Capitulo1_algebra B

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1 Esp. Lic. Alfredo Danún 
Fac. de Ingeniería – Tec. Univ. En Desarrollo y Calidad de Software 
ÁLGEBRA 1 
 
 
 ÍNDICE 
 1 Introducción 
 2 Proposición 
 3 Conectivos lógicos 
 4 Tautología y Contradicción 
 5 Esquemas Proposicionales 
 6 Cuantificadores 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 
 
Lógica Proposicional 
 
 
 
 
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1. Introducción 
 La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio 
de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica se interesa por 
cualquier tipo de razonamiento, los cuales pueden ser: argumentos legales, 
demostraciones matemáticas o conclusiones científicas o metódicas, basadas 
todas en ciertas suposiciones o pasos a realizar. 
 En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se 
realiza tiene un procedimiento ordenado, esquematizado, por el ejemplo: 
Para ir de compras al supermercado, una persona tiene que realizar cierto 
procedimiento lógico que permita concretar dicha tarea, ya sea elegir qué camino 
tomar, cómo administrará el dinero, qué supermercado le conviene, qué artículos 
comprará, como los ordenará y por supuesto en que medio volverá a su domicilio 
u otro lugar. 
Para extraer dinero de un cajero, se debe introducir la tarjeta, colocar la clave, 
elegir las opciones para extraer dinero, luego terminar la operación y no olvidarse 
de retirar la tarjeta. 
Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, 
ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte 
baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene 
pintado, también dependiendo si es zurdo o diestro, él puede pintar de izquierda a 
derecha o de derecha a izquierda según el caso. 
 
 
 
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Todos estos procedimientos son una aplicación de la lógica en la vida cotidiana. 
Para introducirnos en el tema, empezaremos nuestro estudio con las 
proposiciones. 
2. Proposiciones 
 
 
 
 
Ejemplos: 
• “El triángulo es un polígono” es una proposición verdadera. 
• “6 es impar”, es una proposición falsa. 
• “¡Estudian razonando!” no es una proposición. 
• “Todos los argentinos son tucumanos” es una proposición falsa 
• “¡Hagan silencio!” no es una proposición. 
• “Don José de San Martin murió en Francia” es una proposición verdadera. 
Puede haber casos como: 
• Cuando llegó Cristóbal Colon a la nueva tierra había un día soleado 
• El 1 de junio de 873 estaba lloviendo 
Son proposiciones que podrían ser verdaderas o falsas, quizá no contamos con la 
información para asegurarlo, pero son proposiciones ya que pueden haber 
ocurrido o no. 
En especial estudiaremos también proposiciones de la forma: 
 
• 1 + 3 = 5 es una proposición falsa 
Definición: 
 Una proposición es toda oración afirmativa de la cual se puede decir verdadera o 
falsa, pero no ambas. 
 
 
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• Si x = 2 entonces x2 = 4 es una proposición verdadera 
• Si x2 = 4 entonces x = 2 o x = - 2 es una proposición verdadera 
• Si i = 1 entonces i +3 = 4 es una proposición verdadera 
 
Notación: Se denotará a cada afirmación con letras minúsculas, por ejemplo: p , 
q , r , etc. 
 
Ejemplo: 
 
a) p : “El triángulo es un polígono” 
 
b) q : “6 es impar” 
 
c) r : “Todos los argentinos son tucumanos” 
 
d) t: “1 + 3 = 5” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
a) p : “El triángulo es un polígono” 
p = 1 
 
b) q : “6 es impar” 
q = 0 
 
c) r : “Todos los gatos son pardos” 
r =0 
 
d) t: “1 + 3 = 5” 
t = 0 
Valor de verdad de una proposición 
 Dada un proposición p, si p es verdadera se denota con el digito 1 de la siguiente 
manera: p = 1 
Caso contrario, p es falsa. p = 0 
 
