Función_segundo grado_Cuadrática

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Matemática	
Otoño	2020	
1 
 
Material	Nº	2:	Función	Cuadrática	
	
Nombre	y	código	de	
asignatura	
Matemática	
	MTIN01	–	MTES01	–	MTAN01	–	MTAE01	
Sección:		
	
Unidad	de	
aprendizaje	4:	
Funciones	
Polinómicas	
Aprendizaje	esperado:	
4.1.-	 Resuelve	 problemas	 de	 la	 disciplina	 y/o	 especialidad,	 que	 involucren	 el	 uso	 de	
funciones	polinómicas	de	grado	0,	1	y	2.	(Integrada	Competencia	Genérica	Resolución	de	
Problemas)	
	
Evaluación	 	Formativa	-	Autoevaluación	 Nombre	alumno:	
Fecha	de	entrega	 	
	
Función Cuadrática 
Una	función	cuadrática	es	aquella	que	puede	escribirse	de	la	forma:	
f (x) = ax2 + bx + c 	
Donde	a	,	b	y	c	(llamados	términos	)	son	números	reales	cualesquiera	y	a	es	distinto	de	cero	(puede	ser	mayor	o	
menor	que	cero,	pero	no	igual	que	cero).	El	valor	de	b	y	de	c	sí	puede	ser	cero	.	
En	la	ecuación	cuadrática	cada	uno	de	sus	términos	tiene	un	nombre.	
-	 ax2 es	el	término	cuadrático	
-	 bx 	es	el	término	lineal	
-	 c 	es	el	término	independiente	
Si	la	función	tiene	todos	los	términos	se	dice	que	es	una	función	completa	,	si	a	la	función	le	falta	el	término	lineal	o	
el	independiente	se	dice	que	la	función	es	incompleta	.	
	
Si	pudiésemos	representar	en	una	gráfica	"todos"	los	puntos	 (x, f (x)) de	una	función	cuadrática	,	obtendríamos	
una	curva	llamada	parábola.		Como	contrapartida,	diremos	que	una	parábola	es	la	representación	gráfica	de	
una	función	cuadrática	.	
	
Dicha	parábola	tendrá	algunas	características	o	elementos	como:		
-	Orientación	o	concavidad	(ramas	o	brazos)	
-	Puntos	de	corte	con	el	eje	de	abscisas	(eje	 x )	
-	Punto	de	corte	con	el	eje	de	ordenadas	(eje	 y )	
-	Eje	de	simetría	
-	Vértice	
 
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1.	Concavidad	
Una	primera	característica	es	la	orientación	o	concavidad	de	la	parábola.	Hablamos	de	parábola	cóncava	si	sus	
ramas	o	brazos	se	orientan	hacia	arriba	y	hablamos	de	parábola	convexa	si	sus	ramas	o	brazos	se	orientan	hacia	
abajo.	
	
a.	Si		 a > 0 	(positivo)	la	parábola	es	cóncava	o	con	puntas	hacia	arriba	
	
Ejemplo:	
Sea	la	función	 f (x) = x2 + x − 6 ,	donde	 a =1	
Como	 a > 0 	la	parábola	en	cóncova.	
	
	
b.	Si		 a < 0 	(negativo)	la	parábola	es	convexa	o	con	puntas	hacia	abajo	
	
Ejemplo:	
	
Sea	la	función	 f (x) = −x2 + 4x + 4 ,	donde	 a = −1 	
	
Como	 a < 0 	la	parábola	en	convexa.	
	
	
 
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2.	Puntos	de	intersección	con	el	eje	de	la	abscisa	(eje	 x )	
Dada	 la	 función	 f (x) = ax2 + bx + c ,	 para	 calcular	 las	 raíces	 o	 puntos	 de	 corte	 con	 el	 eje	 x 	 se	 debe	 igualar	 la	
función	cuadrática	a	cero,	es	decir:	
	
f (x) = 0 		
	
Esto	significa	que	las	raíces	(soluciones)	de	una	función	cuadrática	son	aquellos	valores		de	 x 	para	los	cuales	la	
expresión	vale	0,	es	decir,	los	valores	de	 x 	tales	que	 y = 0 	
	
Igulando	la	función	cuadrática	a	cero	se	obtiene	una	ecuación	de	la	forma:	
	
ax2 + bx + c = 0 	
	
Cuya	solución	esta	dada	por	la	fórmula:	
x = −(b)± (b)
2 − 4 ⋅a ⋅c
2 ⋅a
	
	
	
	
 
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a.	Si	la	ecuación	de	segundo	grado	tiene	2	soluciones	reales	y	diferentes,	la	gráfica	de	la	función	intersecta	al	eje	 x 	
en	dos	puntos	distintos.	
	
