Mec_nica_Cu_ntica_II___Trabajos_Pr_cticos (4)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
AGRIMENSURA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - ESCUELA DE CIENCIAS
EXACTAS Y NATURALES
Trabajo Práctico IX
MECÁNICA CUÁNTICA I I
Julián Gelabert
3
Problemas
’Quantum mechanics’, C.
Cohen-Tannoudji.
Basandose en el capítulo XIII del libro de Cohen-Tannoudji.
Teoría perturbativa dependiente del tiempo.
1. Desarrollar los detalles de los cálculos de la sección B que llevan
a las ecuaciones (B-18) y (B-19). Escribir la ec. (B-1) usando los
coeficientes (B-18) y (B-19).
2. Calcular la probabilidad de transición para la perturbación dada
por la ec. (C-1b). Graficar en función a las variables adimensiona-
les y para 0.1, 0.5, 0.9 y -0.9.
3. Obtener las ecuaciones (19), (20) y (22) del complemento DXII I .
4. Considerar un oscilador armónico unidimensional de masa m,
frecuencia ω y carga q. Para t ≥ 0 el oscilador se encuentra en
el estado fundamental. En t = 0 se aplica una perturbación de
la forma W(t) = −q · ε(t)x donde ε(t) es un campo eléctrico
dependiente del tiempo. Calcular la amplitud de transición al
primer estado excitado en el tiempo. Aplicar lo obtenido para el
caso
ε(t) =
{
ε0 si 0 ≤ t ≤ r
0 si 0 ≥ t ó t ≥ r
(1)
¿Cuál es la probabilidad de transición al segundo estado excita-
do en primer orden de la perturbación?
OBS: Utilizar la ecuación B-24.
4 trabajo práctico ix
Problema 1
Considérese un sistema físico con hamiltoniano H0. Los autova-
lores y autovectores de H0 se denotarán por En y |ϕn〉 :1 1 Por simplicidad, se tomará que
el espectro de H0 es discreto y no
degenerado, aunque los resultados
que se obtengan pueden ser fácilmente
generalizados.
H0 |ϕn〉 = En |ϕn〉 (2)
Asumimos que H0 es independiente del tiempo con lo que sus
autoestados son estados estacionarios.
En el tiempo t = 0, una perturbación es aplicada al sistema, con
lo que el hamiltoniano pasa a ser:
H(t) = H0 + W(t) con W(t) = λW̃(t) (3)
donde λ � 1 es un parámetro real y W̃(t) un observable (que
puede ser dependiente del tiempo) del orden de H0 y que es cero
para t < 0.
Entre los tiempos 0 y t, el sistema evoluciona acorde a la ecua-
ción de Schrödinger:
ih̄
d
dt
|ψ(t)〉 =
[
H0 + λW̃(t)
]
|ϕ(t)〉 (4)
La solución |ψ(t)〉 de esta ecuación diferencial correspondiente a la
condición inicial
|ψ(t = 0)〉 = |ϕi〉 (5)
es garantizada de ser única.
Si cn(t) son las componentes del ket |ψ〉 en la base {|ϕ〉}:
|ψ(t)〉 = ∑
n
cn(t) |ϕn〉 con cn(t) = 〈ϕn|ψ(t)〉 (6)
W̃nk(t) denotan los elementos matriciales del observable W̃(t) en la
misma base:
〈ϕn|W̃(t)|ϕk〉 (7)
Obsérvese que en esta base H0 se representa por una matriz diago-
nal:
〈ϕn|H0|ϕk〉 = δnkEn (8)
Proyectando (4) en el autoestado |ϕn〉, haciendo uso de las rela-
ciones (6), (7) y (8) y de la relación de ortonormalidad
〈ϕn|ϕk〉 = δnk (9)
se obtiene:2 2 (10) constituye un sistema acoplado
de ecuaciones diferenciales de primer
orden en t. El acoplamiento es debido
a la perturbación W(t), ya que su
representación matricial en la base
{|ϕn〉} es no diagonal.
