ESTRUCTURA COMBINATORIA DE UNA RED, LEYES DE KIRCHHOFF Y ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES DE UNA RED

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Apuntes de circuitos de CA y CD Elementos básicos en circuitos eléctricos 
 
Profesor Pantle Abris Adrián 
 
1 
 
 
 
3.1 ESTRUCTURA COMBINATORIA DE UNA RED 
 
 
En algunos circuitos es fácil determinar el voltaje y corriente de los elementos utilizando 
solo la ley de Ohm, sin embargo, algunos circuitos son complicados y hay ciertas 
restricciones para poder resolverlos. Las restricciones antes mencionadas son resueltas 
con las leyes llamadas leyes de Kirchhoff, por eso decimos que éstas rigen el 
comportamiento de las redes eléctricas y son herramientas básicas para el análisis de 
circuitos por complejos que estos sean. 
 
 
Además de las leyes antes mencionadas se requiere conocer: 
 
 
El nodo base es una terminal común para todas las posibles mediciones. 
 
 
Una componente es una parte de la red, pero la conexión a la red es por medio del campo 
magnético. En una red pueden existir una o más componentes. 
 
Para cada componente existe un nodo base. Esto puede observarse en la siguiente figura. 
 
 
..
.
fvk
i
fvk
v
. fvk
v
componente 1
componente 2
.
nodo base 01
.
nodo base 02
 
CC AA PP ÍÍ TT UU LL OO 33 
 
 
ESTRUCTURA COMBINATORIA DE UNA RED, LEYES DE 
KIRCHHOFF Y ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES 
DE UNA RED 
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Y la grafica resultante de la red será: 
 
 
01 02 
 
 
 
Para calcular el número de nodos independientes de esta red utilizamos la siguiente 
expresión 
 
NnI Nn Nc= − 
en la cual 
 
Nn número de nodos 
Nc Número de componentes o partes separadas de la red 
 
 
Malla. Es una trayectoria cerrada 
 
A cada malla se le asigna un sentido al momento de recorrerla. Este sentido es arbitrario, 
pudiendo ser en sentido de las manecillas del reloj o contrario a este. 
Para calcular el número de mallas independientes se utiliza la siguiente expresión 
 
NmI Ne NnI= − 
 
Lo anterior es con la finalidad de definir la estructura de la red indicando nodos y mallas 
para poder aplicar las leyes de kirchhoff 
 
 
3.2 LEY DE KIRCHHOFF DE CORRIENTES PARA UNA RED (LKI) 
 
 
La suma algebraica de las corrientes que inciden y salen en un nodo es igual a cero en 
todo momento. 
 
( )
1
, 0
Ne
k
K
k n i
=
=∑ Se aplica para 1, 2,.....,n NnI= 
 
Donde: 
 
 ki es corriente en el k-ésimo elemento 
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Ne número de elementos 
 NnI número de nodos independientes 
( ),k n número de incidencia que relaciona el elemento k con el nodo n. Este número de 
incidencia puede ser: 
 
( )1. , 1k n− = + positivo si la dirección de la corriente sale del nodo n 
n
k
 
 
( )2. , 1k n− = − negativo si la dirección de la corriente entra al nodo n 
n
k
 
 
( )3. , 0k n− = cero si la corriente no entra ni sale del nodo n 
m
k
 
 
 
 
 
3.3 LEY DE KIRCHHOFF DE CAÍDA DE VOLTAJE EN UNA 
TRAYECTORIA CERRADA 
 
 
La suma algebraica de las caídas y subidas de voltaje a través de todos los elementos que 
forman una malla es igual a cero en todo momento. 
 
