Mec_nica_Cu_ntica_II___Trabajos_Pr_cticos (5)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
AGRIMENSURA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - ESCUELA DE CIENCIAS
EXACTAS Y NATURALES
Trabajo Práctico IX
MECÁNICA CUÁNTICA I I
Julián Gelabert
3
Problemas
’Quantum mechanics’, C.
Cohen-Tannoudji.
Basandose en el capítulo XIII del libro de Cohen-Tannoudji.
Teoría perturbativa dependiente del tiempo.
1. Desarrollar los detalles de los cálculos de la sección B que llevan
a las ecuaciones (B-18) y (B-19). Escribir la ec. (B-1) usando los
coeficientes (B-18) y (B-19).
2. Calcular la probabilidad de transición para la perturbación dada
por la ec. (C-1b). Graficar en función a las variables adimensiona-
les y para 0.1, 0.5, 0.9 y -0.9.
3. Obtener las ecuaciones (19), (20) y (22) del complemento DXII I .
4. Considerar un oscilador armónico unidimensional de masa m,
frecuencia ω y carga q. Para t ≥ 0 el oscilador se encuentra en
el estado fundamental. En t = 0 se aplica una perturbación de
la forma W(t) = −q · ε(t)x donde ε(t) es un campo eléctrico
dependiente del tiempo. Calcular la amplitud de transición al
primer estado excitado en el tiempo. Aplicar lo obtenido para el
caso
ε(t) =
{
ε0 si 0 ≤ t ≤ r
0 si 0 ≥ t ó t ≥ r
(1)
¿Cuál es la probabilidad de transición al segundo estado excita-
do en primer orden de la perturbación?
OBS: Utilizar la ecuación B-24.
4 trabajo práctico ix
Problema 1
Considérese un sistema físico con hamiltoniano H0. Los autova-
lores y autovectores de H0 se denotarán por En y |ϕn〉 :1 1 Por simplicidad, se tomará que
el espectro de H0 es discreto y no
degenerado, aunque los resultados
que se obtengan pueden ser fácilmente
generalizados.
H0 |ϕn〉 = En |ϕn〉 (2)
Asumimos que H0 es independiente del tiempo con lo que sus
autoestados son estados estacionarios.
En el tiempo t = 0, una perturbación es aplicada al sistema, con
lo que el hamiltoniano pasa a ser:
H(t) = H0 + W(t) con W(t) = λW̃(t) (3)
donde λ � 1 es un parámetro real y W̃(t) un observable (que
puede ser dependiente del tiempo) del orden de H0 y que es cero
para t < 0.
Entre los tiempos 0 y t, el sistema evoluciona acorde a la ecua-
ción de Schrödinger:
ih̄
d
dt
|ψ(t)〉 =
[
H0 + λW̃(t)
]
|ϕ(t)〉 (4)
La solución |ψ(t)〉 de esta ecuación diferencial correspondiente a la
condición inicial
|ψ(t = 0)〉 = |ϕi〉 (5)
es garantizada de ser única.
Si cn(t) son las componentes del ket |ψ〉 en la base {|ϕ〉}:
|ψ(t)〉 = ∑
n
cn(t) |ϕn〉 con cn(t) = 〈ϕn|ψ(t)〉 (6)
W̃nk(t) denotan los elementos matriciales del observable W̃(t) en la
misma base:
〈ϕn|W̃(t)|ϕk〉 (7)
Obsérvese que en esta base H0 se representa por una matriz diago-
nal:
〈ϕn|H0|ϕk〉 = δnkEn (8)
Proyectando (4) en el autoestado |ϕn〉, haciendo uso de las rela-
ciones (6), (7) y (8) y de la relación de ortonormalidad
〈ϕn|ϕk〉 = δnk (9)
se obtiene:2 2 (10) constituye un sistema acoplado
de ecuaciones diferenciales de primer
orden en t. El acoplamiento es debido
a la perturbación W(t), ya que su
representación matricial en la base
{|ϕn〉} es no diagonal.
ih̄
d
dt
〈ϕn|
(
∑
k
ck(t) |ϕk〉
)
= 〈ϕn|
[
H0 + λW̃(t)
](
∑
k
ck(t) |ϕk〉
)
ih̄
d
dt
cn(t) = ∑
k
[
ck(t) 〈ϕn|H0|ϕk〉+ λck(t) 〈ϕn|W̃(t)|ϕk〉
]
ih̄
d
dt
cn(t) = cn(t)En + ∑
k
λck(t)W̃nk(t)
(10)
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
muy bien!
