Teoría Función Cuadrática

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MATEMÁTICA I-2020 
SEDE METÁN- ROSARIO DE LA FRONTERA 
PROF. LUIS CRESPO 
 ING. EN AGRONOMÍA 
 
 
1 
 
Función cuadrática 
Una función 𝑓: ℝ → ℝ es función cuadrática si tiene la forma 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) 
Donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales y 𝑎 es un número distinto de cero. La gráfica de una 
función cuadrática se llama parábola. 
El número 𝑎, llamado coeficiente del término 
cuadrático, es distinto de cero. 
El número b, llamado coeficiente del término lineal. 
El número c, llamado término independiente. 
 
Concavidad 
La parábola de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es cóncava hacia arriba si el coeficiente del 
término cuadrático es un número positivo (𝑎 > 0) y es cóncava hacia abajo si dicho 
coeficiente es un número negativo (𝑎 < 0). 
 
Discriminante 
El discriminante de la parábola de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Si el discriminante es positivo, la parábola intercepta al eje 𝑥 en dos puntos. Si es igual a 
cero, intercepta al eje 𝑥 en un único punto. Si es negativo no intercepta al eje 𝑥. 
 
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2 
 
 
Intersección con los ejes coordenados 
Si el discriminante no es negativo, la intersección de la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con el 
eje 𝑥 se obtiene resolviendo la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
La parábola intercepta al eje de las abscisas en dos puntos 
𝑥1 y 𝑥2. 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
La intersección de la parábola con el eje 𝑦 se encuentra 
evaluando 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 en 𝑥 = 0. 
La parábola intercepta al eje de las ordenadas en 𝒚=𝒄. 
Eje de simetría 
El eje de simetría es una recta vertical que divide a la parábola en dos ramas simétricas. 
Esta recta intercepta al eje 𝑥 en el punto medio ℎ del 
segmento que une los puntos 𝑥1 y 𝑥2. 
𝒉 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
 
sumando las raíces y dividiendo por 2e l resultado se 
obtiene una fórmula para calcular el eje de simetría en 
función de los coeficientes de 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
𝒉 = −
𝒃
𝟐𝒂
 (𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓) 
 
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3 
 
Vértice 
El vértice 𝑽(𝒉, 𝒌) es el punto donde el eje de 
simetría intercepta a la parábola. La ordenada 𝒌 del 
vértice se obtiene evaluando 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 en 
ℎ. 
𝒌 = 𝒂(𝒉)𝟐 + 𝒃(𝒉) + 𝒄 
Sustituyendo ℎ = −
𝑏
2𝑎
 en 𝑘 = 𝑎(ℎ)2 + 𝑏(ℎ) + 𝑐, 
se halla una fórmula para calcular la ordenada 𝑘 de 
vértice en función de los coeficientes. 
𝒌 =
𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐
𝟒𝒂
 
Forma canónica de una función cuadrática 
Conociendo el vértice de una función cuadrática y el coeficiente cuadrático, podemos 
escribir la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, como: 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌 
Forma factorizada de una función cuadrática 
Conociendo los ceros (intersección con el eje 𝑥) y el coeficiente cuadrático, podemos 
escribir la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, como: 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) 
Dominio e imagen 
El dominio es el conjunto de los números reales: 𝑫𝒇 = ℝ. 
Si la parábola es cóncava hacia arriba, la 
imagen es: 𝑰𝒇 = [𝒌, +∞). 
Si la parábola es cóncava hacia abajo, la 
imagen es: 𝑰𝒇 = (−∞, 𝒌]. 
 
 
 
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4 
 
Intervalos de crecimiento y decrecimiento 
 
Si la parábola es cóncava hacia arriba, la función es 
decreciente en 𝐼𝑑 = (−∞, ℎ) y creciente en 
 𝐼𝑐 = (ℎ, +∞) 
 
 
 
 
Si la parábola es cóncava hacia abajo, la función es 
creciente en 𝐼𝑐 = (−∞, ℎ) y decreciente en 
 𝐼𝑑 = (ℎ, +∞) 
 
 
Ejemplo 1: Función cuadrática con raíces reales distintas 
 
 
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5 
 
Ejemplo 2: Función cuadrática sin raíces