PARCIAL 4B

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CÁLCULO I – (0251) 
CUARTO PARCIAL (30%) 
04/03/11 
CICLO BÁSICO 
DEPARTAMENTO DE 
MATEMÁTICA 
APLICADA U.C.V. F.I.U.C.V. 
 
 
 
1. Calcule el siguiente límite: (4 puntos) 
→+∞
  − >  −   
 
1/x
x
x
1 a 1
lím , a 1
x a 1
 
 
 
2. ¿Para qué valores de a y b la recta + =2x y b es tangente a la 
parábola = 2y ax cuando =x 2? (2 puntos) 
 
 
3. Sea la función = 1/xf(x) x.e . 
a. Calcule la primera y la segunda derivada de f(x). 
b. Realice un estudio indicando dominio, cortes con los ejes, 
signo, simetrías, asíntotas, intervalos de crecimiento y 
decrecimiento, valores máximos y mínimos, intervalos de 
concavidad y puntos de inflexión. 
c. Basado en la información anterior, construya el gráfico de f(x) 
 (1 punto + 4 puntos + 1 punto = 6 puntos) 
 
 
4. Un lápiz de 4 cm de longitud descansa sobre una pared vertical. 
Se sabe que su extremo inferior se resbala y aleja de la pared a 
una rapidez de 1 cm/seg. Si el extremo inferior se encuentra a 2 
cm de la pared: 
a. ¿con qué rapidez se desliza el extremo superior por la pared? 
b. ¿con qué rapidez disminuye el ángulo formado por el lápiz y el 
suelo? 
 (2 puntos + 2 puntos = 4 puntos) 
 
 
5. Determine los valores que deben tener los lados de un triángulo 
rectángulo de perímetro 2 para que su área sea máxima. 
 (4 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO I – (0251) 
CUARTO PARCIAL (30%) 
04/03/11 
CICLO BÁSICO 
DEPARTAMENTO DE 
MATEMÁTICA 
APLICADA U.C.V. F.I.U.C.V. 
 
 
 
PREGUNTA 1. (4 puntos) 
Calcule el siguiente límite: 
 
1/x
x
x
1 a 1
lím , a 1
x a 1→+∞
  − >   −   
 
SOLUCIÓN. 
 
1/x 0x
x
1 a 1
lím (indet erminación)
x a 1→+∞
  − ∞ =     − ∞    
 , 
x1 1 a 11/x lím lnx x x a 1x
x
1 a 1
lím e
x a 1
  −  
  −→+∞   
→+∞
  − =   −   
 
x
x
x x
1 a 1
ln
x a 11 1 a 1
lím ln lím
x x a 1 x→+∞ →+∞
  −
   −    − ∞  = =   − ∞   
 
 
x x x
x x2 2
x xx x x
x x x x 2 x
xx x
1 a 1 x(a 1)a ln(a) (a 1)(a 1)ln
x a 1 xa ln(a) (a 1)x (a 1)
lím lím lím
x 1 a 1 x(a 1)
.
x a 1
xa ln(a) (a 1) a ln(a) xa ln (a) a
lím lím
x(a 1)
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
  − − − − −
   −  − −−   = =
− −
−
− − + −= =
−
 
 
x x
x 2 x 2 x 3
x x x x x 2x x
2 3
2x x
ln(a)
(a 1) x.a ln(a)
xa ln (a) a ln (a) xa ln (a)
lím lím
(a 1) x.a ln(a) a ln(a) a ln(a) x.a ln (a)
ln (a) x ln (a)
lím lím
2ln(a) x.ln (a)
→+∞ →+∞
→+∞
− +
+= =
− + + +
+= =
+
3
2
ln (a)
ln(a)
ln (a)→+∞
=
 
Por lo tanto 
 
x1 1 a 11/x lím lnx x x a 1x ln(a)
x
1 a 1
lím e e a
x a 1
  −  
  −→+∞   
→+∞
  − = = =   −   
. 
 
