Parcial 1 Sem 1-2015 (resuelto)

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 18/04/2015 
FACULTAD DE INGENIERIA 
Departamento de Matemática Aplicada 
Cálculo I 
 
Primer examen parcial (20%) 
 
Nombre y Apellido: __________________________ CI: ___________ Sección: ___ 
 
 
1. Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. 
a. 
𝑥3−1
𝑥2−5𝑥+6
≥ 0 
 
Factorizando: 
(𝑥−1)�𝑥2+𝑥+1�
(𝑥−2)(𝑥−3)
≥ 0 
 
Para evaluar los signos, se ve que valor toma cada factor en la vecindad de los 
valores donde se anula. 
 
Como 𝑥2 + 𝑥 + 1 no se anula para ningún número real, se verifica que es positivo 
siempre. Por esta razón sólo se tomarán en cuenta el resto de los factores. 
 
 
Entonces los valores para los cuales la inecuación es mayor o igual a cero son: 
 
[𝟏 ,𝟐) ∪ (𝟑 , +∞) 
 
b. |4 − 𝑥| + |2𝑥 − 1| ≤ 4 
 
 Para resolver esta inecuación debemos quitar las barras de valor absoluto y para ello 
 consideramos la definición de V.A. y los valores donde el argumento del valor absoluto 
 cambia de signo. 
 
 |4 − 𝑥| = �4 − 𝑥 𝑠𝑠 𝑥 < 4𝑥 − 4 𝑠𝑠 𝑥 ≥ 4 , |2𝑥 − 1| = �
2𝑥 − 1 𝑠𝑠 𝑥 ≥ 1/2
1 − 2𝑥 𝑠𝑠 𝑥 < 1/2 
 
 
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 18/04/2015 
FACULTAD DE INGENIERIA 
Departamento de Matemática Aplicada 
Cálculo I 
 
 Entonces, tenemos 3 casos a considerar: 
 a) Si 𝑥 ∈ (−∞ , 1/2) 
 (4 − 𝑥) + (1 − 2𝑥) ≤ 4 ⇒ −3𝑥 ≤ −1 ⇒ 𝑥 ≥ 1/3 
 Entonces el conjunto que satisface es: (−∞ , 1/2) ∩ [1/3 ,∞)⇒ [1/3 , 1/2) 
 
 b) Si 𝑥 ∈ [1/2 , 4] 
 (4 − 𝑥) + (2𝑥 − 1) ≤ 4 ⇒ 𝑥 ≤ 1 
 Entonces el conjunto que satisface es: [1/2 , 4] ∩ (−∞ , 1] ⇒ [1/2 , 1] 
 
 c) Si 𝑥 ∈ (4 ,∞) 
 (𝑥 − 4) + (2𝑥 − 1) ≤ 4 ⇒ 3𝑥 ≤ 9 ⇒ 𝑥 ≤ 3 
 Entonces el conjunto que satisface es: (4 ,∞) ∩ (−∞ , 3] ⇒∅ 
 
 La solución final será la unión de los 3 casos: [1/3 , 1/2) ∪ [1/2 , 1] ⇒ [𝟏/𝟑 ,𝟏] 
 
2. Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (0 , 3) y que equidistan de los 
puntos (−1 , 5) y (7 , 3). 
 
 Tenemos que la ecuación general de una recta es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Si la misma pasa 
 por el punto (0 , 3), entonces la recta será: 
 3 = 𝑚(0) + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 3 y la recta queda: 𝒚 = 𝒎𝒎 + 𝟑 
 Luego: si equidista de los puntos 𝑃1(−1 , 5) y 𝑃2(7 , 3) entonces, la distancia punto-
recta con respecto a ambos puntos debe ser igual. 
 
 𝑑(𝑃,𝑅) = �𝑦𝑝−𝑚𝑥𝑝−3�
√1+𝑚2
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
�������� |5−𝑚(−1)−3|
√1+𝑚2
= |3−𝑚(7)−3|
√1+𝑚2
 
⇒ |2 + 𝑚| = |−7𝑚| ⇒ 2 + 𝑚 = ±7𝑚 entonces: 
𝑚1 = 1/3 y 𝑚1 = −1/4 
 
Y las rectas: 𝒚 = 𝒎
𝟑
+ 𝟑 y 𝒚 = −𝒎
𝟒
+ 𝟑 
 
 
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 18/04/2015 
FACULTAD DE INGENIERIA 
Departamento de Matemática Aplicada 
Cálculo I 
 
3. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro en A, un foco en B y un vértice en C, 
donde: 
 a) A es el vértice de la parábola: 𝑥2 − 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0. 
b) B es el centro de la circunferencia: 2𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 − 9 = 0. 
c) C es el foco de menor ordenada de la hipérbola: −𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 1 = 0. 
 
