PARCIAL 2B

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 09/05/2015 
FACULTAD DE INGENIERIA 
Departamento de Matemática Aplicada 
Cálculo I 
 
Solución Segundo examen parcial (20%) 
 
 
1. Halle el dominio de la función: 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar el dominio de la función debemos encontrar el dominio de logaritmo y de la raíz por 
separado y luego hacer la intersección entre ellos. 
 
a) 
 
 
 
 
El logaritmo es siempre mayor que cero (0) entonces podemos escribir 
 
 
 
 
 Factorizando tenemos que 
 
 
 
 
Aplicando cementerio (tabla de signos) tenemos 
 
 -∞ -1 1 +∞ 
 + + + 
X+1 - + + 
X – 1 - - + 
 + - + 
 
Obteniendo como solución lo siguiente: Sol(a): (- ∞, - 1) u (1, +∞) 
 
b) 
 
 
 
 
 La función raíz es mayor o igual o cero 
 La función Arcsen es una función que está definida entre -1 y +1 
 Para trabajar el dominio de la función debemos tomar aquellos valores para los cuales el Arcsen 
es positivo, es decir entre cero (0) y uno (1), entonces tenemos lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde la solución es: Sol(b.1): [- 6/5 , + ∞) 
 
 
 
 
 
 
Colocando el 1 restando del lado izquierdo de la desigualdad y resolviendo tenemos la expresión 
siguiente: 
 
 
 
 Factorizando el numerador tenemos que 
 
 
 . Aplicando cementerio 
tenemos lo siguiente 
 -∞ -6/5 -1 6 +∞ 
5X – 6 - + + + 
X + 1 - - + + 
X – 6 - - - + 
 - + - + 
 
Obtniendo como solución lo siguiente: Sol(b.2): (-∞, -6/5] u [-1, 6] 
 
Para obtener la solución B debemos hacer la intersección de la Sol(b.1) y Sol(b.2): 
 
Sol(b): Sol(b.1) ∩ Sol(b.2) 
 
Sol (b): [- 6/5 , + ∞) ∩ (-∞, -6/5] u [-1, 6] 
 
Sol (b): [-1, 6] 
 
El dominio de la función lo obtenemos interceptando la Sol(a) con la Sol(b) 
 
Domf: Sol(a) ∩ Sol(b) 
 
Domf: [(- ∞, - 1) u (1, +∞)] ∩[-1, 6] 
 
Domf: (1, 6] 
 
 
 
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2. Dadas las funciones 
 
 
 y . 
 
a) Determine si es posible hallar . En caso afirmativo obtenga su regla de correspondencia y su 
dominio. 
b) Determine si es inyectiva. 
c) Demuestre que la inversa de es 
 
 
 
 
 
 
 
A) Para determinar si se puede Realizar la composición entre la función f y g debemos hallar el 
dominio de la función f y el rango de la función g y debe cumplirse que: 
 
 
Entonces, 
 
 
 
 
 el dominio de la función f se expresa como: Df: R – {-1, 1} 
 
 
 El rango de la función g se puede obtener de forma gráfica, este es Rg: (0, +∞) 
 
Entonces, 
 
 por lo que las funciones se pueden componer. 
 
 
 
 
 
 
El dominio de la función compuesta se puede calcular de la siguiente manera 
 
 
Entonces tenemos que: 
 
Dg = R / D(fog) = R – {0} 
Dom(fog) = R R – {0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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B) Para determinar que (f o g)(x) es inyectiva se debe cumplir lo siguiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2X1 = 2X2 → X1 = X2 La función es inyectiva 
 
 
c) Para encontrar la función inversa de (fog)(x) debemos despejar la X de dicha función. 
 
 
 
 
 
 → 
 
 → 
 
 
 
 
 
 → 
 
 
 Aplicando logartimo en base 3 en ambos lados tenemos 
 
 
 
 
 → 
 
 
 
 
 → 
 
 
 
 
 
 
Manipulando algebraicamente y aplicando propiedades de los logaritmos 
 
 
 
 
 Aplicando el cambio de base tenemos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo I 
 
 
3.Construya la gráfica de la función , de período 4, impar y definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Determine si la función 
 
 
 es par o impar. 
 
Para determinar que una función es par o impar debemos aplicarlo siguiente 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluando entonces la función en menos x (-x) tenemos lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 Resolviendo 
 
 
 
 
Aplicando propiedades de los logaritmos 
 
 
 
Sacando factor menos 
 
 
 
 
Aplicando propiedad de los logaritmos nuevamente, tenemos que 
 
 
 
 
 
 por lo que la función es impar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. A partir de la gráfica de funciones elementales y utilizando reflexiones, traslaciones y cambios de 
escala. Construya la gráfica de la función e indique su rango. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dominio: (- 7, 8) 
Rango: [-4, 8)