Probabilidad combinatoria y distribución de probabilidadBUEN CURSO TE ENSEÑA MUCHAS COSAS INNOVADORAS

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PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y 
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
 
DANIEL HERRERA ARÁUZ
 200 PROBLEMAS RESUELTOS. 
 200 PROBLEMAS PROPUESTOS. 
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 “Es en verdad tan notable que una ciencia que se inició 
con las consideraciones del juego, se hubiese elevado 
 a los objetos más importantes de la sabiduría humana”. 
Pierre Simon Laplace
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PREFACIO 
 
La presente publicación es el resultado de varios años en que el autor ha desarrollado la cátedra de 
Estadística en las carreras de Administración y Contabilidad y Auditoría en la Facultad de Ciencias 
Administrativas de la Universidad Central del Ecuador, como también a nivel de estudios de 
posgrado en diversas universidades e instituciones de estudios superiores del país. 
 
La probabilidad es la cuantificación de la ocurrencia de un evento de carácter aleatorio; la mayoría 
de eventos que se presentan en el desarrollo de las actividades del ser humano son aleatorios, es 
decir, no existe la certeza de lo que va a ocurrir, sin embargo se conocen todos los resultados 
posibles que podrían ocurrir. 
 
La teoría del cálculo de probabilidades nació como una estrategia para ganar los juegos de azar, en el 
siglo XVI, dos matemáticos de renombre: Laplace y Pascal desarrollaron una serie de estrategias 
para ganar los juegos de azar, a pesar de que no obtuvieron el resultado esperado, sin embargo, se 
estableció un marco teórico muy importante para el análisis y la estimación de la ocurrencia de 
eventos de carácter aleatorio. 
 
Este trabajo académico está dividido en tres secciones: en la primera sección, en 10 capítulos, se 
presenta el marco teórico de la definición clásica de probabilidad y la expresión de la probabilidad en 
una distribución de frecuencias, la probabilidad de eventos combinados y de eventos condicionales, 
junto con tablas y árboles de probabilidad; dispone además de un capítulo sobre combinatoria, el 
marco teórico de las distribuciones de probabilidad junto con la distribución binomial y la 
distribución normal; cada uno de estos temas viene conjuntamente con una diversa variedad de 
ejercicios y problemas de aplicación resueltos, junto con una cantidad similar de ejercicios y 
problemas propuestos a ser resueltos por el estudiante. 
 
La segunda parte del texto contiene una descripción detallada de los diferentes elementos 
informáticos que han sido utilizados para el cálculo numérico en la resolución de los problemas 
presentados en este libro, particularmente se mencionan las funciones electrónicas y herramientas 
de la hoja de cálculo Excel, el programa SPSS, como también el uso de graficadores para el trazado 
de la curva normal. 
 
La tercera parte del libro (publicación por separado), el solucionario, tiene en su contenido la 
resolución detallada e íntegra de los problemas propuestos en la primera parte; el estudio y revisión 
de estos ejercicios permitirá al docente y al estudiante disponer de un modelo y de una metodología 
didáctica para la preparación académica de estos temas. 
 
Tanto los problemas resueltos como los problemas propuestos, han sido tomados de diversos textos 
impresos de Estadística y de Probabilidad, como también de infinidad de artículos sobre el tema que 
se encuentran en la red de internet; los cuales han sido incluidos en la bibliografía correspondiente. 
 
Algunos problemas han sido adaptados a nuestra realidad, sobre todo lo relacionado con la moneda, 
las unidades de medida, los lugares geográficos, etc.; manteniendo la parte fundamental del 
problema, para su posterior aplicación del marco teórico en su resolución. 
 