 
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¡Para pensar! 
Consideren las siguientes proposiciones: 
p : “Todos los gatos son negros y 3 es impar” 
q : “Un triángulo tiene 3 lados y cuadrado tiene 4” 
 
¿Podrían dar el valor de verdad de cada una? 
Escriban todos los aspectos que consideren relevantes 
Las proposiciones que definimos en nuestro curso se llaman proposiciones 
simples o primitivas, ya que todas serán siempre oraciones afirmativas. 
Por ejemplo 
p : “Tilcara se encuentra en Jujuy” 
En cambio la proposición q : “Tilcara no se encuentra en Jujuy” no es una 
proposición simple o primitiva ya que es la negación de una afirmación. 
Otro ejemplo 
p : “Algebra y Algoritmos son materias de 1er año de la carrera” 
Tampoco es una proposición simple ya que la podemos “descomponer” o 
“separar” en dos proposiciones como: r: “Algebra es materia de 1er año de la 
carrera” y t : “Algoritmos es materia de 1er año de la carrera” 
Las proposiciones simples son aquellas que no se pueden descomponer. 
 
 
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Ejemplos 
a) q : “ Juan no viajará a Brasil y en cambio, arreglará su casa en las 
vacaciones” q es una proposición compuesta, ya que puede descomponerse 
como: 
p: “Juan no viajará a Brasil en las vacaciones” y s : “ Juan arreglará su casa en 
las vacaciones” 
 
b) r : “No existen triángulos con 3 lados de igual medida”. Es una 
negación así que se puede descomponer en 
s: “existen triángulos con 3 lados de igual medida” 
 
c) t : “3 es primo” es una proposición simple ya que no se puede descomponer. 
 
d) w : “ Hoy es un día soleado o mañana estará lloviendo” ¿Cómo lo podrían 
descomponer? 
 
Observemos que en varias de las proposiciones siguientes aparecen ciertas 
palabras que conectan o transforman proposiciones simples en proposiciones 
compuestas. 
 
 
 
 
Definición: 
Una proposición es simple o primitiva no es la negación de una afirmación y cuando no 
se puede descomponer en partes que sean a su vez también proposiciones. 
En caso de no ser una proposición simple se dice proposición compuesta. 
Definición 
 A aquellas palabras que funcionan de nexo entre proposiciones simples para formar 
proposiciones compuestas las llamamos conectivos lógicos. 
 
 
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3. Conectivos lógicos 
Los conectivos lógicos son: 
1) La Negación 
2) La Conjunción o Producto Lógico 
3) La Disyunción o Suma Lógica 
4) Implicación o Condicional 
 
Veamos en detalle cada caso: 
1) Negación 
 Si p es una proposición cualquiera, la expresión simbólica ~ p es la negación de 
p, y se lee “No p” o “No es cierto que p”. 
El valor de verdad ~ p es falso si el valor de verdad de p es verdadero y es 
verdadero si el valor de verdad de p es falso. 
Es decir: 
Si p = 1 entonces ~ p = 0 en cambio, si p = 0 entonces ~ p = 1. 
 
Estos resultados pueden volcarse en una tabla llamada tabla de verdad. 
Una tabla de verdad es un objeto que contiene todas las posibles opciones para 
las proposiciones que estemos trabajando, generalmente se presentan de manera 
ordenada para no dejar afuera ninguna opción. La tabla de verdad para la 
negación es: 
 
 
p p 
1 0 
0 1 
 
 
 
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Ejemplos 
a) p: “ El triángulo es un polígono” su negación es: ~ p: El triángulo no es un 
polígono (proposición falsa) 
 
b) r :“ No existen polígonos de 2 lados” en este caso al ser una proposición 
que contiene la palabra “no” lo correcto es escribir ~r : “Existen polígonos 
de 2 lados” 
 
¡Para pensar! ¿Qué puede decir de ( )p y p respecto de sus valores de 
verdad? 
2) Conjunción o Producto Lógico 
 
 Se llama conjunción o producto lógico de las proposiciones p y q se denota 
simbólicamente p ∧ q y se lee “p y q”, también “p además de q”. 
 
