personas que no juegan ambos: 5 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 30 
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CE 
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Pregunta: ¿Cuántas personas del grupo juegan damas y ajedrez? 
En el gráfico, se coloca la cantidad de elementos en cada región, siendo D el conjunto de 
las personas que juegan damas y 4 el conjunto de personas que juegan ajedrez. 
 
u 
jO=A D=20 
 
Considerando el total de personas: 20 +20 + 10 +5 +45, se obtiene el valorde x=10 
Respuesta: Las personas que juegan damas y ajedrez 500 10, 
12. Acerca del sexo y la edad de un grupo de 55 estudiantes, se ene la siguiente información: 
2 3050 varones 
«13 mujeres no tienen 20 años 
“ 34delos estudiantes hieneo 20 años 
¿Cuántos varones no tienen 20 años? 
Resolución 
Datos: o? de estudiantes: 
u* de estudiantes varones: 
o? de estudiantes mujeres que no eneo 20 años: 
4% de estudiantes que tenen 20 años: 
Pregunta: 
¿Cuántos varones 1o tienen 20 años? 
Con li información del ejercicio se determina el conjunto de várones y el conjunto de 
núyeres, notemos que estos conjuntos 300 dispuntos. 
También son disjuntos el conjunto de estudiantes que tienen veinte años y el conjunto de 
estudiantes que no tienen 20 años. 
En este caso, se colocan los datos en tn diagrama (tabla), teniendo en cuenta que los 
conjuntos son disjuntos, 
Warones 
20 años - 
Ona edad x 
Total 
Se le asigna la variable %x* 3 la cantidad de varones que no tenen 20 años, se colocan los 
datos y se deducen las otras cantidades, de donde: 
34+ (1413) =55 y elvalorde x=8B. 
53 
30 
13 
 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 31 
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Verificación: Se colocan los valores en la tabla, 
 
 
 
 
Varones Mujeres Total 
20 años 308 12 34 
Otra edad 8 13 8+13 
| Total 30 Z5 55 
Respuesta: Son 8 los varones que no tienen 20 años. 
13. Con la información del siguiente diagrama, halle n(AAB) + n(CAD). 
 
 
 
Resolución 
Datos:Del diagrama A =(1,2,3,4), B=(3) C=(2,3,4,5) y D=(3,4,5,6) 
Pregunta: níAAB) + n(AAC) 
Por definición: AAB = (AUB) — (AB) 
A=(1,2,3,N, B =(3) 
AUB =(1,2,3,4) y AMB =(3) 
(AUB) — (AMB) = (1,2, 4) 
 
AAB = (1,2,4) 
Por definición: CAD = (C — DJ(D —C) 
C =(2,3,4,5), D=(3,4,5,6) 
C-D=(2) 
D-C=(6) 
(0 — DIA(D — C) = (2,6) 
CAD = (2,6) 
Luego: n(AAB) + n(AAC)=3+2=5 
Respuesta: 5 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 32 
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PRE 
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14. Sean A, B y € subconjuntos de U, tales que: 
n(U) = 160, n(A) =50, n(B) = 60, n(C) = 70, 
RÍANB) = 24, n(ANC) = 22, n(BNC) =26 y 
n((A4u Bu 0) = 38 
Halle n(ANEBAC). 
Resolución: 
Datos: — En muchos casos se puede utilizar un diagrama para representar la relación 
entre los conjuntos y colocar en el diagrama los datos del ejercicio. 
Pregunta: ¿nÍ(AMNBAC) =x? 
A(so) AN Bi60) 
38 
 
Uso) 
Ctro) 
Se anota en el diagrama los datos del ejercicio. 
Por ejemplo, la región en el diagrama que representa al conjunto (Ar B) tiene 24 
elementos, n(AnB) = 24, dato del ejercicio; y como el conjunto (ARBAC) forma parte 
de la región, entonces, en la región correspondiente a (ABC) se escribe x, yen la 
parte superior 24 —x, así n(AnB) = 24. 
De la misma forma, se anota en las otras regiones del diagrama la cantidad de elementos 
correspondiente. 
Con la información del diagrama, teniendo en cuenta que: 
ÍA) = (4+ 1) + (04-x)+(22-x)+x=50 
y además como n(U) = 160, entonces: 
50 + (22 + x) + (26 — x) + (10 + x) + 38 = 160, de donde: 
x= 14 =n(AnBAC) 
Verificación: Se reemplaza el valor obtenido para x en el diagrama. 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 33 
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Ulrso) 
Aso) Bi 60) 
38 
Eco) 
 
Respuesta: n(AnBnC) = 14 
15. En relación a las edades de un grupo de 40 estudiantes, se tiene la siguiente información: 
= 4 mujeres tienen 17 años 
= 12 mujeres no tienen 18 años 
= 16 mujeres no tienen 17 años 
= 8 varones no tienen ni 17 1 18 años 
Si además, se sabe que hay tantos estudiantes de 17 años como de 18 años, ¿cuántos 
varones fienen 18 años? 
Resolución: 
Datos: Se observa que se pueden establecer conjuntos disjuntos y en estos casos es 
conveniente organizar los datos en una tabla. 
Pregunta: ¿cuántos varones tienen 18 años? 
Se considera: "x" igual al número de estudiantes varones de 18 años 
 
 
 
 
 
Mujeres Varones Total 
17 años 4 12—xX 16-x 
13 años 8 Xx B+x 
Otra edad 8 8 16 
20 20 40 
 
Como hay tantos estudiantes de 17 como de 18 años, entonces: 
16-x=8+x, de donde x =4. 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 34 
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Verificación: 
Mujeres Varones Total 
17 años 4 12-4 16-4 
18 años $ 4 8+4 
Otra edad 8 8 16 
20 20 40 
 
