Guia 06_AQP

Vista previa del material en texto

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
Técnicas de conteo
1. Introducción: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o
actividad aparece en forma repetitiva, las técnicas de conteo son un conjunto de procedimientos, formas
o maneras de como se puede realizar dicha operación, por ejemplo, las maneras diferentes de vestir de
una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir, el número de maneras de contestar 7
preguntas de un examen de 10 preguntas.
Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo
señalado, estas son:
• Regla de la adición.
• Regla de la multiplicación.
• Diagrama de árbol.
• Permutaciones
• Combinaciones.
Antes de desarrollar cada una de estas técnicas definimos algunos conceptos.
Experimento aleatorio: Un experimento aleatorio es todo proceso que consiste de la ejecución de un
acto (o prueba) una o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se
puede predecir con certeza. Por ejemplo, son experimentos aleatorios: lanzar una moneda y observar la cara
superior cuando cae al piso, cuyo resultado no se puede precisar antes de lanzar la moneda; Aplicar una
encuesta de opinión.
Espacio muestral: Se llama espacio muestral asociado a un experimento aleatorio E, al conjunto de todos
los posibles resultados de dicho experimento aleatorio y lo denotaremos por Ω. Por ejemplo, el espacio
muestral asociado al experimento de lanzar un dado una sola vez es: Ω = {1,2,3,4,5,6}
El espacio muestral puede tener un número finito o infinito de elementos; cuando sea finito se podrá enlistar
los elementos, pero si es muy grande o infinito se expresará mediante un enunciado o una regla general que
describa a todos los elementos del conjunto.
Evento: Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, sea el evento A, al
lanzar un dado una vez el dado muestra un número par, entonces A = {2,4,6}, vemos que A⊂ Ω. Algunos
tipos de eventos son:
• El evento imposible, denotado por φ , indica que no tiene elementos, en consecuencia no ocurre nunca.
Por ejemplo sea el evento A, obtener siete al lanzar un dado.
• Eventos unitarios o elementales, que contienen un sólo elemento.
• El evento seguro o cierto Ω, el mismo espacio muestral, ya que es el subconjunto que contiene a todos
los eventos elementales.
UTP Sede Arequipa 1 Guia 06
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
Las técnicas de conteo las usaremos generalmente para calcular el número de elementos que tiene el espacio
muestral y/o el número de elementos que contienen los eventos.
2. Regla de la adición: Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras y otro evento B se puede
realizar de n maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A∩B = φ),
entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m+n) maneras.
Ejemplo 01: Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña. ¿De
cuántas formas se puede adquirir el repuesto?
Ejemplo 02: Consideremos el experimento de lanzar una moneda o un dado. ¿Cuántos elementos tiene el
espacio muestral?
Ejemplo 03: Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuántas
formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?
UTP Sede Arequipa 2 Guia 06
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
3. Regla de la multiplicación: Si un evento o suceso A puede ocurrir, en forma independiente, de m maneras
diferentes y otro suceso de n maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden
suceder ambos sucesos es: m×n.
Ejemplo 04: En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos: CRISTAL(C), BOYS(B),
ESTUDIANTES(E) y UNIVERSITARIO(U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón).
¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?
Ejemplo 05: Resuelva el ejemplo anterior usando un diagrama de árbol.
Ejemplo 06: ¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes
seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)
4. Permutación: Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su
ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es
importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el
orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.
UTP Sede Arequipa 3 Guia 06
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
4.1 Permutación lineal con elementos diferentes: El número de permutaciones de n objetos diferentes,
tomados en grupos de k elementos (siendo k ≤ n) y denotado por Pnk estará dado por:
Pnk =
n!
(n− k)!
Donde: n,k ∈N
0≤ k ≤ n
Ejemplo 07: Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a,
b y c tomadas de dos en dos.
Ejemplo 08: En una carrera de 400 metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán
ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?
4.2 Permutación lineal con elementos repetidos: El número de permutaciones(P) distintas de n elementos
tomados de n en n en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre
si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, está dado
por:
Pnn1,n2,··· ,nk =
n!
n1!×n2!×·· ·×nk!
Ejemplo 09: ¿De cuantas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?