Ejemplo:	
Sea	la	función	 f (x) = x2 − 5x + 6 ,	donde	 a =1,	 b = −5 	y	 c = 6 .	
x = −(−5)± (−5)
2 − 4 ⋅1⋅6
2 ⋅1
x = 5± 25− 24
2
x = 5± 1
2
x = 5±1
2
	
	
Luego	las	soluciones	son:	
	
x1 =
5+1
2
=
6
2
= 3 	 o	 x2 =
5−1
2
=
4
2
= 2 	
	
Donde	los	puntos	de	intersección	con	el	eje	x	son	el	punto	P = (2, 0) 	y	P = (3, 0) 	
	
	
 
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b.	Si	la	ecuación	de	segundo	grado	tiene	2	soluciones	reales	e	iguales,	la	gráfica	de	la	función	intersecta	al	eje	x	en	un	
solo	punto.	
	
Ejemplo:	
Sea	la	función	 f (x) = x2 + 2x +1 ,	donde	 a =1,	 b = 2 	y	 c =1 .	
x = −(2)± (2)
2 − 4 ⋅1⋅1
2 ⋅1
x = −2± 4− 4
2
x = −2± 0
2
x = −2± 0
2
	
	
Luego	las	soluciones	son:	
	
x1 =
−2+ 0
2
=
−2
2
= −1 		 o	 x2 =
−2− 0
2
=
−2
2
= −1 	
	
Donde	el	punto	de	intersección	con	el	eje	x	es	el	punto	P = (−1,0) 	
	
	
	
	
 
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c.	Si	la	ecuación	de	segundo	grado	tiene	1	solucion	compleja	conjugada,	la	gráfica	de	la	función	no	intersecta	al	eje	x.	
	
Ejemplo:	
Sea	la	función	 f (x) = x2 + 2x + 6 ,	donde	 a =1,	 b = 2 	y	 c = 6 .	
x = −(2)± (2)
2 − 4 ⋅1⋅6
2 ⋅1
x = −2± 4− 24
2
x = −2± −20
2
x = −2± 5 2i
2
	
	
Luego	las	soluciones	son:	
	
x1 =
−2
2
+
5 2i
2
= −1+ 5 2
2
i 	 	 o	 x2 =
−2
2
−
5 2i
2
= −1− 5 2
2
i 	
	
Dado	que	las	raíces	son	complejas	conjugadas,	no	hay	puntos	de	intersección	con	el	eje	x	
	
	
	
 
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3.	Puntos	de	intersección	con	el	eje	de	las	ordenadas	(eje	y)	
En	el	eje	de	la	ordenada	(eje	 y )	la	coordenada	 x 	es	cero	,	por	lo	que	el	punto	de	corte	en	el	eje	de	las	ordenadas	lo	
marca	el	valor	de	 c ,	por	lo	tanto	el	punto	de	corte	con	el	eje	 y 	es	 (0,c) .	
	
Sea	la	función	 f (x) = ax2 + bx + c ,		si	 x = 0 	se	tiene	que:	
	
f (x) = y = a ⋅02 + b ⋅0+ c = c 	
	
Ejemplo:	
Sea	la	función	 f (x) = x2 − 5x + 6 ,	si	 x = 0 	se	tiene	que:	
f (x) = y =1⋅02 − 5 ⋅0+ 6 = 6 	
	
Luego	el	punto	de	intersección	con	el	eje	y	es	el	punto	P = (0, 6) 	
	
	
	
	
 
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4.	Eje	de	simetría	
El	eje	de	simetría	de	una	parábola	es	una	recta	vertical	que	divide	simétricamente	a	la	curva;	es	decir,	intuitivamente	
la	separa	en	dos	partes	congruentes.	Se	puede	imaginar	como	un	espejo	que	refleja	la	mitad	de	la	parábola.	
	