Una conjunción o producto lógico es verdadera solo si son verdaderas ambas 
proposiciones componentes y es falsa en cualquier otro caso. 
 
Estos resultados pueden agruparse en una tabla de verdad que muestra de una 
manera óptima lo dicho anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
p q p  q 
1 1 1 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 0 
 
 
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Ejemplos 
1) p: “El triángulo es un polígono” q : “ 5 es un número par” 
 p  q : “El triángulo es un polígono y 5 es un número par” 
2) r : “3 es un número primo” t : “3 es número impar” 
 r  t : “ 3 es un número primo e impar” 
 
3) p : “Juan Pérez es alto” r : “Juan Pérez tiene 20 años” 
 p  r : “Juan Pérez es alto y tiene 20 años” 
 
Ejercicio 
A partir de la tabla de verdad de p  q hacer la tabla de verdad de ~ (p  q) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q p  q ~ (p  q) 
1 1 1 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 0 
 
 
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3) Disyunción o Suma Lógica 
Se llama disyunción o suma lógica de las proposiciones p y q a la expresión 
simbólica p ⋁ q que se lee “p o q”. 
 
Esta “ o ” tiene sentido incluyente, se lee a veces p y/o q. 
 
Una disyunción es verdadera si una cualquiera o ambas proposiciones lo son, y 
es falsa cuando son falsas ambas proposiciones. 
 
 
p q p  q 
1 1 1 
1 0 1 
0 1 1 
0 0 0 
 
Ejemplos 
1) p: “El triángulo es un polígono” q : “ 5 es un número par” 
 p  q : “El triángulo es un polígono o 5 es un número par” 
2) r : “3 es un número primo” t : “3 es número impar” 
 r  t : “ 3 es un número primo o impar” 
 
3) p : “Juan Pérez es alto” r : “Juan Pérez tiene 20 años” 
 p  r : “Juan Pérez es alto o tiene 20 años” 
 
 
 
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Ejercicio 
A partir de la tabla de verdad de p  q hacer la tabla de verdad de ~ (p  q) 
 
 
 
 
 
 
 
Veamos lo siguiente 
 
 
 
 
 
 
Cuando dos columnas en una tabla de verdad son iguales se dice que las 
proposiciones son equivalentes. 
~ (p  q) es equivalente a ~ p  ~q. De esta manera, si queremos negar: “ Hoy es 
jueves ó está soleado” debemos decir: “Hoy no es jueves y no está soleado” 
~ (p  q) es equivalente a ~ p  ~q. Así la negación de “ El sol es una estrella y 9 
es impar” es “ El sol no es una estrella o 9 no es par”. 
p q p  q ~ (p  q) 
1 1 1 
1 0 1 
0 1 1 
0 0 0 
p q ~ (p  q) ~ (p  q) ~ p  ~q ~ p  ~q 
1 1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 
0 0 1 1 1 1 
 
 
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El ultimo conectivo lógico, y quizá el más importante es la “implicación”. Esta 
aparece con frecuencia en enunciados matemáticos, que requieren de 
demostración para ser validados, u oraciones que determinan la realización de 
una acción. 
Ejemplos 
p : “Si 3+ 1 = 5 entonces 52 = 25” 
q : “Si llueve entonces no salgo” 
r: “Si 18 es par entonces 18/2 es entero” 
s : “Si 12 es divisible por 6 entonces 12 es divisible por 2” 
t : “Si Juan es cordobés entonces es argentino” 
 
Este conector es el más complicado de todos ya que el valor de verdad es 
diferente a la implicación en sentido coloquial. 
 
