SESIÓN 7

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Estadística Descriptiva y Probabilidades
SESIÓN 7
TEMARIO
1. Medidas de posición.
2. Medidas de forma: asimetría y curtosis.
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de clase, el estudiante calcula e
interpreta las medidas de posición y de forma para
un conjunto de datos.
La medidas de posición corresponden a los valores
de la variable que dividen a un conjunto de datos
ordenados en intervalos que contienen el mismo
número de observaciones. También se les conoce
con el nombre de cuantiles.
Cuartiles (Qk)
Los cuartiles son tres valores que dividen al
conjunto de datos en cuatro partes iguales.
Deciles (Dk)
Los deciles son nueve valores que dividen al
conjunto de datos en diez partes iguales.
Medidas de posición
Percentiles (Pk)
Los percentiles son novena y nueve valores que
dividen al conjunto de datos en cien partes iguales.
P5 P50 P99P80
Equivalencias:
 Q2 = D5 = P50 = Me
 Q3 = P75
 D7 = P70
Medidas de posición
25% 50% 75%0% 100%
Q1 Q2 Q3
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
P90P50P5
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
P20 P75 P99
Cálculo de percentiles para datos no agrupados (Pk)
Donde:
Pk: Percentil k-ésimo.
Li: Valor del dato ubicado en la posición con el valor de k aproximado a entero.
Ld: Valor del dato superior o inmediato a Li
Procedimiento a seguir:
3. Ubicar el percentil buscado
en la posición calculada si éste
es un número entero, de lo
contrario dicho valor se calcula
en forma proporcional en base a
la siguiente fórmula:
Posición = k (n + 1) 
100 
Pk = Li + parte decimal x (Ld – Li)
2. Calcular la posición del
percentil k-ésimo mediante la
siguiente expresión:
1. Ordenar los datos en
forma ascendente
Caso: Duración de una batería
Un fabricante de componentes electrónicos se interesa en determinar el tiempo
de vida útil de cierto tipo de batería. Se presenta a continuación una muestra de
24 horas de vida registradas:
¿Cuál es la valor a partir del cuál se encuentra el 30% superior de los tiempos en
horas de vida útil de las baterías?
134 122 122 125 126 172 131 180
134 120 136 161 140 140 140 145
146 153 155 159 139 162 128 132
Cálculo de percentiles para datos no agrupados (Pk)
120 122 122 125 126 128 131 132
134 134 136 139 140 140 140 145
146 153 155 159 161 162 172 180
Caso: Duración de una batería
Cálculo de percentiles para datos no agrupados (Pk)
Solución:
1. Ordenando los datos en forma ascendente
2. Cálculo de la posición del percentil 70:
Posición = 70 (24+1) Posición = 17.5
100 
Caso: Duración de una batería
Cálculo de percentiles para datos no agrupados (Pk)
El valor de 17.5 se encuentra entre las posiciones 17 y 18 de los datos ordenados en forma ascendente:
X17 = 146, entonces: Li = 146
X18 = 153, entonces: Ld = 153
3. Cálculo de P70:
Pk = Li + parte decimal x (Ld – Li)
P70 = 146 + 0.5 x (153 – 146)
P70 = 149.5 horas
Interpretación: El 70% de los tiempos de vida útil
registrados son menores a 149.5 horas.
120 122 122 125 126 128 131 132
134 134 136 139 140 140 140 145
146 153 155 159 161 162 172 180
Cálculo de percentiles para datos agrupados (Pk)
Procedimiento a seguir:
1. Calcular la posición del percentil k-ésimo mediante la siguiente expresión:
Posición = k n 
100 
2. Ubicar la posición calculada en los valores de la frecuencia 
acumulada Fi.
Cálculo de percentiles para datos agrupados (Pk)
Donde:
Pk: Percentil k-ésimo.
Li: Límite inferior del intervalo donde se encuentra el valor del percentil Pk.
c: Amplitud de la clase
k: Valor k-ésimo
Fi-1: Frecuencia acumulada.
fi: Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el valor del percentil Pk.
 
 
 
  
 
