Trabajo Practico 2 - Parte I

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Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Tucumán
Cátedra de Investigación Operativa
	
Trabajo Práctico N° 2
TRABAJO PRACTICO N°2
INTEGRANTES:
· Alawi Tarif – 48324
· Arnedo Tobías – 48127
· Juárez Nahuel – 50546
Materia: Investigación Operativa 
Tema: Programación Lineal
PROGRAMACIÓN LINEAL 
1. Una empresa está estudiando llevar a cabo una campaña publicitaria, para ello dispone de 1.000.000 de euros. Puede difundir sus anuncios en dos canales publicitarios distintos, el primero de ellos cobra 15.000 euros cada vez que emite un anuncio, mientras que el segundo cobra el doble. La probabilidad de que un anuncio del primer canal sea visto es del 30 %, mientras que del segundo es del 70 %. Como mínimo deben emitirse 26 anuncios en el primer canal y 13 en el segundo. Se pide: 
X= cantidad de anuncios a emitir por el primer canal
Y= cantidad de anuncios a emitir por el segundo canal
MAX Z= 0,3[p/a] X + 0,7[p/a] Y
RESTRICCIONES:	#1: Dinero= 15000 [€/a] X + 30000 [€/a] Y <= 1000000 €
				#2: Mínimo 1er Canal= X >= 26 [a/c] 
				#3: Mínimo 2do Canal= Y >= 13 [a/c] 
				#4: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
 Se deben emitir 26 anuncios por el primer canal y 20 por el segundo canal.
a. Determine el número de anuncios que se debe lanzar en cada canal de manera que maximice la probabilidad de que se vea el anuncio de la empresa, teniendo en cuenta la restricción presupuestaria y las del número de anuncios. 
 Se deben emitir 26 anuncios por el primer canal y 20 por el segundo canal.
b. Halle la solución que se obtiene si elimina la segunda restricción.
 El mínimo de canales a emitir por el primer canal es 0 y 33 por el segundo canal.
c. ¿Y si elimina la tercera restricción?
 La solución sigue siendo la misma al punto a. (solución degenerada).
d. Si la empresa dispusiese de más dinero para invertir, ¿lo invertiría en la primera o en la segunda cadena de televisión? ¿Por qué?
 Lo invertiría en la segunda cadena de televisión porque mi z no afectaría ya que el precio sombra es 0. En cambio, por cada anuncio del primer canal que agregue mi z decrementará 0,05.
e. ¿A partir de qué coste resulta interesante difundir anuncios en una tercera cadena que proporcione el 50 % de probabilidad de que un telespectador vea el anuncio? 
 
f. ¿Qué solución obtendría si el primer canal duplicara el coste de los anuncios? 
Se deberían emitir 26 anuncios por el primer canal y 7 por el segundo canal.
2. Una empresa vende tres tipos de productos (1, 2 y 3). El producto 1 está formado por los componentes A y B. El producto 2 consta de 2 unidades de A, 1 unidad de B y 2 unidades de C. Por último, el producto 3 está integrado por 2 unidades de A, 1 unidad de B y 1 unidad de C. Se dispone de 95.000 unidades del componente A, 80.000 del B y 60.000 del C. El coste de cada componente A es de 20 euros, el coste de cada componente B es de 30 euros, y el coste de cada componente C es de 10 euros. El precio de venta de los productos 1, 2 y 3, es respectivamente de 60, 120 y 100 euros. Formule y resuelva el programa lineal que maximiza el beneficio. 
A= Cantidad del producto 1 [u]
B= Cantidad del producto 2 [u]
C= Cantidad del producto 3 [u]
MAX Z= 10[€/u] A[u] + 30[€/u] B[u] + 20[€/u] C[u]
RESTRICCIONES:	#1: Comp. A= 20[€/u] A[u] + 40[€/u] B[u] + 40[€/u] C[u] <= 95000 u
				#2: Comp. B= 30[€/u] A[u] + 30[€/u] B[u] + 30[€/u] C[u] <= 80000 u
				#3: Comp. C= 20[€/u] B[u] + 10[€/u] C[u] <= 60000 u
				#4: No negatividad= A >= 0; B >= 0; C >= 0
	PRODUCTO
	1
	2
	3
	DISPONIBILIDAD MAXIMA
	COMP A
	20 €/u
	40 €/u
	40 €/u
	95000 u
	COMP B
	30 €/u
	30 €/u
	30 €/u
	80000 u
	COMP C
	0 €/u
	20 €/u
	10 €/u
	60000 u
	VENTAS
	60 €/u
	120 €/u
	100 €/u
	MAXIMIZAR GANANCIAS
	COSTOS
	50 €/u
	90 €/u
	80 €/u
	