 
4) Implicación o Condicional 
 
El condicional es una operación que conecta dos proposiciones mediante las 
palabras: Si… entonces… Se expresa simbólicamente p  q que se lee “Si p 
entonces q” 
Hay distintas maneras de leer el condicional p  q alguna de ellas son: “p 
implica q” “ p solo si q “ , “p es suficiente para q”, “ q es necesario para p”. 
 
Se dice de p que es el antecedente y q el consecuente de la proposición 
condicional. 
 
 
 
 
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El único caso en que un condicional es falso es cuando el antecedente es 
verdadero y el consecuente es falso. La tabla de verdad para la implicación es: 
 
p q p  q 
1 1 1 
1 0 0 
0 1 1 
0 0 1 
 
Ejemplos: 
1) p : “ El triángulo ABC es equilátero” q : “El triángulo ABC es isósceles” 
 p  q : “ Si el triángulo ABC es equilátero entonces es isósceles” 
 
2) p : “ 3 es impar” q : “ 3 es primo” 
 p  q : “Si 3 es impar entonces 3 es primo” 
 
3) p : “Juan aprueba el examen” q : “ Juan recibe un viaje” 
 p  q : “Si Juan aprueba el examen entonces recibe un viaje” 
 
4) p : “hoy llueve” q : “hoy voy al cine” 
 p  q : “ Si hoy llueve entonces hoy voy al cine” 
 
5) p : “ Paris es la capital de Francia” q : “3+ 4 = 6” 
 p  q : “Si Paris es la capital de Francia entonces 3 + 4 = 6” 
 
 
 
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6) p : “ María aprueba el examen de algebra” q : “Asunción es la capital de 
Brasil” 
 p  q : “Si María aprueba el examen de algebra entonces 
Asunción es la capital de Brasil” 
 
Diferencias con la implicación del lenguaje ordinario: En primer lugar, la 
implicación del lenguaje ordinario sobreentiende que existe una relación de 
causalidad directa entre sus dos partes: “si p entonces q” es incorrecto cuando p 
no es la causa de q. Como ocurre en las proposiciones: 
“Si Paris es la capital de Francia entonces 3 + 4 = 6” 
“Si María aprueba el examen de algebra entonces Asunción es la capital de Brasil” 
Donde claramente el hecho de que Paris sea la capital de Francia no altera los 
resultados de las sumas conocidas, ni mucho menos el hecho que María apruebe 
algebra cambiará la capital de Brasil. 
En matemática no es necesaria la existencia de una relación de causalidad. De 
hecho, no necesitan tener relación alguna. La implicación matemática expresa 
solamente una coincidencia de los valores de verdad independientemente de lo 
que sean las proposiciones involucradas, ya que la idea es tener un proceso 
lógico, que pueda ser leído por las computadoras. 
 
 
 
 
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Proposiciones asociadas a la implicación condicional 
Dada la proposición p  q (directa) podemos determinar a partir de esta, las 
siguientes proposiciones asociadas: 
Implicación recíproca: q  p 
 Ejemplo: p  q : “ Si hoy llueve entonces hoy voy al cine” 
 q  p : “ Si hoy voy al cine entonces hoy llueve” 
Implicación contraria: ~p  ~q 
 Ejemplo: p  q : “ Si hoy llueve entonces hoy voy al cine” 
 ~p  ~q : “Si hoy no llueve entonces no voy al cine” 
Implicación contrarecíproca: ~q  ~p 
 Ejemplo: p  q : “ Si hoy llueve entonces hoy voy al cine” 
 ~q  ~p : “Si hoy no voy al cine entonces no llueve” 
 
Para cada una de estas podemos determinar su valor de verdad 
 p ~p q ~q p  q q  p ~p ~q ~q  ~p 
1 0 1 0 1 1 1 1 
1 0 0 1 0 1 1 0 
0 1 1 0 1 0 0 1 
0 1 0 1 1 1 1 1 
 
 
 
