Analisis vectorial basico

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ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
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1
En las siguientes notas se expone brevemente, a manera de repaso, el contenido de Cálculo Vectorial que se utilizará en 
el curso de COEM. La secuencia no es la más adecuada si el conocimiento y manejo de ésta herramienta es escaso, por 
tal razón se recomienda estudiar en un libro de Cálculo Vectorial, de Análisis Vectorial o los primeros capítulos del 
Sadiku o del Cheng. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Die Rose ist ohne warum; sie blühet weil sie blühet. 
Angelus Silesius 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
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2
1. Sistema coordenado rectangular (SCR) 
En coordenadas rectangulares un punto se específica mediante los parámetros x, y, z; los cuales corresponden a cada 
una de las proyecciones del punto en cuestión sobre los ejes X, Y, Z. 
En este sistema, un vector cualquiera 
→
A { }( )3 ( , , ) , ,x y z x y za a a a a a∈ = ∈ℝ ℝ se puede expresar como 
 
∧∧∧→
++= zAyAxAA zyx o x y zA A A A
→ → → →
= + + 
 
donde las cantidades , y x y zA A A reciben el nombre de componentes escalares (“x”, “y” y “z” respectivamente) del 
vector A
→
. Los vectores , y x x y y z zA A x A A y A A z
→ ∧ → ∧ → ∧
= = = se denominan componentes vectoriales (“x”, “y” y 
“z” respectivamente) del vector A
→
. Y los vectores , y x y z
∧ ∧ ∧
 se denominan vectores base canónicos del espacio 
vectorial 3ℝ o vectores base del sistema rectangular, su interpretación geométrica es la siguiente 
 
(1,0,0) : vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada se incrementa más rápido.
(0,1,0) : vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada se incrementa más
x x
y y
∧
∧
=
= rápido.
(0,0,1) : vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada se incrementa más rápido.z z
∧
=
 
 
La terna ordenada de números ( , , ) puede representar un punto o un vector (ver figura 1a, página 3),
y aunque matemáticamente ésto no tiene importancia, utilizaremos la segunda interpretación 
x y zA A A
geométrica; y
en consecuencia la notación en lugar de ( , , ).
Es importante recordar la definición de dos operaciones básicas (así como su interpretación geométrica):
La 
x y z x y zA A x A y A z A A A A
→ ∧ ∧ ∧ →
= + + =
multip
3
3
.
 Si y ,
 
 
 
= 
 
La 
x y
x
z
y z
A A x A y A z
A A x A y A z
α α
α
α α
→ ∧ ∧ ∧
→ ∧ ∧ ∧
∈ = + + ∈
∈+ +
licación de un escalar por un vector
suma de dos
ℝ ℝ
ℝ
3 3
3
.
 Si y , 
 
 
 
Una 
 
( ) (
expresión con las operaci
) ( )x x y y
z
z z
x y x y z
C A B A B x A B y A
A A x A y A z
B z
B B x B y B z
→ ∧ ∧ ∧ → ∧
→ → →
∧
∧ ∧ ∧
∧
= + + ∈ = + + ∈
= + = + + + ∈+ +
 vectores
ℝ ℝ
ℝ
ones anteriores puede simplificarse rápidamente utilizando las siguientes 
 
 1. ( ) ( ) , 2. ( ) , 3. ( )
 4. , 5. ( ) ( )
A A A A A A B A B
A B B A A B C A B C
α β αβ α β α β α α α
→ → → → → → → → →
→ → → → → → → → → →


= + = + + = +
+ = + + + = + +
Propiedades


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
→
 
 
, 0 1A αα
→
< < 
 
, 1Aα α
→
> 
 
A
→
 
B
→
 
A
→
 
C
→
 B
→
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
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3
Particularmente el vector de posición de un punto ),,( zyxP y su procedente cambio cuando las coordenadas 
rectangulares se incrementan en un diferencial (, ,dx dy dz respectivamente) vienen dados por (ver figura 1b, página 3): 
∧∧∧→
++= zzyyxxr y 
∧∧∧→
++= zdzydyxdxrd . 
 
 . La localización de un punto en el espacio se puede especificar por medio de
su vector de posición ; se define como el vector cuyos puntos inicial y final son respectivamente
Vector de posición P
r
→
 el 
origen del sistema coordenado empleado y el punto P.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1a. Figura 1b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando la definición y propiedades del producto escalar de dos vectores, las componentes escalares de un vector 
cualquiera A
→
, en el SCR, pueden expresarse como: 
∧→∧→
•=•= yAAxAA yx , y 
∧→
•= zAAz . 
 
3Sean , dados en la base canónica rectangular. El producto escalar de
estos vectores, denotado por , se define como el número real .
1. 0, 
x x y y z z
A B
A B A B A B A B
A A
→ →
→ →
→ →
∈
+ +
≥
Producto escalar.
Propiedades
ℝ
i
i , 
4
= | | | | cos es el ángulo entre 
. + , + +
5. , donde . Se silos vectores y 
2. = 3. ( ) = , ( )=
( )= ( ) =
A B B A A B A B A b B A B
A B C A B A C A
A B A B A
B C A C B
B
C
a a b
→ → → → → → → → → → → →
→ → → → →
→ → → → → →
→ → → → → → → → →
Θ Θ
+
i i i i i i
i i i i i
i
i
3 , denotada por o |
 es | | veces la p
 es |
royec
| veces
ción
gue de ésta propiedad
 que la proyección sobr
 
 y 
 sobre
e
 .
 
A A A
A B A B
A B A B
A
B
→ → → → →
→ → → → →
→
∈La magnitud o norma del vector
i
i
ℝ |, es la cantidad . 
 Nótese que | | | || | . 
Un vector se dice unitario cuando su magnitud es la unidad.
A A
A AB Bα α
→ → →
→ → → →












= ⇒ =

i












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
A
→
 
xA
→
 
yA
→
 
zA
→
 
x yA A
→ →
+ 
( , , )x y zA A A 
90º 
90º 
90º 
x
∧
 
y
∧
 
z
∧
 
dy 
d x 
dz 
→
r 
P 
fP 
f
→
r 
 
Θ 
→
B | |cosA
→
Θ 
→
A | |cosB
→
Θ 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
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4
De la figura 1.b, página 3, se puede observar que las componentes del vector d r
→
 corresponden al desplazamiento del 
punto P cuando una de sus coordenadas cambia. Consecuentemente, un elemento de volumen y los elementos de 
superficie perpendiculares a los vectores unitarios canónicos son: 
 
dzdydxdv = , dzdydax = , dzdxday = , dydxdaz = 
 
A partir del producto vectorial, los vectores de superficie, asociados a los tres últimos elementos antes escritos, se 
expresan por: 
 
xd a d y d z
→ → →
= ± × , yd a d z d x
→ → →
= ± × , zd a d x d y
→ → →
= ± × ; donde , ,d x dx x d y dy y d z dz z
→ ∧ → ∧ → ∧
= = = 
 
3. Sean , dados en la base canónica rectangular. El producto vectorial de estos
vectores, denotado por , es el vector 
( ) (y z z y x z
A B
A B
A B A B x A B
→ →
→ →
∧
∈
×
− −
Producto vectorial ℝ
) ( )
0
= d
4. + , + +
5. , o 
1. 
2. =
3. ( ) = , ( )=
( )= ( ) =
z x x y y x x y z
x y z
x y z
A B y A B A B z A A A
B B B
A A
A B B A
A B A B
A B
A b B A B
A B C A B A C A B C A
A B sen c
C B C
a a b
∧ ∧ ∧
∧ ∧
→ → →
→ → → →
→ → → → → → → →
→ → → → → →
→
→ → → → →
∧
→ → →
→
 
 
 − + − =
 
 
 
× =
× − ×
× × × ×
× × ×
×
× ×
Θ
×+
Propiedades
nde es el ángulo entre los vectores y un vector unitario perpendicular a
 
, 
 ( su dirección es indicada por éstos el dedo pulgar al doblar los dedos dos
A B c
→ → ∧
Θ
de la mano
 derecha en el sentido necesario para girar en la dirección de , siguiendo el ángulo
 más pequeño entre ellos). 
 