UTP Sede Arequipa 4 Guia 06
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
4.3 Permutación circular: Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse
todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar
con n objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n− 1
restantes podrán cambiar de lugar de (n− 1)! formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la
circunferencia relativa al primer punto.
El número de permutaciones circulares será:
PCn = (n−1)!
Ejemplo 10: ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse al rededor de una mesa circular un padre y
sus 6 hijos?
5. Combinación: Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos
de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicación. El número de combinaciones de n elementos
diferentes tomados de k en k, con k ≤ n, está dada por:
Cnk =
n!
k!× (n− k)!
Ejemplo 11: Si disponemos de 6 puntos no colineales, ¿Cuál es el máximo número de triángulos que se
podrán formar?
Ejemplo 12: Se tiene seis compañías muy rentables para invertir.¿De cuantas formas se podrá realizar la
inversión si se cuenta con capital suficiente para invertir en sólo tres compañías?
UTP Sede Arequipa 5 Guia 06
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
Ejercicios:
1. Cinco viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles. ¿Dé cuántas maneras pueden ocupar sus
cuartos, debiendo estar cada uno en hoteles diferentes?
2. Débora tiene 6 pantalones, 4 blusas y 5 pares de zapatos, todas de diferentes colores entre sí. ¿Dé cuántas
maneras diferentes puede vestirse si 3 de los pantalones fueran iguales?
3. ¿De cuántas formas distintas se puede formar el pódium de la final de los 100 metros planos en la que corren
8 atletas?
4. En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuantos
grupos distintos de finalistas se pueden formar?
5. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las 6 primeras
preguntas debe contestar por lo menos 5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante?
6. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos juntos, en una misma fila, donde desean
acomodarse.¿Dé cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las tres chicas no quieren estar una al costado
de la otra?
7. Un palco de cuatro asientos es vendido a 2 parejas. ¿Dé cuántas maneras diferentes podemos acomodarlos
si cada pareja quiere estar junta?
8. ¿Dé cuántas maneras distintas se pueden ubicar 5 parejas de esposos alrededor de una fogata , de tal modo
que cada pareja permanezca siempre junta?.
9. Antonio invita a su novia y a sus tres futuros cuñados a un almuerzo, que se realiza en un restaurante, cuyas
mesas tenían la forma de un pentágono regular . ¿Dé cuántas maneras distintas se podrá ubicar, si Antonio y
su novia siempre están juntos?.
10. Se tiene 3 libros diferentes de razonamiento matemático, cuatro libros diferentes de razonamiento verbal y 2
libros diferentes de literatura. ¿Dé cuántas maneras diferentes se pueden ubicar en un estante de manera que
los libros del mismo curso permanezcan juntos?
11. Un producto es armado en 3 etapas, disponiéndose para la primera etapa 3 líneas de armado, en la segunda
etapa, 5 líneas de armado, y en la tercera etapa, de 4 líneas. ¿De cuántas maneras distintas puede armarse el
producto?
12. En una clínica trabajan 18 enfermeras:
I ¿Cuántas guardias diferentes de 3 enfermeras pueden formarse?
II ¿En cuántas guardias de las formadas en I estará una enfermera determinada?
13. "Mancusoün ladrón conocido quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de cuatro dígitos. Solamente
sabe que los dígitos posibles son 1, 3, 5 y 7. ¿Cuál es el número máximo de çombinaciones.erradas que
podría intentar?
UTP Sede Arequipa 6 Guia 06
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
14. La señora Petruska tiene a cargo tres cocheras de autos con capacidad para más de cuatro autos cada una,
luego llegan dos autos azules y 2 de color verde iguales.
• Sea n el número de maneras en que se pueden distribuir en las cocheras.
• Sea m el número de maneras en que se pueden distribuir en las cocheras, de tal manera que dos autos
del mismo color no deben estar en la misma cochera.
Calcule m+n.
15. De los primeros 34 alumnos del Colegio DAC se sabe que todas las mujeres son mayores de edad ; el
número de varones menores de edad coincide con el 60% del número de mujeres , y por cada 7 varones uno
es mayor de edad. Se debe elegir a tres de éstos alumnos para enviarlos de viaje , de tal manera que sólo dos
sean mayores de edad (varón y mujer) . ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir a estas personas?
16. De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia E?
UTP Sede Arequipa 7 Guia 06