IM PULSO_Y_CANTIDAD_DE_MOVIMIENTO

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Momento lineal y choques
1
Prof. Ing. Alberto Pacci
La cantidad de movimiento de una partícula se 
define como el producto de la velocidad v por la 
masa de la partícula:
p = m v
La segunda ley de Newton establece que la fuerza 
sobre un objeto es igual a la rapidez de cambio de la 
cantidad de movimiento del objeto.
En términos de la cantidad de movimiento, la 
segunda ley de Newton se escribe como:
dt
dp
F 
Momento lineal y su conservación
2
Para dos partículas que 
interactúan se cumple que:
dt
d 1
12
p
F 
dt
d 2
21
p
F 
De la tercera ley de 
Newton, tenemos que:
2112 FF 
Conservación de la cantidad de movimiento 
para dos partículas
3
m1
m2
F12
F21
P1 = m1v1
P2 = m2v2
4
De aquí se obtiene que:
  021
21  pp
pp
dt
d
dt
d
dt
d
Esto significa que: ptotal = p1 + p2 = constante
La ley de la conservación del momento lineal 
establece que siempre que dos partículas aisladas 
interactúan entre sí, su momento total permanece 
constante.
Impulso y momento
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El impulso se define como el cambio en la cantidad de 
movimiento de un cuerpo:
ppp
p
FI 





  12
2
1
tt
t
t
dt
dt
d
dt
El impulso de la fuerza F es 
igual al cambio de momento 
de la partícula.
El impulso es un vector que 
tiene una magnitud igual al 
área bajo la curva de fuerza-
tiempo.
ti tf
t
F
La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama 
fuerza de impulso.
El impulso se puede escribir como: I = Fm t. Donde Fm es 
la fuerza promedio durante el intervalo.
ti tf
t
F
Fm
Área = Fm t
6
g
v
R 0
2
0sen2
7
Ejemplo.- Una pelota de golf de 50 g es golpeada por un palo 
de golf y ésta alcanza una distancia de 200m, calcular el 
impulso aplicado por el palo, suponga un ángulo de 45° el la 
velocidad inicial. El alcance esta dado por R. Si el tiempo de 
contacto dura 4.5 x 10–4 s
g
v
R 0
2
0sen2
8
Ejemplo.- Una pelota de golf de 50 g es golpeada 
por un palo de golf y ésta alcanza una distancia 
de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo, 
suponga un ángulo de 45° el la velocidad inicial.
El alcance esta dado por R. Si el tiempo de 
contacto dura 4.5 x 10–4 s
A B
C
   mgxv CB 448.9200 
I = p = mvB – mvA = (0,050)(44) = 2,2 kg m/s
Si el tiempo de 
contacto dura 4.5 x 
10–4 s la fuerza es:
F = I /Δt = 4900 N
PROBLEMA.- Un tenista recibe una pelota de 
55 g de masa con una velocidad de 72 km/h; y 
la devuelve en sentido contrario con una 
velocidad de 36 km/h. Calcula el impulso que 
recibe la pelota y la fuerza media que aplica el 
tenista, si el contacto de la pelota con la 
raqueta dura una centésima de segundo.
9
I = F ·  t = p = m · v2 – m · v1 = 
= 0,055 kg · (–10 m/s) · – 0,055 kg · 20 m/s · =
I = –1,65 kg ·m/s
I –1,65 ·kg ·m/s 
F = —— = —————— = –165 N
 t 0,01 s
Signo negativo pues tienen sentido contrario al 
inicial de la pelota.
10
PROBLEMA.- Un tenista recibe una pelota de 55 g de 
masa con una velocidad de 72 km/h; y la devuelve en 
sentido contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula 
el impulso que recibe la pelota y la fuerza media que 
aplica el tenista, si el contacto de la pelota con la raqueta 
dura una centésima de segundo.
SOLUCIÓN
Colisiones
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Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos 
mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de 
los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de 
movimiento establece que:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Donde v1i, v2i, v1f y v2f son las velocidades iniciales y finales 
de las masas m1 y m2.
m1 m2
F12
F21
v1f
v1i
v2fv2i
antes
después
12
Ejemplo.- Un automóvil de 1 800 kg está detenido 
y es golpeado por atrás por otro automóvil de 900 
kg y los dos quedan enganchados. Si el auto 
pequeño se movía a 20 m/s ¿cuál es la velocidad 
final de los dos?
SOLUCIÓN
pi = m1v1i = (900)(20) = 18 000 kg m/s
pf = m1vf + m2vf = (m1 + m2) vf = 2700 vf
vf = 18 000 / 2 700 = 6,67 m/s
m2=1800 Kg
v2= 0
m1=900 Kg
v1= 20 m/s
v = vf
m2m1
Consideraremos colisiones en una dimensión.
Las colisiones se clasifican en:
Elásticas: cuando se conserva la energía cinética 
total, es decir:
Inelásticas: cuando parte de la energía cinética 
total se transforma en energía no recuperable 
(calor, deformación, sonido, etc.).
Perfectamente inelásticas: cuando los objetos 
permanecen juntos después de la colisión.
v1f = v2f
2
222
12
112
12
222
12
112
1
ffii vmvmvmvm 
Clasificación de las colisiones
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Para colisiones 
perfectamente inelásticas 
se cumple lo siguiente:
21
2211
21
mm
vmvm
vvv iiff