A B
→ →
3
| | es el área del paralelogramo de lado Se sigue que .
Sean , , dados en la base canónica 
s y
a
 
rect
A B A B
A B C
→ →
→ → →
∈
×
Triple Producto Escalar y Triple Producto Vectorial 
ℝ ngular. Los triples productos escalar y vectorial se definen 
y expresan respectivamente por
( )
El triple producto escalar da el
(
 volumen del paralele-
pípedo quet
)
ien
x y z
x y z
x y z
A A A
A B C B B B C A B
C C C
→ → → → → →
• •× = = ×
e como aristas a los vector
( ) ( )
es , ,
( )A B C B A C C A B
A B C
→ → →
→ → → → → → → → →
× • •
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
   
 
 
 
 × = − 
 
 
→
B 
| |senA
→
Θ 
→
A 
A B
→ →
× 
Θ 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
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5
Tabla 1.1 
 
0=•
∧∧
yx 
 
0=•
∧∧
zy 
 
0=•
∧∧
xz 
 
∧∧∧
=× zyx 
 
∧∧∧
=× xzy 
 
∧∧∧
=× yxz 
 
0x x
∧
∂ = 
 
0y x
∧
∂ = 
 
0z x
∧
∂ = 
 
0x y
∧
∂ = 
 
0y y
∧
∂ = 
 
0z y
∧
∂ = 
 
0x z
∧
∂ = 
 
0y z
∧
∂ = 
 
0z z
∧
∂ = 
 
 
dzdydxdv = 
 
, xxda dy dz n x
∧ ∧
= = ± 
 
, yyda dx dz n y
∧ ∧
= = ± 
 
, zzda dx dy n z
∧ ∧
= = ± 
 
 
Campo escalar 
Es una cantidad escalar que es función de la posición. Ejemplos: temperatura, densidad de carga, corriente eléctrica,… 
 
Campo vectorial 
Es una cantidad vectorial que es función de la posición. Ejemplos: fuerza de gravedad, campo eléctrico,…. 
 
Gradiente de un campo escalar 
Sea ( )r
→
Ω un campo escalar continuamente diferenciable en una región abierta R. El gradiente de Ω , denotado por 
∇Ω , es un campo vectorial en R definido por 
x y z
x y z
∧ ∧ ∧∂Ω ∂Ω ∂Ω∇Ω = + +
∂ ∂ ∂
 
 
 
Nótese que con la definición anterior, el cambio Ω al incrementarse las coordenadas rectangulares en un 
diferencial es dado por 
 
→
•Ω∇=
∂
Ω∂+
∂
Ω∂+
∂
Ω∂=Ω rddz
z
dy
y
dx
x
d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2b 
 
 
En la figura 2b se muestran una serie de superficies formadas por los puntos para los que Ω es constante (igual a 
1Ω , 2Ω y 3Ω respectivamente). Si un desplazamiento 11d r
→
 mueve el punto P en otro lugar sobre la misma 
superficie, entonces 11 110d d r d r
→ →
• ⊥Ω = ∇Ω = ∴ ∇Ω . Lo cual implica que Ω∇ es perpendicular a cada 
superficie de Ω constante. 
 
 
 
1Ω
2Ω 
3Ω 
 
11d r
→ 
 
12d r
→ ∇Ω(x+dx, y+dy, z+dz) 
 
Ω+Ω d 
(x, y, z) 
 
 Ω 
→
rd 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
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6
Derivada direccional de un campo escalar 
Sea P un punto fijo y 'P otro punto que varía de manera que 
→
'PP es siempre paralelo a un vector unitario fijo 
s
∧
, la derivada de Ω en P en la dirección de s
∧
 se define como 
 
' 0
lim ( ') ( )
'PP
P P
s
s PP
∧
→
∂Ω Ω − Ω= = ∇Ω •
∂
 
 
Si θ es el ángulo entre Ω∇ y s
∧
, al considerar un punto en el que 
→
≠Ω∇ 0 , el valor máximo de 
s
∂Ω
∂
 ocurrirá 
cuando 0=θ , es decir, cuando Ω∇ y 
∧
n tengan la misma dirección. Por lo tanto, el gradiente de un campo 
escalar describe completamente la manera en que varía el campo; y mientras Ω∇ apunta en la dirección en que 
Ω aumenta más rápido, Ω∇ es la rapidez de cambio de Ω en esta dirección. 
 
 
 
 
Derivación de un vector con respecto a un escalar 
Sea g
→
 una función continua de la variable escalar σ , con componentes rectangulares derivables una vez respecto a 
σ . La derivada de g
→
 respecto de σ es dada por 
 
( ) yx zdgdg dgd g x y z
d d d d
σ
σ σ σ σ
→
∧ ∧ ∧
= + + 
 
 
Divergencia y rotacional de un campo vectorial 
Si las componentes del campo vectorial )(
∧∧∧→
++= zFyFxFF zyx son funciones continuamente diferenciables de las 
coordenadas rectangulares “x”, “y” y “z” . Se definen operativamente, en coordenadas rectangulares, la divergencia y 
el rotacional del campo como: 
 
z
F
y
F
x
F
FFdiv zyx
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂
=•∇=
→→
 
 
y yx xz z
F FF FF F
rot F F x y z
y z x z x y
→ → ∧ ∧ ∧∂ ∂   ∂ ∂∂ ∂ = ∇× = − − − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
 
 
 
Teorema de la divergencia 
Si el campo vectorial 
→
F y su divergencia están definidos en una región cerrada V que está limitada por una 
superficie cerrada simple S, entonces ∫∫
→→→
•=•∇
SV
adFdvF . 
 
Significado de la divergencia 
Sea P un punto en el centro de un volumen V∆ suficientemente pequeño. Como
→
•∇ F es casi constante en todo 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
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7
el volumen, entonces ∫∫
→→→
∆
→
•=∆•∇=•∇
SV
adFVFdvF
P
. Si ahora 0→∆V mientras P se mantiene fijo, el 
valor promedio de 
→
•∇ F en la vecindad de P será ( )F P
→
∇ • . Por lo tanto ∫
→→→
•
∆
=•∇
→∆ S
adF
V
lim
F
V
1
0
. 
Si en cada punto sobre S el vector 
→
F se dirige hacia afuera del volumen V∆ (
→
F diverge desde la región V∆ ), 
entonces 0
1 >•
∆ ∫
→→
S
adF
V
. Por otro lado, si 
→
F apunta hacia adentro de V∆ en cada punto de S (
→
F converge 
hacia la región V∆ ), entonces 01 <•
∆ ∫
→→
S
adF
V
. Por lo anterior, es común que se diga lo siguiente: 
Debido a que el signo de ∫
→→
•
∆ S
adF
V
1
 indica si el campo promedio sobre S es divergente o convergente, en el 
límite en que V∆ se contrae a un punto fijo P, el signo de 
→
•∇ F muestra si el campo medio en la vecindad de 
P es divergente o convergente y su magnitud da una indicación de la intensidad de tal propiedad [2]. 
 
 
Teorema de Stokes 
Si el campo vectorial 
→
F y su rotacional están definidos sobre una superficie abierta simple S con frontera C 
correspondientemente orientada, se cumple que 
→→→→
∫∫ •=•×∇ rdFadF
CS
)( . 
 
Significado del rotacional 
Sea P un punto en el centro de una pequeña superficie 
∧→
= naa . Si a es suficientemente pequeña y 
∧→
•×∇ nF )( 
es casi constante sobre dicha superficie, entonces 
→→∧→
∫ •∆
=•×∇
→∆
rdF
a
lim
nF
Ca
1
)(
0
. 
Si en particular la superficie es un círculo centrado en P, con eje en la dirección de ( )F P
→
∇× , entonces 
0>×∇•
→∧
Fn y 0
C
F d r
→ →
• >∫� . Esto significa que al promediar sobre la frontera del disco, el valor de 
∧→
• tF es 
positivo; y en consecuencia, que el campo en la vecindad de P tiene una componente rotacional dirigida en el 
sentido positivo de C, es decir, el campo aparentemente gira con respecto a un eje paralelo a 
→
×∇ F [2]. 
Cuando 0=×∇
→
F no hay circulación aparente. 
 
 
Teorema de Helmholtz 
Si la divergencia y el rotacional de un campo vectorial )(
→→
rF se conocen en todos los puntos de un volumen 
finito V y están dados por )(
→→
Ω=•∇ rF y )(
→→→
=×∇ rgF , entonces 
→→→
×∇+Φ−∇= ArF )( ; donde 
 
∫∫ →→
→→
→
→→
→
→
−
=
−
Ω=Φ
VV
dv
rr
rg
Adv
rr
r
r '
|'|
)'(
4
1
,'
|'|
)'(
4
1
)(
ππ
 
 
El teorema afirma que un campo vectorial se determina en forma única si se conocen su divergencia y rotacional 
en todos los puntos del espacio [2]. 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
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8
Ejemplos varios (en el sistema rectangular) 
 
1. Obtener el gradiente del campo escalar 2 2 2.f x y z= + − 
Sol. 
2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 2 2x y z x y zx y z x y z x x y z y x y z z x x y y z z
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∇Ω = ∂ Ω + ∂ Ω + ∂ Ω = ∂ + − + ∂ + − + ∂ + − = + − 
 
2. Dado el campo vectorial 
∧∧∧→
+++= zyxyxxyF )( 22 , determine su divergencia y rotacional. 
Sol. 
Como 22,, yxFxFyF zyx +=== ; entonces 
 