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
lo de fácilmente es experiencia propia o confianza en la afirmación del libro?
5
Es directo ver que si en (10) λW̃(t) = 0, los coeficientes resultan
de la forma:3 3 bn son constantes a determinar por
las condiciones iniciales.cn(t) = bne−iEnt/h̄ (11)
Ahora bien, si λW̃(t) 6= 0 aún sigue siendo mucho menor que H0
por la condición λ � 1, con lo que es de esperar que las soluciones
sean muy parecidas a la forma (11). Es decir, si se hace el cambio:
cn(t) = bn(t)e−iEnt/h̄ (12)
se puede predecir que las funciones bn(t) varían lentamente en el
tiempo. Sustituyendo (12) en (10) se tiene:
ih̄e−iEnt/h̄
d
dt
bn(t) = ∑
k
λW̃nk(t)bk(t)e−iEkt/h̄
ih̄
d
dt
bn(t) = ∑
k
λW̃nk(t)bk(t)e−i(Ek−En)t/h̄
ih̄
d
dt
bn(t) = ∑
k
λW̃nk(t)bk(t)eiωnkt
(13)
donde ωnk =
En−Ek
h̄ es la frecuencia angular de Bohr. La ecuación
obtenida en (13) es rigurosamente equivalente a la ecuación de
Schrödinger (4), por lo que hallar en general su solución no es tarea
sencilla. Esto motiva a tratar de encontrar una solución en forma de
serie de potencias en t:
bn(t) = b
(0)
n (t) + λb
(1)
n (t) + λ2b
(2)
n (t) + . . . (14)
Sustituyendo (14) en (13) e igualando los coeficientes de λs se
observa que:
ih̄
d
dt
b(0)n (t) = 0⇒ b
(0)
n (t) = constante (15)
y
ih̄
d
dt
b(s)n (t) = ∑
k
W̃nk(t)b
(s−1)
k (t)e
iωnkt s 6= 0 (16)
Para t < 0, el sistema se asume está en el estado |ϕi〉, con lo que
de todos los coeficientes bn(t) el único que es no nulo (y, más aún,
independiente del tiempo) es bi(t). En t = 0, λW̃(t) puede sufrir
una discontinuidad al pasar de un valor cero a otro valor λW̃(0), no
obstante, puesto λW̃(t) sigue siendo finito, la solución a la ecuación
de Schrödinger sigue siendo continua. De esto se concluye que:
bn(t = 0) = δni (17)
donde esta relación es válida para todo λ. Luego, los coeficientes de
(14) deben satisfacer b
(0)
n (t = 0) = δni
b(s)n (t = 0) = 0 si s ≥ 1
(18)
De esta manera, las constantes de (15) quedan determinadas:
b(0)n (t > 0) = δni (19)
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
para estas dos ecuaciones se esperaba es desarrollo poniendo 14 en 13 para que sea algo más desarrollado que es lo que muestra el libro
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
ok
6 trabajo práctico ix
con lo que así se determina la solución a orden 0. Este resultado
permite escribir (16), para s = 1, como:
ih̄
d
dt
b(1)n = ∑
k
eiωnktW̃ni(t)δki = eiωni W̃ni(t) (20)
cuya solución es:
b(1)n (t) =
1
ih̄
∫ t
0
eiωnit
′
W̃ni(t′)dt′ (21)
Así, en primer orden en λ se obtiene que el estado |ψ(t)〉 resulta:
|ψ(t)〉 = ∑
n
cn(t) |ϕn〉 = ∑
n
bn(t)e−iEnt/h̄ |ϕn〉
= ∑
n
[b(0)n (t) + λb
(1)
n (t)]e−iEnt/h̄ |ϕn〉
= ∑
n
[
δni +
λ
ih̄
∫ t
0
eiωnit
′
W̃ni(t′)dt′
]
e−iEnt/h̄ |ϕn〉
= e−iEit/h̄ |ϕi〉+
λ
ih̄ ∑n
e−iEnt/h̄
[ ∫ t
0
eiωnit
′
W̃ni(t′)dt′
]
|ϕn〉
(22)
�
Problema 2
Sea un sistema físico descripto por el ket |ψ(t)〉 el cual en un
tiempo inicial se hallaba en el autoestado |ϕi〉 y luego evolucionó
acorde a la ecuación de Schrödinger. La probabilidad de transición del
sistema al autoestado |ϕk〉 en un tiempo t finito se define como:
Pik(t) = | 〈ϕk|ψ(t)〉 |2 (23)
En líneas del método de aproximación tratado en el Problema 1,
(23) resulta, a primer orden en el parámetro λ:
Pik(t) = | 〈ϕk|ψ(t)〉 |2 = |ck(t)|2 = |bk(t)|2 =
∣∣∣b(0)k + λb(1)k (t)∣∣∣2 (24)
Si los estados |ϕi〉 y |ϕk〉 se suponen distintos, b
(0)
k = 0, con lo que:
Pik(t) = λ2
∣∣∣b(1)k (t)∣∣∣2 = 1h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiωkit
′
Wki(t′)dt′
∣∣∣2 (25)
Tómese por ejemplo una perturbación W(t) de la forma
W̃(t) = W̃ cos ωt , con W̃, ω constantes (26)
Los coeficientes matriciales W̃ki(t) resultan:
W̃ki(t) = W̃ki cos ωt =
W̃ki
2
(eiωt + e−iωt) (27)
Reemplazando estos coeficientes en (25) se obtiene la probabilidad
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
muy bien!