El autor anticipa su agradecimiento a docentes y estudiantes que hagan uso de este material, 
solicitando además remitir sus comentarios y sugerencias para futuras ediciones 
a danielherrera_1960@hortmail.com 
 
Daniel Herrera Aráuz 
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BREVE HISTORIA DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1
 
Los orígenes de las matemáticas de la probabilidad se remontan al siglo XVI. Las primeras 
aplicaciones se relacionaban básicamente con los juegos de azar. Los jugadores gananciosos 
utilizaron el conocimiento de la teoría de la probabilidad para desarrollar estrategias de apuesta, 
incluso actualmente son muchas las aplicaciones que comprenden juegos de azar, como en diversas 
loterías, casinos, en las carreras de caballos y en los deportes organizados. 
 
PIERRE DE FERMAT Y BLAISE PASCAL 
 
El cálculo de probabilidades inicia con los planteamientos realizados por Pierre de Fermat, ilustre 
abogado francés que nace en Beaumount de Lamagne en el sur de Francia en el año de 1601, no fue 
un profesional de la matemática, más bien fue un aficionado a las mismas. Se lo considera como 
Príncipe de los Aficionados de la matemática. 
 
En el estudio de la probabilidad, Fermat deja su huella a raíz de un problema de juegos de azar 
presentado por su colega Blaise Pascal, Matemático y científico francés que nace en 1623, fue un 
joven estudioso además de ser algo así como un prodigio en matemáticas. A los doce años había 
demostrado las 32 proposiciones de Euclides. Al sostener correspondencia epistolar con Fermat, en lo 
referente al problema planteado por fundamenta las bases de la el Caballero de Meré, Pascal 
teoría de las probabilidades. 
 
Los problemas planteados por el caballero de Meré son los siguientes: 
 
El Problema de los dados 
 
El caballero de Meré plantea que es paradójico que en el juego de lanzar un dado cuatro veces 
consecutivas, la probabilidad de que aparezca un 6 sea mayor que la del caso contrario, mientras 
que; la probabilidad de que aparezca un doble seis cuando dos dados sean lanzados 24 veces era 
menor que la del caso contrario. 
 
 El problema de las partidas 
 
De Meré plantea acerca de cómo repartir una apuesta entre dos jugadores de igual habilidad, si se 
suspende la partida antes de finalizar y conociendo el número de puntos que cada jugador ha 
conquistado hasta el momento de suspenderse el juego. 
 
Pascal le plantea a Fermat estos problemas en una carta donde le comenta: “El Caballero de Meré es 
muy inteligente, pero desgraciadamente no es matemático y esto, como usted sabe; es un defecto 
muy grave”. 
 
Para solucionar este problema Pascal hizo uso del triángulo aritmético el cual desde entonces ha 
llevado su nombre. Aunque él no lo descubrió, si descubrió algunas propiedades importantes de dicho 
triángulo, como consecuencia de este trabajo de Coeficientes binomiales, el cálculo combinatorio 
tiene su carta de presentación en el mundo matemático. Además con la aparición del cálculo 
combinatorio se hizo necesario replantear las doctrinas filosóficas, en especial las del método 
cartesiano, ahora estas deberían explorar y figurar todos los caminos posibles a partir de los datos 
iniciales. 
 
1
 Con la colaboración académica de Nelson Herrera Aráuz 
 
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No existen datos históricos de la solución al segundo problema planteado por el caballero De Meré, 
sin embargo: 
 
 “Para ver con qué facilidad pueden surgir los malos entendidos vamos a estudiar el segundo 
problema planteado: Supongamos que dos jugadores A y B participen en una apuesta de $ 60 
convienen en que el primero haga tres puntos ganará toda la apuesta, pero cuando A ha ganado 2 
puntos y B ha ganado 1, de mutuo acuerdo deciden dejar el juego. ¿Cómo tendrían querepartirse las 
apuestas de $ 60? 
 
A primera vista este problema parece muy sencillo. Se puede decir que puesto que A tiene el doble de 
puntos de B, a A le debe corresponder doble número de dólares que a B, es decir que A debería 
llevarse $40 y B $ 20. Pero supongamos que se jugaran el otro punto el que de mutuo acuerdo no se 
ha jugado. Si lo ganara A todos los $60 le pertenecerían; si perdiera quedarían empatados a 2, y 
habrían de repartirse los $ 60 por igual. Es decir que A está segura de ganar, en cualquier caso $ 30, y 
suponiendo que tenga iguales oportunidades de ganar el punto siguiente, de los otros $30 se le debía 
dar la mitad. Dicho de otro modo que a A le deberían corresponder $45 y a B $ 15. 
 
