Corriente electrica

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CORRIENTE ELÉCTRICA 
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16. Corriente eléctrica 
Todo flujo o movimiento de cargas constituye una corriente eléctrica. En los conductores metálicos la corriente se 
origina por el movimiento de los electrones libres o de conducción. Estos se encuentran débilmente unidos a los 
átomos a los que pertenecen, por lo mismo pueden saltar de átomo en átomo cuando en los extremos del conductor se 
aplique una diferencia de potencial. Dicho movimiento se debe a la fuerza que el campo eléctrico existente ejerce sobre 
los portadores de carga. 
La intensidad de corriente eléctrica es la cantidad que se utiliza para cuantificar el flujo de carga. Se define como la 
razón de la carga (que pasa a través de un punto, una curva o un volumen) por unidad de tiempo. 
 
Corriente eléctrica filamental 
Si las cargas eléctricas se mueven a lo largo de una curva C y P representa un punto cualquiera de la misma, la 
intensidad de corriente instantánea en el punto P es dada por 
 
0'
lim lim
( , )
'tt t
q q dq
I r t
t t t dt+ +→ ∆ →
∆ ∆ = = = − ∆ 
�
 [ ] [ ]/A C s= (26a) 
 
donde q∆ es la cantidad de carga que pasa por P en el intervalo de tiempo t∆ y r
�
 es el vector de posición de P. 
 
Corriente eléctrica superficial 
Si las cargas eléctricas se mueven sobre una superficie S y C es una curva en S (cuyos elementos de arco no son 
paralelos a la dirección del flujo de carga), la intensidad de corriente instantánea que pasa por C es dada por 
 
0'
lim lim
( )
'
C C
C
Ctt t
q q dq
I t
t t t dt+ +→ ∆ →
∆ ∆   = = =   − ∆   
 [ ] [ ]/A C s= (26b) 
 
donde Cq∆ es la cantidad de carga que pasa a través de C en el intervalo de tiempo .t∆ 
 
Corriente eléctrica volúmica o volumétrica 
Si las cargas eléctricas se mueven sobre un volumen V y S es una superficie en el interior de V (cuyos elementos de 
superficie no son paralelos a la dirección del flujo de carga), la intensidad de corriente instantánea que pasa por S es 
dada por 
 
0'
lim lim
( )
'
S S
S
Stt t
q q dq
I t
t t t dt+ +→ ∆ →
∆ ∆   = = =   − ∆   
 [ ] [ ]/A C s= (26c) 
 
donde Sq∆ es la cantidad de carga que pasa a través de S en el intervalo de tiempo .t∆ 
 
 
17. Densidad de corriente volumétrica 
La densidad volumétrica de corriente, 
→
J , es un vector que indica la dirección del flujo de carga y cuya magnitud es la 
corriente por unidad de superficie perpendicular al flujo. Si I∆ es la corriente a través de un área pequeña a∆ : 
 
∧∧→
=
∆
∆=
→∆
s
da
dI
s
a
Ilim
J
a 0
 (27a) 
donde 
∧
s , paralelo al vector unitario normal de la superficie, indica la dirección de dicho flujo. 
 
 
Densidad de corriente en términos de la densidad de carga y la velocidad 
Si se tienen varios tipos de carga con densidades Viρ y velocidades 
→
iv , la densidad de corriente adopta la forma 
vVi i
i
J ρ
→ →
=∑ (27b) 
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Dem. 
Consideremos un cilindro de radio r∆ y longitud l∆ , y cargas moviéndose con velocidad constante v como se ilustra 
en la figura 18a. La carga q∆ que pasa en un tiempo t∆ por el área a∆ perpendicular a 
→
J , es taJtIq ∆∆=∆=∆ , 
pero a su vez esta es igual a la carga contenida en el cilindro: V Vq V l aρ ρ∆ = ∆ = ∆ ∆ . Al igualar las expresiones 
anteriores se obtiene: / vV VJ l tρ ρ= ∆ ∆ = vVJ ρ
→ →
∴ = . Y en consecuencia, se cumple (27b). 
 
 
Flujo de carga a través de una superficie 
Si 
→
J y un elemento de superficie 
→
ad no son paralelos, la carga total contenida en el cilindro de altura inclinada dl y 
volumen dadldv Θ= cos (Figura 18b) es: cos cosV V Vdq dl da v dadt v d a dt J d a dtρ ρ ρ
→ → → →
= Θ = Θ = • = • Por 
lo tanto, la razón de flujo de carga a través de 
→
ad es: 
→→
•=





→
adJ
dt
dq
aden
, (27c) 
 
y de aquí, la corriente a través de una superficie, S , se escribe como: 
 
∫
→→
•=




=
SSen
S adJdt
dq
I (27d) 
 
 
 
→
J 
 Θ 
 
→
ad 
 l∆ a∆ dl Θcosda 
 Fig. 18a. Fig. 18b. 
 