Respuesta: Son cuatro los estudiantes varones de 18 años 
16. Con respecto al sexo y al rendimiento académico de un grupo de 42 estudiantes en los 
cursos de aritmética y álgebra se tiene la siguiente información: 
«24 son varones 
“13 yarones aprobaron aritmética 
"8 varones aprobaron álgebra 
= 7 aprobaron los dos cursos 
= 4 varones y 6 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos. 
= 24 aprobaron aritmética 
¿Cuántas mujeres aprobaron álgebra? 
Resolución 
Datos: Se formarán los siguientes conjuntos y se anotarán los datos en el diagrama: 
Y conjunto de estudiantes varones (V), r(V) = 24 
Y conjunto de estudiantes mujeres (M), n(M) = 18, porque son en total 42 
Y conjunto de estudiantes que aprobaron álgebra (L) 
Y conjunto de estudiantes que aprobaron aritmética (A), n(A) = 24 
Pregunta: ¿cuántas mujeres aprobaron álgebra? 
 
 
 
 
 
 
Uca) 
Vas) 
4 
a 
d+x E 1 
w) 6 
Mí) 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 35 
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Se colocan los datos en el siguiente orden: 
4 varones y 6 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos 
7 aprobaron los dos cursos, se utiliza la variable x para diferenciar varones de mujeres 
13 varones aprobaron Aritmética 
8 varones aprobaron Algebra 
24 aprobaron Aritmética 
18 son mujeres E 
A 
A
A
 
4
 
A
 
Las mujeres que aprobaron álgebra son 8— x, 
Se halla el valor de x, considerando que 24 son varones: 
13—-x+x+8-—x+4= 24, de donde x = 1 
Verificación: Se reemplaza el valor de x en el diagrama. 
 
 
 
 
Ucsz) 
Vza) 
4 
441 E 1 
6 
Mis) 
Respuesta: 7 mujeres aprobaron álgebra. 
17. Indique el número de proposiciones verdaderas: 
y (2.3)c0 ii) (23,0,1) e Z iii) NNQ=4$ 
Resolución 
i) VERDADERA, - y 3= ; = 5 = 5 son elementos de (. 
ii) VERDADERA, —3, 0 y 1 son elementos de Z. 
ili) FALSA, es suficiente encontrar un elemento del conjunto Nr (), un elemento es 
5-3. 2 
Respuesta: dos proposiciones son verdaderas 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 36 
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PRE 
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18. Si los conjuntos A=(3a+b-—39,4a) y B=(5a+2b,4) son unitarios, ¿cuál es el 
conjunto € = [6a + b, 2b +8a — 3)? 
Resolución 
Datos: n(A)=1 y n(B)=1 
A=(3a+b-9,4a] y B = ([5a +2b,4) 
Pregunta: ¿C= (6a +b, 2b +80 — 3)? 
Como los conjuntos 4 = (3a + b—9,4a] y B = [5a + 2b, 4) son unitarios se cumple: 
dJla+b-9=4a ...(D) y 
5a + 2b = 4 (2) 
De(l]: a-b=-9 — 2a-2b =-18 
2a—2b =-—18 (8) 
Sumando (2) y (3) 
Ta =-—14 
a==-=2 
Reemplazando en (2) 
5(-2)+2b=4 —= b=7 
Entonces: € = [64 + b, 2b+ 8-3) = L, 2(7) + 8(-2) - 3)- 
6a + b =6(-2) + (7) = -5 
2b+8a-3= 27) + 8[(-2)- 3 =-5 
Respuesta: € = (-5) 
19. Sean los conjuntos V = (d), W = ([c,d), X =(a,b,c), K=(a,b) y T = (a, b,d). 
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas. 
ij Vew iy ToK ii) X=W iv) KpXxX 
Resolución 
D VcCcW, como el único elemento de Wes “dy “d" pertenece también a W., 
entonces podemos afirmar que todo elemento de Y es un elemento de W por tanto, la 
afirmación Y C— W es VERDADERA. 
li) TK, como todos los elementos de K pertenecen a T , se puede afinmar que T 
contiene a K, por tanto la afirmación T > K es VERDARERA. 
li) X =W, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, en este caso se 
observa que solo tienen un elemento en común, por tanto la afirmación es FALSA. 
iv) KDX, se observa que hay un elemento de X, “e”, que no pertenece a K, por tanto K 
no contiene a X.. La afirmación es VERDARERA. 
Respuesta: VVFV 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 37 
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o falsedad de las siguientes afirmaciones: 
i)' — ¡A esun conjunto de conjuntos. 
ii) (0 EA 
11) (0) = (+) 
iv) (15,4), (e), B]zA 
v) (fa,b,0), B, fe)) e ([e),(a,b,0), B, [e)) 
Resolución 
D FALSO, porque “e” es un elemento simple de Á 
11) VERDADERO, porque 0 no es elemento de Á 
li) FALSO, porque 0 es diferente de +, 
iv) VERDADERO, porque [e] no es elemento de A 
20. Sean los conjuntos A y B,siA= (10), 15,8), [-), (0), [a,b,0), B,el, indique la verdad 
y) VERDADERO, porque todo elemento de ((a,b,0), B, feJ] es también elemento de 
[(e),(a,b,0), B, [e)). 
Respuesta: FVFVV 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 38 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
l, Establezca el valor de verdad de las siguientes proposiciones, si A=(2, 6, 7). 
id) 3€A ii) 7EA iii) 6€A 
iv) (2, TEA Y EA 
A) FFVFF 
B) FVVFF 
C) FEVVF 
D) FFVFV 
E) VEVFF 
2. Establezca el valor de verdad de las siguientes proposiciones, si A = (5, (2), 9). 
DY (2)EA ii 9€4 ii) SEA 
iv) [5] EA vY (5 9HEeA 
A) VVFFE 
B) VVVFV 
C) VVVFF 
D) VEVFF 
E) VFFVV 
3. Calcule la suma de los elementos del conjunto: 4 = [(x? +x)/x € Z,-4<x<2) 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 10 
E) 12 
4. Calcule la suma de los elementos del conjunto A, si A=([(x+2)/x€Z, x? <9). 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 10 
A
 