 
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Observación importante 
Si la proposición “ Si pentonces q” es verdadera entonces la proposición “~p 
~q” también es verdadera. 
Ejemplo 
“Si Juan es cordobés entonces Juan es argentino” su proposición contrareciproca 
es: “Si Juan no es argentino entonces Juan no es cordobés” 
En cambio, no podemos asegurar nada de las proposiciones reciproca y contraria 
a partir de la veracidad de la proporción directa. En el ejemplo anterior, se tiene 
que: 
“Si Juan es argentino entonces Juan es cordobés” 
“Si Juan no es cordobés entonces no es argentino” 
Reglas de inferencia 
A partir de una sucesión de proposiciones llamadas hipótesis o premisas, 
podemos deducir una nueva proposición llamada conclusión 
Ejemplo 
“Si hoy llueve entonces no salgo” 
“hoy llueve” 
La conclusión es: “hoy no salgo” 
Recuerde que una premisa es una afirmación que se da como cierta. 
 
 
 
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Otro ejemplo 
“Si apruebas el examen de algebra entonces te regalo un viaje” 
“No te regalo el viaje” 
Conclusión: “No aprobaste el examen de algebra” 
 
Algunas reglas de inferencia son: 
Silogismo disyuntivo: 
p q 
p 
 q 
 Ejemplo: 
“Juan va en bici o en colectivo al campus universitario” 
 
“Juan no va en colectivo al campus universitario” 
Conclusión: “Juan va en bici al campus universitario” 
 
Silogismo hipotético 
p q 
q r 
p r  
 
p q 
q 
 p 
 
 
 
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Ejemplo 
“Si estudio algebra entonces aprobaré el examen” 
“Si apruebo el examen entonces me iré de vacaciones” 
Conclusión: “Si estudio algebra entonces me iré de vacaciones” 
 
Modus ponens 
p q 
 
q 
Ejemplo 
“Si 40 es un número divisible por 4 entonces es divisible por 2” 
“40 es divisible por 4” 
Conclusión: “40 es divisible por 2” 
 
Modus tollens 
p q 
q 
p 
Ejemplo 
“Si mañana apruebo el examen entonces voy al cine” 
“No voy al cine” 
Conclusión: “No aprobé el examen” 
p
 
 
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Realizar la ACTIVIDAD N° 1 
Formulas Proposicionales 
A partir de dos proposiciones y un conectivo lógico ( o de una proposición si el 
conectivo lógico es la negación) obtenemos una nueva proposición y por lo tanto a 
ésta y otra proposición, podemos aplicarle un conectivo obteniendo así otra 
diferente, y así sucesivamente, la cantidad de veces que queramos, obteniendo 
así una formula lógica o proposicional, que es la versión lógica de la expresión 
algebraica. 
Simbolizaremos las fórmulas con letras mayúsculas: A, B, C, D, etc. 
La primera de las fórmulas proposicionales es el bicondicional. 
 
Bicondicional o Doble Implicación 
 
Dadas p y q dos proposiciones cualesquiera, para expresar que cuando suceda p, 
sucederá q y viceversa, cuando suceda q sucederá p, escribimos simbólicamente 
 
p  q y se lee “p si y solo si q” o “p es necesario y suficiente para q”. 
(Abreviamos “p sii q”) 
La proposición p q es verdadera cuando los valores de verdad de p y q 
coinciden. 
La tabla de verdad para la doble implicación es: 
 
 
 
 
 
 
p q p q 
1 1 1 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
 
 
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¿Por qué el bicondicional es una formula proposicional? 
 El bicondicional es la conjunción de dos condicionales contrarios. 
( ) ( )p q q p   
Para ello veamos la tabla de verdad 
 
 
 
 
 
 
Las dos últimas columnas de la derecha coinciden. 
Ejemplos 
1) p : “Paris está en Francia” q : “2+2 = 5” 
p q : “Paris está en Francia si y solo si 2 + 2 = 5” 
 
2) p : “Paris está en Inglaterra” q : “ 2 + 2 = 5” 
p q : “Paris está en Inglaterra si y solo si 2 + 2 = 5” 
 
3) p : “Paris está en Francia” q : “ 2 + 2 = 4” 
p q : “Paris está en Francia si y solo si 2 + 2 = 4” 
 
Las proposiciones p q del ejercicio 2) y 3) son verdaderas. 
 
