R2 Trabajo_2__L_gica_Matem_tica

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Lógica Matemática
Trabajo 2
Ángela Maŕıa Ruiz Gómez-070200082019
Juan José Tovar Rodŕıguez-070200032019
Hary Nicol Trujillo Portillo-070200072019
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS
MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA
SEMESTRE 2022B
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Arnold Oostra
Nota adhesiva
¡Felicitaciones!
Este es un trabajo excelente, todos los ejercicios están bien resueltos (salvo detalles señalados, por favor revisar) y la presentación está SOBRESALIENTE. Muchas gracias.
Calificación: 5.0
Trabajo 2. Lógica Matemática
Ángela Maŕıa Ruiz Gómez-070200082019
Juan José Tovar Rodŕıguez-070200032019
Hary Nicol Trujillo Portillo-070200072019
Docente:
Anton Arnold Oostra
Profesor Asociado,Departamento de Matemáticas con
Énfasis en Estad́ıstica
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS
MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA
2
Lógica Matemática
Trabajo 2
(A entregar: viernes 9 de diciembre)
Los trabajos se elaboran en grupos de tres estudiantes y se presentan escritos (a mano o en
LATEX) en hojas blancas tamaño carta que deben estar numeradas.
1.1. Demuestre que si en un ret́ıculo se cumple la identidad:
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c),
para cada a, b y c, entonces también se cumple la identidad:
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c),
para cada a, b y c.
Demostración:
• a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Si en un ret́ıculo se cumple una identidad entonces se cumple la otra.
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = ((a ∨ b) ∧ a) ∨ ((a ∨ b) ∧ c) (absorción)
= a ∨ ((a ∨ b) ∧ c)
= a ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) (absorción)
= a ∨ (b ∧ c)
• a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
Como en el caso anterior, sabemos que si en un ret́ıculo se cumple una
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identidad entonces se cumple la otra.
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) = ((a ∧ b) ∨ a) ∧ ((a ∧ b) ∨ c) (absorción)
= a ∧ ((a ∧ b) ∨ c)
= a ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c) (absorción)
= a ∧ (b ∨ c)
1.2. En cualquier álgebra booleana, demuestre:
a ≤ b si y solo si a ∧ b′ = 0.
Demostración:
⇒) Si a ≤ b entonces
a ∧ b′ ≤ b ∧ b′
a ∧ b′ ≤ 0
Como 0 es el mı́nimo, entonces a ∧ b′ = 0
⇐) Si a ∨ b′ = 0 entonces
b = b ∨ 0
= b ∨ (a ∧ b′)
= (b ∨ a) ∧ (b ∨ b′)
= (b ∨ a) ∧ 1
= (b ∨ a) ≤ b
= a ≤ b
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Por lo tanto, se comprueba que a ≤ b si y solo si a ∧ b′ = 0.
1.3. En cada caso, demuestre que la fórmula es válida por dos caminos:
(i) mediante una valuación genérica v en un álgebra booleana cualquiera; (ii)
mediante la tabla de verdad.
a) (α ∧ β) → (β ∨ γ)
• Valuación sobre un álgebra booleana.
v[(α∧β) → (β ∨γ)] Valuación sobre la fórmula
v[(α ∧ β)]′ ∨ v[(β ∨ γ)] v[α → β] = v[(α)]′ ∨ v[(β)]
(v[(α)]∧v[(β)])′∨ (v[(β)]∨v[(γ)]) Distributiva
v[(α)]′ ∨ (v[(β)]′ ∨ v[(β)])∨ v[(γ)] Asociativa
(v[(α)]′ ∨ 1) ∨ v[(γ)] v[(α)]′ ∨ v[(α)] = 1
1∨ v[(γ)] v[(α)]∨ 1 = 1
1 v[(α)]∨ 1 = 1
Por lo tanto la fórmula es válida.
• Tabla de Verdad
Se comprueba que la fórmula SI es válida.
b) ((α → β) → α) → α
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Arnold Oostra
Comentario en el texto
De Morgan :)
• Valuación sobre un álgebra booleana.
v[((α → β) → α) → α] Valuación sobre la fórmula
v[((α → β) → α)]′∨v[α] v[α → β] = v[(α)]′∨v[(β)]
(v[(α → β)]′∨v[(α)])′∨v[(α)] v[α → β] = v[(α)]′∨v[(β)]
((v[(α)]′∨v[(β)])′∨v[(α)])′∨v[(α)] v[α → β] = v[(α)]′∨v[(β)]
(((v[(α)]′)′ ∨ v[(α)]′) ∨ v[(β)]′) ∨ v[(α)] Asociativa
(1 ∨ v[(β)]′) ∨ v[(α)] v[(α)]′ ∨ v[(α)] = 1
1 ∨ v[(α)] v[(α)] ∨ 1 = 1
1 v[(α)] ∨ 1 = 1
Por lo tanto la fórmula es válida.
• Tabla de Verdad
Se comprueba que la fórmula SI es válida.
1.4. Decida si la fórmula es válida o no (por cualquier camino):
a) ((α → β) ∧ α) → β
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Arnold Oostra
Comentario en el texto
Aquí no se puede aplicar la asociativa, porque el término
(v[a]' v v[b])
está afectado por el complemento... hay que aplicar la Ley de De Morgan
Debido a que al realizar la tabla de verdad, esta nos da una tautoloǵıa, se
verifica que ((α → β) ∧ α) → β si es fórmula.
b) β → (α ∧ (β → α))
La tabla de verdad nos muestra que no da una tautoloǵıa, por lo que verifi-
camos que β → (α ∧ (β → α)) no es fórmula.
1.5. Decida en cada caso si se trata de una consecuencia o no.
a) α ∧ β, γ → α, γ → β ⊨ γ
Debido a que hay un renglón con todas las premisas verdaderas, pero la con-
clusión es falsa. Concluimos que NO es consecuencia.
b) α ∨ β, α → γ, β → γ ⊨ γ
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Arnold Oostra
Comentario en el texto
válida :)
Arnold Oostra
Comentario en el texto
válida
Arnold Oostra
Nota adhesiva
V
Como en todos los casos en los que las premisas son verdaderas, la conclusión
tambien es verdadera, se decide que SI es consecuencia.
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