 Se debe vender 2375 unidades del producto 2, obteniendo una ganancia máxima de 71250 €.
3. Una fábrica produce bicicletas de montaña, que las vende a 200€ cada una, y bicicletas de paseo, que las vende a 150€. Pero la fábrica solo dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar. Además, para hacer una bicicleta de montaña se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para fabricar una bicicleta de paseo se necesitan 2 kg de acero y 2 kg de aluminio. Se pide: 
a. ¿Cuántas bicicletas se deben fabricar para conseguir el máximo beneficio?
Se deben fabricar 20 bicicletas de montaña y 30 bicicletas de paseo.
b. Grafique la solución óptima.
 La región factible muestra 4 puntos (0, E, C y A) siendo C (20, 30) el que maximiza los beneficios.
X= cantidad de bicicletas de montaña [u]
Y= cantidad de bicicletas de paseo [u]
MAX Z= 200[€/u] X[u] + 150[€/u] Y[u]
RESTRICCIONES:	#1: Acero= 1 [kg/u] X[u] + 2 [kg/u] Y[u] <= 80 kg
				#2: Aluminio= 3 [kg/u] X[u] + 2 [kg/u] Y[u] <= 120 kg
				#3: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
	BICICLETA
	DE MONTAÑA
	DE PASEO
	DISPONIBILIDAD MAXIMA
	ACERO
	1 kg/u
	2 kg/u
	80 kg
	ALUMINIO
	3 kg/u
	2 kg/u
	120 kg
	BENEFICIO
	200 €/u
	150 €/u
	MAXIMIZAR BENEFICIOS
4. Una compañía aérea quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades. Para ello necesita transportar como mínimo 1800 personas y 106 toneladas de equipaje y mercaderías. Además, para llevarlo a cabo, solo dispone de 11 aviones del tipo A, que pueden transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje cada uno, y 8 aviones del tipo B, que pueden transportar 100 personas y 15 toneladas cada uno. Si la contratación de un avión de tipo A cuesta 4600£ y la de un avión del tipo B 3100£. Se pide: 
a. Calcule el número de aviones de cada tipo que hay que contratar para que el coste total sea mínimo y determina dicho coste.
Como no puedo contratar 6,83 aviones tipo A y 4,33 aviones tipo B, consideramos un coste mínimo de 47800 £ que se obtendría contratando 5 aviones de tipo A y 8 aviones de tipo B.
b. Solución grafica del problema. 
 La región factible tiene 4 puntos (I, D, C y G) siendo D (5, 8) el que minimiza los costos.
X= cantidad de aviones de tipo A
Y= cantidad de aviones de tipo B
MIN Z= 200[€/U] X + 150[€/U] Y
RESTRICCIONES:	#1: Personas= 1 [kg/U] X + 2 [kg/U] Y <= 80 kg
				#2: Toneladas= 3 [kg/U] X + 2 [kg/U] Y <= 120 kg
				#3: Cantidad A= X <= 11 U
				#4: Cantidad B= Y <= 8 U
				#5: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
	AVIONES
	A
	B
	DISPONIBILIDAD MINIMA
	PERSONAS
	200 p/U
	100 p/U
	1800 p
	TONELADAS
	6 Tn/U
	15 Tn/U
	106 Tn
	CANTIDAD
	11 U
	8 U
	
	COSTE
	4600 £/U
	3100 £/U
	MINIMIZAR COSTES
5. La empresa Agro Verde SA, vende paquetes de abono de dos tipos abono tipo A y abono tipo B. Cada paquete contiene las siguientes unidades de potasio (K), fosforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde además se da el precio del paquete.
	MARCA
	K
	P
	N
	Precio $
	A
	4
	6
	1
	15
	B
	1
	10
	6
	24
 