P q p q q p ( ) ( )p q q p   p q 
1 1 1 1 1 1 
1 0 0 1 0 0 
0 1 1 0 0 0 
0 0 1 1 1 1 
 
 
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Ejemplos de fórmulas proposicionales: 
A : ( )p q r    
B : ( )p p 
C : ( )p p 
D : ( ) ( )p q t  
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
1) ( )p p vamos a demostrarlo 
p p ( )p 
1 0 1 
0 1 0 
 
Nótese que p y ( )p son ambas verdaderas o ambas falsas para cada valor 
de verdad de p 
Definición 
 Dos fórmulas A y B se dicen lógicamente equivalentes cuando tienen la misma 
tabla de verdad, o sea, para cada uno de los posibles valores de verdad de sus 
componentes los valores de verdad de ambas fórmulas coinciden. 
Cuando A y B sean lógicamente equivalente lo notaremos A B . 
 
 
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2) ( ) ( ) ( )p q p q   haremos la tabla de verdad para demostrarla: 
 
p q p q p q ( )p q ( ) ( )p q 
1 1 0 0 1 0 0 
1 0 0 1 0 1 1 
0 1 1 0 0 1 1 
0 0 1 1 0 1 1 
 
Las dos últimas columnas coinciden. 
 
 
 
 
 
Leyes de De Morgan 
Sean p y q proposiciones entonces 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p q p q
p q p q
i)
ii)
  
  
 
 
Demostración 
El caso i) está probado en el ejemplo anterior. 
El caso ii) queda para el lector. 
 
 
 
 
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Ejemplos 
• Dala la siguiente conjunción : “ Alfredo estudia Algebra y Algoritmos” 
para 
hallar la negación debemos usar la ley de De Morgan: 
Y nos quedaría: “Alfredo no estudia Algebra o Algoritmos” 
 
• Para el caso de una disyunción: “Marta va al cine o al parque” la 
negación de la misma es: “Marta no va al cine ni al parque” 
 
Observe que la negación de una conjunción se transforma en una 
disyunción y recíprocamente: la negación de una disyunción se transforma 
en una conjunción. 
 
Negación de una implicación 
Para hallar la negación del conectivo condicional p q donde p y q son 
proposiciones dadas, recurriremos a la proposición equivalente 
 
p q p q   
 
Esta queda como ejercicio para el lector, se debe probar usando tabla de 
verdad. 
 
Recordemos que dos proposiciones son equivalentes cuando tienen la 
misma tabla de verdad. 
 
Ahora la negación es: ( ) ( )p q p q   
En el segundo miembro de la equivalencia usamos las leyes de De Morgan 
ya demostradas: 
( )p q p q   
Veamos ejemplos que aclaren 
 
 
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Ejemplos 
• “ Si Alfredo aprueba los exámenes parciales entonces es regular en 
la materia” 
Su negación es: 
“Alfredo aprueba los exámenes parciales y no es regular en la 
material” 
 
• “Si la medida de los lados de un triángulo es la misma entonces el 
triángulo es equilátero” 
Su negación es: 
“La medida de los lados de un triángulo es la misma y no es un 
triángulo equilátero” 
 
• “Si sos argentino entonces es tucumano” 
Su negación es: 
“Sos argentino y no sos tucumano” 
 
 
Negación de un bicondicional 
 
Para hallar la negación del bicondicional procederemos de igual manera 
utilizando una equivalencia lógica 
( ) ( ) ( )p q p q q p     
 
Es decir que para hallar la negación debemos halar la negación de su 
equivalencia 
( ) ( ) ( )p q p q q p       
 