Procederemos a hallar las coordenadas de los puntos A, B y C respectivamente: 
 
De la parábola: 𝑥2 − 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 ⇒ (𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 𝑦 + 1 = 
⇒ (𝑥 − 1)2 = 𝑦 − 1 
𝑉𝑝𝑖𝑝á𝑏𝑖𝑖𝑖 = 𝑪𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = (𝟏 ,𝟏) 
De la circunferencia: 2𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 − 9 = 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 9
2
= 0 
(𝑥2 − 2𝑥) + 𝑦2 =
9
2 ⇒
(𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) + 𝑦2 =
9
2 ⇒
(𝑥 − 1)2 + 𝑦2 =
9
2 + 1 
𝐶𝑐𝑖𝑝𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑝𝑐𝑖𝑐𝑖𝑖 = 𝑭𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = (𝟏 ,𝟎) 
De la hipérbola: −𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 1 = 0 ⇒−(𝑥2 − 2𝑥) + 3(𝑦2 − 2𝑦) = 1 
−(𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) + 3(𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 1) = 1 
−(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 3(𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 1 − 1 + 3 
−(𝑥 − 1)2 + 3(𝑦 − 1)2 = 3 ⇒ (𝑦 − 1)2 −
(𝑥 − 1)2
3 = 1 
𝐶ℎ𝑖𝑝é𝑝𝑏𝑖𝑖𝑖 = (1 , 1) 
𝑎2 = 1 
𝑏2 = 3 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 1 + 3 = 4 ⇒ 𝑐 = 2 
Los focos son: 𝐹1 = (1 , 3) y 𝐹2 = (1 ,−1), como el de menor ordenada es 𝐹2, entonces: 
𝐹2 = 𝑽𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = (𝟏 ,−𝟏) 
Con los puntos obtenidos se puede notar que la elipse tiene eje principal vertical, por lo que 
la ecuación es de la forma: 
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2 +
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2 = 1 
Donde: 𝑪𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = (𝟏 ,𝟏) = (𝒉 ,𝒌) 
𝒂 = 𝒅�𝑪𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 ,𝑽𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆� = 𝟏 − (−𝟏) = 𝟐 
𝒄 = 𝒅�𝑪𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 ,𝑭𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆� = 𝟏 − 𝟎 = 𝟏 
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 ⇒ 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒄𝟐 = 𝟒 − 𝟏 = 𝟑 
Siendo la ecuación de la elipse: 
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 18/04/2015 
FACULTAD DE INGENIERIA 
Departamento de Matemática Aplicada 
Cálculo I 
 
(𝒎 − 𝟏)𝟐
𝟑 +
(𝒚 − 𝟏)𝟐
𝟒 = 𝟏 
 
 
4. Los vértices de un triángulo coinciden con el vértice de la parábola de ecuación 
𝑥2 + 2𝑥 + 4𝑦 − 23 = 0 y con los puntos de intersección de dicha parábola con la recta 
paralela a la directriz de la parábola que pasa por el foco de la misma. Calcule el baricentro 
del triángulo y su área. 
 
Hallaremos el vértice de la parábola: 
𝑥2 + 2𝑥 + 4𝑦 − 23 = 0 ⇒ (𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1) = −4𝑦 + 23 
(𝑥2 + 2𝑥 + 1) = −4𝑦 + 23 + 1 ⇒ (𝑥 + 1)2 = −4(𝑦 − 6) 
 
Entonces la parábola abre hacia abajo y tiene ecuación de la forma: 
 
(𝑥 − ℎ)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑘) 
 
Donde: el Vértice es 𝑉 = (ℎ ,𝑘) ; Directriz: 𝑦 = 𝑘 + 𝑝 ; Foco 𝐹 = (ℎ ,𝑘 − 𝑝) 
𝑉𝑝𝑖𝑝á𝑏𝑖𝑖𝑖 = (−𝟏 ,𝟔) = 𝑨 
Directriz: 𝑦 = 6 + 1 ⇒ 𝒚 = 𝟕 
Foco: 𝐹 = (−1 , 6 − 1) = (−𝟏 ,𝟓) 
 
Ahora, la recta paralela a la directriz que pasa por el foco es la recta 𝑦 = 5. 
Intersectando la recta con la parábola tenemos: 
(𝑥 + 1)2 = −4(5− 6) ⇒ (𝑥 + 1)2 = 4 ⇒ 𝑥 + 1 = ±2 
 
Donde: 𝑥1 = 1 , 𝑥2 = −3 y se tienen los puntos de intersección: 
𝑩 = (𝟏 ,𝟓) 𝑦 𝑪 = (−𝟑 ,𝟓) 
 
Con los puntos 𝐴,𝐵 𝑦 𝐶 se puede entonces calcular el baricentro con: 
𝐺 = �
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶
3 ,
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶
3 �
= �
−1 + 1 − 3
3 ,
6 + 5 + 5
3 � = �−𝟏 ,
𝟏𝟔
𝟑 � 
 
Y el área como: 
 
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 18/04/2015 
FACULTAD DE INGENIERIA 
Departamento de Matemática Aplicada 
Cálculo I 
 
 
𝐴𝐴𝐴𝑎 =
𝑏𝑎𝑠𝐴 ∙ 𝐴𝐴𝐴𝑢𝐴𝑎
2 =
(1 − (−3)) ∙ (6 − 5)
2 =
4 ∙ 1
2 = 𝟐 
 
5. Grafique la región del plano cartesiano que satisface el siguiente sistema de inecuaciones: 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑥𝑦 ≥ 0
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 3 < 0
𝑥2 − 8𝑥 − 8𝑦 ≤ 0
𝑥2
9
− 𝑦
2
9
≤ 1
 
 
 
Ítem 1a 1b 2 3 4 5 
Puntaje 2 3 2 4 4 5