2 2( ) ( ) ( ) 0 0 0 0yx z
FF F
F y x x y
x y z x y z
→ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ • = + + = + + + = + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(2 0) (2 0) (1 1) 2( )
y yx xz z
F FF FF F
F x y z
y z x z x y
x y x x x y y y x y z
y z x z x y
y x x y z y x x y
→ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∂ ∂   ∂ ∂∂ ∂ ∇× = − − − + − =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − − + − + − =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
= − − − + − = −
 
 
 
3. Dados un campo vectorial F
→
y una curva C que conecta los puntos ( , , ) y ( , , ),i i i i f f f fP x y z P x y z obtener la 
integral sobre la curva, desde iP hasta fP , de la componente tangencial del campo. 
 
a) 
1
1 2 3 2
3
: , ,
, , donde : , ,
: , ,
i f i i
f i f i
f f i f
C x x x y y z z
F yz x xy y zx z C C C C C x x y y y z z
C x x y y z zz
→ ∧ ∧ ∧
 ≤ ≤ = =
= − + = ∪ ∪ = ≤ ≤ =
 = = ≤ ≤
 
b) 
Sol. 
a) Como 
1 2 3, 
y
f
i
P
P C C C C
F d r F d r F d r F d r d r dx x dy y dz z
→ → → → → → → → → ∧ ∧ ∧
= + + = + +∫ ∫ ∫ ∫i i i i , entonces 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
3
( , , )
( , , )
( , , )
2 21
2
( , , )
( , , )
2 21
2
( , , )
( )
( )
( )
f i i f
i i i i
f f i f
f i i i
f f f f
f f i i
x y z x
i i i i f i
C x y z x
x y z y
f f f i
C x y z y
x y z z
f f f i
C x y z z
F d r F x dx y z dx y z x x
F d r F y dy x ydy x y y
F d r F z dz x zdz x z z
→ → → ∧
→ → → ∧
→ → → ∧
= = = −
= = − = − −
= = = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
i i
i i
i i
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
9
2 2 2 21 1
2 2
, 
( ) ( ) ( )
f
i
P
i i f i f f i f f i
P C
F d r y z x x x y y x z z
→ →
∴ = − − − + −∫ i
 
 
 
b) 
 
 
4. Dados un campo vectorial F
→
y una superficie S, obtenga la integral de superficie de la componente normal del 
campo. 
 
a) A yz x xy y zx z
→ ∧ ∧ ∧
= − + ; 
: 0 1, 0 2, ; : 2 0, 0 3, ; : 1 0,3 0 3,1 2xS x y S y z S x z yz≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤= ≤= ≤ ≤ =i) ii) iii) 
 
b) 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2, si 0 2, | | 8 : 0 1, 0 2 , 7.
.
( constante)
0,
x y xy
x y x y
x z y z x y z S x y z
E b
b
en otro caso
∧ ∧ ∧
+
→
+ +
→
 + + ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ == 
=

 
Sol. 
ai) Como z zd a n da z dxdy
→ ∧ ∧
= = , entonces 
2 1 2 1
1 221
23 00
0 0 0 0
3 3( ) ( ) 3
z
S
A d a zx dxdy xdxdy x y
→ →
=
⋅ = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
aii) Como x xd a n da x dydz
→ ∧ ∧
= = , entonces 
3 0 3 0
0 32 21 1
2 21 2 0
0 2 0 2
( ) ( ) 9
x
S
A d a yz dydz yzdydz y z
→ →
= −
− −
⋅ = = = = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
aiii) Como y yd a n da y dxdz
→ ∧ ∧
= = , entonces 
3 0 3 0
0 321
22 01
0 1 0 1
2 2( ) ( ) 3
y
S
A d a xy dxdz xdxdz x z
→ →
= −
− −
⋅ = − = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
b) El volumen donde el campo es diferente de cero es el de un cilindro de radio 2 y altura 16 con centro en el origen, 
 puesto que la superficie de integración se encuentra en el interior de dicho volumen, entonces el campo es no nulo 
 en dicha superficie. 
Como z zd a n da z dxdy
→ ∧ ∧
= = , entonces 
 
 
( )2 2
3 3 3
2 2 2
2 1 2 21
2 2 2
070 0 0 0
2 22 31 1 1
3 3 300
( ) 1 | |
(1 ) ( ) (3 1 2 )
xy
x y zS
E d a dxdy y x y dy y y y dy
y y
→ →
+ =
⋅ = = + = + − =
= + − = − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
5. Integrar el campo escalar 2 2 2f x y z= + − sobre el volumen de un paralelepípedo de lados 2a, 2b y 2c; considere 
el centro en el origen y una de las caras paralela al plano XY. 
Sol. 
 
( )
2 2 2 3 3 31 1 1
3 3 3
2 2 28
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c b a
a b cb c a c a b
b c a c a ba b c
V c b a
fdv x y z dxdydz x y z x y z x y z
abc a b c
− − − − − −− − −
− − −
= + − = + − =
= + −
∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
10
2. Coordenadas cilíndricas 
La especificación de un punto en coordenadas cilíndricas se da mediante los parámetros: z,, ϕρ , donde ρ es la 
longitud de la proyección del vector 
→
r sobre el plano XY, ϕ el ángulo que la proyección forma con el eje X, z el 
valor que le corresponde a la proyección del punto sobre el eje Z. De la figura 3.a podemos observar que la relación 
entre las coordenadas cilíndricas y rectangulares es dada por 
 
 cosx ρ ϕ= , seny ρ ϕ= , zz = . 
 
[ ]0 , 0 2 , zρ ϕ π≤ < ∞ ≤ ≤ − ∞ < < ∞ 
 
 
En coordenadas cilíndricas suelen manejarse tres vectores base: 
∧
ρ , ϕ
∧
 y 
∧
z . Los cuales se definen de la siguiente 
manera. 
 
• 
∧
ρ : vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada ρ se incrementa más rápido. 
 
• ϕ
∧
: vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada ϕ se incrementa más rápido. 
 
• 
∧
z : vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada z se incrementa más rápido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.a. Figura 3.b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener la dirección de cada uno de estos vectores, consideremos la expresión del vector de posición del punto P 
en el sistema rectangular, las reglas de transformación antes dadas, así como la definición de derivada. 
Como 
cosr x x y y z z x sen y z zρ ϕ ρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= + + = + + , 
 
entonces: 
ϕ 
ϕ
∧
 
z
∧
 
ρ
∧
 
ϕ
∧
 ϕ 
dρ ϕ 
dϕ 
dz 
dρ 
( , , )P zρ ϕ 
r
→
 
ρ 
ρ 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
11
cos 0
cos
1| |
r x sen y z
x sen y
r
ρ
ρ
ϕ ϕρ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
→
∂ + += = = +
∂
 
 
cos 0
cos
| |
r sen x y z
sen x y
r
ϕ
ϕ
ρ ϕ ρ ϕϕ ϕ ϕ
ρ
→ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
→
∂ − + += = = − +
∂
 
 
0 0
1| |
z
z
r x y z
z z
r
→ ∧ ∧ ∧
∧ ∧
→
∂ + += = =
∂
 
 
 
Se puede verificar fácilmente que 
 
• los vectores , y zρ ϕ
∧ ∧ ∧
 son ortonormales y por lo tanto forman una base; es decir, un vector 3f
→
∈ℝ es 
expresable como 
 
zf f f f zρ ϕρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + 
 
donde 
∧→
•= ρρ ff , f fϕ ϕ
→ ∧
= • y 
∧→
•= zff z son las componentes radial, angular y rectangular, 
respectivamente. 
 
• 
∧∧→
+= zzr ρρ , 
 
• ( cos )d sen x y d dρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧
= − + = , 
 
• d r d d dz z z d z d d dz zρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= + + + = + + 
 
 
 
2 2 2
Si y , haciendo uso de algunos resultados obtenidos, y otros
derivados de los mismos, es demostrable que
1. | | 2. =
3. (
z z
z z z
z z
A A A A z B B B B z
A A A A A B A B A B A B
A B A B A B
ρ ϕ ρ ϕ
ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ρ ϕ ρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧
→ → →
→ →
= + + = + +
= + + + +
× = −
i
) ( ) ( )z z z
z
z
A B A B A B A B z A A A
B B B
ρ ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ
∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
 
 
 − − + − =
 
 
 
 
 
 
 
En la figura 3.b de la página 9, podemos observar que las componentes cilíndricas del vector d r
→
 corresponden al 
desplazamiento del punto P cuando una de sus coordenadas cambia. De la misma figura se tiene que, el elemento de 
volumen y los elementos de superficie perpendiculares a los vectores unitarios cilíndricos son respectivamente: 
 
dv d d dzρ ρ ϕ= , da d dzρ ρ ϕ= , da d dzϕ ρ= , zda d dρ ρ ϕ= 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
12
Tabla 1.2 
 
0ρ ϕ
∧ ∧
• = 
 
0zϕ
∧ ∧
• = 
 
0=•
∧∧
ρz 
 
zρ ϕ
∧ ∧ ∧
× = 
 
zϕ ρ
∧ ∧ ∧
× = 
 
z ρ ϕ
∧ ∧ ∧
× = 
 
0ρ ρ
∧
∂ = 
 
ϕ ρ ϕ
∧ ∧
∂ = 
 
0z ρ
∧
∂ = 
 
0ρ ϕ
∧
∂ = 
 
ϕ ϕ ρ
∧ ∧
∂ = − 
 
0z ϕ
∧
∂ = 
 
0zρ
∧
∂ = 
 
0zϕ
∧
∂ = 
 
0z z
∧
∂ = 
 
 
cos senx yρ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧
= + 
 
sen cosx yϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧
= − + 
 
∧∧
= zz 
 
cos senx ϕ ρ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧
= − 
 
sen cosy ϕ ρ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧
= + 
 
∧∧
= zz 
 
dv d d dzρ ρ ϕ= 
 
,da d dz nρρ ρ ϕ ρ
∧ ∧
= = ± 
 
,da d dz nϕϕ ρ ϕ
∧ ∧
= = ± 
 
, zzda d d n zρ ρ ϕ
∧ ∧
= = ± 
 
 
 
 
Para obtener la expresión del gradiente de un campo escalar ( , , )zρ ϕΩ , basta obtener el cambio de esta función 
debido a que las coordenadas cilíndricas se incrementan en una cantidad infinitesimal. 
 