ih̄
d
dt
〈ϕn|
(
∑
k
ck(t) |ϕk〉
)
= 〈ϕn|
[
H0 + λW̃(t)
](
∑
k
ck(t) |ϕk〉
)
ih̄
d
dt
cn(t) = ∑
k
[
ck(t) 〈ϕn|H0|ϕk〉+ λck(t) 〈ϕn|W̃(t)|ϕk〉
]
ih̄
d
dt
cn(t) = cn(t)En + ∑
k
λck(t)W̃nk(t)
(10)
5
Es directo ver que si en (10) λW̃(t) = 0, los coeficientes resultan
de la forma:3 3 bn son constantes a determinar por
las condiciones iniciales.cn(t) = bne−iEnt/h̄ (11)
Ahora bien, si λW̃(t) 6= 0 aún sigue siendo mucho menor que H0
por la condición λ � 1, con lo que es de esperar que las soluciones
sean muy parecidas a la forma (11). Es decir, si se hace el cambio:
cn(t) = bn(t)e−iEnt/h̄ (12)
se puede predecir que las funciones bn(t) varían lentamente en el
tiempo. Sustituyendo (12) en (10) se tiene:
ih̄e−iEnt/h̄
d
dt
bn(t) = ∑
k
λW̃nk(t)bk(t)e−iEkt/h̄
ih̄
d
dt
bn(t) = ∑
k
λW̃nk(t)bk(t)e−i(Ek−En)t/h̄
ih̄
d
dt
bn(t) = ∑
k
λW̃nk(t)bk(t)eiωnkt
(13)
donde ωnk =
En−Ek
h̄ es la frecuencia angular de Bohr. La ecuación
obtenida en (13) es rigurosamente equivalente a la ecuación de
Schrödinger (4), por lo que hallar en general su solución no es tarea
sencilla. Esto motiva a tratar de encontrar una solución en forma de
serie de potencias en t:
bn(t) = b
(0)
n (t) + λb
(1)
n (t) + λ2b
(2)
n (t) + . . . (14)
Sustituyendo (14) en (13) e igualando los coeficientes de λs se
observa que:
ih̄
d
dt
b(0)n (t) = 0⇒ b
(0)
n (t) = constante (15)
y
ih̄
d
dt
b(s)n (t) = ∑
k
W̃nk(t)b
(s−1)
k (t)e
iωnkt s 6= 0 (16)
Para t < 0, el sistema se asume está en el estado |ϕi〉, con lo que
de todos los coeficientes bn(t) el único que es no nulo (y, más aún,
independiente del tiempo) es bi(t). En t = 0, λW̃(t) puede sufrir
una discontinuidad al pasar de un valor cero a otro valor λW̃(0), no
obstante, puesto λW̃(t) sigue siendo finito, la solución a la ecuación
de Schrödinger sigue siendo continua. De esto se concluye que:
bn(t = 0) = δni (17)
donde esta relación es válida para todo λ. Luego, los coeficientes de
(14) deben satisfacer b
(0)
n (t = 0) = δni
b(s)n (t = 0) = 0 si s ≥ 1
(18)
De esta manera, las constantes de (15) quedan determinadas:
b(0)n (t > 0) = δni (19)
6 trabajo práctico ix
con lo que así se determina la solución a orden 0. Este resultado