5. ¿Cuál es la suma de elementos de A=(2x/(Bx+1)€N, 4<x<8)? 
A) 36 
- B) 116 
C) 132 
D) 165 
E) 160 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 39 
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PRE 
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6. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A=([x?/x€Z, —19<7x+2<37)? 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
E) 6 
2x7 
2i-r? 
 7. Halle la suma de los elementos del conjunto A= (x/x mz x€ N]. 
A) 3 
B) 3 
C) -0,5 
D) 6,5 
E) -0,5 
8. Dados A, B y € subconjuntos de U =(1, 2, 3, . . .,15), tales que: 
A=(x/x€Z, x<6) 
B=([x/x€N, V3<x<yv26) 
C=(fx/x€N, x>10) 
Halle n(4) :n(B) -n(C). 
A) 72 
B) 25 
C) 75 
D) 81 
E) 100 
9. Dados los conjuntos: 
A =([x/x es una vocal de la palabra "casa")] 
B =([x/x es una vocal de la palabra "beber”) 
C =([x/x es una vocal de la palabra "elementos") 
D = [e, 0) 
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. 
1) 4 es un conjunto unitario 11) B es un conjunto vacío 
111) 8 es un subconjunto de € iv) € y D son conjuntos iguales 
A) VFFV 
- ¿B) VFVV 
C) VFVE 
D) VEFF 
E) VVVV 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 40 
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10. Dado el conjunto A= (4, (3), (2), 5), indique verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda. 
D Ejea ii) (4) € A iii) (4, (2) c A 
im (2) c A v) n(4)=4 
A) VFVFV 
B) VFFVV 
C) VVVVV 
D) FFVVV 
E) VFVVV 
11. Dado el conjunto A= (s, 15), 7, (5, 0). indique verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda, 
Y) ([5)eA 5) 15, 7) A 11) (5, 1) A 
im) [7]cA vw) [5, 7)€ A 
A) VVVVF 
B) VFFVF 
C) VVFFF 
D) VVFVF 
E) VVFVV 
12. Dado el conjunto A=(x/x€N, x<15), indique verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda. 
) -3€A ii) 15 A iii) (5) c A 
iv) A 5 (7) v) (4) e A 
A) FVFVF 
B) FVVVF 
C) VEVVF 
D) VFVFF 
E) FVVFV 
13. Dado el conjunto A = [a,b,c,d,e), ¿cuántos subconjuntos de Á tienen por lo menos 2 
elementos? 
A) 25 
B) 26 
C) 27 
DJ 28 
E) 30 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 41 
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14. 
15. 
16. 
17. 
Los conjuntos iguales A, B y C son tales que: 
A=(15, 12, 9), 
B =(2m, m+3, 15) 
C=1(s+2, 12, 10+t), 
Halle (m+t+s5), si m, £ y s son números naturales. 
A) 12 
B) 15 
C) 13 
D) 20 
E) 21 
Halle n(A) -n(B), si n(P(A)) = 128 y n(P(B)) = 512. 
A) 56 
B) 72 
C) 63 
D) 70 
E) 46 
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. 
1) Si n(4) = 0; entonces, n(P(A)) =0 
ii) Si n(4) = 1; entonces, n(P(A)) = 2 
iii) Si n(A) = 3; entonces, n(P(A)) =6 
iv) Si A = q; entonces, n(P(A))=1 
A) FVVV 
B) FVFF 
C) VVFV 
D) VVFF 
E) FVFV 
Dado el conjunto A = (2,5, 6,10), indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. 
i) (2) P(A) ii) 6 € P(A) 11) n(PCA)) = 16 
iv) (5,6,10) € P(A) v) pEP(A) 
A) VFFVV 
B) VEVFV 
C) VFVVV 
DD) VEVFF 
E) VEFVVF 
 
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18. Halle (a - b), siel conjunto A=([a+2b,3b-=a+2, 11) es unitario. 
A) 12 
B) 14 
0) 15 
D) 16 
E) 18 
19. Sea el conjunto universal U y los subconjuntos A y E tales que: 
U=(x/xXE€Z A0<x<10), (4UB)' =[0,6,9), AMB =(1,2,7) y A-B=(3,5) 
¿Cuál es la suma de los elementos de (8 — A)? 
A) 20 
B) 18 
C) 22 
D) 24 
E) 16 
20. Halle AMB, si A=(f(x/x€N, 5<x <10] y B=1x/x€N, 2<x<09), 
A) [6,7,8) 
B) (5, 6,7, 8,9) 
C) [6,7,8,9) 
D) (3,4) 
E) (6) 
21. Halle [(4AnB) y (AAB)]-B, si A=(1,2,3,5) y B = (2,3,4,5). 
A) (1) 
B) (1,2,3) 
O 1) 
D) (1,4) 
E) (2,3, 5) 
22. Halle n(4) y n(B), si n(AnB) = 6,n(A—B)=18 y n(B-A)=7,. 
A) 24 y 10 
B) 24 y 13 
C) 20 y 7 
D) 16 y 12 
EJ15y12 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 43 
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23. Halle n(Av B), si nAAB)=8 y n(AnB)=2. 
A) 8 
B) 9 
C) 10 
D) 11 
E) 13 
24, El conjunto que representa la zona sombreada es: 
A) MAD 
B) Mun 
C)M-D 
D) DAM 
E) M'nD 
25. El conjunto que representa la zona sombreada es: 
A) PAT 
B) PUT 
O) (P-TU(T-P) 
D) P-T 
E) T-P 
26. La operación entre conjuntos que representa región sombreada es: 
A) A—B 
B) (A-B)uB 
C) (AN B)- B 
D) (ANB) 
E) AAB 
 