 ( ) ( ) ( )zd d d dz d r d d dzz ρ ϕ
ρ ϕ ρ ρ ϕ
ρ ϕ
→∂Ω ∂Ω ∂ΩΩ = + + = ∇Ω • = ∇Ω + ∇Ω + ∇Ω ∴
∂ ∂ ∂
 
 
 
1
z
z
ρ ϕ
ρ ρ ϕ
∧ ∧ ∧∂Ω ∂Ω ∂Ω∇Ω = + +
∂ ∂ ∂
 
 
Las expresiones para la divergencia, rotacional y laplaciano se dan a continuación: 
 
( )1 1 zA A AA
z
ρ ϕρ
ρ ρ ρ ϕ
→ ∂ ∂ ∂∇ • = + +
∂ ∂ ∂
 
 
 
1 1
( )z z
A A AA A
A A z
z z
ϕ ρ ρ
ϕρ ϕ ρρ ϕ ρ ρ ρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧∂ ∂ ∂     ∂ ∂ ∂∇× = − + − + −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
 
 
 
2 2
2
2 2 2
1 1( )
z
ρ
ρ ρ ρ ρ ϕ
∂ ∂Ω ∂ Ω ∂ Ω∇ Ω = + +
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
13
 
Demostración de las identidades de la tabla 1.2 
 
(cos ) (sen )
(cos sen ) 0
 
x y x y
ρ ϕ ϕϕ ϕ
ρ ρ ρ ρ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ →∂ ∂ ∂ ∂= + = + =
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
(cos ) (sen )
(cos sen ) cos
 
x y x y sen x x
ρ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∂ ∂ ∂ ∂= + = + = − + =
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
(cos ) (sen )
(cos sen ) 0
 
x y x y
z z z z
ρ ϕ ϕϕ ϕ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ →∂ ∂ ∂ ∂= + = + =
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
( ) (cos )
( cos ) 0
 
sen
sen x y x y
ϕ ϕ ϕϕ ϕ
ρ ρ ρ ρ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ →∂ ∂ ∂ − ∂= − + = + =
∂ ∂ ∂ ∂( ) (cos )
( cos ) (cos )
 
sen
sen x y x y x sen y
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ρ
ϕ ϕ ϕ ϕ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∂ ∂ ∂ − ∂= − + = + = − + = −
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
( ) (cos )
( cos ) 0
 
sen
sen x y x y
z z z z
ϕ ϕ ϕϕ ϕ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ →∂ ∂ ∂ − ∂= − + = + =
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
(1)
0
z
z
ρ ρ
∧
∧ →∂ ∂= =
∂ ∂
 
 
(1)
0
z
z
ϕ ϕ
∧
∧ →∂ ∂= =
∂ ∂
 
 
(1)
0
z
z
z z
∧
∧ →∂ ∂= =
∂ ∂
 
 
(cos ) ( cos ) cos sen cos sen 0 0x sen y sen x yρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= + − + = − + + =i i 
 
( cos ) 0 0 0 0z sen x y zϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= − + = + + =i i 
 
(cos ) 0 0 0 0z z x sen yρ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= + = + + =i i 
 
∧∧∧∧∧∧∧∧∧
=+=+−×+=× zzzyxyx ϕϕϕϕϕϕϕρ 22 sencos)cossen()sen(cos 
 
∧∧∧∧∧∧∧∧
=+=×+−=× ρϕϕϕϕϕ xyzyxz cossen)cossen( 
 
∧∧∧∧∧∧∧∧
=−=+×=× ϕϕϕϕϕρ xyyxzz sencos)sen(cos 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
14
Cambio del sistema coordenado rectangular al cilíndrico x y z zf f x f y f z f f f zρ ϕρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ = + + → + + 
 
 
Dado un campo escalar en el sistema rectangular, basta sustituir en éste las ecuaciones ycosx y senρ ϕ ρ ϕ= = para 
expresarlo en el sistema cilíndrico. 
 
Un vector en el sistema coordenado rectangular se puede expresar en el sistema coordenado cilíndrico. Para esto se 
puede proceder de tres formas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos varios 
1. Expresar el campo escalar 2 2 2f x y z= + − en el sistema cilíndrico. 
Sol. 
Basta sustituir cosx ρ ϕ= y y senρ ϕ= en la expresión de f. 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cosf x y z sen z zρ ϕ ρ θ ϕ ρ= + − = + − = − 
 
 
2. Dado el vector 2 2( )f y x x y x y z
→ ∧ ∧ ∧
= + + + , obtenga su expresión en el sistema cilíndrico. 
∧∧∧→
++= zfyfxff zyx 
cos , cos ,
.
sen cos .
x x sen
y sen
y
ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
= = −
= = +
 
zf f f f zρ ϕρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + 
Método 1: 
∧∧∧→
++= zfyfxff zyx 
,cos , cos ,
. .sen cos .
f fx x sen y
y sen f fx y
ρ
ϕ
ρρ ϕ ρ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
→ ∧∧ ∧ ∧
→ ∧∧ ∧ ∧
= •= = +
= = •= − +
 
zf f f f zρ ϕρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + 
Método 2: 
∧∧∧→
++= zfyfxff zyx 
cos 0
cos ,
cos 0
.
0 0 1
MCB
x
y
z z
f sen f
x
f sen f
y sen
f f
ρ
ϕ
ϕ ϕ
ρ ϕ
ϕ ϕ
ρ ϕ
     
=      = −     =
          
���������
 
zf f f f zρ ϕρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + 
Método 3: 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
15
Sol. 
Método 1 
cos , o c s, , oc sx x sey s nen y senρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧
= = = = −  
+ 
Al sustituir las coordenadas y vectores base del sistema rectangular en términos de las coordenadas y vectores base del 
sistema cilíndrico, en la expresión del vector f
→
, se obtiene 
 
2 2 2 2
2 2 2
2 2( ) coscos cos ( cos )
2 cos (cos )
( ) ( )f y x x y x y z sen z
sen sen
sen sen sen
z
ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ
ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ρ
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
∧
= + + + = − + + + =
= +
+
+ −
 
 
 
 
Método 2 
sen cocos , , cos , ,s ,x y s x sen y f f fe x y fn ρ ϕρ ϕ ϕ ϕρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕϕ
∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ → ∧ → ∧ = == = −+ = • = •  
+ 
Sustituir las coordenadas del sistema rectangular en función de las coordenadas del sistema cilíndrico y obtener las 
componentes radial y angular por medio de las fórmulas 
∧→
•= ρρ ff y f fϕ ϕ
→ ∧
= • ; para realizar el producto interno 
es necesario expresar los vectores base de las coordenadas cilíndricas en términos de los vectores base de las 
rectangulares. 
 
2 2 222 2 2 c( ) cos ( c so os )sf y x x y x en seny z x y z sen x y zρ ϕ ρ ρ ϕρ ρ ϕ ρϕϕϕ ρ
∧ ∧→ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= + + + += ++ + + = 
 
2 cos cos cos 2 cco oss( ) ( )sen x y zf f x sen y sen sen senρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕρ ϕ ρ ϕ ρ
→ ∧ ∧∧∧ ∧ ∧
= • = • + = + =+ + 
 
2 2 2 22 cos (coccos o s )s( ) ( )sf f sen sen x ysen x eny zϕ ϕ ϕρ ϕ ρ ϕϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕρ
∧∧→ ∧ ∧∧ ∧
+ += • = • = − + = −− + 
 
22 )( cos ρρϕρϕρ =•++=•=
∧∧∧∧∧→
zzyxsenzff z 
 
2 2 22 cos (cos )f sen sen zρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ρ
→ ∧ ∧ ∧
∴ = + − + 
 
 
 
Método 3. 
De la expresión del vector f
→
 se tiene: 2 2, , .x y zf y f x f x y= = = + 
 Al tomar en cuenta las reglas de transformación y la matriz de cambio de base se obtiene 
 
[ ] 2
2 22
2
cos 0 cos 2 cos
cos 0 cos (cos )
0 0 1
cos
cos cos
x
y
z z
f f sen sen sen
f M
s
C
en sen
seB f sen sen sen
f
n
f
ρ
ϕ
ρ ϕ ρ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ
ρ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ
ρ
ρ ρ ϕ
ρ ρ
ϕ
ρ
ϕ+           
           = = − = − + = −           
                      
 
2 2 22 cos (cos )f sen sen zρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ρ
→ ∧ ∧ ∧
∴ = + − + 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
16
3. Obtener el gradiente del campo escalar 2 2zρΩ = − 
Sol. 
 