 
Matemáticamente se tiene 
 
( )
1
, 0
Ne
k
k
k m v
=
=∑ Se aplica para 1,2,.....,m NmI= 
 
Donde: 
 
 kv voltaje del k-ésimo elemento 
Ne número de elementos en la red 
 NmI número de mallas independientes 
( ),k m número de incidencia que relaciona al elemento k con la malla, puede ser: 
 
 
( )1. , 1k m− = + Si el elemento k forma parte de la malla m y el sentido propuesto del 
elemento corresponde al sentido en que se recorre la malla 
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k
m
 
 
 
( )2. , 1k m− = − Si el elemento k forma parte de la malla m y el sentido propuesto del 
elemento es contrario al sentido en que se recorre la malla. 
 
k
m
 
 
( )3. , 0k m− = Cuando al recorrer la malla m no se encuentra el elemento k. 
k
n
l
m
 
 
 
Ejemplo 
 
 
Obtener las ecuaciones correspondientes a las leyes de Kirchhoff en la siguiente red. 
 
 
fvk
v
fck
i
fvk
v
 
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Solución 
 
Para escribir las leyes de kirchhoff se sugiere el siguiente procedimiento. 
 
 
1. Se agrupan elementos generales tipo serie y se limitan por sus nodos. Recordar que en 
los elementos generales tipo serie no se deben repetir los elementos básicos. 
 
2. Se construye la gráfica de la red 
 
I II III IV
VVI 10 2
0
1 2
3
45
6
7 8 91m 2m 3m
 
 
 
3. Se numera y se propone sentido a cada segmento de la red 
 
4. Se calcula el número de componentes 
 
 9 2Ne Nc= = 
 
5. Determinar el número de nodos independientes 
 
 8 2 6NnI Nn Nc= − = − = (También por observación) 
 
6. Se determina el NmI mediante NmI Ne NnI= − 
 
 9 6 3NmI = − = (También por observación) 
 
7. Se obtienen las ecuaciones de corriente para cada nodo independiente, mediante la 
ecuación. 
 
( )
1
, 0
Ne
K
k
k n i
=
=∑ en la cual n tomará los valores n=I,II,II,...,VI 
 
 
Para n = I 
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6 
 
( )
9
1
, 0k
k
k I i
=
=∑ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0I i I i I i I i I i I i I i I i I i+ + + + + + + + = 
 
( )1 2 3 4 5 6 7 8 90 0 0 0 1 0 0 0 0i i i i i i i i i+ + + + + + − + + + = 
 
1 6 0i i− = 
 
 
para n = II 
 
( )
9
1
, 0k
k
k II i
=
=∑ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0II i II i II i II i II i II i II i II i II i+ + + + + + + + =
 
 
( )1 2 3 4 5 6 7 8 90 0 0 0 1 0 0 0i i i i i i i i i− − + + + + + + + + = 
 
1 2 7 0i i i− − + = 
 
por observación (si la corriente entra al nodo es negativa, si sale del nodo es positiva) 
 
n = III 
2 3 0i i+ = 
 
n = IV 
8 9 0i i− − = 
 
n = V 
3 4 0i i− − = 
 
n = VI 
5 6 0i i+ = 
 
 
8. Se propone sentido a cada malla y se obtienen las ecuaciones de caída de voltaje 
para cada malla independiente mediante la ecuación: 
 
( )
1
, 0
Ne
k
k
k m v
=
=∑ 
 
Para m = 1 
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 91,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9,1 0v v v v v v v v v+ + + + + + + + = 
 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 0 0 1 1 1 0 0 0v v v v v v v v v+ + + + − + + + + + = 
1 5 6 7 0v v v v− + + = 
 
Por observación (si el elemento tiene la misma dirección que la malla el número de 
incidencia es positivo, sí es de sentido contrario es negativo) 
 
2m = 2 3 4 7 0v v v v− + + = 
 
3m = 8 9 0v v− = 
 
 
 
 
Ejemplo 
 
Obtener las ecuaciones correspondientes a las leyes de Kirchhoff en la siguiente red. 
 
1
5
6
3
4
2
 
 
 
 
Solución: 
 
Agrupando los elementos y orientando los elementos por segmentos, tenemos la red 
resultante 
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I II III
IV 10 2
0
1
2
3
5
6
7
1
m
2
m 4
 
 
 
Por observación de la red, las ecuaciones de corrientes son 
 
n = I 
1 6 0i i− = 
 
n = II 
1 2 3 0i i i− − + = 
n = III 
4 0i− = 
n = IVI 
5 6 0i i+ = 
 
y las ecuaciones de caída de tensión 
 
1m = 1 2 5 6 0v v v v− − + = 
 
2m = 2 3 0v v+ = 
 
	C A P Í T U L O 3
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