Rodolfo Id Betan
muy bien!
Rodolfo Id Betan
bien
Rodolfo Id Betan
ok
7
de transición:
Pik(t, ω) =
1
h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiωkit
′
Wki cos ωt′dt′
∣∣∣2
=
|Wki|2
4h̄2
∣∣∣∣∣
∫ t
0
dt′
[
ei(ωki+ω)t
′
+ ei(ωki−ω)t
′]∣∣∣∣∣
2
=
|Wki|2
4h̄2
∣∣∣∣∣1− ei(ωki+ω)tωki + ω + 1− e
i(ωki−ω)t
ωki −ω
∣∣∣∣∣
2
(28)
En término de las variables adimensionales Ω = ω/ωki y λ = ωkit
la probabilidad de transición toma la forma:
Pik(λ, Ω) =
|Wki|2
4h̄2
∣∣∣∣∣1− eiλ(1+Ω)ωik(1 + Ω) + 1− e
iλ(1−Ω)
ωik(1−Ω)
∣∣∣∣∣
2
(29)
o bien,
Pik(λ, Ω)
4h̄2ωik
|Wki|2
=
∣∣∣∣∣1− eiλ(1+Ω)(1 + Ω) + 1− eiλ(1−Ω)(1−Ω)
∣∣∣∣∣
2
(30)
La siguiente gráfica muestra las curvas que describe la ecuación
(30) para distintos valores del parámetro Ω.
�
Problema 3
Ahora se estudiará el caso de que un sistema que se halle en un
inicioen un estado estacionario |ϕi〉 y luego pueda transicionar a
un continúo de estados estacionarios. Para ello, se supondrá un
hamiltoniano no perturbado H0 cuyo espectro es de la forma:
(i) un estado discreto |ϕi〉 no degenerado asociado a Ei:
H0 |ϕi〉 = Ei |ϕi〉 (31)
Rodolfo Id Betan
bien
Rodolfo Id Betan
- falta la curva roja, entiendo que está superpuesta con la de color mostaza
- fijate como la amplitud crece para los omegas \pm 0.9, pues para ellos el omega de la excitan es parecida a la caracter'istica del sistema
8 trabajo práctico ix
(ii) un continuo de estados |α〉:4 4 E puede tomar cualquier valor en un
continuo de valores reales (que pueden
incluir Ei). Por ejemplo, se asume
E ≥ 0.H0 |α〉 = E |α〉 (32)
Los autoestados de H0 deben satisfacer las siguientes relaciones
de ortogonalidad y completitud:

〈ϕi|ϕi〉 = 1
〈ϕi|α〉 = 0〈
α
∣∣α′〉 = δ(α− α′) (33)
〈ϕi|ϕi〉+
∫
dα 〈α|α〉 = 1 (34)
Sin pérdida de generalidad, se hacen las siguientes suposiciones
acerca de la perturbación W:
(i) W es una perturbación que no depende explícitamente del
tiempo;
W 6= W(t) (35)
(ii) sus elementos matriciales diagonales son todos nulos:
〈ϕi|W|ϕi〉 = 〈α|W|α〉 = 0 (36)
(iii) no existe interacción entre los estados del continuo:
〈
α
∣∣W∣∣α′〉 = 0 (37)
Ahora bien, el estado del sistema en un tiempo t se puede expan-
dir en la base {|ϕi〉 , |α〉}:
|ψ(t)〉 = bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα b(α, t) e−iEt/h̄ |α〉 (38)
donde las proyecciones del estado |ψ(t)〉 sobre los elementos de
la base se escribieron en la forma dada por (12). Sustituyendo este
estado en el lado izquierdo la ecuación de Schrödinger (4) y proyec-
tando en la base {|ϕi〉 , |α〉} devuelve:
ih̄
d
dt
[
〈ϕi|ψ(t)〉+ 〈α|ψ(t)〉
]
= ih̄
d
dt
[
bi(t) e−iEith̄ +
∫
dα′b(α′, t) e−iEt/h̄δ(α− α′)
]
= ih̄
d
dt
[
bi(t) e−iEith̄ + e−iEt/h̄ b(α, t)
]
= e−iEit/h̄
[
ih̄
dbi(t)
dt
+ Eibi(t)
]
+ e−iEt/h̄
[
ih̄
db(α, t)
dt
+ E b(α, t)
]
(39)
Por su parte, el lado derecho de la ec. de Schrödinger devuelve,
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
ac'a no se entiende c'omo resulta esos bra phi_i y alpha con el psi(t).