2 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 2 2zz z z z z z zz ρ ϕ
ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ
ρ ρ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∂Ω ∂Ω ∂Ω
   ∇Ω = + + = ∂ − + ∂ − + ∂ − = −   ∂ ∂ ∂
 
 
 
4. Obtener la divergencia y el rotacional del campo vectorial 2 2 22 cos (cos )f sen sen zρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ρ
→ ∧ ∧ ∧
= + − + 
Sol. 
Puesto que 222 ),(cos,cos2 ρϕϕρϕϕρ ϕρ =−== zfsenfsenf ; entonces 
 
( ) ( )( ) ( )
0cos4cos4cos2)(cos2)cos4(
1
cos
1
cos2
11)(1 2222
=−=−−+=
=
∂
∂+−
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂
=•∇
→
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕρ
ρ
ρϕϕρ
ϕρ
ϕϕρ
ρρϕρρ
ρ
ρ
ϕρ
sensensensensen
z
sensen
z
fff
f z
 
 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ∧∧∧
∧
∧∧
∧∧∧→
−=−−−+−=
=





∂
∂−−
∂
∂+






∂
∂−
∂
∂+




 −
∂
∂−
∂
∂=
=





∂
∂
−
∂
∂+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇
ϕρϕϕρϕϕρ
ρ
ϕρ
ϕϕρ
ϕ
ϕϕρ
ρρ
ϕρ
ρ
ϕϕρρϕϕρρ
ϕρ
ϕ
ρ
ρρ
ϕ
ρ
ρ
ϕρ
ρ
ϕ
ρϕ
2cos2cos2
1
2
cos2cos
1
cos2cos
1
)(
11
2222
222
2222
zsensen
zsensen
sen
z
sen
z
z
f
f
f
z
f
z
ff
f zz
 
 
 
 
5. Dados un campo vectorial G
→
y una curva C que conecta los puntos ( , , ) y ( , , ),i i i i f f f fP z P zρ ϕ ρ ϕ obtener la 
integral sobre la curva, desde iP hasta fP , de la componente tangencial del campo. 
 
a) 
2 2 2 2 2
1 2 3
1
2
3
3 cos cos , ,
: , ,
donde : , ,
: , ,
i f i i
f i f i
f f i f
G sen z z C C C C
C z z
C z z
C z z z
ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ
ρ ρ ρ ϕ ϕ
ρ ρ ϕ ϕ ϕ
ρ ρ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + = ∪ ∪
 ≤ ≤ = =
 = ≤ ≤ =
 = = ≤ ≤
 
 
b) 
Sol. 
a) Como 
1 2 3, 
y
f
i
P
P C C C C
G d r G d r G d r G d r d r d d dz zρ ρ ρ ϕ ϕ
→ → → → → → → → → ∧ ∧ ∧
= + + = + +∫ ∫ ∫ ∫i i i i , entonces 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
17
1
2
3
( , , )
2 2 2 3 3
( , , )
( , , )
3 3
( , , )
( , , )
2 2 1
3
( , , )
3 ( )
cos ( )
cos c
f i i f
i i i i
f f i f
f i i i
f f f f
f f i i
z
i i f i
C z
z
f f f i
C z
z z
f
C z z
G d r G d sen d sen
G d r G d d sen sen
G d r G z dz z dz
ρ ϕ ρ
ρ ϕ ρ
ρ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ
ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ
ϕ
→ → → ∧
→ → → ∧
→ → → ∧
= = = −
= = = −
= = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
i i
i i
i i
2 3 3os ( )f f iz zϕ − 
 
2 3 3 3 2 3 31
3( ) ( ) cos ( )i f i f f i f f i
C
G d r sen sen sen z zϕ ρ ρ ρ ϕ ϕ ϕ
→ →
∴ = − + − + −∫ i 
 
 
 
b) 
 
 
6. Dados un campo vectorial B
→
y una superficie S, obtenga la integral de superficie de la componente normal del 
campo. 
 
a) 2 2 2 2 23 cos cosB sen z zρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + ; 
2 2 2 225, | | 3; 16 25, 3; 0 1, , 0 10x y z x y z x y x z+ = ≤ ≤ + ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤i) ii) iii) 
 
b) 
Sol. 
ai) 2 2 25, | | 3 , 0 2 , | | 35 d a n da dx y dzz z ρ ρϕρ ρ ϕπ ρ
→ ∧ ∧
+ = ≤ ⇔ ≤ ≤ ≤ ⇒= = = ⇒ 
3 2 3 2 2 3
2 2 3 2 3 2
5
3 0 3 0 0 3
2
233 3 31 1 1 1
2 2 2 43 0
0
3 3 5 3 5
3 5 [ cos(2 ) ] ( ) 18 5 ( sin(2 )) 18 5
S
B d a sen d dz sen d dz sen d dz
d z
π π π
ρ
π
π
ρ ϕ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ π
→ →
=
− − −
−
  
⋅ = = ⋅ = ⋅ =  
  
 
= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
 
 
aii) 2 216 25, 3 4 5, 0 2 3, z zx z d a n da z d dy z ρ ρ ϕρ ϕ π
→ ∧ ∧
≤ + ≤ = ⇔ ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒= = = ⇒ 
2 5 2 5 2 5
2 2 2 2 2 2
3
0 4 0 4 0 4
2
5 22 2 4 41 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 4 204
0
cos 3 cos 3 cos
3 [ cos(2 ) ] ( ) 3 ( sin(2 )) 3
z
S
B d a z d d d d d d
d
π π π
π
π
ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ρ ρ
ϕ ϕ ρ ϕ ϕ π→ →
=
  
⋅ = = = =  
  
 
= + = + = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
 
 
aiii) 140 1, , 0 10 0 2, , 0 10 d a n da dx y zx z z dϕ ϕϕ π ϕ ρρ
→ ∧ ∧
≤ ≤ = ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ = =≤= ≤ ⇒ ⇒ 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
18
10 2 10 2
2 102 2 3 201
3 30/4 0
0 0 0 0
1 1
cos ( ) ( )
2 2S
B d a d dz d dz z
ϕ π
ρ ϕ ρ ρ ρ ρ
→ →
=
⋅ = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
b) 
 
 
 
7. Integrar el campo escalar 2 2zρΩ = − sobre el volumen de un cilindro de radio 7 y altura 10 con centro en z=5. 
Sol. 
 
10 2 7
7 7 102 10 22 2 4 2 3 4 2 31 1 1 1
4 2 3 30 0 00 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5 7 7 10 )
V
dv z d d dz z z
π
π πρ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ πΩ = − = − = ⋅ −∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
19
3. Coordenadas esféricas 
La especificación de un punto P en coordenadas esféricas se da mediante los parámetros: θ,r y ϕ ; donde r es la 
longitud del vector de posición 
→
r , θ es el ángulo que dicho vector forma con el eje Z, ϕ es el ángulo entre el eje X y 
la proyección de 
→
r sobre el plano XY. De un análisis de la figura 5a, página 19, se obtiene que la relación entre las 
coordenadas esféricas y rectangulares es expresable vía las ecuaciones: 
 
 cos ,x rsenθ ϕ= 
 
 ,y rsen senθ ϕ= 
 
 .cosθrz = 
 0 , 0 , 0 2r θ π ϕ π≤ < ∞ ≤ ≤ ≤ < 
En el sistema en cuestión se manejan tres vectores base (
∧
r , 
∧
θ y ϕ
∧
) no constantes: 
 
• 
∧
r es un vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada r se incrementa más rápido. 
 
• 
∧
θ es un vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada θ se incrementa más rápido. 
 
• ϕ
∧
 es un vector unitario que apunta en la dirección en que la coordenada ϕ se incrementa más rápido. 
 
Si P es un punto especificado en los sistemas rectangular y esférico [ ]( , , ) ( , , )P x y z P rθ ϕ↔ , su vector de 
posición en la base rectangular es dado por 
 
cos cosr x x y y z z rsen x rsen sen y r zθ ϕ θ ϕ θ
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= + + = + + . 
 