 
M 
 
 
Pp 
 / 
El 
 
 
 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 44 
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27. Halle n[P(Ar B)], si níAvB)=6 y n[P(A)] + n[P(8)] = 40. 
AA 
B) 3 
C) 5 
D) 7 
E) 9 
28. Sea el conjunto universal UY y los subconjuntos A, B y € tales que: 
U=[x/xE€NA0<x=<10)] 
A =(1,2,3,4,5) 
B=(3,5,7,9) 
C =(x?/x € U) 
Halle [A'1C]u (B-C). 
A) (3,4,5,9) 
B) (3,4,7,9) 
C) (3,5,6,9) 
D) (3,5,7,9) 
E) [3,4,6,8) 
29. Los conjuntos A, B- y € son tales que: la intersección de los tres tiene 5 elementos; la unión 
de los tres tiene 50 elementos; la unión de A y B tiene 35 elementos y se sabe que cada 
intersección de dos de ellos tiene 10 elementos. 
¿Cuántos elementos tiene el conjunto € ? 
A) 15 
B) 20 
C) 35 
D) 25 
E) 30 
30. Sean A, E” y C subconjuntos de U tales que: 
n(A) =25, n(B) = 20, n(C) =25, n(U) = 50 
n(ArmB) = 10, n(BAC) =8, n(AnC)=15 y n(AMB'AC”) = 10 
Halle n[(8 — AJu(C — B)] 
A) 40 
B) 27 
E) 23 
D) 10 
EJ 40 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 45 
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31, 
3, 
. ¿Qué conjunto representa la zona sombreada? 
El conjunto que representa la región sombreada es: 
A) AUEULE 
BiáinBac 
O (Anat 
DAS(BUA) 
E) (ANBJ- E 
. ¿Qué conjunto representa la zona sombreada? 
AAN BUE 
B) (Cu B)-(B—A) 
C) (BuC)=(A—B) 
D) (ALC) (AMB) 
E) (ALC)=(A—8B) 
El conjunto que representa la región sombreada es 
A (ARM =E 
B) (AN C)=B 
O (ARABIC 
DI (AN C)AB A) 
El (ARBOE 
 
 
 
 
 
 
 
Le
 
 
 
A) (AUVBAC 
B) (AAB) UC 
Cy AA(BUC) 
DI (AAB) -(ANBARC) 
E AAB 
 
 
U 
B 
Uv 
U 
B 
Ú 
 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 46 
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35. La región sombreada en el diagrama representa la operación: 
 
 
 
A) (A=B)5(CUB) 
B) (8-4Mu[(60u8)-(6r0D)] 
O AybB 
D) (B-AJuw(C — Du (D-C) 
EByD 
36. En una sección de 40 alumnos, 15 de ellos aprobaron fisica, 17 aprobaron quimica y 6 
aprobaron fisica y químuca. ¿Cuántos desaprobaron los dos cursos mencionados? 
A) 18 
B) 15 
Cc) 12 
D) 10 
E) 14 
37. Los estudiantes del Sto año de secundaria, están pensando estudiar el próximo año 
contabilidad o computación. Si 7 estudiaránambas carreras técnicas y 19 estudiarán 
contabilidad, ¿cuántos estudiarán computación. si en total son 607 
A) 39 
B) 36 
Cc) 30 
D) 45 
E) 48 
For mp e 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 47 
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38. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no estudian Lengua y 53 no estudian Matemáticas. Si 
27 no estudian ninguno de los cursos mencionados, ¿cuántos estudian sólo un curso? 
A) 28 
B) 38 
C) 48 
D) 58 
E) 18 
39. En una reunión a la que asistieron “X” personas, se observó que 46 usaban relojes, 24 
usaban pulseras y 12 usaban ambos, Si todas las personas usaban al menos una pulsera o 
reloj, ¿cuál es valor de “X”? 
A) 58 
B) 57 
C) 56 
D) 59 
E) 60 
40. Sean los conjuntos A, B y C tales que: n(AMB) =8, n(ANC) = 12, n(BAC)=10 y 
g = 30nllan) cl nltanc)-Bloni(énc)-al 
nlAcBnc) ¿Cuál es el va
lor de E? 
A) 3 
B) 4 
Os 
D) 6 
E) 2 
41. Los 60 alumnos de una sección del 3er año de secundaria efectuaron sus compras de útiles 
escolares en una libreria, y se sabe que: 
= 26 de ellos compraron libros 
= 25 compraron cuadernos 
= 28 compraron hojas 
= 6 compraron libros y cuadernos 
= 7 compraron cuadernos y hojas 
= 6 compraron libros y hojas 
¿Cuántos alumnos compraron solamente libros? 
A) 13 
BI 
Cy 14 
-D)15 
E) 16 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 48 
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42. En una encuesta, realizada a 400 personas acerca del consumo de bebidas gaseosas, se 
obruvo la siguiente información: 
= 175 consumen Inca Kola 
= 120 consumen solo Coca Cola 
= 48 consumen solo Fanta 
* 39 consumen Coca Cola y Fanta 
= 27 consumen Inca Kola y Fanta 
= 30 consumen Inca Kola y Coca Cola 
= 57 consumen Fanta pero no Coca Cola. 
¿Cuántas personas consumen otras bebidas? 
A) 34 
B) 35 
C) 36 
D) 26 
E) 38 
43. En un juego de guerra (paintball) participaron 1200 personas, de las cuales: 
= 420 fueron heridas en la cabeza 
= 430 fueron heridas en el brazo 
= 320 fueron heridas en la piena 
= 80 fueron heridas en el brazo y la pierna 
= 50 fueron heridas en la cabeza y el brazo 
= 60 fueron heridas en la pierna y la cabeza 
Si 200 personas no fueron heridas, entonces: 
i) ¿Cuántas fueron heridas en los tres lugares? 
li) — ¡Cuántas fueron heridas solamente en dos lugares? 
A) 30, 130 
B) 20, 130 
C) 25, 130 
D) 20, 140 
E) 25, 140 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 49 
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44, En una editorial laboran 40 personas, de las cuales podemos decir que: 
“3 mujeres tienen 19 años 
= 20 mujeres no tienen 20 años 
= 25 mujeres no tienen 19 años 
“8 varones no tienen 19 ni 20 años 
= 2 varones tienen 20 años. 
¿Cuántas personas tienen 20 años? 
A) 8 
B) 9 
Cc) 10 
D) 12 
E) 15 
45. Sobre un grupo de 300 personas se tiene la siguiente información: 
« 120 son mujeres 
= 80 mujeres solo estudian 
= 100 personas estudian y trabajan a la vez 
= 5 varones no trabajan ni estudian 
= 15 personas no trabajan ni estudian 
Si el número de mujeres que solo trabajan, es la mitad del número de varones que solo 
estudian, y también es la cuarta parte del número de mujeres que estudian y trabajan a la 
vez, ¿cuántos varones trabajan y estudian a la vez? 
A) 76 
B) 77 
C) 86 
D) 87 
E) 90 
46. En una encuesta de opinión se entrevistaron a 154 personas sobre las que consideran las 
mejores marcas de computadoras: 
= 6 se deciden por las marcas / y D, pero no € 
= 5 sedeciden por las marcas D y € solamente 
= 8sedeciden sólo por la marca E 
Si el número de personas que se deciden por las tres marcas es el séxtuplo de las que se 
deciden sólo por D y el triple de las que sólo se deciden por Í, y si nadie declara decidirse 
por | y E solamente, ¿cuántas personas se deciden a lo más por dos tipos de computadoras? 
A) 60 
-B) 54 
Vo 
D) 64 
E) 75 
 