kn
-F
i-1100P =L +c
k i f
i
3. El percentil estará ubicado en el intervalo que tenga un
valor de frecuencia acumulada correspondiente al mínimo
valor que es mayor o igual a la posición calculada. Una vez
identificado el intervalo se calcula el percentil usando la
siguiente fórmula:
Caso: Aplicativos en Android
La empresa SYSTEM S.A.C. se dedica al desarrollo de aplicativos desarrollados en ANDROID para dispositivos
móviles. A la empresa le interesa desarrollar aplicaciones de calidad que tengan el menor tamaño en MB posible
para que los usuarios puedan hacer las descarga más rápidamente en sus dispositivos móviles. A continuación
se presentan los tamaños registrados en MB de 40 aplicaciones desarrolladas:
Tamaño del aplicativo (MB) N° de aplicativos
[0; 10> 8
[10; 20> 12
[20; 30> 7
[30; 40> 10
[40; 50] 3
Total 40
El área de calidad de software de la empresa indicó que si el promedio
del tamaño registrado de las aplicaciones desarrolladas pertenece al
45% inferior de los datos, se le dará un bono a los programadores a fin
de mes. ¿Cuál es la decisión final que tomará el gerente de la
empresa?
Cálculo de percentiles para datos agrupados (Pk)
Solución:
1. Calculo de la marca de clase y de la media:
Tamaño del aplicativo 
(MB)
N° de aplicativos 
(fi)
Marca de clase 
(Xi)
Frecuencia acumulada 
(Fi)
fi . Xi
[0; 10> 8 5 8 40
[10; 20> 12 15 20 180
[20; 30> 7 25 27 175
[30; 40> 10 35 37 350
[40; 50] 3 45 40 135
Total 40 880
Caso: Aplicativos en Android
Cálculo de percentiles para datos agrupados (Pk)
X = 880/40 = 22 MB
Solución:
2. Cálculo de la posición del percentil:
Tamaño del aplicativo 
(MB)
N° de aplicativos 
(fi)
Marca de clase 
(Xi)
Frecuencia acumulada 
(Fi)
fi . Xi
[0; 10> 8 5 8 40
[10; 20> 12 15 20 180
[20; 30> 7 25 27 175
[30; 40> 10 35 37 350
[40; 50] 3 45 40 135
Total 40 880
Caso: Aplicativos en Android
Cálculo de percentiles para datos agrupados (Pk)
Para el 45% superior de los datos corresponde k = 45.
Posición = k n = 45 (40) = 18
100 100
Tamaño del aplicativo 
(MB)
N° de aplicativos 
(fi)
Marca de clase 
(Xi)
Frecuencia acumulada 
(Fi)
fi . Xi
[0; 10> 8 5 Fi-1 = 8 40
[10; 20> fi = 12 15 Fi = 20 180
[20; 30> 7 25 27 175
[30; 40> 10 35 37 350
[40; 50] 3 45 40 135
Total 40 880
Ubicamos la posición calculada (Posición = 18) en la columna de frecuencias acumuladas (Fi).
Caso: Aplicativos en Android
Cálculo de percentiles para datos agrupados (Pk)
3. Calculo del valor del percentil P45:
 
 
 
  
 
kn
-F
i-1100P =L +c
k i f
i
Caso: Aplicativos en Android
Cálculo de percentiles para datos agrupados (Pk)
Reemplazando los valores:
P45 = 10 + 10 x (45 x 40 / 100 - 8)
12 
P45 = 18.3 MB
Conclusión: Como el valor de la media ( X = 22 MB) es mayor que el
valor de P45 = 18.3 MB, no se entregará el bono a los programadores a
fin de mes; teniendo en cuenta las indicaciones del área de calidad del
software de la empresa.
Cálculo de cuartiles (Qi) y deciles (Di) para
datos agrupados
Procedimiento a seguir:
1. A diferencia del calculo del percentil, la posición se calcula:
Cuartil:
Decil:
Posición = k n 
4 
2. Ubicar la posición calculada en los valores de la frecuencia acumulada Fi. (Se sigue el mismo procedimiento
que el percentil)
Posición = k n 
10 
Cálculo de cuartiles (Qk) y deciles (Dk) para
datos agrupados
Cuartil:
3. El cuantil a calcular estará ubicado en el intervalo
asociado a la frecuencia acumulada correspondiente
al mínimo valor que es mayor o igual a la posición
calculada. Una vez identificado el intervalo se
calcula el cuantil usando las siguientes fórmulas,
según sea el caso:
 
 
 
  
 
kn
-F
i-1100P =L +c
k i f
i
4
Qk
 
 
 
  
 