PREGUNTA 2. (2 puntos) 
¿Para qué valores de a y b la recta 2x y b+ = es tangente a la parábola 2y ax= cuando x 2= ? 
SOLUCIÓN. 
Igualando imágenes de tangente y de parábola: 2b 2x ax b 4 4a 4a b 4− = ⇒ − = ⇒ − = − 
Igualando pendiente con derivada: 1
2
y ' 2ax 2 4a 2 a= = − ⇒ = − ⇒ = − 
Encontrando el valor de b: 4a b 4 2 b 4 b 2− = − ⇒ − − = − ⇒ = . 
 
PREGUNTA 3. (6 puntos) 
Sea la función 1/xf(x) x.e= . 
a. Calcule la primera y la segunda derivada de f(x). 
SOLUCIÓN. (1 punto) 
1/x 1/x 1/x
1/x 1/xe xe e x 1f '(x) e e
x x x
− −= − = = , 
1/x 1/x 1/x 1/x
2 3 3
x 1 1 x 1 1
f ''(x) e e e e
x x x x
− −= = − = 
 
 
 
CÁLCULO I – (0251) 
CUARTO PARCIAL (30%) 
04/03/11 
CICLO BÁSICO 
DEPARTAMENTO DE 
MATEMÁTICA 
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b. Realice un estudio indicando dominio, cortes con los ejes, signo, simetrías, asíntotas, 
intervalos de crecimiento y decrecimiento, valores máximos y mínimos, intervalos de 
concavidad y puntos de inflexión. 
SOLUCIÓN. (4 puntos) 
Dominio: { }R 0− . Cortes con los ejes: Eje x: No tiene. Eje y: No tiene (0.5 puntos) 
Signo: Negativo en ( ,0)−∞ . Positivo en (0, )+∞ . (0.25 puntos) 
Simetrías: (0.25 puntos) 
Dominio simétrico. 1/xf( x) xe f(x)−− = − ≠ . No es par. 1/xf( x) xe f(x)−− = − ≠ − No es impar. 
Asíntotas: 
Verticales: (0.75 puntos) 
1/x
x 0
lím x.e 0
−→
= , 
1/x1
1/x
21/x 1/xx
1 1
x 0 x 0 x 0 x 0x 2x
ee
lím x.e lím lím lím e
+ + + +→ → → →
−
= = = = +∞
−
 
Por lo tanto la recta x 0= es una asíntota vertical por la derecha al gráfico de f. 
Oblicuas: (1 punto) 
 1/x
x
1/x1
1/x
21/x 1/x 1/xx
1 1x x x x x
x 2x
m lím e 1 ,
ee 1
b lím(xe x) lím x(e 1) lím lím lím e 1
→∞
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
= =
−−= − = − = = = =
−
 
Por lo tanto la recta y x 1= + es una asíntota oblicua al gráfico de f cuando x → −∞ y 
cuando x → +∞ . 
Intervalos de crecimiento y decrecimiento: (0.5 puntos) 
La función f(x) es creciente en el intervalo ( ,0) (1, )−∞ ∪ +∞ . 
La función f(x) es decreciente en el intervalo (0,1) . 
Valores máximos y mínimos: (0.25 puntos) 
En x 1= la función f(x) tiene un mínimo relativo ( f ''(1) 0> ) y su valor mínimo corresponde 
a e. Por lo tanto el punto donde f(x) tiene un mínimo relativo tiene coordenadas (1,e). 
Intervalos de concavidad: (0.25 puntos) 
La función f(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo ( ,0)−∞ . 
La función f(x) es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, )+∞ . 
Puntos de inflexión: f(x) no tiene puntos de inflexión. (0.25 puntos) 
c. Basado en la información anterior, construya el gráfico de f(x) 
SOLUCIÓN. (1 punto) 
 
 
 
 
 