permite escribir (16), para s = 1, como:
ih̄
d
dt
b(1)n = ∑
k
eiωnktW̃ni(t)δki = eiωni W̃ni(t) (20)
cuya solución es:
b(1)n (t) =
1
ih̄
∫ t
0
eiωnit
′
W̃ni(t′)dt′ (21)
Así, en primer orden en λ se obtiene que el estado |ψ(t)〉 resulta:
|ψ(t)〉 = ∑
n
cn(t) |ϕn〉 = ∑
n
bn(t)e−iEnt/h̄ |ϕn〉
= ∑
n
[b(0)n (t) + λb
(1)
n (t)]e−iEnt/h̄ |ϕn〉
= ∑
n
[
δni +
λ
ih̄
∫ t
0
eiωnit
′
W̃ni(t′)dt′
]
e−iEnt/h̄ |ϕn〉
= e−iEit/h̄ |ϕi〉+
λ
ih̄ ∑n
e−iEnt/h̄
[ ∫ t
0
eiωnit
′
W̃ni(t′)dt′
]
|ϕn〉
(22)
�
Problema 2
Sea un sistema físico descripto por el ket |ψ(t)〉 el cual en un
tiempo inicial se hallaba en el autoestado |ϕi〉 y luego evolucionó
acorde a la ecuación de Schrödinger. La probabilidad de transición del
sistema al autoestado |ϕk〉 en un tiempo t finito se define como:
Pik(t) = | 〈ϕk|ψ(t)〉 |2 (23)
En líneas del método de aproximación tratado en el Problema 1,
(23) resulta, a primer orden en el parámetro λ:
Pik(t) = | 〈ϕk|ψ(t)〉 |2 = |ck(t)|2 = |bk(t)|2 =
∣∣∣b(0)k + λb(1)k (t)∣∣∣2 (24)
Si los estados |ϕi〉 y |ϕk〉 se suponen distintos, b
(0)
k = 0, con lo que:
Pik(t) = λ2
∣∣∣b(1)k (t)∣∣∣2 = 1h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiωkit
′
Wki(t′)dt′
∣∣∣2 (25)
Tómese por ejemplo una perturbación W(t) de la forma
W̃(t) = W̃ cos ωt , con W̃, ω constantes (26)
Los coeficientes matriciales W̃ki(t) resultan:
W̃ki(t) = W̃ki cos ωt =
W̃ki
2
(eiωt + e−iωt) (27)
Reemplazando estos coeficientes en (25) se obtiene la probabilidad
7
de transición:
Pik(t, ω) =
1
h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiωkit
′
Wki cos ωt′dt′
∣∣∣2
=
|Wki|2
4h̄2
∣∣∣∣∣
∫ t
0
dt′
[
ei(ωki+ω)t
′
+ ei(ωki−ω)t
′]∣∣∣∣∣
2
=
|Wki|2
4h̄2
∣∣∣∣∣1− ei(ωki+ω)tωki + ω + 1− e
i(ωki−ω)t
ωki −ω
∣∣∣∣∣
2
(28)
En término de las variables adimensionales Ω = ω/ωki y λ = ωkit
la probabilidad de transición toma la forma:
Pik(λ, Ω) =
|Wki|2
4h̄2
∣∣∣∣∣1− eiλ(1+Ω)ωik(1 + Ω) + 1− e
iλ(1−Ω)
ωik(1−Ω)
∣∣∣∣∣
2
(29)
o bien,
Pik(λ, Ω)
4h̄2ωik
|Wki|2
=
∣∣∣∣∣1− eiλ(1+Ω)(1 + Ω) + 1− eiλ(1−Ω)(1−Ω)
∣∣∣∣∣
2
(30)
La siguiente gráfica muestra las curvas que describe la ecuación
(30) para distintos valores del parámetro Ω.