¿En qué proporción hay que realizar la mezcla de abono de cada tipo para minimizar el precio considerando que debe tener 4 unidades de K, 23 unidades de P y 6 unidades de N? Proporcione el modelo de optimización conveniente. 
X= cantidad de paquetes de tipo A
Y= cantidad de paquetes de tipo B
MIN Z= 15[$/U] X + 24[$/U] Y
RESTRICCIONES:	#1: Potasio (K)= 4 [U/p] X + 1 [U/p] Y >= 4 U
				#2: Fosforo (P)= 6 [U/p] X + 10 [U/p] Y >= 23 U
				#3: Nitrógeno (N)= 1 [U/p] X + 6 [U/p] Y >= 6 U
				#4: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
 Hay que mezclar medio paquete de A y 2 paquetes de B para minimizar el precio a $55,5.
6. Una fábrica de muebles especializada en la producción de dos clases de aparadores denominado clásico y moderno respectivamente. Cada aparador requiere de una cantidad de tiempo diferente para su construcción y para la pintura. La gerencia a determinado que es capaz de vender todo lo que produzca. Los requerimientos y capacidades de producción diarios están en la siguiente tabla: 
		Recursos requeridos para construir una unidad 
	Aparador clásico
[unidad]
	Aparador moderno [unidad]
	
Recursos 
	Tiempo de construcción [horas]
	6
	12
	120
	Tiempo de pintura 
[horas]
	8
	4
	64
	Utilidad unitaria [$]
	200
	240
	