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50
 
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47. De un grupo de “X" estudiantes que postulan a las universidades A, B y C, se sabe que: 
“16% postulan a Á 
"42% postulan a B 
* 538% postulana [ 
« 8% postulan a las tres universidades 
= 5% no postulan a ninguna de ellas 
51390 estudiantes postularon a por lo menos dos universidades, ¿cuál es el valor de “X""? 
A) 3000 
B) 3120 
C) 2500 
D) 2000 
E) 3500 
48. En una ciudad de 100 000 habitantes adultos, el 70% escucha radio, el 40% lee periódicos y 
el 10% ve televisión. Entre los que escuchan radio, el 30% lee los periódicos y el 4% ve 
televisión. El 90% de los que ve televisión lee los periódicos y sólo el 2% de la población 
total lee periódicos, ve televisión y escucha radio. ¡Cuántos habitantes no escuchan radio, 
no leen periódicos ni ven televisión? 
A) 12.000 
B) 10600 
C) 10400 
D) 10 500 
E) 10.800 
 
Unidad 1 - Teoría de Conjuntos 51 
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UNIDAD 2 
 
SISTEMAS DE NUMERACIÓN 
51 
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OBJETIVOS 
Al finalizar el estudio de la unidad, el alumno será capaz de: 
1. Aplicar los conceptos básicos de los sistemas de numeración decimal y de base “p” 
2. Relacionar los sistemas de numeración decimal y de base “n” 
CONTENIDO 
2.1 Conceptos básicos de numeración 
2.2 Sistema de numeración 
2.3 Conversión de un número de un sistema a otro 
Ejercicios resueltos 
Ejercicios propuestos 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
Se requiere que el alumno aplique los conocimientos básicos adquiridos en los temas: 
Operaciones elementales en Z . Sistema de numeración decimal. Resolución de una ecuación 
lineal con una incógnita. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, 
Factorización de expresiones algebraicas. Teoría de exponentes. Inecuaciones lineales con una 
incógnita. 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 52 
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN 
2.1 CONCEPTOS BÁSICOS 
Numeración 
Es la parte de la Aritmética que se encarga del estudio de la correcta lectura y escritura de 
los números. 
“ Número.- Es un ente o idea matemática carente de definición, sin embargo nos da la 
idea de cantidad. 
" — Numeral- Es la representación simbólica de un número 
= Cifras o Digitos.- Por convención usaremos los siguientes simbolos: 0, 1,2, 3,... 
2.2 SISTEMA DE NUMERACIÓN 
Se denomina así, al conjunto de reglas, principios o leyes que nos permiten leer, escribir y 
operar correctamente los números en los distintos sistemas de numeración. 
"Base de un Sistema de Numeración 
La base de un sistema de numeración, es un número entero mayor que 1, e indica la 
cantidad de cifras (o digitos) que se emplean para escribir a todos los números en dicho 
sistema de mumeración. 
Por ejemplo: 
 
 
 