 
 
 
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Debemos usar de nuevo las leyes de De Morgan 
( ) ( ) ( )p q p q q p     
 
Por último debemos usar la negación del condicional 
( ) ( ) ( )p q p q q p     
 
Es decirque la negación de un bicondicional se transforma en una 
disyunción con dos conjunciones. 
Veamos ejemplos que aclaren esta situación 
 
Ejemplos: 
 
• “Alfredo estudia algebra si y sólo si Marta estudia algoritmos” 
Su negación es: 
“Alfredo estudia algebra y Marta no estudia algoritmos ó Marta estudia 
algoritmo y Alfredo no estudia algebra” 
 
• “Regularizas algebra si y solo si apruebas los parciales” 
Su negación es: 
“Regularizas algebra y no apruebas los parciales ó apruebas los parciales 
y no regularizas” 
 
• “Una persona tiene hijos si y solo si está casado” 
Su negación es: 
“una persona tiene hijos y no está casada ó está casada y no tiene 
hijos” 
 
 
 
 
 
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4. Tautología y Contradicción 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
 
1) ( )p p es una tautología 
Haremos la talaba de verdad para demostrarlo. 
 
 
 
2) ( )p p es una contradicción 
Haremos la talaba de verdad para demostrarlo. 
 
 
 
 
5. Esquemas Proposicionales 
Como ya mencionamos al inicio del capítulo, la lógica aparece en todos los 
resultados matemáticos, muchas veces estos resultados hacen referencia a un 
objeto dentro de un rango o lista de objetos elegibles, por ejemplo: 
“Si x es un numero divisible por 4 entonces x es divisible por 2” 
 
 
Definición 
 Una Tautología es una formulación proposicional que toma el valor de verdad 
verdadero (1) para todos los valores de verdad de sus componentes, y una 
Contradicción es una fórmula que toma el valor de verdad falso (0) para todos los 
valores de verdad de sus componentes. 
p p ( )p p 
1 0 1 
0 1 1 
 
p p ( )p p 
1 0 0 
0 1 0 
 
 
 
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Aquí desconocemos que es x pero si x tomara los valores naturales entonces 
podríamos analizar su valor de verdad y afirmar que se trata de una proposición. 
Analicemos esto con un ejemplo sencillo. 
Consideremos el siguiente tipo de proposición 
p: “x es un numero positivo” 
 
¿Qué puede decir sobre el valor de verdad de p? 
 
Si x fuera 2 la proposición sería verdadera, pero si x fuera -1 entonces la 
proposición sería falsa. 
 
Es decir este tipo de expresiones, que por si mismas no poseen un valor de 
verdad, pero si se les asignan “valores” a la variable se transforma en proposición, 
con su correspondiente valor de verdad. 
Ejemplos 
1) “x es un numero primo” 
2) “x divide a 24” 
3) “ x es hijo de Juan Pérez” 
 
Note que ninguna es proposición ya que no podemos decir nada del valor de 
verdad de cada una. Estas se convierten en proposiciones cuando se les asigna 
un valor a la variable “x”. 
Las expresiones de los ejemplos se denominan esquemas proposicionales. 
 
 
 
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El conjunto de objetos sobre el que tomamos los elementos para darle valor a las 
variables de un esquema, para que éste se transforme en una proposición lo 
denominaremos universo y lo denotaremos por U. 
La notación que corresponde a los esquemas proposicionales es la siguiente: 
1) F[x] : “x es un numero primo” siendo U = N 
2) G[x] : “x divide a 24” siendo U = N 
3) H[x] : “ x es hijo de Juan Pérez” siendo U ={ personas en el mundo} 
 
Son proposiciones: 
1) F[3] : “3 es un numero primo” 
2) G[12] : “12 divide a 24” 
3) H[Luis] : “ Luis es hijo de Juan Pérez” 
 