No es difícil ver que la segunda solución es la correcta si A y B se han de atener a su convenio original, 
pero si al principio del juego se hubieran puesto de acuerdo para dividir la apuesta 
proporcionalmente a los puntos que tuvieran al dejar el juego, la solución correcta sería desde luego 
la primera". 
 
Al parecer Pascal no pudo reprimirse ante un leve reproche de De Meré, no porque este fuese un 
jugador, sino por una razón más seria: De meré no era matemático y así escribió a Fermat: 
 
 “Car, il a trés bon esprit, mais il n´est pas geométre; c´est comme vous savez un grand défault¨. 
 
En realidad el caballero merecía algo peor puesto que la respuesta a su pregunta, que evidentemente 
estorbó a sus negocios; le impulsó a escribir una diatriba sobre la inutilidad de todas las ciencias, en 
particular la aritmética. Y esa fue la suerte de la primera asociación de cerebros. 
 
JACOBO BERNOULLI 
 
Jacobo Bernoulli nació en Basilea en el año de 1654; miembro de una brillante familia originaria de 
Amberes, ocupa un importante puesto protagónico en el desarrollo de la matemática y la ciencia, fue 
uno de los primeros en comprender la importancia del cálculo diferencial, publicado por Leibniz, 
murió en 1705. 
 
En el campo de las probabilidades Jacobo Bernoulli escribió su mejor obra “Ars Conjectandi” (Cálculo 
de Probabilidad) publicada en 1713, ocho años después de su muerte. 
 
En esta obra el cálculo de probabilidades adquiere autonomía científica. La obra consta de cuatro 
volúmenes: en el primero reproduce con valiosos comentarios la obra de Huygens sobre probabilidad. 
El segundo incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones, junto con la demostración 
de los teoremas binomial y multinomial. En este trabajo aparecen los números de Bernoulli (ejemplo: 
1/6, -1/30, 1/42.......................) el tercer volumen comprende muchos problemas de probabilidad 
especialmente los de juegos de azar y en el cuarto volumen prueba con todo rigor el “teorema de 
Bernoulli” o “Ley de los grandes números”, el cual establece que en el infinito, la probabilidad y la 
frecuencia relativos a un suceso asociado en un experimento, se unen o sea son iguales. 
 
 
 
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PIERRE SIMÓN LAPLACE 
 
El cálculo de probabilidades tuvo en Pierre Simón Laplace (1749 1817) a uno de sus principales -
propulsores con su obra: Theorie Analytic des probabilities, publicada en 1812. En esta obra, Laplace 
hace uso del análisis infinitesimal, introduce el método de los mínimos cuadrados, y se estudian 
todas las contribuciones probabilísticas de matemáticos anteriores. Además entre 1812 y 1820 
escribe algunos Ensayos Filosóficos sobre probabilidades en las que expone la teoría sin fórmulas 
matemáticas escritas. 
 
Pierre Simón Laplace fue profesor de Napoleón Bonaparte, y acompañó al emperador en la 
expedición a Egipto, cuando el Genial Corso prácticamente llevó una Universidad, mezclándose con 
los oficiales de marina, astrónomos botánicos, químicos, y por cierto matemáticos, entre ellos Monge 
y Laplace. 
 
Fue tan importante el aporte de Laplace en el desarrollo del cálculo de probabilidades que su obra 
hizo época, pues en su teoría analítica de la probabilidad llevó al cálculo a un punto tal que Clerk 
Maxwell pudo decir que es “matemática para hombres prácticos” , mientras que Jevons anunciaba 
en forma completamente lírica que las matemáticas de la probabilidad son “la verdadera guía de la 
vida y difícilmente puede dar un paso o adoptar una decisión sin hacer correcta o incorrectamente, 
un cálculo de probabilidad”. 
 