Base | Sistema de | Cifras o dígitos 
Numeración 
2 | Binario 0,1 
3 Ternario 0,1,2 
4 | Cuaternario | 0,1,2,3 
5 |Quinario |0,1,2,3,4 
6 | Senado b,1,2,3,4,5 
7 | Heptal 0,1,2,3,4,5,6 
8 | Octal 0,1,2,3,4,5,6, 7 
9 | Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,8 
10 | Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 
11 | Undecimal [|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, a 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 3 
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La cifra 10 la denotaremos por a, (10) o A; la cifra 11 por P, (11) o B; la cifra 12 por y, 
(12) 0 C. 
La base del sistema de numeración, se escribe en la parte final del número como un 
subindice y de no indicarse la base, se entiende que está escrito en base decimal. 
Ejemplos 3456 54312; 3469 
Los numerales tiene nombre propio solo en base decimal; mientras que en otros 
sistemas, se nombran cifra a cifra finalizando con la base, 
Ejemplos 436 — (cuatrocientos treinta y seis) 
562% — (Cinco, seis, dos, en base siete) 
La representación literal de un numeral consiste en representar a las cifras del numeral 
por letras minúsculas del abecedario. 
Ejemplos Número de dos y tres cifras en base 10: ab Y abc 
Número de dos y tres cifras en base n: aby y abc, 
Un número capicúa, es aquel número positivo, cuyo valor no cambia al invertir el 
orden de sus cifras. 
Ejemplos Capicúa de tres cifras: aban 
Capicúa de cuatro cifras: abban 
Capicúa de cinco cifras: abcban 
= Principios de los Sistemas de Numeración posicionales 
Principio de orden: Cada cifra en un numeral ocupa un orden, el que se indica de 
derecha a izquierda; mientras que el lugar se indica de izquierda a derecha. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
Orden Tres | Dos | Uno | cero 
Numero | 4 s|8 9 
Lugar 1e | os | 38 | 48 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 54 
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Se debe destacar que estos órdenes, en el sistema decimal, tienen nombre propio: 
unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc. 
Principio de la base: En el sistema de numeración de base n. con n unidades de 
cualquier orden, se puede formar una unidad del orden inmediato superior. 
Ejemplo En el sistema de muneración decimal: 10 unidades forman una decena; 10 
decenas forman una centena y 10 centenas forman un millar, 
Principio del valor: Toda cifra en un número tiene dos valores: Valor absoluto y valor 
relativo. 
El valor absoluto, es el valor que tiene la cifra por su representación. Su valor no 
cambia al cambiar la cifra de orden. 
Ejemplo En el número 235 el valor absoluto de la primera cifra es 2 
En el número 7 921 el valor absoluto de la tercera cifra también es 2. 
El valor relativo, es el valor que tiene la cifra por su ubicación dentro del número. Su 
valor cambia, al cambiar la cifra de orden. 
Ejemplos 
En el número 235 el valor relativo de la primera cifra es 2 centenas o 200 midades. 
En el número 7 921 el valor relativo de la tercera cifra es 2 decenas o 20 unidades. 
Principio de la Descomposición Polinómica: Todo muúmeral se puede descomponer 
como un polinomio, cuyas características son las siguientes: 
2 La base del polinomio es la base del sistema de numeración 
4 El grado del polinomio es una unidad menor que la cantidad de cifras del numeral. 
a Los coeficientes del polinomio son las cifras del numeral, 
Ejemplos 6835=6-:10%+8-10%4+3-1014+5-10% 
453, =4:-77 45:71 43-70 
La descomposición por bloques, es una forma particular de la descomposición de un 
numeral, 
Ejemplos abcd=10%-44+bcd =10* -ab+cd = 10: abc +d 
abcby = 1 %3 + beba = 1? -ab, + cb, =n-abcn +d 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 55 
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1.3 CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UN SISTEMA A OTRO 
Convertir un número de la base 10 a la base n 
Regla: Se divide el número sucesivamente por n, hasta que la división ya no sea 
posible. 
Ejemplo 1310 a base 8 
240013 Observación: 
Cs) 163 18 Para formar el número en la nueva 
6) 20 [8 base, se toma el último cociente y 
(a) todos los residuos en el orden 
indicado. 
Luego: 1310 =2436y 
Convertir un número de base n a base 10 
Regla: Se descompone el numeral polinómicamente y se reducen las cantidades 
homogéneas. 
Ejemplo 25435 a base 10 
2543, =2-6'+5-6'+4-6+3 
=2-216+5:-36+24+3=639 
Por tanto 2543¿ =639 
Convertir un número de base ma base n (m y n distintos de 10), 
Regla: El muneral de la base m se convierte a base decimal y luego de la base decimal a 
base n. 
Ejemplo 25234 a base 9. 
Se convierte primero 2543, a base decimal: 
2543, =2-6'+5-6' 44-64+3=639 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 56 
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Ahora convertimos 639 a base 9: 
639| 9 
71|9 
Luego 25435 = 7809 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 57 
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EJERCICIOS RESUELTOS 
Si un número de dos cifras aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93, ¿cuál es 
la suma de sus cifras? 
Resolución 
Sea ab el número 
ab + 3a = 93, 
Descomposición polinómica: 
10a + b +3a = 93 
134 +b=393 
7o2 
Luego: a=7 y b=2 
Por tanto; a + b=39 
Respuesta: 9 
Un número está compuesto por tres cifras. La cifra de las centenas es 4 veces la cifra de las 
unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. ¿Cuál es 
el producto de las cifras del número dado? 
Resolución 
Sea abc el número 
dl lil 
CDU 
Luego: 
= de E) 
ae 
H==> a 
Reemplazando (1) en (2): 
b=Z 0) 
Luego c=2yb=5 
De(1): a=8 
Por tanto: (a1)(b)(c) = 80 
Respuesta: 80 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 58 
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3. Sia un número de tres cifras se la agrega un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número 
obtenido es 147 veces el número original. ¿Cuál es la suma de las cifras del número 
original? 
Resolución 
Sea el número abc, del dato: 
Sabes = 147 (abc 
Descomposición por bloques: 
50005 + 10(abc) = 147 (abc) 
De donde; 50005 = 137abc 
abc = 365 
Luego: a=3; b=6yc=5 
Por tanto: a +b+c=14 
Respuesta: 14 
4. Lo que le falta a b(b+ 1)(a +1) para llegar a 1000 es abb . ¿Cuál es el valor de a + b? 
Resolución 
De los datos: »b+Día+ 1) + abb = 1000 
Luego: bba + 11 + abb = 1000 
bba + abb = 989 
Descomposición polinómica: 
100b + 10h + a + 100a + 10b + b = 989 
121b + 101 a = 989 
7 5 
Luego:a=5 yb=4 
Por tanto a+b=39 
Respuesta: 9 
5. Un número comprendido entre 100 y 300, es tal que leido al revés excede en 50 al doble del 
número que le sigue al original. ¿Cuál es la suma de las cifras del número original? 
Resolución 
Sea el número: abc 
Como 100 < abe < 300, entonces a=10a=2 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 59 
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Además: cba — 2(abe +1) = 50 > cha — 2(abc) = E 
—= dnd 
Entonces cba es par >«a =2 
Reemplazando: 
cb2 — 2(2bc + 1) = 50 
Descomponiendo polinómicamente: 
100c + 10b + 2 — 2(200 + 10b 4 ce +1) =50 
98c — 10b = 450 
Simplificando: 49c — 5b = 225 
49c = 5(b + 45) 
Igualando: c=5yb+45=49=b=4 
Por tanto: a + b+c=11 
Respuesta: 11 
6. Halle el valor de “n", si los números 24, , 27. y 32, forman una progresión aritmética. 
Resolución 
“n” es la base del sistema de numeración, 
P.A.: 24 , 27 -32n 
Luego: 277 — 244 = 324 — 27m 
20274) = 24 + 32 
Descomposición polinómica: 
2(2n+ 7) =2n+4+3n+2 
Resolviendo la ecuación: n = 8 
Respuesta: 8 
7. Escriba el menor número en base 9, formado por todas las cifras impares de dicho sistema, 
en base 10. 
Resolución 
El menor número en base 9 formadopor cifras impares diferentes es: 13579 
Ahora 13577 =1x9% +3x9%+5x9+7 
Luego; 13577 = 1024 = 21 
Respuesta: 1024 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 60 
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8. Escribir; 121, +12, en base (n + 1) 
Resolución 
Descomposición polinómica: 
121, +12, =n2+2n+1+n+1=n*+3n+3 
Divisiones sucesivas para la base (n + 1) 
M +3n+3 [n+1 
in n+2| n+1 
Por tanto: 121,5 + 12, = 111 (m+1) 
 
