Mec_nica_Cu_ntica_II___Trabajos_Pr_cticos (1)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
AGRIMENSURA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - ESCUELA DE CIENCIAS
EXACTAS Y NATURALES
Trabajo Práctico VI
MECÁNICA CUÁNTICA I I
Julián Gelabert
3
Problemas
1. Desarrollar el método variacional siguiendo las ideas del comple-
mento E del capítulo 11 del Cohen Tannoudji.
2. Aplicar el método variacional para el caso del oscilador armóni-
co cuyo hamiltoniano es
H = − h̄
2
2m
d2
dx2
+
1
2
mω2x2
utilizando las siguientes funciones de prueba
a) ψα(x) = e−αx
2
α > 0
b) ψa(x) =
1
x2 + a
a > 0
4 trabajo práctico vi
Problema 1
Considerese un sistema físico cuyo hamiltoniano H es indepen-
diente del tiempo:1 1 Por simplicidad se asume que el
espectro de H es discreto y no degene-
rado.H |φn〉 = En |φn〉 n = 0, 1, 2, . . . (1)
A pesar de que H sea conocido, no es necesariamente esto cierto
a su vez para sus autovalores En y sus autoestados |φn〉. El méto-
do variacional es un método general de aproximación, así como lo
es la teoría de perturbaciones, aplicable a sistemas conservativos,
especialmente útil cuando no se conoce cómo diagonalizar H exac-
tamente.
Una propiedad interesante del estado fundamental del hamil-
toniano de (1) es que, dado un ket arbitrario |ψ〉 del espacio de
estados, el valor medio de H es dicho estado es:
〈H〉 = 〈ψ|H|ψ〉〈ψ|ψ〉 ≥ E0 (2)
(E0 es el menor autovalor de H); la igualdad siendo válida solamen-
te si ψ resulta autovector de H asociado a E0.
Esta propiedad es la base del método variacional: método para
la determinación aproximada de E0. Se toma una familia de kets
|ψ(α)〉 que dependen de un número de parámetros simbolizados
por α. El método consiste en calcular el valor medio de H(α) en
estos estados, y luego se minimiza H(α) respecto a α. El valor míni-
mo obtenido de esta manera constituye la aproximación del estado
fundamental E0 del sistema.2 2 El siguiente desarrollo sigue siendo
válido para los casos donde el espectro
de H sea degenerado o incluya partes
continuas.
De manera más general, considerese el valor medio de H en el
estado |ψ〉:
〈H〉 = 〈ψ|H|ψ〉〈ψ|ψ〉 (3)
como un funcional actuando sobre el vector |ψ〉, y se calcula su
incremento δ〈H〉 cuando |ψ〉 se convierte en |ψ〉+ |δψ〉, donde |δψ〉
se asume infinitesimal. Para ello, se reescribe (3) y se la diferencia:
〈H〉 〈ψ|ψ〉 = 〈ψ|H|ψ〉 ⇒ 〈ψ|ψ〉 δ〈H〉 = 〈ψ|H|δψ〉+ 〈δψ|H|ψ〉 (4)
y, como 〈H〉 no es más que un número,
〈ψ|ψ〉 δ〈H〉 = 〈ψ|[H − 〈H〉]|δψ〉+ 〈δψ|[H − 〈H〉]|ψ〉 (5)
El valor medio de 〈H〉 será estacionario si
δ〈H〉 = 0 (6)
que, según (5), esto significa:
〈ψ|[H − 〈H〉]|δψ〉+ 〈δψ|[H − 〈H〉]|ψ〉 = 0 (7)
Introduciendo la nueva variable
|ϕ〉 ≡ [H − 〈H〉] |ψ〉 (8)
roman pico
Bien
roman pico
Bien
5
relación (5) se escribe de la forma simplificada
〈ϕ|δψ〉+ 〈δψ|ϕ〉 = 0 (9)
Esta relación debe satisfacerse para cualquier ket infinitesimal
|δψ〉, en particular si se toma3 3 δα es un número real infinitesimal.
|δψ〉 = δα |ϕ〉 (10)
(9) se convierte en:
2 〈ϕ|ϕ〉 δα = 0 (11)
La norma de |ϕ〉 debe entonces ser cero, con lo que |ϕ〉 es idéntica-
mente nulo y recordando su definición (8):
H |ψ〉 = 〈H〉 |ψ〉 (12)
Por lo tanto, el valor medio 〈H〉 es estacionario si y sólo si el ket |ψ〉
es en efecto un autoestado de H, y los valores medios 〈H〉 son los
autovalores del hamiltoniano.
�
Problema 2
Supongase que se quiere aplicar el método variacional al caso
particular del hamiltoniano de un oscilador armónico:
H = − h̄
2
2m
d2
dx2
+
1
2
mω2x2 (13)
para hallar el valor de la energía del estado fundamental, E0, ha-
ciendo uso de las siguiente funciones de prueba:4 4 No es casualidad que φα(x) y φa(x)
sean funciones pares: esto responde a
que H es par, por lo que su autoestado
asociado a E0 ha de ser una función
par también.
i) ψα(x) = e−αx
2
, α > 0
ii) ψa(x) =
1
x2 + a
, a > 0
(14)
Tomemos primero la familia ψα(x). El cuadrado de su norma es
〈ψα|ψα〉 =
∫ ∞
−∞
dx e−2αx
2
=
√
π
2α
(15)
y el valor medio de H en el estado ψα es
〈ψα|H|ψα〉 =
∫ ∞
−∞
dx e−αx
2
[
− h̄
2
2m
d2
dx2
+
1
2
mω2x2
]
e−αx
2
=
[αh̄2
2m
+
mω2
8α
] ∫ ∞
−∞
dx e−2αx
2
=
[αh̄2
2m
+
mω2
8α
]√ π
2α
(16)
con lo que resulta
〈H〉(α) = 〈ψα|H|ψα〉〈ψα|ψα〉
=
αh̄2
2m
+
mω2
8α
(17)
roman pico
Bien
6 trabajo práctico vi
La derivada de 〈H〉(α) se anula para el valor
α = α0 =
mω
2h̄
(18)
por lo que el valor aproximado de E0 es
〈H〉(α0) =
h̄ω
2
(19)
resultado que coincide exactamente5 con lo que conocemos el caso 5 De manera general 〈H〉(α0) no
coincide de manera exacta con E0; esto
es consecuencia de la simpleza del este
hamiltoniano de ejemplo.
del oscilador armónico unidimensional.
Ahora se repite el estudio del párrafo anterior pero utilizando
la familia de funciones de prueba ψa(x). La norma al cuadrado de
ψa(x) es
〈ψa|ψa〉 =
∫ ∞
−∞
dx
(x2 + a)2
=
π
2a
√
a
(20)
con lo que
〈H〉(a) = h̄
2
4ma
+
maω2
2
(21)
〈H〉(a) alcanza un mínimo (o bien, su derivada primera se anula)
para el valor
a = a0 =
h̄√
2mω
(22)
y su valor es
〈H〉(a0) =
h̄ω√
2
(23)
Este valor aproximado discrepa con el valor exacto por un fac-
tor
√
2, no como el caso anterior el cual coincidió perfectamente.
Una manera de medir el error cometido es calcular el cociente de
〈H〉(a0)− h̄ω/2 con el cuanto de energía h̄ω:
〈H〉(a0)− 12 h̄ω
h̄ω
=
√
2− 1
2
≈ 20 % (24)
�
roman pico
Excelente
roman pico
Bien
roman pico
Bien