Su	ecuación	está	dada	por:	
x = − b
2 ⋅a
	
	
Ejemplo:	
Sea	la	función	 f (x) = x2 − 5x + 6 ,	donde	 a =1,	 b = −5 	y	 c = 6 .	
	
x = − −5
2 ⋅1
=
5
2
	
	
Por	lo	tanto	el	eje	de	simetría	es	la	recta	 x = 5
2
	
	
	
	
	
5.	Vertice	
Las	coordenadas	 (x, y) 	del	vértice	también	pueden	hallarse	analíticamente	por	medio	de	las	siguientes	expresiones:	
	
V = − b
2a
,− b
2 − 4ac
4a
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 	 o	bien	 	 V = −
b
2a
, f − b
2a
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 	
	 	
	
 
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Ejemplo:	
Sea	la	función	 f (x) = x2 − 5x + 6 ,	donde	 a =1,	 b = −5 	y	 c = 6 .	
	
Calculando	la	coordenada	 x 	se	tiene	que:	
	
x = − −5
2 ⋅1
=
5
2
	
	
Calculando	la	coordenada	 y 	se	tiene	que:	
	
y = f 5
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
5
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
− 5 ⋅ 5
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ 6 =
25
4
−
25
2
+ 6 = − 1
4
	
	
Luego	la	coordenada	del	vértice	es	V = 5
2
,− 1
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 	
	
	
	
	
 
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a. Si	 ,	la	función	cuadrática	 	tiene	un	valor	mínimo	que	corresponde	al	vértice.	
Desde	−∞ 	hasta	la	coordenada	 x 	del	vértice	la	parábola	es	estrictamente	decreciente	y	desde	la	coordenada	 x 	del	
vertice	hasta	+∞ ,	la	parábola	es	estrictamente	creciente.	
	
	
	
b.	Si	 ,	la	función	cuadrática	 	tiene	un	valor	máximo	que	corresponde	al	vértice.	
	
Desde	−∞ 	hasta	la	coordenada	 x 		del	vértice	la	parábola	es	estrictamente	creciente	y	desde	la	coordenada	 x 	del	
vértice		hasta	+∞ ,	la	parábola	es	estrictamente	decreciente.	
	
	 	
	
a > 0 f (x) = ax2 + bx + c
a < 0 f (x) = ax2 + bx + c
 
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Problema	1:	
Analiza	todas	las	características	de	la	función	 f (x) = 2x2 + 2x −12 .	
1.	Concavidad.	
Dado	que	 a = 2 ,	donde	a > 0 	se	tiene	que	la	función	 f (x) es cóncava. 
2.	Puntos	de	intersección	con	el	eje	de	abscisas	(eje	 x )	
a = 2 ,	 b = 2 	y	 c = −12 .	
x = −(2)± (2)
2 − 4 ⋅2 ⋅−12
2 ⋅2
x = −2± 4+ 96
4
x = −2± 100
4
x = −2±10
2
	
	
Lugo	las	soluciones	son:	
	
x1 =
−2+10
4
=
8
4
= 2 	 	 o	 x2 =
−2−10
4
=
−12
4
= −3 	
	 	
Donde	los	puntos	de	intersección	con	el	eje	x	son	el	punto	P = (2, 0) 	y	el	punto	P = (−3,0) 	
	
3.	Puntos	de	intersección	con	el	eje	de	las	ordenadas	(eje	 y )	
Si	 x = 0 	se	tiene	que:	
f (x) = 2 ⋅02 + 2 ⋅0−12 = −12 	
	
Luego	el	punto	de	intersección	con	el	eje	y	es	el	punto	P = (0,−12) 	
	
	
	
	
	
	
	
 
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4.	Eje	de	Simetría	
Dado	que		 a = 2 ,	b = 2 	y		 c = −16 .	
	
x = − 2
2 ⋅2
= −
2
4
= −
1
2
	
	
Por	lo	tanto	el	eje	de	simetría	es	la	recta	 x = − 12
	
	
5.	Vertice	
Calculando	la	coordenada	 x 	se	tiene	que:	
	
x = − 2
2 ⋅2
= −
2
4
= −
1
2
	
	
Calculando	la	coordenada	 y 	se	tiene	que:	
	
y = f − 1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟= 2 ⋅
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+ 2 ⋅ 1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−12 = 2 ⋅
1
4
+
2
2
−12 = − 25
2
	
