Teoría Trigonometría

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MATEMÁTICA I-2020 
SEDE METÁN- ROSARIO DE LA FRONTERA 
PROF. LUIS CRESPO 
 ING. EN AGRONOMÍA 
 
 
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¿Qué es la trigonometría? 
La trigonometría es una rama de las matemáticas relacionada con la medición de los lados y ángulos 
de los triángulos. Según su etimología, formada por las palabras griegas trigōnos “trígono” y metron 
‘medida’, la trigonometría significa “medición de triángulos”. 
Por más difícil que parezca este contenido matemático, la trigonometría es extremadamente útil en el 
ámbito de la ingeniería y en la vida diaria en situaciones sencillas. Aunque pudiera considerarse 
imposible, los triángulos se encuentran en todos lados en el mundo en el que vivimos. 
La trigonometría está compuesta por diferentes teoremas y leyes. Estos teoremas y leyes dictan la 
manera en la que se deben de calcular los ángulos y los lados de los triángulos. 
El Teorema de Pitágoras es uno de los más importantes, y se aplica en los triángulos rectángulos, es 
decir, triángulos que tienen un ángulo de 90 grados, llamado también ángulo recto. Indica, por medio de 
una fórmula, que hay una relación entre los dos lados a y b, que forman el ángulo recto (catetos) y el 
lado más largo c, que se opone al ángulo (hipotenusa). La fórmula es: 
c2 = a2 + b2 
Los Teoremas de Seno y Coseno son dos leyes que relacionan los lados y ángulos en un mismo triángulo, 
para ir calculando las medidas de aquellos lados y ángulos que falten. Son similares al Teorema de 
Pitágoras, pero se caracterizan por actuar en triángulos que no son rectángulos. 
¿Para qué sirve la trigonometría? 
La trigonometría se utiliza para medir distancias en formaciones triangulares. Su uso se puede remontar 
a las civilizaciones de los babilonios, los egipcios, griegos y talvez a otras culturas antiguas. Es parte 
fundamental de la geometría analítica, que estudia las figuras geométricas. 
La trigonometría se utilizó ampliamente en la navegación por medio de una herramienta llamada 
sextante, con la que se medían las distancias triangulando con las estrellas. 
En la actualidad, donde más se utiliza esta técnica de medición es en el espacio exterior, y es de las 
mejores para hacer cálculos y estimaciones de medidas colosales. 
En la ingeniería civil, se utiliza para determinar alturas de postes, de acuerdo con el ángulo que formaría 
entre la punta y el final de su sombra; también para calcular inclinaciones de plataformas, de acuerdo 
con los ángulos que éstos forman con el piso. 
 
 
 
 
 
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Ángulos 
Un ángulo se forma con dos rayos o semirrectas, que tienen un extremo 
común llamado vértice. A un rayo lo llamaremos lado inicial del ángulo, y al 
otro, lado terminal. Es útil imaginar al ángulo como formado por una 
rotación, desde el lado inicial hasta el lado terminal. 
 
 El ángulo se puede poner en un plano cartesiano con su vértice en el origen 
y su lado inicial que coincida con el eje positivo de las x. En ese caso se dice que el ángulo está en su 
posición normal o estándar. 
 
Medición en grados 
La medición de un ángulo en grados se basa en la asignación de 360 grados (se escribe 360°), al ángulo 
formado por una rotación completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Entonces, otros 
ángulos se miden en función de un ángulo de 360°, y un ángulo de 1° es el que se forma por 
1
360
 de una 
rotación completa. Si la rotación es contraria a la de las manecillas del reloj, la medida será positiva; si 
es en el sentido de las manecillas del reloj, la medida será negativa. 
 
Medida en radianes 
En el cálculo, la unidad más cómoda para medir ángulos es el radián. 
La medida de un ángulo en radianes se basa en la longitud de un arco 
del círculo unitario: 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
Como ya sabemos, un ángulo 𝜃 en posición normal se puede 
considerar como formado por la rotación del lado inicial, desde el eje 
positivo de x hasta el lado terminal. Como se ve en la figura, el lado 
inicial de 𝜃 recorre una distancia S a lo largo de la circunferencia del 
círculo unitario. Se dice que la medida de 𝜃 es s radianes. 
 
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Para cualquier circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, la longitud de arco s, 
el ángulo 𝜃 y la longitud del radio r están relacionados en esta 
forma. 
 