�
Problema 3
Ahora se estudiará el caso de que un sistema que se halle en un
inicio en un estado estacionario |ϕi〉 y luego pueda transicionar a
un continúo de estados estacionarios. Para ello, se supondrá un
hamiltoniano no perturbado H0 cuyo espectro es de la forma:
(i) un estado discreto |ϕi〉 no degenerado asociado a Ei:
H0 |ϕi〉 = Ei |ϕi〉 (31)
8 trabajo práctico ix
(ii) un continuo de estados |α〉:4 4 E puede tomar cualquier valor en un
continuo de valores reales (que pueden
incluir Ei). Por ejemplo, se asume
E ≥ 0.H0 |α〉 = E |α〉 (32)
Los autoestados de H0 deben satisfacer las siguientes relaciones
de ortogonalidad y completitud:

〈ϕi|ϕi〉 = 1
〈ϕi|α〉 = 0〈
α
∣∣α′〉 = δ(α− α′) (33)
〈ϕi|ϕi〉+
∫
dα 〈α|α〉 = 1 (34)
Sin pérdidade generalidad, se hacen las siguientes asunciones
acerca de la perturbación W:
(i) W es una perturbación que no depende explícitamente del
tiempo;
W 6= W(t) (35)
(ii) sus elementos matriciales diagonales son todos nulos:
〈ϕi|W|ϕi〉 = 〈α|W|α〉 = 0 (36)
(iii) no existe interacción entre los estados del continuo:
〈
α
∣∣W∣∣α′〉 = 0 (37)
Ahora bien, el estado del sistema en un tiempo t se puede expan-
dir en la base {|ϕi〉 , |α〉}:
|ψ(t)〉 = bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα b(α, t) e−iEt/h̄ |α〉 (38)
donde las proyecciones del estado |ψ(t)〉 sobre los elementos de
la base se escribieron en la forma dada por (12). Sustituyendo este
estado en el lado izquierdo la ecuación de Schrödinger (4) y proyec-
tando en la base {|ϕi〉 , |α〉} devuelve:
ih̄
d
dt
[
〈ϕi|ψ(t)〉+ 〈α|ψ(t)〉
]
= ih̄
d
dt
[
bi(t) e−iEith̄ +
∫
dα′b(α′, t) e−iEt/h̄δ(α− α′)
]
= ih̄
d
dt
[
bi(t) e−iEith̄ + e−iEt/h̄ b(α, t)
]
= e−iEit/h̄
[
ih̄
dbi(t)
dt
+ Eibi(t)
]
+ e−iEt/h̄
[
ih̄
db(α, t)
dt
+ E b(α, t)
]
(39)
Por su parte, el lado derecho de la ec. de Schrödinger devuelve,
9
recordando la condiciones (35),(36) y (37):
〈ϕi|H0 + W|ψ(t)〉+ 〈α|H0 + W|ψ(t)〉
= 〈ϕi|H0|ψ(t)〉+ 〈ϕi|W|ψ(t)〉+ 〈α|H0|ψ(t)〉+ 〈α|W|ψ(t)〉
= Ei 〈ϕi|
[
bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα′ b(α′, t) e−iEt/h̄
∣∣α′〉 ]
+ 〈ϕi|W
[
bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα′ b(α′, t) e−iEt/h̄
∣∣α′〉 ]
+ E 〈α|
[
bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα′ b(α′, t) e−iEt/h̄
∣∣α′〉 ]
+ 〈α|W
[
bi(t) e−iEit/h̄ |ϕi〉+
∫
dα′ b(α′, t) e−iEt/h̄
∣∣α′〉 ]
= Ei bi(t) e−iEit/h̄ +
∫
dα′b(α′, t) e−iEt/h̄
〈
ϕi
∣∣W∣∣α′〉
+ E b(α, t) e−iEt/h̄ + bi(t) e−iEit/h̄ 〈α|W|ϕi〉
(40)
Igualando (39) y (40) se observa que los términos proporcionales