La afirmación que hiciste es cierta. Luego de reemplazar psi en la ec. de Schroedinger por su expresión 38 multiplicas por el bra psi. Eso te da una ecuación. La otra ecuación es multiplicar por el ket psi.
Rodolfo Id Betan
los bra y ket deben estar invertidos,
tal cual est'a escrito ser'ia 1 mas la integral de la delta con argumento cero
Rodolfo Id Betan
esto es confuso, en alg'un momento la  interacci'on debe encenderse
Rodolfo Id Betan
esto es posible, en ese caso el estado phi_i se le llama estado embebido en el continuo
Rodolfo Id Betan
nop
9
recordando la condiciones (35),(36) y (37):
〈ϕi|H0 + W|ψ(t)〉+ 〈α|H0 + W|ψ(t)〉
= 〈ϕi|H0|ψ(t)〉+ 〈ϕi|W|ψ(t)〉+ 〈α|H0|ψ(t)〉+ 〈α|W|ψ(t)〉
= Ei 〈ϕi|
[
bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα′ b(α′, t) e−iEt/h̄
∣∣α′〉 ]
+ 〈ϕi|W
[
bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα′ b(α′, t) e−iEt/h̄
∣∣α′〉 ]
+ E 〈α|
[
bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα′ b(α′, t) e−iEt/h̄
∣∣α′〉 ]
+ 〈α|W
[
bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα′ b(α′, t) e−iEt/h̄
∣∣α′〉 ]
= Ei bi(t) e−iEit/h̄ +
∫
dα′b(α′, t) e−iEt/h̄
〈
ϕi
∣∣W∣∣α′〉
+ E b(α, t) e−iEt/h̄ + bi(t) e−iEit/h̄ 〈α|W|ϕi〉
(40)
Igualando (39) y (40) se observa que los términos proporcionales
a bi(t) y a b(α, t) se anulan, sobreviviendo únicamente las siguien-
tes ecuaciones de movimiento:
ih̄
d
dt
bi(t) =
∫
dα′b(α′, t) ei(Ei−E)t/h̄
〈
ϕi
∣∣W∣∣α′〉
ih̄
d
dt
b(α, t) = bi(t) ei(E−Ei)t/h̄ 〈α|W|ϕi〉
(41)
Así, el problema se traduce a hacer uso de estas ecuaciones para
predecir el comportamiento del sistema para tiempos t grandes,
sujeto a las condiciones iniciales:
bi(0) = 0 y b(α, 0) = 0 (42)
Las suposiciones sobre W implican que dbi(t)/dt depende sola-
mente de b(α, t), así como que db(α, t)/dt lo hace sólo de bi(t). Así,
se integra la segunda ecuación en (41) bajo la condición b(α, 0) = 0:
b(α, t) =
1
ih̄
∫ t
0
dt′ bi(t′)ei(E−Ei)t
′/h̄ 〈α|W|ϕi〉 (43)
Reemplazando este resultado en la primera ecuación de (41) da la
ecuación que describe la evolución temporal de bi(t):
d
dt
bi(t) = −
1
h̄2
∫
dα
∫ t
0
dt′ ei(Ei−E)(t−t
′)/h̄| 〈α|W|ϕi〉 |2bi(t′) (44)
�
Problema 4
Considérese ahora el caso de un oscilador armónico unidimen-
sional de masa m, frecuencia ω y carga q inmerso en un campo
eléctrico ε(t) dependiente del tiempo. Para tiempos t ≤ 0 el siste-
ma se encuentra en el estado fundamental y a partir de t = 0 se le
induce una perturbación W(t) = −q · ε(t)X.