Para referirnos a que x pertenece a U, usamos la notación x U que se lee “x 
pertenece a U”. 
6. Cuantificadores 
Reemplazar la variable por elementos de un universo conveniente, no es la única 
forma en que podemos obtener de un esquema proposicional una proposición: 
Por ejemplos, si decimos 
i) “Para todo x en U, x es un número primo” 
ii) “Existe un x en U, tal que x es un número primo” 
iii) “Para todo x en U, x < 0” 
iv) “Existe un x en U: x + 1 = 3” 
v) “ Para todo x en U , x2 > 0 
 
 
 
 
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Todas ellas son proposiciones y así podríamos construir otras más con el 
esquema F[x] 
Para analizar el valor de verdad de esas proposiciones debemos estar en un 
contexto razonable, o sea pensarlo en un universo. Generalmente tomares como 
universo el conjunto de los números reales, que se denota con la letra:  . 
Las nuevas locuciones que introdujimos: “ para todo…” “existe…” ; ellos se 
denominan cuantificadores u operadores, que al anteponerse a un esquema 
proposicional lo transforman en una proposición. 
 
Cuantificador u Operador Universal para esquemas en una variable 
La locución “Para todo x…” se denomina cuantificador u operador universal en x, y 
lo simbolizamos con: 
x 
En términos generales si se tiene un esquema proposicional F[x], se puede 
obtener de él una proposición mediante la adjunción de un operador universal: 
x U  : F[x] 
Ejemplo 1: 
Consideremos el esquema proposicional F[x] : x es un numero par 
Esta no es una proposición, pero si anteponemos el cuantificador universal x , 
que se lee “Para todo x” nos queda: 
“ x U  : x es un numero par” o “ x U  : F[x]” 
Esta sí es una proposición ya que podemos dar el valor de verdad. 
 
Ejemplo 2: 
 
 
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Sea el esquema proposicional H[x] : x es un mamífero 
Anteponiendo el cuantificador universal nos queda 
x U  : x es un mamífero o “ x U  : H[x] ” 
¿Cuál considera que debe ser el universo en el Ejemplo 2? Respuesta: 
Cuantificador u Operador Existencial para esquemas en una variable. 
Llamamos cuantificador u operador existencial en x a la locución “existe un x tal 
que…” y la notaremos: x : 
En general, si se tiene un esquema proposicional F[x] , se puede obtener de él una 
proposición mediante la adjunción de un operador existencial : x : F[x] 
Ejemplos 
1) “ x : x es numero primo” o “ x : F[x]” 
2) “ x : x es mamífero” o “ x : H[x]” 
 
Negación de los cuantificadores 
Dada una proposición, tenemos determinada la proposición contraria, su negación. 
Por ejemplo, si tenemos la proposición: 
“Todo número es primo” 
Su negación puede ser: 
• No todo número es primo 
• Algunos números no son primos 
• Existe un número que no es primo 
 
 
 
 
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Estas expresiones son equivalentes en el lenguaje coloquial ya que expresan el 
mismo concepto, pero la última podemos traducirla simbólicamente, así que, 
cuando tengamos: ( )x : x es primo Estaremos diciendo: x : x no es primo 
En lenguaje formal: ( )x : F[x] es x : F[x]  
Definición: definiremos ( )x : F[x] como x : F[x]  
Ahora, si tenemos la proposición 
“Existe un número que es primo” 
Su negación puede ser: 
• No existe un número que sea primo 
• Ningún número es primo 
• Todos los números no son primos 
 
Como ya hemos dicho antes, las tres últimas expresiones son equivalentes en el 
lenguaje coloquial, pero sólo la última, quizá la que menos usaríamos, es la que 
puede simbolizarse lógicamente. Cuando decimos ( )x : x es primo estamos 
diciendo x : x es primo . En lenguaje formal: ( )x : F[x] es x : F[x]  
Definición: definiremos ( )x : F[x] como x : F[x] 