	
Luego	la	coordenada	del	vértice	es	V = − 1
2
,− 25
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ,	punto	mínimo.	
La	función	es	decreciente	desde	el	−∞ 		hasta	 x = − 1
2
	y	creciente	desde		 x = − 1
2
	hasta	el	+∞ .	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 
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Gráfica	de	la	función	 f (x) = 2x2 + 2x −12 	
	
	
 
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Problema	2:	
Un	 proyectil	 es	 lanzado	 hacia	 arriba	 desde	 el	 suelo.	 La	 trayectoria	 del	 proyectil	 está	 dada	 por	 la	 función	
h(t) = −4,5t2 + 24t ,	donde	 h 	es	la	altura	en	metros	y	 t 	es	el	tiempo	medido	en	segundos.	
	
a. Calcular	la	altura	del	proyectil	a	los	3	segundos.	
Para	calcular	la	atura	del	proyectil	a	los	3	segundos,	se	debe	valorizar	la	función,	para	ello	remplaza	 t 	por	3.	
 
h(3) = −4,5 ⋅32 + 24 ⋅3= −4,5 ⋅9+ 72 = −44,1+ 72 = 31,5 	
	
La	altura	del	proyectil	al	cabo	de	3	segundos	es	de	31,5	metros.	
	
b. Calcular	la	altura	del	proyectil	a	los	5	segundos.	
Para	calcular	la	atura	del	proyectil	a	los	3	segundos,	se	debe	valorizar	la	función,	para	ello	remplaza	 t 	por	5.	
 
h(5) = −4,5 ⋅52 + 24 ⋅5= −4,5 ⋅25+120 = −112,5+120 = 7,5 	
	
La	altura	del	proyectil	al	cabo	de	5	segundos	es	de	7,5	metros.	
	
c. Cuánto	tiempo	tarda	el	proyectil	en	caer	al	suelo,	una	vez	que	fue	lanzado.	
Al	 caer	al	 suelo	 la	altura	es	de	0	metros,	para	encontrar	el	 valor	de	x	que	satisface	esa	condición	se	debe	
igualar	la	función	a	cero.	
	
−4,5t2 + 24t = 0 
 
Luego	la	solución	de	la	ecuación	esta	dada	por:	
	
t = −(24)± 24
2 − 4 ⋅−4,5 ⋅0
2 ⋅−4,5
t = −24± 24
2 − 0
−9
t = −24± 24
−9
 
	
	
 
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t = −24+ 24
−9
=
0
−9
= 0 											o		 t = −24− 24
−9
=
−48
−9
=
16
3
= 5,33 	
	
En	el	intante		 t = 0 la	altura	es	de	 0metros,	una	vez	lanzado	alcanza	una	altura	máxima	y	vuelve	a	desender	
hasta	llegar	al	suelo,	al	cabo	 t = 5,33 de	segundos.		
	
d. Cuánto	tiempo	tarda	el	proyectil	en	alcanzar	su	altura	máxima.	
El	tiempo	que	tarda	al	proyectil	en	alcanzar	su	altura	máxima	corresponde	a	la	coordenada	x	del	vertice.	
	
x = − 24
2 ⋅−4,5
= −
24
−9
=
8
3
= 2,66 
	
Al	cabo	de	 2,66 	segundos	el	proyectil	alcanza	su	altura	máxima.	
	
e. Cuál	es	la	altura	máxima	que	alcanza	el	proyectil.	
Es	importante	que	recuerdes	que	a	altura	máxima	se	alcanza	a	los	 2,66 	segundos.	
	
Valorizando	la	función	para	 t = 8
3
= 2,66 	se	detrminará	la	altura	máxima.	
	
h 8
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟= −4,5 ⋅
8
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+ 24 ⋅ 8
3
= −4,5 ⋅ 64
9
+ 64 = −32+ 64 = 32 
	
A	los	 2,66 	segundos	el	proyectil		alcanza	la	altura	máxima	de	32	metros.	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 
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Trayectoria	del	proyectil	dada	por	la	función	 s(t) = −4,5t2 + 24t ,