Se desea determinar el número de unidadesde cada tipo de aparador a producir diariamente, de tal manera que las utilidades sean máximas.
a. Plantee y resuelva el problema.
X= cantidad de aparadores clásico
Y= cantidad de aparadores moderno
MAX Z= 200[$/U] X + 240[$/U] Y
RESTRICCIONES:	#1: Construcción= 6[hs/U] X + 12[hs/U] Y <= 120 hs
				#2: Pintura= 8[hs/U] X + 4[hs/U] Y <= 64 hs
				#3: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
 Se debe producir diariamente 4 aparadores clásicos y 8 aparadores moderno para obtener una utilidad máxima de $2720.
b. Represente gráficamente
 La región factible tiene 4 puntos (0, E, C y A) siendo C (4, 8) el que maximiza las utilidades.
7. La compañía LaMochy es un pequeño fabricante de mochilas escolares y de viajero. El distribuidor de LaMochy cree que existe un mercado tanto para una mochila de estudiante de precio moderado, denominada modelo School, como para una mochila de viajero de precio elevado, denominada modelo Traveller. El distribuidor está tan confiado en el mercado que, si LaMochy puede hacer las mochilas a un precio competitivo, el distribuidor comprará todas las mochilas que la compañía pueda fabricar durante los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de manufactura dio como resultado la siguiente tabla, que muestra los requerimientos de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación hecha por el departamento de contabilidad de la contribución a la ganancia por mochila. Tiempos de producción (horas).
	Producto 
	Corte y
teñido
	Costura
	Terminado
	Inspección y empaque
	Ganancia por bolsa
	School
	7/10
	1/2
	1
	1/10
	$10
	Traveler
	1
	5/6
	2/3
	1/4
	$9
El director de manufactura estima que dispondrán de 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de mochilas durante los siguientes tres meses.
X= cantidad de mochilas School
Y= cantidad de mochilas Traveller
MAX Z= 10[$/U] X + 9[$/U] Y
RESTRICCIONES:	#1: Corte y Teñido= 7/10 [hs/U] X + 1 [hs/U] Y <= 630 hs
				#2: Costura= 1/2 [hs/U] X + 5/6 [hs/U] Y <= 600 hs
				#3: Terminado= 1 [hs/U] X + 2/3 [hs/U] Y <= 708 hs
				#4: Inspección y Empaque= 1/10 [hs/U] X + 1/4 [hs/U] Y <= 135 hs
				#5: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
a. Si la compañía desea maximizar la contribución a la ganancia total, ¿cuántas mochilas de cada modelo debería fabricar?
 Debe fabricar 540 mochilas School y 252 mochilas Traveller.
b. ¿Qué contribución a la ganancia puede obtener LaMochy con estas cantidades de producción? 
 Se obtiene una ganancia máxima de $7668.
c. ¿Cuántas horas de tiempo de producción se programarán para cada operación? 
 Se programarán 630 horas para corte y teñido, 480 horas para costura, 708 horas para terminado y 117 para inspección y empaque.
d. ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada operación? 
 S1= 0, S2= 120, S3= 0 y S4=18.
8. Al restaurante Sea Wharf le gustaría determinar la mejor forma de asignar un presupuesto de publicidad mensual de $1000 entre periódicos y radio. La administración decidió que al menos el 25% del presupuesto debe gastarse en cada tipo de medio de comunicación y que la cantidad de dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe ser al menos el doble de la cantidad gastada en publicidad en radio. Un asesor de marketing elaboró un índice que mide la penetración de la audiencia por dólar de publicidad en una escala de 0 a 100, en la que valores más altos implican una mayor penetración. Si el valor del índice para la publicidad en periódicos locales es 50 y el valor del índice para los espacios publicitarios en radio es 80, ¿cómo debería asignar el restaurante su presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia? 
a. Formule un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar cómo debería asignar el restaurante su presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de penetración total en la audiencia. 
X= cantidad a asignar en periódicos 
Y= cantidad a asignar en radio
MAX Z= 50[$/U] X + 80[$/U] Y
RESTRICCIONES:	#1: Presupuesto= 1 [$/U] X + 1 [$/U] Y <= 1000 $
				#2: Mínimo Periódicos= X >= 250 $
				#3: Mínimo Radio= Y >= 250 $
				#4: Relación Ambos= 1 [$/U] X >= 2 [$/U] Y
				#5: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
 Debería asignar $666,66 en periódicos y $333,33 en radio para maximizar el valor de penetración total en la audiencia.
b. Resuelva el problema usando el procedimiento de solución gráfica. 
9. Tucumán Limones tiene que determinar la cantidad óptima de camiones para recoger, empacar y transportar sus limones Premium y Comunes cada semana. La mano de obra disponible para la recogida y empaque es de 4000 horas semanales. Para recoger, empacar y dejar un camión cargado con limones Premium, se necesitan 30 horas, y para limones Comunes se necesitan 15 horas. Tucumán Limones tiene una cantidad máxima de dinero en caja de $60000. El costo de alquiler por cada proceso de carga del camión y del transporte es de $200 y $300 para limones Comunes y Premium, respectivamente. La utilidad por camión es de $2000 para limones comunes y de $2500 para limones Premium. Tucumán Limones desea determinar la combinación óptima de camiones por tipo de limones que maximice la utilidad semanal. Formule el problema de programación lineal. 
	LIMONES
	PREMIUM
	COMUNES
	DISPONIBILIDAD MAXIMA
	MANO DE OBRA
	30 hs/U
	15 hs/U
	4000 hs
	COSTE
	300 $/U
	200 $/U
	60000 $
	UTILIDAD
	2500 $/U
	2000 $/U
	MAXIMIZAR UTILIDADES
X= cantidad de camiones para recoger, empacar y transportar limones Premium
Y= cantidad de camiones para recoger, empacar y transportar limones comunes
MAX Z= 2500[$/U] X + 2000[$/U] Y
RESTRICCIONES:	#1: Mano de Obra= 30 [hs/U] X + 15 [hs/U] Y <= 4000 hs
				#2: Dinero= 300[$/U] X + 200[$/U] Y <= 60000 $
				#3: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
a. Determine la mejor solución graficando las restricciones del modelo, identificando el área de soluciones factibles y los vértices. 
 El área factible tiene 3 puntos (0, A y B) siendo A (0, 266) el que maximiza las utilidades.
10. Suponga una fábrica de automóviles de alta gama. La compañía opina que sus clientes son hombres y mujeres de ingresos altos. Para llegar a estos grupos la fábrica ha emprendido una ambiciosa campaña publicitaria por TV, y decidió comprar comerciales de un minuto en dos programas: programas de comedia y partidos de futbol. Cada comercial en programas de comedia lo ven 7 millones de mujeres y 2 millones de hombres. Mientras que 2 millones de mujeres y 12 millones de hombres ven cada comercial en partidos de futbol. Un anuncio de un minuto en los programas de comedia cuesta 50000 dólares y un comercial de un minuto en partido de futbol cuesta 100000 dólares. A la fábrica le gustaría que por lo menos 28 millones de mujeres y 24 millones de hombres vieran sus comerciales. Utilice programación lineal para determinar como la fábrica puede alcanzar sus objetivos publicitarios al mínimo costo. 
X= minutos del comercial en programas de comedia
Y= minutos del comercial en partidos de futbol
MIN Z= 50000[$/U] X + 100000[$/U] Y
RESTRICCIONES:	#1: Publico Mujeres= 30 [hs/U] X + 15 [hs/U] Y <= 4000 hs
				#2: Publico Hombres= 300[$/U] X + 200[$/U] Y <= 60000 $
				#3: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
 Para minimizar los costos es necesario que sean transmitidos 12 minutos de comerciales en programas de comedia y 0 minutos de comerciales en partidos de fútbol, además 56 millones de mujeres extra y solo 24 millones de hombres (el mínimo) verán el comercial.
11. El departamento de nutrición del hospital de niños prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en fideos, pollo, papas, espinacas y puré de manzanas. Como el directos del departamento de nutrición usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 63000 miligramos (mg) de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1mg de tiamina y 50 mg devitamina C. Considere que cada 100 gramos de esta comida se proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla que se muestra a continuación. 
	