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PREGUNTA 4. (4 puntos) 
Un lápiz de 4 cm de longitud descansa sobre una pared vertical. Se sabe que su extremo 
inferior se resbala y aleja de la pared a una rapidez de 1 cm/seg. Si el extremo inferior se 
encuentra a 2 cm de la pared: 
a. ¿con qué rapidez se desliza el extremo superior por la pared? 
SOLUCIÓN.(2 puntos) 
x = distancia entre el extremo inferior del lápiz y la pared 
y = distancia entre el extremo superior del lápiz y el suelo 
z = longitud del lápiz 
Instante de interés: 
z = 4 cm , dz/dt = 0 cm/seg , dx/dt = 1 cm/seg , x = 2 cm , dy/dt = ? cm/seg 
Relación entre las variables: 2 2 2x y z+ = . 
Cambios relacionados: 
 2 2 2 2 2 2 2 2x y z y z x 16 cm 4 cm 12 cm 2 3 cm+ = ⇒ = − = − = = 
 
 
 
cmdx
segdy dy dy dtdx dz dx cm
dt dt dt dt dt dt seg
2 cm.1x. 1
2x. 2y. 2z x. y. 0
y 2 3 cm 3
+ = ⇒ + = ⇒ = − = − = − 
b. ¿con qué rapidez disminuye el ángulo formado por el lápiz y el suelo? 
SOLUCIÓN. (2 puntos) 
θ = ángulo entre el extremo inferior del lápiz y el suelo 
Relación entre las variables: 
x
cos( ) z.cos( ) x
z
θ = ⇒ θ = . 
Cambios relacionados: 
 
 
2 cm 1
cos( )
4 cm 2 3
πθ = = ⇒ θ = 
 
 
 
d dz dx d dx
dt dt dt dt dt
cmdx
segdtd rad
dt seg3
2
z.cos( ) x z.sen( ) cos( ) z.sen( )
1 1
z.sen( ) 2 34 cm.
θ θ
θ
θ = ⇒ − θ + θ = ⇒ − θ =
⇒ = − = − = −
θ
 
 
PREGUNTA 5. (4 puntos) 
Determine los valores que deben tener los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 2 
para que su área sea máxima. 
SOLUCIÓN. 
Variables: 
x = cateto 1 del triángulo , y = cateto 2 del triángulo , z = hipotenusa del triángulo 
Función a maximizar: 
x.y
A(x,y)
2
= . 
Relación entre variables: 
x y z 2+ + = , 2 2z x y= + 
Trabajando algebraicamente la relación entre las variables se tiene que 
 
 
 
 
 
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CUARTO PARCIAL (30%) 
04/03/11 
CICLO BÁSICO 
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MATEMÁTICA 
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2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
x y z 2 x y x y 2 x y 2 (x y) x y (2 (x y))
x y (2 (x y)) x y 4 4x 4y x 2xy y
0 4 4x 4y 2xy 0 2 2x 2y xy 2x 2y xy 2
2x y(2 x) 2 y(2 x)
+ + = ⇒ + + + = ⇒ + = − + ⇒ + = − +
⇒ + = − + ⇒ + = − − + + +
⇒ = − − + ⇒ = − − + ⇒ + − =
⇒ + − = ⇒ − = 2(1 x)2 2x y
2 x
−− ⇒ =
−
 
Sustituyendo en la función a optimizar y derivando: 
1 x
2 x
2 2
x.2 1 x 1 x (1 x) (2 x) 1 x x
A(x) x. A '(x) x.
2 2 x 2 x 2 x(2 x) (2 x)
−
− − − − − − −= = ⇒ = + = −
− − −− −
 
2
2 2
(2 x)(1 x) x 2 4x x
A '(x) 0 0 0 x 2 2
(2 x) (2 x)
− − − − += ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
− −
 
Calculando A ''(x) y evaluando: 
 
3 3 3
4 4 4
A ''(x) A ''(2 2) 0 (máximo) , A ''(2 2) 0 (mínimo)
(2 x) ( 2) ( 2)
= − ⇒ − = − < + = >
−
 
Por lo tanto los lados deben tener los siguientes valores: 
 
 
x 2 2 ,
2(1 2 2) 2( 1 2) 2
y . ( 1 2) 2 2 2 ,
2 2 2 2 2
z 2 x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 1)
= −
− + − += = = − + = −
− +
= − − = − + − + = − = −