kn
-F
i-1100P =L +c
k i f
i
10
DkDecil:
Medidas de forma
Las medidas de forma permiten conocer si una distribución de frecuencias tiene características como:
simetría, asimetría, nivel de concentración de datos y nivel de apuntamiento que la clasifiquen en un tipo
particular de distribución. Son medidas de forma la asimetría y la curtosis.
Asimetría Curtosis
• Son medidasque permiten conocer la forma que tiene la curva que representa al conjunto de datos. Nos
brindan información sobre la dirección de la dispersión de los datos.
• Si esta dispersión tiende hacia el lado derecho, diremos que la curva tiene asimetría positiva, en caso
contrario diremos que tiene asimetría negativa.
• Si las dispersiones de la curva son iguales diremos que la curva es simétrica.
Asimetría
Si Ak < 0, la distribución tiene asimetría negativa.
Si Ak = 0, la distribución es simétrica.
Si Ak > 0, la distribución tiene asimetría positiva.
(x -Me)
A =3
k s
Coeficiente de asimetría de Pearson (Ak)
: media muestral
Me: mediana
S: desviación estándar
Caso: Componente electrónico
Se realiza un estudio sobre el tiempo de vida útil de un componente electrónico. A continuación se presenta
la tabla de datos agrupados por intervalos para una muestra de 40 tiempos en horas de vida útil de los
componentes electrónicos en estudio:
Tiempo de vida útil (Horas) N° de componentes (fi)
[500; 700> 6
[700; 900> 12
[900; 1100> 10
[1100; 1300> 8
[1300; 1500] 4
Total 40
Calcular e interpretar el coeficiente de asimetría correspondiente a los
tiempos en horas de vida útil de la muestra de 40 componentes
electrónicos.
Coeficiente de asimetría de Pearson (Ak)
Solución:
1. Completando la tabla de frecuencias:
2. Cálculo de las medidas estadísticas:
Tiempo de vida útil 
(Horas)
N° de 
componentes (fi)
Marca de clase
(Xi)
Frecuencia
acumulada (Fi)
fi . Xi fi . (Xi - )
2
[500; 700> 6 600 6 3600 821400
[700; 900> 12 800 18 180 346800
[900; 1100> 10 1000 28 250 9000
[1100; 1300> 8 1200 36 280 423200
[1300; 1500] 4 1500 40 180 1123600
Total 40 920 2724000
Media ( ) = 38800/40 = 970
Mediana (Me) = 900+200x(20-18)/10 = 940
Varianza (S2) = 2724000/(40-1) = 69846.15
Desviación estándar (S) = 69846.15 1/2 = 264.28
Nota: Para el Cálculo de
la mediana (Me), se debe
considerar la posición n/2
= 40/2 = 20
Caso: Componente electrónico
Coeficiente de asimetría de Pearson (Ak)
3. Reemplazando en la fórmula de Asimetría:
(x -Me)
A =3
k s
Ak = 3 x (970 – 940) / 264.28
Ak = 0.341
4. Interpretación: La distribución de los datos presenta una asimetría positiva.
Caso: Componente electrónico
Coeficiente de asimetría de Pearson (Ak)
Distribución 
Platicúrtica 
• Si el grado de
apuntamiento es menor
que el de la distribución
normal.
Distribución 
Mesocúrtica 
• Si el grado de
apuntamiento es igual
que el de la distribución
normal.
Distribución 
Leptocúrtica
• Si el grado de
apuntamiento es mayor
que el de la distribución
normal.
Estas medidas nos brindan información sobre el grado de deformación vertical de una
distribución de frecuencias en comparación con la curva normal que le corresponde.
Tipos de distribuciones según su grado de curtosis:
Curtosis 
a) Si Ku < 0.263, la distribución es Platicúrtica.
b) Si Ku = 0.263, la distribución es Mesocúrtica.
c) Si Ku > 0.263, la distribución es Leptocúrtica.
75 25
u
90 10
(P -P )
K =
2(P -P )
Coeficiente de curtosis 
P10, P25, P75, P90: percentiles
Caso: Casa prefabricada
La resistencia es una característica importante de los materiales utilizados en casas prefabricadas. Cada uno de
los 50 elementos de placa prefabricados se sometieron a prueba de esfuerzo severo y se registró el ancho
máximo (mm) de las grietas resultantes. Los datos registrados para la muestra en estudio fue la siguiente:
Ancho máximo de la grieta (mm) N° de elementos de placa (fi)
[0.4; 0.5> 6
[0.5; 0.6> 14
[0.6; 0.7> 10
[0.7; 0.8> 9
[0.8; 0.9] 4
[0.9; 1] 7
Total 50
Calcular e interpretar el coeficiente de asimetría correspondiente a los anchos máximos (mm) de las grietas
resultantes para la muestra de 50 elementos de placa prefabricados.
Coeficiente de curtosis 
Solución:
1. Completando la tabla de frecuencias:
2. Cálculo de las medidas de posición:
Ancho máximo de la 
grieta (mm)
N° de elementos de 
placa (fi)
Frecuencia acumulada 
(Fi)
[0.4; 0.5> 6 6
[0.5; 0.6> 14 20
[0.6; 0.7> 10 30
[0.7; 0.8> 9 39
[0.8; 0.9] 4 43
[0.9; 1] 7 50
Total 50
Percentil Posición Fórmula Valor
P75 37.5 = 0.7+0.1x(37.5-30)/9 0.78
P25 12.5 = 0.5+0.1x(12.5-6)/14 0.55
P90 45 = 0.9+0.1x(45-43)/7 0.93
P10 5 = 0.4+0.1x(5-0)/6 0.48
Caso: Casa prefabricada
Coeficiente de curtosis 
3. Reemplazando en la fórmula de curtosis:
4. Interpretación: Los datos presentan una distribución PLATICÚRTICA.
Percentil Valor
P75 0.78
P25 0.55
P90 0.93
P10 0.48
75 25
u
90 10
(P -P )
K =
2(P -P )
Ku = 0.255556
Caso: Casa prefabricada
Coeficiente de curtosis 
¿Qué hemos aprendido?
CIERRE
1. ¿Qué es una medida de posición?
2. ¿Cuál es la diferencia entre asimetría
positiva y negativa?
3. ¿Qué mide el coeficiente de curtosis?
CIERRE