Si m2 está inicialmente en 
reposo, entonces:
21
11
mm
vm
v i


Si m1» m2, entonces v  v1i
Si m1« m2, entonces v  0
Si v2i = -v1i , entonces:
Si en este caso m1= m2
entonces: v = 0
iv
mm
mm
v 1
21
21



Colisiones perfectamente inelásticas
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m1 m2
v1i v2i
m1+m2
vf
En colisiones elásticas se conserva el momento y la 
energía total. Entonces se tiene que:
y
2
222
12
112
12
222
12
112
1
ffii vmvmvmvm 
ffii vmvmvmvm 22112211 
Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:
fifi vvvv 2211 
m1 m2
v1i v2i
v2fv1f
Antes de la colisión Después de la colisión
Choques elásticos
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Es fácil mostrar que las 
velocidades finales de 
los dos objetos son:
iif
iif
v
mm
mm
v
mm
m
v
v
mm
m
v
mm
mm
v
2
21
12
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
2
2










En una colisión elástica la velocidad relativa de los cuerpos 
en colisión cambia de signo, pero su magnitud permanece 
inalterada.
fi
fff
iii
uu
vvu
vvu



21
21
Si denotamos por u la velocidad 
relativa de los objetos, entonces:
16
Si m1 = m2, entonces v1f = 0 y v2f = v1i. Es decir, dos 
objetos de masas iguales intercambian sus 
velocidades.
Si m1 » m2, entonces v1f  v1i y v2f  2v1i. Quiere decir 
que un objeto grande que choca con otro pequeño casi 
no altera su velocidad pero el objeto pequeño es 
arrojado con una velocidad del doble de la del pesado.
Si m1 « m2, entonces v1f  -v1i y v2f  (2 m1/m2)v1i  0. 
Cuando un objeto ligero choca con otro pesado, 
adquiere una velocidad opuesta a la que traía. 
Si v2i = 0, entonces:
ifif v
mm
m
vv
mm
mm
v 1
21
1
21
21
21
1
2
y





17
Colisiones en dos dimensiones
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Para el caso de dos dimensiones la conservación del 
momento se expresa para cada componente como:
m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx
m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy
m1
m2
v1i
v2f
v1f
Antes de la colisión Después de la colisión
v2i
Consideraremos el caso en que m2 está en reposo 
inicialmente. Después del choque m1 se mueve a un ángulo θ
con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo f con la 
horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como:
m1v1i = m1v1fcos θ + m2v2fcos ϕ
0 = m1v1f sen θ - m2v2f sen ϕ
m1
m2
v1i
v2f
v1f
Antes de la colisión
Después de la 
colisión
f

La ley de la conservación de la energía suministra otra 
ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad inicial 
deberá darse alguna de las cantidades restantes v1f,v2f, ϕ, θ.
2
222
12
112
12
112
1
ffi vmvmvm 
19
20
2. Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una 
camioneta de 2500 kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s 
en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la 
velocidad de los autos después del choque, suponga un 
choque perfectamente inelástico.
21
2. Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una 
camioneta de 2500 kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s 
en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la 
velocidad de los autos después del choque, suponga un 
choque perfectamente inelástico.
SOLUCIÓN
25 m/s
20 m/s
vf
Momento en x:
Antes Después
(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cosθ
Momento en y:
Antes Después
(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) vf sen θ
Resolviendo
θ = 53,1° vf = 15,6 m/s

22
3. Un bloque de masa m1=1,6kg, moviéndose hacia la derecha
conuna velocidad de 4 m/s sobre un camino horizontal sin
fricción, choca contra un resorte sujeto a un segundo bloque
de masa m2= 2,1kg que se mueve hacia la izquierda con una
velocidad de 2,5m/s. (k= 600 N/m). En el instante en que m1 se
mueve hacia la derecha con una velocidad de 3 m/s
determinar:
a) La velocidad de m2
b) La distancia x que se comprimió el resorte
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SOLUCIÓN
Por conservación del momento lineal
'' 22112211 vmvmvmvm 
')1,2()3)(6,1()5,2)(1,2()4)(6,1( 2v
Obtenemos: ismv )/74,1('2 
Por conservación de la energía:
22
22
2
11
2
22
2
11
2
1
'
2
1
'
2
1
2
1
2
1
kxvmvmvmvm 
X = 0,173m