Tomando en cuenta la definición de los vectores base esféricos (
∧
r , 
∧
θ y ϕ
∧
), éstos se expresan y obtienen de la 
siguiente manera: 
 
cos cos
cos cos
1| |
r
r
r sen x sen sen y z
r sen x sen sen y z
r
θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ
→ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
→
∂ + += = = + +
∂
, 
 
cos cos cos
cos cos cos
| |
r r x r sen y rsen z
x sen y sen z
rr
θ
θ
θ ϕ θ ϕ θθ θ ϕ θ ϕ θ
→ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
→
∂ + −= = = + −
∂
, 
 
cos 0
cos
| |
r rsen sen x rsen y z
sen x y
rsenr
ϕ
ϕ
θ ϕ θ ϕϕ ϕ ϕ
θ
→ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
→
∂ − + += = = − +
∂
; 
 
 
Es inmediato que el vector de posición del punto P, en la base y coordenadas esféricas, se expresa como 
∧→
= rrr . Es 
poco menos evidente, pero fácil demostrable, que dicho vector cambia según la relación 
send r dr r r d r dθ θ θ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + , al incrementarse las coordenadas esféricas en su respectivo diferencial. 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
20
De la figura 5.b se puede observar que las partes integrantes del vector d r
→
 están ligadas al desplazamiento generado 
por el punto P, cuando cada una de sus coordenadas varía infinitesimalmente. Y que además, un elemento de volumen 
y los elementos de superficie perpendiculares a los vectores base esféricos, son de la forma 
 
2 sendv r dr d dθ θ ϕ= , 2 senrda r d dθ θ ϕ= , senda r dr dθ θ ϕ= , da r dr dϕ θ= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5a Figura 5b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla 1.3 
 
0=•
∧∧
θr 
 
0θ ϕ
∧ ∧
• = 
 
0rϕ
∧ ∧
• = 
 
r θ ϕ
∧ ∧ ∧
× = 
 
rθ ϕ
∧ ∧ ∧
× = 
 
rϕ θ
∧ ∧ ∧
× = 
 
0r r
∧ →
∂ = 
 
rθ θ
∧ ∧
∂ = 
 
senrϕ θ ϕ
∧ ∧
∂ = 
 
0r θ
∧ →
∂ = 
 
rθ θ
∧ ∧
∂ = − 
 
cosϕ θ θ ϕ
∧ ∧
∂ = 
 
0r ϕ
∧ →
∂ = 
 
0θ ϕ
∧ →
∂ = 
 
sen cosrϕ ϕ θ θ θ
∧ ∧ ∧
∂ = − − 
 
 
sen cos sen sen cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ
∧ ∧ ∧ ∧
= + + 
 
cos cos cos sen senx y zθ θ ϕ θ ϕ θ
∧ ∧ ∧ ∧
= + − 
 
sen cosx yϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧
= − + 
 
sen cos cos cos senx rθ ϕ θ ϕθ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧
= + − 
 
sen sen cos sen cosy rθ ϕ θ ϕθ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧
= + + 
 
∧∧∧
−= θθθ sencos rz 
 
 2 sendv r dr d dθ θ ϕ= 
 
 2 senrda r d dθ θ ϕ= 
 
 senda r dr dθ θ ϕ= 
 
 da r dr dϕ θ= 
 
 
En general cualquier vector 3f
→
∈ℝ , que es representable en términos de la base esférica, adopta la forma 
 
rf f r f fθ ϕθ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + ; 
rsenθ θcosr
 
( , , )P r θ ϕ 
r
→
 
r dθ 
dθ θ 
ϕ 
θ 
senr dθ ϕ 
dr 
ϕ dϕ 
θ
∧
 
ϕ
∧
 
r
∧
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
21
donde 
∧→
•= rff r , 
∧→
•= θθ ff y f fϕ ϕ
→ ∧
= • son las componentes radial, angular θ y angular ϕ , del vector, 
respectivamente. 
 
 
 
 
2 2 2
Si y , haciendo uso de algunos resultados obtenidos, y otros
derivados de los mismos, es demostrable que
1. | | 2. =
3. (
r r
r r r
A A r A A B B r B B
A A A A A B A B A B A B
A B A B A B
θ ϕ θ ϕ
θ ϕ θ θ ϕ ϕ
θ ϕ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ
→ ∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧
→ → →
→ →
= + + = + +
= + + + +
× = −
i
) ( ) ( )r r r r r
r
r
r A B A B A B A B A A A
B B B
ϕ ϕ θ θ θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
 
 
 − − + − =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las expresiones para el gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano, en coordenadas esféricas, son: 
 
1 1
sen
r
r r r
θ ϕ
θ θ ϕ
∧ ∧ ∧∂Ω ∂Ω ∂Ω∇Ω = + +
∂ ∂ ∂
 
 
 
2
2
1 1 1
( ) (sen )
sen senr
A
A r A A
r r r r
ϕ
θθθ θ θ ϕ
→ ∂∂ ∂∇ • = + +
∂ ∂ ∂
 
 
 
1 1 1 1
(sen ) ( ) ( )
sen sen
r rA A AA A r rA rA
r r r r r
θ
ϕ ϕ θθ θ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ
→ ∧ ∧ ∧ ∂   ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
 
 
 
2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
sen
sen sen
( ) ( )r
r r r r r
θ
θ θ θ θ ϕ
∂ ∂Ω ∂ ∂Ω ∂ Ω∇ Ω = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 Demostración de las identidades de la tabla 1.3 
 
2 2
(sen cos sen sen cos ) (cos cos cos sen sen )
cos sen cos cos sen sen cos sen 0
r x y z x y zθ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ
θ θ ϕ θ θ ϕ θ θ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
• = + + • + − =
= + − =
 
 
(cos cos cos sen sen ) ( sen cos 0 )
cos cos sen cos cos sen 0
x y z x y zθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ
θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
• = + − • − + + =
= − + =
 
 
( sen cos 0 ) (0 0 1 ) 0z x y z x y zϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
• = − + + • + + = 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
22
 
2 2
2 2
(sen cos sen sen cos ) (cos cos cos sen sen )
sen cos cos sen sen cos sen cos cos sen sen sen
cos cos cos sen cos sen
r x y z x y z
z y z x
y x y x
θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ
θ θ ϕ ϕ θ ϕ θ θ ϕ ϕ θ ϕ
θ ϕ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
× = + + × + − =
= + − − +
+ − = − =
 
 
2 2
(cos cos cos sen sen ) ( sen cos )
cos cos cos sen sen sen sen cos
x y z x y
z z y x r
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
× = + − × − + =
= + + + =
 
 
2 2
( sen cos ) (sen cos sen sen cos )
sen sen cos sen sen cos cos cos
r x y x y z
z y z x
ϕ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
× = − + × + + =
= − + − + =
 
 
(sen cos sen sen cos ) 0
r
x y z
r r
θ ϕ θ ϕ θ
∧
∧ ∧ ∧ →∂ ∂= + + =
∂ ∂
 
 
(sen cos sen sen cos ) (cos cos cos sen )
r
x y z x y sen zθ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ θ
θ θ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∂ ∂= + + = + − =
∂ ∂
 
 
(sen cos sen sen cos ) ( sen sen cos ) sen
r
x y z sen x yθ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ
ϕ ϕ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∂ ∂= + + = − + =
∂ ∂
 
 
(cos cos cos sen sen ) 0x y z
r r
θ θ ϕ θ ϕ θ
∧
∧ ∧ ∧ →∂ ∂= + − =
∂ ∂
 
 
(cos cos cos sen sen ) ( cos s sen cos )x y z sen x en y z r
θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ
θ θ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∂ ∂= + − = − + + = −
∂ ∂
 
 
(cos cos cos sen sen ) ( cos cos cos )
cos ( cos ) cos
x y z sen x y
sen x y
θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕϕ ϕ
θ ϕ ϕ θ ϕ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
∂ ∂= + − = − + =
∂ ∂
= − + =
 
 
( sen cos ) 0x y
r r
ϕ ϕ ϕ
∧
∧ ∧ →∂ ∂= − + =
∂ ∂
 
 
( sen cos ) 0x y
ϕ ϕ ϕ
θ θ
∧
∧ ∧ →∂ ∂= − + =
∂ ∂
 
 
( sen cos ) (cos ) sen cosx y x sen y r
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ
ϕ ϕ
∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∂ ∂= − + = − + = − −
∂ ∂
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
23
Cambio del sistema coordenado rectangular al esférico x y z rf f x f y f z f r f fθ ϕθ ϕ
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ = + + → + + 
 
 
Dado un campo escalar en el sistema rectangular, basta sustituir en éste las ecuaciones cos ,x rsen y rsen senθ ϕ θ ϕ= = 
y cosz r θ= para expresarlo en el sistema esférico. 
 