a bi(t) y a b(α, t) se anulan, sobreviviendo únicamente las siguien-
tes ecuaciones de movimiento:
ih̄
d
dt
bi(t) =
∫
dα′b(α′, t) ei(Ei−E)t/h̄
〈
ϕi
∣∣W∣∣α′〉
ih̄
d
dt
b(α, t) = bi(t) ei(E−Ei)t/h̄ 〈α|W|ϕi〉
(41)
Así, el problema se traduce a hacer uso de estas ecuaciones para
predecir el comportamiento del sistema para tiempos t grandes,
sujeto a las condiciones iniciales:
bi(0) = 0 y b(α, 0) = 0 (42)
Las suposiciones sobre W implican que dbi(t)/dt depende sola-
mente de b(α, t), así como que db(α, t)/dt lo hace sólo de bi(t). Así,
se integra la segunda ecuación en (41) bajo la condición b(α, 0) = 0:
b(α, t) =
1
ih̄
∫ t
0
dt′ bi(t′)ei(E−Ei)t
′/h̄ 〈α|W|ϕi〉 (43)
Reemplazando este resultado en la primera ecuación de (41) da la
ecuación que describe la evolución temporal de bi(t):
d
dt
bi(t) = −
1
h̄2
∫
dα
∫ t
0
dt′ ei(Ei−E)(t−t
′)/h̄| 〈α|W|ϕi〉 |2bi(t′) (44)
�
Problema 4
Considérese ahora el caso de un oscilador armónico unidimen-
sional de masa m, frecuencia ω y carga q inmerso en un campo
eléctrico ε(t) dependiente del tiempo. Para tiempos t ≤ 0 el siste-
ma se encuentra en el estado fundamental y a partir de t = 0 se le
induce una perturbación W(t) = −q · ε(t)X.
El hamiltoniano del sistema es:
H(t) = H0 + W(t) =
P2
2m
+
m
2
ω2X2 − q · ε(t)X (45)
10 trabajo práctico ix
Si se quiere hallar la probabilidad de que el sistema transicione
del estado fundamental |ϕ0〉 al primer estado excitado |ϕ1〉 en un
tiempo t > 0 se hace uso de (25):
P01(t) = λ2
∣∣∣b(1)k (t)∣∣∣2 = 1h̄2
∣∣∣ ∫ t
0
eiω10t
′
W10(t′)dt′
∣∣∣2 (46)
donde ω10 =
E1−E0
h̄ = ω y
W10(t) = 〈ϕ1|−q · ε(t)X|ϕ0〉 = −q · ε(t) 〈ϕ1|X|ϕ0〉 (47)
Del estudio del oscilador armónico unidimensional (capítulo V del
libro de C. Cohen-Tonnoudji ’Quantum Mechanics’, se sabe que la
entrada
〈
ϕi
∣∣X∣∣ϕj〉 de la representación matricial de X en la base
|ϕn〉 de autoestados de H0 viene dada por:
〈
ϕi
∣∣X∣∣ϕj〉 = √ h̄2mω [√j + 1 δi,j+1 +√j δi,j−1] (48)
Tomando j = 0 y i = 1, (48) devuelve:
〈ϕ1|X|ϕ0〉 =
√
h̄
2mω
⇒W10(t) = −q · ε(t)
√
h̄
2mω
(49)
Reemplazando este resultado en (46) se obtiene:
P01(t) =
1
h̄2
∣∣∣∣∣
∫ t
0
eiωt
′
√
h̄
2mω
(−q)ε(t′)dt′
∣∣∣∣∣
2
=
q2
2mh̄ω
∣∣∣∣∣
∫ t
0
ε(t′)eiωt
′
dt′
∣∣∣∣∣
2
Para el caso particular:
ε(t) =
{
ε0 si 0 ≤ t ≤ r
0 si 0 ≥ t ó t ≥ r
(50)
P01(t) se reduce a:
P01(t) =
q2
2mh̄ω
∣∣∣∣∣
∫ t
0
ε(t′)eiωt
′
dt′
∣∣∣∣∣
2
=
q2
2mh̄ω
∣∣∣∣∣
∫ r
0
ε0eiωt
′
dt′
∣∣∣∣∣
2
=
q2ε20
2mh̄ω
∣∣∣ i
ω
[1− eiωr]
∣∣∣2 = q2ε20
2mh̄ω3
|1− eiωr|2
=
q2ε20
2mh̄ω3
(1− cosωr)
(51)