 
Respuesta: 111 (.,1) 
9. Si1564, = 1172(n4+1). ¿cuál es el valor de “n”? 
Resolución 
Como: 1564, = 1172 (m41) 
Descomposición polinómica: 
ni + 5n?*+6n+4= (n+ 1 +(n+1)+7(n+1)+2 
a +5n?+6n+4=(n34+3n?2+3n+ 0D) +(n2+2n+ 0) +(7n4+7)+2 
Simplificando: 
n?—-6n=7 
Factorizando: n(n—6) =7(1) 
Por comparación: n = 7 
Respuesta: 7 
10. Halle (a +b), si abas = (2) (5) (a). 
Resolución 
abas = (2)(¿)(0) 
'Descomposición polinómica: 
250 +50 +a=100(2)+10(,)+a 
25a + 5b = 55b 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 61 
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Simplificando: 
a=2b 
11. 
12. 
Para aba; se tiene que: a<5 y b<5 
Y por 2) (2) (a), “b” debe ser par 
Luego: a =4 y b=2 
Portanto:a+b=6 
Respuesta: 6 
Halle el valor de n, si ad... 447 tiene “n” cifras y 44d... 447 = 4095. 
Resolución 
Se tiene que: 4dd... dd, = 4095 
Como a+0 y a€f0, 1), entonces a = 1 
 
Descomposición polinómica: 
391437241, 4241=4095 
2n—1 
1 = 4095 
2" = 4096 = 21? 
Por tanto: n = 12 
Respuesta: 12 
¿Cómo se expresa en el sistema de base (n + 2) el número 148,,? 
Resolución 
Primero se convierte 148, a base 10 
148, =n?*+4n+8 
Ahora por divisiones sucesivas: n?+4n +8 a base (n +2) 
 
Por tanto: 148, = 104142) 
Respuesta: 104(n+2) 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 62 
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13. 
14, 
15. 
 
Halle “n”, si n(n— 1), = (n — 3)(n — 2)(n— 1), . 
Resolución 
nin — 1)78 = (n — 3)(n— 2) Dn 
Descomposición polinómica 
78-n+(n—-1)=(n-3)-1?+(n-2):n+(n-1) 
Simplificando 
78=n*-3n+n-=2 
80 = n? — 2n 
10 -8 = n(n-—2) 
Por comparación: n =10 
Respuesta: 10 
 
Halle la suma de las cifras del numeral que se obtiene al convertir (1245 +3457) ala 
base en que tenga la mayor cantidad de cifras. 
Resolución 
Descomposición polinómica: 
1245 + 345) =(1-5%7+2:54+40+(3:77+4:7+4+5) =219 
La base en la que 219 tiene la mayor cantidad de cifras es la base 2. 
Expresando 219 en base 2: 
219 = 11011011, 
Por tanto la suma de cifras es: 6 
Respuesta: 6 
El número anitalavalatina,, es el menor capicúa posible. Sabiendo que a letras diferentes 
les corresponde cifras diferentes; entonces, el número islag en base 10 es: 
Resolución 
Como el capicúa anitalavalatina,, es el menor posible, debe cumplirse que: 
a=1, n=0, i=2, t=3 
I=4, v=5, m=6 
Luego: 
islag = 25414 
Como a letras diferentes les corresponde cifras diferentes, solo puede suceder que s = 7 
-Portanto: 25414 =2741¿=2:8+2:87+4:8+1 
Es decir: islag = 1505 
Respuesta: 1505 
 