Las dos opiniones anteriormente citadas fueron emitidas aún antes de que el cálculo de 
probabilidades hubiese alcanzado sus más brillantes éxitos en física y en genética o en esferas más 
prácticas. 
 
CARLEE FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) 
 
El llamado Príncipe de las Matemáticas, Carlee Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick 
(Alemania) en donde realizó sus primeros estudios, desde muy niño dio muestras de grandes dotes 
para las matemáticas y se destacaron sus estudios sobre geometría diferencial, álgebra, la teoría de 
los números y la probabilidad, como también en trabajos sobre el magnetismo, construyo junto con 
Weber un telégrafo, no muy práctico, pero que se anticipó al del norteamericano Henry. En la 
astronomía es célebre su trabajo sobre los "Mínimos Cuadrados", que lo aplicó a las investigaciones 
sobre la famosa ecuación Bode ; más tarde esta teoría de "Mínimos Cuadrados" será la base -Titius
teórica fundamental en la elaboración de modelos de regresión. 
 
Las contribuciones de Gauss a la teoría de probabilidades se centran en los siguientes aspectos: 
 
 La distribución Normal. 
 El método de los mínimos cuadrados. 
 La ley de distribución de los errores de observación. 
 
COROLARIO 
 
Los juegos de azar, generaron grandes fortunas en la industria del entretenimiento, el ocio y el 
turismo, Las Vegas en Estados Unidos y Montecarlo en Mónaco son en la actualidad los templos 
mundiales del juego. 
 
La literatura, y sobre todo el cine, es rico en anécdotas, dramas, etc. cuyos argumentos giran 
alrededor de fabulosas apuestas, Julio Verne, escritor francés nos relata en la mejor novela de la 
geografía universal la gran apuesta entre Phileas Fogg y el club "Reform" de Londres en la fantástica 
aventura de la Vuelta al mundo en 80 días. 
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RESUMEN: 
 
Contiene la teoría de Probabilidad, la teoría 
de Combinatoria y de las Distribuciones de 
Probabilidad para variable discreta y 
variable continua, además 200 problemas 
resueltos y 200 problemas propuestos con 
su respectiva respuesta. 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y 
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
PRIMERA SECCION 
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 PROBABILIDAD, COMBINATORIAY DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
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PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCI DE PROBABILIDAD ÓN
 
1. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA ........ 3 
1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO ...................................................................................................... 3 
1.2. EVENTO ALEATORIO ................................................................................................................ 3 
1.3. ESPACIO MUESTRAL ................................................................................................................ 3 
1.4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO ............................................................................................... 3 
1.5. MANERAS DE EXPRESAR LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO .................................................. 4 
1.6. PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA ............................................................ 4 
1.7. PROBLEMAS RESUELTOS ......................................................................................................... 6 
1.8. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 14 
2. EVENTOS COMBINADOS ............................................................................................................... 18 
2.1. RELACIÓN ENTRE EVENT OS................................................................................................... 18 
2.2. COMBINACIÓN DE EVENT OS ................................................................................................. 18 
2.3. PROBABILIDAD DE EVENTOS COMBINADOS ......................................................................... 18 
2.4. RECOMENDACIONES METODOLÓGIC AS ............................................................................... 18 
2.5. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 19 
3. PROBABILIDAD CONDICIONAL ..................................................................................................... 37 
3.1. DEFINICIÓN ............................................................................................................................ 37 
3.2. ALGEBRA DE EVENTOS CONDICIONALES ............................................................................... 37 
3.3. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS ............................................................................... 37 
3.4. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 38 
3.5. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 49 
4. TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDAD .......................................................... 52 
4.1. TABLAS DE CONTINGENC IA ................................................................................................... 52 
4.2. TABLA DE PROBABILIDAD ...................................................................................................... 52 
4.3. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 53 
4.4. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 64 
5. ÁRBOL DE PROBABILIDAD Y FÓRMULA DE BAYES....................................................................... 69 
5.1. ÁRBOL DE PROBABILIDAD ..................................................................................................... 69 
5.2. FÓRMULA DE BAYES .............................................................................................................. 69 
5.3. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS ............................................................................... 70 
5.4. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 71 
5.5. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 89 
6. ANÁLISIS COMBINATORIO Y APLICACIONES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES .................. 92
6.1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 92 
6.2. LA NOTACIÓN FACTORIAL ..................................................................................................... 92 
6.3. PROPIEDADES DEL FACTORIAL .............................................................................................. 92 
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 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
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6.4. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO .................................................. 92
6.5. VARIACIONES ......................................................................................................................... 92 
6.6. PERMUTACIONES .................................................................................................................. 93 
6.7. PERMUTACIONES REPETIDAS ................................................................................................ 93 
6.8. PERMUTACIONES CIRCULARES .............................................................................................. 93 
6.9. COMBINACIONES................................................................................................................... 93 
6.10. PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................... 95 
6.11. PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................. 112 
7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 118 .............................................................................................
7.1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA ...................................................................... 119 
7.2. PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 120 
7.3. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................. 136 
8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOUILLI ............................................................................. 141 
8.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 141 
8.2. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .................................................................. 141 
8.3. PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 142 
8.4. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................. 154 
9. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES PARA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA 158 .......................
9.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL ...................................................................................................... 158 
9.2. PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL ................................................................................ 158 
9.3. PROBABILIDAD CON LA CURVA NORMAL 159 ...........................................................................
9.4. PROCESO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN NORM 159 AL ...................
9.5. PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 160 
9.6. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................. 187 
10. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL................... 190 
10.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 190 
10.2. OBLEMAS RESUELTOS PR ................................................................................................. 191 
10.3. PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................. 200 
 
 
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 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
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1. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA 
 
1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO 
 
Se dice que un experimento es aleatorio, cuando no se conoce con certeza el resultado de dicho 
experimento; sin embargo se conocen todos los resultados posibles de dicho experimento. 
 
Como ejemplos de experimentos aleatorios podemos citar los siguientes: 
 
1. Lanzar al aire una moneda. 
2. Extraer una carta de un mazo de naipes. 
3. Lanzar un dado. 
 
A pesar que estos ejemplos giran en torno a los juegos de azar, esto sirvió como material de trabajo 
para la elaboración de un marco teórico matemático muy importante como es el cálculo de 
probabilidades; dentro de la administración podemos citar los siguientes ejemplos como 
experimentos aleatorios: 
 
1. El volumen de ventas de un almacén para el año próximo. 
2. La aceptación del consumidor de un nuevo producto. 
3. La tasa de interés para el siguiente semestre. 
 
1.2. EVENTO ALEATORIO 
 
Se denomina Evento al resultado de un experimento aleatorio. Obtener cara al lanzar la moneda, 
obtener un número par al lanzar un dado, obtener un seis de diamantes el momento de extraer una 
carta del mazo de naipes, son algunos eventos de los ejemplos que ilustran la definición anterior. 
 
1.3. ESPACIO MUESTRAL 
 
Se denomina Espacio Muestral al conjunto formado por todos los eventos de un experimento 
aleatorio; como ejemplos de Espacio Muestral se pueden indicar los siguientes: 
 
 Si el Experimento aleatorio es lanzar una moneda al aire, el Espacio Muestral sería: 
 
 { } 
 
 Si el Experimento Aleatorio es lanzar un dado, el Espacio Muestral sería: 
 
 { } 
 
 Si el Experimento Aleatorio es calificar la calidad de un artículo fabricado, el Espacio Muestral es: 
 
 { } 
 
1.4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO 
 
La probabilidad de un evento aleatorio es la cuantificación de la ocurrencia de dicho evento, es 
decir, si podemos expresar mediante un número la ocurrencia de un suceso de carácter aleatorio, 
entonces hemos encontrado la probabilidad de ocurrencia de dicho evento. 
 
 
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