Un vector en el sistema coordenado rectangular se puede expresar en el sistema coordenado esférico. Para esto se 
puede proceder de tres formas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos varios 
 
1. Expresar el campo escalar 2 2 2x y zΩ = + − en el sistema esférico. 
Sol. 
Al sustituir cos ,x rsenθ ϕ= ,ϕθsenrseny = y cosz r θ= en la expresión de Ω , 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos cosx y z r sen r sen sen r r sen rθ ϕ θ ϕ θ θ θΩ = + − = + − = − 
 
 
2. Dado el vector 
∧∧∧→
+++= zyxyxxyF )( 22 , obtenga su expresión en el sistema esférico. 
∧∧∧→
++= zfyfxff zyx 
cos cos cos ,
cos ,
, cos cos ,
cos . 
cos . 
x sen r sen
x rsen
y rsen sen y sen sen r sen
z r
z r sen
θ ϕ θ ϕθ ϕ ϕθ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕθ ϕ ϕ
θ θ θ θ
∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
= + −=
= = + +
= = −
 
∧∧∧→
++= ϕθ ϕθ ffrff r 
Método 1: 
∧∧∧→
++= zfyfxff zyx 
cos cos , ,
cos ,
, cos cos cos sen sen ,
cos . 
sen cos 
rr sen x sen sen y z f f rx rsen
y rsen sen x y z f f
z r
x y f f
θ
ϕ
θ ϕ θ ϕ θθ ϕ
θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ θ
θ ϕ ϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧ → ∧
∧ ∧ ∧ ∧ → ∧
∧ ∧ ∧ → ∧
= + + = •=
= = + − = •
= = − + = •
 
∧∧∧→
++= ϕθ ϕθ ffrff r 
Método 2: 
∧∧∧→
++= zfyfxff zyx 
cos , cos cos
, cos cos cos sen sen
cos . sen cos 0 
MCB
r x
y
z
x rsen f sen sen sen f
y rsen sen f f
z r f f
θ
ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ ϕ
 =    
     = = −     
     = −    
���������������
 
∧∧∧→
++= ϕθ ϕθ ffrff r 
Método 3: 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
24
Sol. 
Método 1. 
Al sustituir cos ,x rsenθ ϕ= ,y rsen senθ ϕ= o ,c sz r θ= 
∧∧∧∧
−+= ϕϕθϕθϕθ senrsenx coscoscos , 
cos cosy sen sen r senθ ϕ θ ϕθ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧
= + + y cosz r senθ θ θ
∧ ∧ ∧
= − en la expresión del vector f
→
, se obtiene lo siguiente 
 
 
 
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
( ) cos cos cos
cos
( cos )
(2 cos cos ) (2 cos co
cos
c
co
s
s
s
o
( )
( )
( )
rsen sen
sen sen r sen
r sen s ren
f y x x y x y z sen r sen
rsen
r sen
rsen sen r sen r rsen se
sen
n r
θ ϕ θ
θ
ϕ θ ϕθ ϕ ϕ
θ θ
θ ϕ θ ϕθ ϕ ϕθ
θ ϕ
ϕ
θ ϕ
θ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ
∧
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧ ∧ ∧
= + + + = + − +
+ +
+ + − =
= + +
+
−
+
2 3 2 2) (cos )sen rsen senθ θ θ ϕ ϕ ϕ
∧ ∧
+ −
 
 
 
 
Método 3. 
De la expresión del vector f
→
 se tiene: 2 2, , .x y zf y f x f x y= = = + 
 Al tomar en cuenta que cos ,x rsenθ ϕ= y rsen senθ ϕ= y o ,c sz r θ= así como la matriz de cambio de base, se 
obtiene lo siguiente 
 
22 2 2 22 2 2, cos , cosx y zf f rsen f r srsen sen r sen senen r senθθ ϕ θϕ ϕϕ θ θ= = = + = 
 
[ ]
2 2
cos cos
cos cos cos sen sen cos
sen cos 0 
r x
y
z
f f sen sen sen
f MC
rsen sen
B f rsen
f f r sen
θ
ϕ
θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ
θ
θ ϕ
ϕ ϕ
       
       = = − =       
       −      
 
 
2 2 2
2 2
2 2
cos cos cos (2 cos cos )
cos cos cos sen cos sen (2cos co
sen +cos cos +0 
rsen sen
rsen sen
r
sen sen sen rsen r sen rsen sen r
rsen r sen rsen sen
rsensen s n s ne r e
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ
θ ϕ
θ ϕ θ θ ϕ
ϕ ϕ θ ϕ θθ ϕ
 + + +
 = + − = 
 − 
2
2 2
s )
(cos )
rsen
rsen sen
ϕ θ
θ ϕ ϕ
 
 − 
 − 
 
 
 
2 2 2 2(2 cos cos ) (2cos cos ) (cos )f rsen sen r r rsen sen rsen rsen senθ ϕ ϕ θ θ θ ϕ ϕ θ θ θ ϕ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
∴ = + + − + − 
 
 
 
 
 
3. Obtener el gradiente del campo escalar 2 2 2( cos )r senθ θΩ = − 
Sol. 
 
2 22 ( cos ) 4 cos
sen
r r sen r r sen
r r r
θ ϕ θ θ θ θ θ
θ θ ϕ
∧ ∧
∧ ∧ ∧∂Ω ∂Ω ∂Ω∇Ω = + + = − +
∂ ∂ ∂
 
 
 
4. Obtener la divergencia y el rotacional del campo vectorial 
2 2 2 2(2 cos cos ) (2cos cos ) (cos )f rsen sen r r rsen sen rsen rsen senθ ϕ ϕ θ θ θ ϕ ϕ θ θ θ ϕ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + − + − . 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
25
Sol. 
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
0cos4cos4cos4coscos4cos4
cos4cos4cos2cos2cos4cos6
cos2cos2
cos4cos2cos2
1
cos4cos6
1
cos
1
coscos2
1
coscos2
11
)(
1
)(
1
22
22222
32322322
2
22422
2423
2
2
2
=−=−+=
=−−−++=
=−−
+−−++=
=−
∂
∂+−
∂
∂+
++
∂
∂=
∂
∂
+
∂
∂+
∂
∂=•∇
→
ϕϕϕϕϕϕϕϕθϕϕθ
ϕϕθθθθϕϕθθϕϕθ
ϕϕϕϕ
θθθθθϕϕ
θ
θθϕϕθ
ϕϕθ
ϕθ
θϕϕθθ
θθ
θθϕϕθ
ϕθ
θ
θθ
ϕ
θ
sensensensensensen
senrsensensenrsensensen
sensen
senrsensenrsen
rsen
senrsensenr
r
senrsen
rsen
senrsenrsen
rsen
senrsensenr
rr
f
rsen
fsen
rsen
fr
rr
f r
 
 
 
 
( )( ) ( )
( )
2 2 2 2 3
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1
cos 2 cos cos
1 1
2 cos cos
r rf f ff sen f r rf rf
rsen r sen r r r
rsen sen rsen sen r sen r
rsen
rsen sen r sen
r sen r
θ
ϕ ϕ θθ θ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ
θ θ ϕ
θ ϕ ϕ θ θ
θ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
∧
 ∂   ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
 ∂ ∂= − − − + ∂ ∂ 
∂ ∂+ + −
∂ ∂
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2
2 3 3 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
cos
1
2 cos cos 2 cos cos
1
2 cos cos 2 cos cos
1 1
2 cos 2 cos
r sen sen
r sen sen r sen rsen sen r sen
r r
rsen sen rsen sen r
rsen
rsen sen rsen sen
r sen
θ ϕ ϕ θ
θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ
θ
θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ
θ
θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ
θ
∧
∧
∧
 − + 
 
∂ ∂ + − − + ∂ ∂ 
= − − − +
 + − − −
 
( )( )( )
( ) ( )
2 3 2 2 3
3 2 2 2
1
4 cos cos 3 4 cos cos 2 cos
2 2 cos 2 cos 2
rsen sen r sen rsen sen r sen sen
r
rsen rsen rsen sen rsen
θ
θ θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ θ θ θ θ θ ϕ
θ θ θ ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ
∧
∧
∧ ∧ ∧
+
+ − − + − =
= − − = − + = − 
 
 
 
5. Dados un campo vectorial H
→
y una curva C que conecta los puntos ( , , ) y ( , , ),i i i i f f f fP r P rθ ϕ θ ϕ obtener la 
integral sobre la curva, desde iP hasta fP , de la componente tangencial del campo. 
 
a) 
2 2 2 2
1 2 3
1
2
3
3 cos ( 1) , ,
: , ,
donde : , ,
: , ,
i f i i
f i f i
f f i f
H r r r sen r sen C C C C
C r r r
C r r
C r r
θ θ θ ϕ ϕ
θ θ ϕ ϕ
θ θ θ ϕ ϕ
θ θ ϕ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= − + + = ∪ ∪
 ≤ ≤ = =
 = ≤ ≤ =
 = = ≤ ≤
 
b) 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
26
 
Sol. 
a) Como 
1 2 3, 
y
f
i
P
P C C C C
H d r H d r H d r H d r d r dr r rd rsen dθ θ θ ϕ ϕ
→ → → → → → → → → ∧ ∧ ∧
= + + = + +∫ ∫ ∫ ∫i i i i , entonces 
 