El hamiltoniano del sistema es:
H(t) = H0 + W(t) =
P2
2m
+
m
2
ω2X2 − q · ε(t)X (45)
Rodolfo Id Betan
=1
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
bueno, pensándolo un poco más, tus ecuaciones podrían interpretarse que hiciste el procedimiento que te indique antes y los sumastes.
Luego, los separás usando el argumento del párrafo que sigue
Rodolfo Id Betan
ok, felizmente llegaste al resultado, pero pensá en el procedimiento que te indiqué en la ec. 39
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
notar que depende tambien de b_i a través de b(alpha)
Rodolfo Id Betan
buen trabajo
10 trabajo práctico ix
Si se quiere hallar la probabilidad de que el sistema transicione
del estado fundamental |ϕ0〉 al primer estado excitado |ϕ1〉 en un
tiempo t > 0 se hace uso de (25):
P01(t) = λ2
∣∣∣b(1)1 (t)∣∣∣2 = 1h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiω10t
′
W10(t′)dt′
∣∣∣2 (46)
donde ω10 =
E1−E0
h̄ = ω y
W10(t) = 〈ϕ1|−q · ε(t)X|ϕ0〉 = −q · ε(t) 〈ϕ1|X|ϕ0〉 (47)
Del estudio del oscilador armónico unidimensional (capítulo V del
libro de C. Cohen-Tonnoudji ’Quantum Mechanics’, se sabe que la
entrada
〈
ϕi
∣∣X∣∣ϕj〉 de la representación matricial de X en la base
|ϕn〉 de autoestados de H0 viene dada por:
〈
ϕi
∣∣X∣∣ϕj〉 = √ h̄2mω [√j + 1 δi,j+1 +√j δi,j−1] (48)
Tomando j = 0 y i = 1, (48) devuelve:
〈ϕ1|X|ϕ0〉 =
√
h̄
2mω
⇒W10(t) = −q · ε(t)
√
h̄
2mω
(49)
Reemplazando este resultado en (46) se obtiene:
P01(t) =
1
h̄2
∣∣∣∣∣
∫ t
0
eiωt
′
√
h̄
2mω
(−q)ε(t′)dt′
∣∣∣∣∣
2
=
q2
2mh̄ω
∣∣∣∣∣
∫ t
0
ε(t′)eiωt
′
dt′
∣∣∣∣∣
2
Para el caso particular:
ε(t) =
{
ε0 si 0 ≤ t ≤ r
0 si 0 ≥ t ó t ≥ r
(50)
P01(t) se reduce a:
P01(t) =
q2
2mh̄ω
∣∣∣∣∣
∫ t
0
ε(t′)eiωt
′
dt′
∣∣∣∣∣
2
=
q2
2mh̄ω
∣∣∣∣∣
∫ r
0
ε0eiωt
′
dt′
∣∣∣∣∣
2
=
q2ε20
2mh̄ω
∣∣∣ i
ω
[1− eiωr]
∣∣∣2 = q2ε20
2mh̄ω3
|1− eiωr|2
=
q2ε20
2mh̄ω3
(1− cosωr)
(51)
Si se quiere calcular la probabilidad de transición del estado
fundamental al segundo estado excitado, (25) toma la forma:
P02(t) =
1
h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiω20t
′
W20(t′)dt′
∣∣∣2
=
1
h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiω20t
′
(−q)ε(t′) 〈ϕ2|X|ϕ0〉 dt′
∣∣∣2
=
q2
h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiω20t
′
ε(t′)
√
h̄
2mω
(√
0 + 1 δ2,0+1 +
√
0 δ2,0−1
)
dt′
∣∣∣2
=
q2
h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiω20t
′
ε(t′)
√
h̄
2mω
(0 + 0)dt′
∣∣∣2 = 0
�
Rodolfo Id Betan
bien
Rodolfo Id Betan
fijate que acá se aprecia la inconsistencia, el término de la izquierda es una función de t y el de la derecha es una constante.
Este resultado valdría para t > tao
Rodolfo Id Betan
este límite no podes reemplazarlo por tao porque es la variable independiente del término de la izquierda
Rodolfo Id Betan
bien
Rodolfo Id Betan
muy bien!
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
correcto