𝜃 =
𝑠
𝑟
 
Un radián, que se simboliza (1 rad), es la amplitud del ángulo cuyo 
arco tiene la longitud del radio de la circunferencia. 
Longitud de arco de circunferencia 
 
Una porción 𝐿 cualquiera de una circunferencia se denomina arco de 
circunferencia. La longitud 𝐿 de un arco de circunferencia con ángulo 
central 𝜃 (en radianes) es la fracción 𝜃/2𝜋 del perímetro de una 
circunferencia de radio 𝑅. 
𝐿 =
𝜃
2𝜋
(2𝜋𝑅) = 𝜃𝑅 
 
La longitud 𝑳 de un arco de circunferencia de radio 𝑹 y ángulo central 
𝜽 es el producto de la amplitud del ángulo central (en radianes) por el 
radio: 𝑳 = 𝜽𝑹 
 
Relación entre grados y radianes 
Consideremos una circunferencia de radio r. Un ángulo central de 1 vuelta subtiende un arco igual a la 
circunferencia de la circunferencia. Como la circunferencia es igual a 2𝜋𝑅, tenemos que 𝐿 = 2𝜋𝑅 en la 
ecuación anterior para determinar que, para un ángulo 𝜃 de una vuelta: 
𝐿 = 𝜃𝑅 
2𝜋𝑅 = 𝜃𝑅 
2𝜋 radianes = 𝜃 
 
 
O de manera equivalente: 2𝜋 = 360° o 𝜋 = 180° 
Conversión entre grados y radianes 
Convertir: a) 20° a radianes, b) 7𝜋/6 radianes a grados y c) 2 radianes a grados. 
a) Para convertir grados en radianes se usa la ecuación (1) 
20° = 20° 
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛
180°
= 2
𝜋 𝑟𝑎𝑑
18
=
𝜋 
9
𝑟𝑎𝑑 
b) Para convertir radianes a grados se usa la ecuación (1) 
7𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 =
7𝜋
6
𝑟𝑎𝑑.
180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
= 7(30°) = 210° 
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c) Para convertir radianes a grados se usa la ecuación (1) 
2 𝑟𝑎𝑑 = 2 𝑟𝑎𝑑.
180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
=
360°
𝜋
= 114,59° 
Área de sector circular 
Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y 
el arco correspondiente. El área 𝐴 de un sector circular con ángulo 
central 𝜃(en radianes) es la fracción 𝜃/2𝜋 del área de la 
circunferencia de radio 𝑅. 
𝐴 =
𝜃
2𝜋
(𝜋𝑅2) =
1
2
𝜃𝑅2 
El área 𝑨 de un sector circular de radio 𝑹 y ángulo central 𝜽 es la 
mitad del producto de la amplitud del ángulo central (en radianes) 
por el cuadrado del radio: 𝑨 =
𝟏
𝟐
𝜽𝑹𝟐. 
 
Triángulo rectángulo 
Un triángulo en el que un ángulo es recto, se llama triángulo rectángulo. 
Recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los 
otros lados catetos del triángulo. La suma de los ángulos interiores es 
igual a 180°. 
 
Si llamamos c a la hipotenusa, y a los otros catetos a y b. Dado que es un triángulo rectángulo entonces 
el teorema de Pitágoras nos dice que: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2. 
 
Al usar los tres lados de este triangulo, se podrían formar justo seis razones: 
𝑎
𝑐
; 
𝑏
𝑐
; 
𝑏
𝑎
; 
𝑐
𝑎
; 
𝑐
𝑏
; 
𝑎
𝑐
 
De hecho, estas razones dependen solo del tamaño del ángulo 𝛼 y no del 
triángulo formado. 
Funciones trigonométricas 
Los cocientes constantes se llaman funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Son funciones 
del ángulo, que es la variable independiente que hace cambiar el resultado de los cocientes. Las 
funciones trigonométricas para el ángulo 𝛼 son: 
 
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𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝒃
𝒄
 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
=
𝒄
𝒃
 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝒂
𝒄
 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
=
𝒄
𝒂
 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
=
𝒃
𝒂
 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼
=
𝒂
𝒃
 
Los símbolos que usamos para esas relaciones son abreviaturas de sus nombres completos: seno, 
coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente. 
Como dos triángulos rectángulos cualesquiera con ángulo 𝜃 son semejantes, estas relaciones son 
iguales, cualquiera que sea el tamaño del triángulo; las relaciones trigonométricas dependen sólo del 
ángulo 𝜃. 
 