1
2
3
( , , )
2 3 3
( , , )
( , , )
3 3
( , , )
( , , )
2
( , , )
3cos cos ( )
(cos cos )
( 1)
f i i f
i i i i
f f i f
f i i i
f f f
f f i
r r
i i f i
C r r
r
f f f i
C r
r
f f f
C r
H d r H r dr r dr r r
H d r H rd r sen d r
H d r H rsen d r r sen s
θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ θ
θ ϕ θ
θ ϕ
θ ϕ
θ θ
θ θ θ θ θ θ
ϕ θ ϕ θ
→ → → ∧
→ → → ∧
→ → → ∧
= = = −
= = − = −
= = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
i i
i i
i i
{ }
2 2 1 1
2 2
21 1
2 2
( 1) [ cos(2 ) ]
( 1) (2 ) (2 )
f f
i i
f f f
f f f f i f i
en d r r sen d
r r sen sen sen
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ θ ϕ ϕ
θ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + −
 = + − − − 
∫ ∫
 
 
{ }3 3 3 2 1 12 2cos ( ) (cos cos ) ( 1) (2 ) (2 )i f i f f i f f f f i f i
C
H d r r r r r r sen sen senθ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
→ →
 ∴ = − + − + + − − − ∫ i 
 
 
 
b) 
 
 
6. Dados un campo vectorial C
→
y una superficie S, obtenga la integral de superficie de la componente normal del 
campo. 
 
a) 2 2 2 23 cos ( 1)C r r r sen r senθ θ θ ϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= − + + ; 
2 2 2 2 2 2 2 21
39; ( ), 0 4; 1, 0x y z z x y z y z x+ + = = + ≤ ≤ + ≤ =i) ii) iii) 
 
b) 
 
Sol. 
ai) 22 2 2 9 , 0 , 0 23 r rr d a n da r r senx y z d dθ π ϕ π θ θ ϕ
→ ∧ ∧
+ + = ⇔ ≤= ≤ ≤ =< ⇒ = ⇒ 
2 222 2 5 5 21
2 03 0
0 0 0 0
3 cos 3 cos 3 ( ) ( ) 0
r
S
C d a r r sen d d sen d d sen
π π π π
π πθ θ θ ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ
→ →
=
⋅ = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
aii) 2 2 13
21
3 ( ), 0 4 0 8, , 0 2 d a n da rsenz x y z drr dθ θθ π θ θϕ π ϕ
→ ∧ ∧
= + ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ≤ <= ⇒ = = ⇒ 
2 8 2 8
8 22 3 4 33 3 1
4 4 4 0/3 0
0 0 0 0
( ) ( ) 3 8
S
C d a r sen r sen dr d r dr d r
π π
π
θ π
θ θ ϕ ϕ ϕ π
→ →
=
⋅ = − = − = − = − ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
27
aiii) 2 2 121, 0 1, 0 , d a n da r dr dy z x r ϕ ϕθ ϕ ϕ θπ π
→ ∧ ∧
= ±+ ≤ = ⇔ ≤ =≤ ≤ =⇒ ⇒ 
1 1 1
2 2 2 2 2
/2 /2
0 0 0 0 0 0
14 2 31 1
4 2 200
( 1) ( 1) 2 ( 1)
2( ) ( )
S
C d a r sen rdr d r sen rdr d r rdr d
r r
π π π
ϕ π ϕ π
π
ϕ θ ϕ θ θ
θ π
→ →
=− =
⋅ = + + + = + =
= + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
 
b) 
 
 
 
7. Integrar el campo escalar 2 2 2( cos )r senθ θΩ = − sobre la región comprendida entre dos esferas de radios 1 y 2 
centradas en el origen. 
Sol. 
2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2
0 0 1 1 0 0
25 2 31 1 2 124
5 5 3 150 0
0
( cos ) ( cos )
(2 1) (1 2cos ) ( ) 62 ( cos cos )
V
dv r sen r sen dr d d r dr sen sen d d
sen d
π π π π
π
ππ
θ θ θ θ ϕ θ θ θ θ ϕ
θ θ θ ϕ π θ θ π
   
Ω = − = − =   
   
 
= − − = − + = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
28
Tabla 1.4. Relaciones vectoriales básicas 
 
σσσ d
Ad
uA
d
du
d
Aud
→
→
→
+=)( 
 
 
σσσ d
Bd
AB
d
Ad
d
BAd
→
→→
→→→
•+•=• )( 
 
 
σσσ d
Bd
AB
d
Ad
d
BAd
→
→→
→→→
×+×=× )( 
 
 
 
 
vuvu ∇+∇=+∇ )( 
 
 
 
 
 
uvvuuv ∇+∇=∇ )( 
 
 
 
→→→→
→→→→→→
∇•+∇•+
+×∇×+×∇×=•∇
BAAB
BAABBA
)()(
)()()(
 
 
 
→→→→
•∇+•∇=+•∇ BABA )( 
 
 
)()()(
→→→
•∇+∇•=•∇ AuuAAu 
 
 
)()()(
→→→→→→
×∇•−×∇•=ו∇ BAABBA 
 
 
 
→→→→
×∇+×∇=+×∇ BABA )( 
 
 
 
 
)()()(
→→→
×∇+×∇=×∇ AuAuAu 
 
 
 
→→→→
→→→→→→
∇•−∇•+
+•∇−•∇=××∇
BAAB
BAABBA
)()(
)()()(
 
 
 
 
0=∇×∇ u 
 
 
0)( =×∇•∇
→
A 
 
 
→→→
∇−•∇∇=×∇×∇ AAA 2)()( 
 
 
 
uu 2∇=∇•∇ 
 
 
 
 
3|'|
'
|'|
1
→→
→→
→→
−
−−=








−
∇
rr
rr
rr
 
 
 
)'(4
|'|
12 →→
→→ −−=







−
∇ rr
rr
δπ 
 
 
 
 
 
La función delta de Dirac, denotada por )( ax −δ , es una función que satisface las siguientes propiedades: 
 
axparaax ≠=− 0)(.1 δ 
1)(.2 =−∫
∞
∞−
dxaxδ )()()(.3 afdxaxxf =−∫
∞
∞−
δ 
 
)(')(')(.4 afdxaxxf −=−∫
∞
∞−
δ )())((.5
1
oxxdx
df
xf −=
−
δδ , donde ox es raíz simple de )(xf . 
 
 
La generalización a tres dimensiones es la siguiente: 
 
)'()'()'()'(.6 zzyyxxrr −−−=−
→→
δδδδ 




=− →
→
→→
∫
'0
'1
)'(.7
racontienenoVsi
racontieneVsi
dvrr
V
δ 
 
 
Nota. Una carga puntual se puede describir en términos de una densidad de carga utilizando funciones delta, 
( ) ( ')v r q r rρ δ
→ → →
= − . 
 
 
ANÁLISIS VECTORIAL BÁSICO 
rteutle 
29
Ángulo sólido 
Sea da un elemento de área en un punto P de una superficie cerrada S , 
∧
n la normal unitaria a S en P , O 
cualquier otro punto y Θ el ángulo entre 
→
OP y 
∧
n . Si 
→
=
→
rOP , se define el ángulo sólido subtendido por da en O 
como 
 
2
cos
r
da
d
Θ=Ω 
 
 
Consideremos un cono con base da en P y vértice O , y 
una esfera unitaria con centro en O . Sea 1Ωd el área de 
la esfera interceptada por el cono. La proyección del área 
da sobre el plano perpendicular a 
→
OP es |cos| Θda . 
La razón de esta área a 1Ωd es 1:
2OP y por tanto 
 
||
|cos|
21
Ω=Θ=Ω d
r
da
d 
 
 
 
 
 
 
 
da 
 
 
 Θ 
 P 
∧
n 
 
 1Ωd 
 
 
Θcosda 
 
 
 
 
 
 
Si Θ es un ángulo agudo, el ángulo sólido subtendido por da en O es el área interceptada por el cono sobre la esfera 
unitaria con centro en O ; si Θ es un ángulo obtuso, el ángulo sólido es el área interceptada con signo negativo. 
 
Por lo tanto, si O está en el interior de S , el ángulo sólido subtendido por S en O es .4π Si O está en el exterior de 
S , el ángulo sólido subtendido por S en O es cero. 
 
Recordar que πϕθθ
π π
4
2
0 0
1
==Ω ∫ ∫∫ ddsend 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias. 
1. Campos Electromagnéticos | Wangsness | Limusa. 
2. Análisis Vectorial y Tensores Cartesianos | Bourne Kendall | Limusa. 
3. Fundamentos de la Teoría Electromagnética | Reitz, Milford, Christy | Addison Wesley. 
 
 
O