	Proteínas
	Hierro
	Tiacina
	Tiamina
	Vitamina C 
	Grasa
	Fideos
	5000
	1.1
	1.4
	0.18
	0.0
	5000
	Pollo
	293000
	1.8
	5.4
	0.06
	0.0
	5000
	Papas
	5300
	0.5
	0.9
	0.06
	10.0
	7900
	Espinaca
	3000
	2.2
	0.5
	0.07
	28.0
	300
	Puré Manzanas
	4000
	1.2
	0.6
	0.15
	3.0
	14300
Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida no debe incluirse en ella más de 300 gramos de fideos, 300 gramaos de pollo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de puré de manzanas. Como director del departamento de nutrición usted desea determinar la composición de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas. 
A= cantidad de 100 gr de Fideos
B= cantidad de 100 gr de Pollo
C= cantidad de 100 gr de Papas
D= cantidad de 100 gr de Espinaca
E= cantidad de 100 gr de Puré
MIN Z= 5000[mg/g] A + 5000 [mg/g] B + 7900 [mg/g] C + 300 [mg/g] D + 14300 [mg/g] E
RESTRICCIONES:	
#1: Proteínas= 5000[mg/g] A + 293000[mg/g] B + 5300[mg/g] C + 3000[mg/g] D + 
 4000[mg/g] E >= 63000 mg
#2: Hierro= 1.1[mg/g] A + 1.8[mg/g] B + 0.5[mg/g] C + 2.2[mg/g] D + 1.2[mg/g] E >= 10mg
#3: Tiacina= 1.4[mg/g] A + 5.4[mg/g] B + 0.9[mg/g] C + 0.5[mg/g] D + 0.6[mg/g] E >= 15mg
#4: Tiamina= 0.18[mg/g] A + 0.06[mg/g] B + 0.06[mg/g] C + 0.07[mg/g] D + 0.15[mg/g] E 
 >= 1 mg
#5: Vitamina C= 10[mg/g] C + 28[mg/g] D + 3[mg/g] E >= 50 mg
#6: Fideos= A <=3 #7: Pollo= B <= 3 #8: Papas= C <= 2 #9: Espinaca= D <= 1 
#10: Pure= E <= 1
#11: No negatividad= A >= 0; B >= 0; C >= 0; D >= 0; E >= 0 
 Para minimizar la cantidad de grasa debemos utilizar 300 gr de fideos, 283 gr de pollo, 6 gr de papa, 3 gr de espinaca y 66 gr de puré.
12. Un agricultor debe decir cuántas hectáreas de maíz y trigo tiene que sembrar este año. Una hectárea de trigo produce 25 toneladas de trigo y requiere 10 horas de trabajo por semana. Una hectárea de maíz produce 10 toneladas de maíz y requiere 4 horas de trabajo a la semana. Todo el trigo se vende a 4 dólares la tonelada y el maíz se vende a 3 dólares la tonelada. Se dispone de siete hectáreas de tierra y 40 horas por semana de trabajo. Las regulaciones gubernamentales establecen que por lo menos 30 toneladas de maíz se produzcan durante el año. Utilice variables la programación lineal para ayudar al agricultor a maximizar el ingreso total a partir del trigo y maíz. 
X= hectáreas de trigo
Y= hectáreas de maíz
MAX Z= 100[$/U] X + 30[$/U] Y
RESTRICCIONES:	#1: Hectáreas= X + Y <= 7 ha
#1: Horas= 10[hs/s] X + 4[hs/s] Y <= 40 hs 
				#2: Toneladas= Y >= 30 [Tn/a]
				#3: No negatividad= X >= 0; Y >= 0
	HECTAREA
	TRIGO
	MAIZ
	DISPONIBILIDAD MAXIMA
	TONELADAS
	25 TN/ha
	10 Tn/ha
	
	HORAS
	10 hs/ha
	4 hs/ha
	40 hs
	PRECIO
	4 $/Tn
	3 $/Tn
	MAXIMIZAR INGRESOS
 Para obtener un ingreso máximo de 370 dólares se deben sembrar 2,8 hectáreas de trigo y 3 hectáreas de maíz.