El dominio de cada una de estas funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos. 
Identidades por cociente y recíprocas 
Existen muchas relaciones importantes entre las funciones trigonométricas. A continuación, se 
muestran las siguientes 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑛𝛼 
 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 =
1
𝑡𝑔 𝛼
 
 
(Intenta comprobar las identidades presentadas) 
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Ancho de un río 
Un topógrafo puede medir el ancho de un rio colocando un 
teodolito en un punto C en un lado del rio y apuntándolo a un 
punto A en el otro lado. Después de voltear un ángulo de 90° 
en C, el topógrafo camina una distancia de 200 metros al 
punto B. Usando el teodolito en B, mide el ángulo y encuentra 
que es de 20°. 
¿Cuál es el ancho del rio redondeado? 
Se busca la longitud del lado b. Se conocen a y 𝛽 por lo que se usa la tangente, es decir: 
𝑡𝑔 20° =
𝑏
𝑎
=
𝑏
200
, despejando 20. tg 20° = b 
Luego 𝑏 = 72,79 metros. El ancho del río es de 72,79 metros 
Ángulo de depresión y elevación 
En ocasiones es posible medir las alturas 
verticales, usando ya sea el ángulo de 
elevación o el ángulo de depresión. Si 
una persona mira un objeto hacia arriba, 
el ángulo agudo medido desde la 
horizontal a la línea de visión del objeto 
observado se llama ángulo de 
elevación. Si una persona está mirando 
un objeto hacia abajo, el ángulo agudo 
que forma la línea de visión al observar 
el objeto con la horizontal se llama 
ángulo de depresión. 
Teorema del seno 
En cualquier triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a 
los senos de los ángulos opuestos 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
O también 
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
 
(Demostrar este teorema) 
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Altura de una montaña 
Para medir la altura 
de una montaña, un 
topógrafo realiza 
dos observaciones 
de la cima con una 
distancia de 900 
metros entre ellas, 
en línea recta con la 
montaña. El resultado de la primera observación es un ángulo de elevación de 47°, mientras que la 
segunda da un ángulo de elevación de 35°. Si el teodolito está a 2 metros de altura, ¿cuál es la altura h 
de la montaña? 
Como 𝛾 + 47° = 180°, tenemos que 𝛾 = 133°. Además, como,𝛼 + 𝛾 + 35° = 180, tenemos que 
𝛼 = 180° − 35° − 𝛾 = 145° − 133° = 12°. Por el teorema del Seno, tenemos: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
 → 
𝑠𝑒𝑛 12°
900
=
𝑠𝑒𝑛 133°
𝑐
 
Con lo cual 
𝑐 =
𝑠𝑒𝑛 133°. 900
𝑠𝑒𝑛 12°
= 3165,86 
Usando el triángulo más grande 
𝑠𝑒𝑛 35° =
𝑏
𝑐
 → 𝑠𝑒𝑛 35° =
𝑏
3165,86
 → 𝑏 = 3165,86. 𝑠𝑒𝑛 35° = 1816 
La altura aproximada de la cima de la montaña desde el nivel del suelo es 1816+2= 1818 metros 
Teorema del coseno 
En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los 
cuadrados de los otros dos menos el doble producto de ambos por el 
coseno del ángulo que forman. 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos 𝛼 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐. cos 𝛽 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos 𝛾 
 
(Demostrar este teorema) 
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Distancia entre edificios 
Un topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, 
desea calcular la distancia entre dos edificios. El topógrafo se 
encuentra en el punto A, y con los únicos datos que tiene 
hasta ahora son las distancias de él respecto a los otros 
edificios, 180 m y 210 m, respectivamente, también sabe que 
el ángulo formado por los dos edificios y su posición actual 
“A” es de 39,4°. ¿Qué distancia d hay entre los dos edificios? 
Para este caso es importante analizar qué tipos de datos 
tenemos al comienzo, y leyendo el enunciado del problema, así como viendo la imagen podemos 
darnos cuenta que solamente tenemos dos lados y un ángulo entre dichos lados, es lógico que lo 
primero que tenemos que hacer, será utilizar el teorema del Coseno. 
𝑑2 = (180)2 + (210)2 − 2(180)(210) cos 39,4° 
𝑑2 = 18081,34 
𝑑 = √18081,34 
𝑑 = 134,7 
Por lo que la distancia entre los dos edificios es de 134,47 metros aproximadamente.