Angulo-en-posicion-normal-para-Quinto-Grado-de-Secundaria

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Un ángulo trigonométrico está en posición normal si 
su vértice está en el origen de coordenadas y su lado 
inicial coincide con el lado positivo del eje de las 
abscisas. El lado final se ubica en cualquier cuadrante 
que indicará a que cuadrante pertenece el ángulo. Si 
el lado final coincide con un semieje; el ángulo no 
pertenece a ningún cuadrante.
Ejemplo:
a
b
g
q x
y
a ∈ IC b ∈ IIC
 g ∈ IIIC q ∈ IVC 
Nota: Los ángulos en posición normal también se 
denominan ángulos canónicos o stándard.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN 
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Si q es un ángulo canónico; sus razones trigonométricas 
se obtienen conociendo un punto del lado final como 
P(x;y) y se aplican las definiciones siguientes:
y
y
x
r
P(x;y)
x
q
 
Observaciones:
y: ordenada
x: abscisa
r: radio vector
r = x y2 2+
Sen q = r
y
radio vector
ordenada= ⇔ Cscq = y
r
ordenada
radio vector=
Cosq = r
x
radio vector
abscisa= ⇔ Secq = x
r
abscisa
radio vector=
Tanq = x
y
abscisa
ordenada= ⇔ Cotq = y
x
ordenada
abscisa=
Nota
Para recordar las definiciones anteriores, 
utilice los siguientes cambios:
Cateto opuesto < > Ordenada
Cateto adyacente < > Abscisa
Hipotenusa < > Radio vector
ÁNGULOS COTERMINALES
Son aquellos, ángulos trigonométricos en posición 
normal cuyos lados finales coinciden, siendo la 
diferencia de sus medidas un múltiplo de 360°, es decir, 
un número positivo de vueltas.
Si a y b son coterminales tal que a > b, entonces se 
cumple:
a – b = k(360°); k ∈ Z
a = 360°k + b
b
a
y
x
a y b: canónicos y coterminales
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Nivel I
1. El punto P(1;–3) pertenece 
al lado final de un ángulo en 
posición normal “a”, calcula el 
valor de:
E = 10 Seca + Tana
2. El punto Q(–2;3) pertenece al 
lado final de un ángulo están-
dar q, calcula:
Q = 13 Cscq – Cotq
3. Calcula K = 2
1 Seny – 2Cosy
y
x
(–15;8)
y
● Calcula: Cscq – Sena
y
x
(–12;5)
(4;3)
a
q
Resolución:
y
x
(–12;5)
(4;3)
x y
x y
r=13 r=5a
q
Piden: Cscq – Sena
 5
13
5
3-
 5
10 2=
4. Calcula: Tana + Senq
y
x
(5;13)
(4;–3)
q
a
Nivel II
5. Obtén el valor de Tanb
y
x
53º
b
6. Calcula:
M = Tan
Tan
Sen
Sen
Sec
Sec3 2
θ
α
α
θ
θ
α- -
y
x
q
a
● Si Cotq = –3
 Calcula el valor de m.
y
x
q
P(m–2;m–3)
Resolución:
P(m–2; m–3)
 ↓ ↓
 x y
Del dato: Cotq = –3
 m
m
3
2
-
- = -3
m – 2 = –3m + 9
4m = 11 → m = 11/4
7. Calcula el valor de “a” si Tana = 4
y
x
(a+1;a–2)
a
Nivel III
8. Calcula:
R = Sen
Sen Sen
Tan
Tan Tan
α
α β
α
α β+ + +
a
b
y
x
Trabajando en Clase
10. Calcula 2Cotq – 1, si CB = 2BA
y
45º
x
q
ABC
11. Calcula: Tanq – Cotq
 
y
x
q
3
C
A
5
O B
12. Calcula: E = 3Tana + 1
y
53º
x
a
Rpta : Rpta :
Rpta :Rpta :
Tarea domiciliaria N°1
4. Si Cota = – 2
3 , calcula “m”
a
y
x
(–9;m)
3. Calcula K = Sena + Cosa
a
y
x
(15;–8)
2. El punto Q(–3;2) pertenece al lado final de un 
ángulo estándar a, calcula:
P = 13 Sena – 1
1. El punto P(1;–4) pertenece al lado final de un 
ángulo en posición normal q, calcula el valor 
de:
Q = 17 Secq + Tanq
Rpta :
Rpta : Rpta :
Rpta :
8. Calcula: SenaCosa
a
y
x
(–2;5)
7. Si el punto (6;–8) pertenece al lado final de un 
ángulo a en posición normal, calcula:
L = 5Cosa + 6Tana
6. Calcula: Sen
Sen
Cot
Cot2 4
β
ψ
ψ
β-
y
b
y
x
5. Obten el valor de Tanq
q
y
37º
x