Unidad 2 = Sistemas de Numeración 63 
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16. Un número de tres cifras significativas en base 10 al ser convertido a base 7 se escribe 
17, 
también con 3 cifras, pero cada una de ellas es el doble de la cifra que le corresponde en el 
número escrito en base 10, ¿Cuál es la suma de las cifras del número original? 
Resolución 
Sea abc el múmero en base 10 
De los datos: 
abc = LARA, A 
Como Za, 2b y 2c, son cifras menores que 7, entonces a,b,c < 3 
En (1), descomposición polinómica 
2a: 77 +2b+7+2c = 1004 + 10b+e 
9%8a + 14b + 2c = 1000 + 10b +c 
4b+c=2a (2) 
par par 
Como e también debe ser par y es una cifra diferente de cero, entonces: € = 2 
En (2): 4b+4+2=2a 
Reemplazando en (2): 4b+2=2a 
Simplificando: 2 b +1=a 
1 3 
Portantoa+b+c= 6 
Respuesta: 6 
 
Halle el valor de a + b + m, si se cumple que: 122(a — b)(a — b)sp = 3labba(6m)4m2s. 
Resolución 
122(a — b)(a — b)5pg = 3labba(6m)4m2; 
 
Como (6m) es una cifra en base 5, entonces m = 0 
Luego, 122(a — bJ(a — b)sp a base 25 
122(a — bJ(a — bsp = 501 + 2-507 + 2-50? + (a —b):50+ (a-—b) 
=21-2514+2-29-2574+ 2-2? -25? 4 2-25(a - b)+ (a - b) 
 
Luego: 122(a — b)(a — b)so = (16)(16)8(2 : (a — b))(a — b)as 
 
Y (16)(16)8(2 - (a — b))(a — b)z5 = 3labba(6m)4m2; 
Ahora pasamos de base 5? a base 5, y comparando tenemos: 
a-b=02%=2 >» a=b=2 
2 (a-b)=04=4 > a-b=2 
 _B=ba¿=5b+a = b=1ya=3 
l6=ab¿=5a+b >= a=3yb=1 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 64 
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13. 
19. 
Finalmente: a-h+m=3 
Respuesta: 3 
Halle el valor de a? — 4a +7, si aaa = 21604. 
Resolución 
aaa = 21604 
Descomposición polinómica 
1004 + 100+a=2-0*+1-a*4+ 64 
111a = 2a?* + a? +64 
Simplificando: 
2a24+a=105 
a:(2a+D=7:Q:74+1D 
Por comparación: a = 7 
Por tanto: a? — 4a +7 =49-284+7=28 
Respuesta; 28 
El número 454545.... tiene 71 cifras y está representado en base 9. Al convertirlo a la 
base 3, ¿cuántos unos se emplean? 
Resolución 
Se convierte 454545 .,..4 abase 3, 
o 
71 cifras 
Como 9= 3?, se convierte cada cifra de 454545 ....4 abase3. 
XA AX5PXPXA MAA 6] 
71 cifras 
Asi: 4=11, y 5=12, 
A, a, pa, 
Luego: 454545... . 4 =111211121112 ... 111211 
71 cifras 271=142 curas 
 3 
Se puede observar que el número en base (3) está formado por 7 = 35 grupos de 4 cifras 
1112 (hay 3 cifras 1), más el último grupo de 2 cifras 11 (hay dos 1) 
Luego la cantidad de cifras 1 empleadas es: 3-354+2= 107 
Respuesta: 107 
 
Unidad 2 = Sistemas de Numeración 65 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. El menor número capicúa de tres cifras del sistema de base 5, convertido a base 7 es: 
A) 357 
B) 34, 
C) 33, 
D) 31, 
E) 22, 
2. ¡Cuál de los siguientes numerales representa al menor número? 
L 67 
IL 123, 
II. 10001, 
IV. 1112; 
V. 55% 
A) H 
B) mn 
G) 1 
D) V 
E) IV 
3. ¿Cómo se expresa el siguiente mumeral (a — 4)a(a — 2), en el sistema decimal? 
A) 69 
B) 201 
C) 78 
D) 42 
E) 76 
 
4. ¿Cuántos valores toma cba ,si abc = (a + 1)(b + 1)Mc +1), ? 
A) 4 
B) 5 
C) 6 
D) 7 
E) 8 
5. Escriba en base 8 la suma: 292 4 21? + 2? y halle la suma de sus cifras. 
Am 6 
B) 7 
O 8 
D) 9 
E) 10 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 66 
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6. Halle el valor de a + b4+c+d, sabiendo que 17668 = 4% +4? 44% 4 4%, 
A) 15 
B) 13 
C) 18 
D) 14 
E) 17 
7. ¿Cuántos números de 4 cifras en el sistema de base 6 menores que 3334, se escribirán 
también con 4 cifras en el sistema de base 8? 
A) 272 
B) 254 
C) 276 
D) 266 
E) 224 
8. Si N=16:13%+20:13%*+ 31:13? +6-:13+39, ¿cuál será la suma de las cifras del 
número al expresarlo en base 137 
A) 32 
B) 29 
C) 28 
D) 36 
E) 24 
9. Sabiendo que el numeral abc del sistema en base 7, se escribe como cab en el sistema de 
base 9, el número en el sistema decimal es: 
A) 503 
B) 305 
C) 350 
D) 530 
E) 248 
10. Si el numeral 4a53, se escribe en base 8 como 2b44, el valor de a+ b+n es: 
A) 15 
B) 12 
0) 16 
DY A7 
1 EJ" LS 
 
Unidad 2 - Sistemas de Numeración 67 
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