 
18. Densidad de corriente superficial 
Para el caso en que las cargas se mueven sobre una superficie. Se define la densidad de corriente superficial como un 
vector que indica la dirección del flujo de carga y cuya magnitud es la corriente por unidad de longitud a través de una 
línea perpendicular al flujo y que descansa sobre la superficie, es decir: 
 
∧→
= s
dL
dI
K (28a) 
 
 
 
→
K 
 
∧
w 
 
 
 dL 
 Fig. 19a. Fig. 19b. 
Análogamente a la densidad volumétrica, se tiene: 
 
 vSK ρ
→ →
= , (28b) 
 
 ∫
∧→
•=




=
CC
dLK
dt
dq
I w (28c) 
donde el vector unitario 
∧
w es perpendicular al 
elemento de línea dL de la curva C (que yace en S). 
 
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19. Elementos de corriente 
Sean dadl, y dV elementos sobre los que fluye carga, como se muestra en las figuras 20a, b. Se definen los 
elementos de corriente filamentales, superficiales y volumétricos, respectivamente, como: dVJdaKlId
→→→
y, . 
Estos elementos de corriente son equivalentes, es decir: 
 
daKdVJlId
→→→
== (29a, b, c) 
 
Dem. 
En el caso del filamento de sección transversal dA : JdAI = , por lo tanto JdVJdAdlIdl == y como 
→
J y 
→
ld 
son paralelas entonces dVJlId
→→
= 
Para el caso de la cinta de ancho :dL KdLI = , KdaKdLdlIdl == y como 
→
K y 
→
ld son paralelas, entonces 
daKlId
→→
= 
 
 
 dA I I 
 
→
J dl dl 
 dL→
K 
 Figura. 20a. Figura. 20b. 
 
 
 
20. Ecuación de continuidad 
Para derivar la relación entre las densidades de carga y de corriente, consideremos una superficie cerrada estacionaria 
S que limita un volumen .V El flujo de carga a través de dicha superficie debe ser igual a la razón en que la carga 
total dentro del volumen V está aumentando o disminuyendo, según sea el caso de flujo hacia afuera o hacia adentro, 
ya que la carga total debe ser constante. Si Q es la carga en el volumen V , ∫
→→
•=−
S
adJ
dt
dQ ; y puesto que 
V
V
V V
dQ d
dV dV
dt dt t
ρρ ∂= =
∂∫ ∫
 y ∫∫
→→→
•∇=•
VS
dVJadJ , entonces ( ) 0V
V
J dV
t
ρ→ ∂∇ • + =
∂∫
. Como la carga se conserva en todo 
el espacio, esta última ecuación es correcta para un volumen arbitrario, por lo tanto: 
 
0VJ
t
ρ→ ∂∇ • + =
∂
 (30) 
 
La expresión anterior, conocida como ecuación de continuidad, es la expresión matemática del principio de 
conservación de la carga en forma local. Representa el hecho físico de que una disminución de carga en el interior de 
un elemento de volumen debe ir acompañado de un flujo de carga a través de la superficie limitante, ya que el número 
total de cargas debe conservarse. 
 
 
21. Ley de Ohm 
En un conductor isotrópico, homogéneo y lineal, la densidad de corriente libre es linealmente proporcional al campo 
eléctrico: 
 
fJ g E
→ →
= , [ ] 1 1g m− − = Ω  (31b) 
 
donde g , denominada conductividad (también se denota por σ ), es una constante que caracteriza al material conductor. 
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La ecuación (31b) recibe el nombre de forma puntual de la ley de Ohm; la forma equivalente más conocida recibe el 
nombre de forma macroscópica de la ley de Ohm y expresa, para el caso de campos uniformes, que la diferencia de 
potencial en los extremos de un conductor es proporcional a la corriente que entra por el extremo de mayor potencial: 
 
IRV =∆ [ ] )(OhmR Ω= (31c) 
 
la constante de proporcionalidad R , denominada resistencia, es una cantidad que es función de la geometría del 
conductor y de la conductividad. 
 
Para el caso de campos eléctricos no uniformes, la resistencia sigue siendo dada por (31c); solo que ahora V∆ es la 
diferencia de potencial entre dos superficies equipotenciales del conductor e I es la corriente que cruza la superficie 
equipotencial más positiva de estas dos, es decir: 
 
S
E d l
V
R
I g E d a
+ → →
−
→ →
+
− •
∆= =
•
∫
∫
 (31d) 
 
 
Ejemplos. 
 
 
1. (a) Cierta densidad de corriente esta dada, en coordenadas esféricas, por 
2
2
/sensen2cos500)sen(1000 mArJ
∧∧∧→
+−= ϕϕθθθϕ . Determine la corriente que pasa a través de una 
superficie esférica, centrada en el origen, de radio mR 03.0= 
(b) En un conductor cilíndrico de radio 4mm, la densidad de corriente varía con la distancia desde el eje de acuerdo 
a 
2400 /10 mAJ e
ρ−= .Halle la corriente total. 
Sol. 
(a) [ ] [ ] AddRdarJadJI
SS
2.7)cos(2cos)103(10sen)sen(10
2
020
223
2
0 0
2
2
3 =−−×==•=•= −
∧→→→
∫ ∫∫∫
πϕπ
π π
ϕ θϕθθ 
 
(b) [ ] [ ] 46.16.1
400
20
104
0
400400
400
20
2
0
104
0
400
1086.16.1140010' 2
3
2
3
−−−×−−
×
−→→ ×=−−=+−==•=
−
−
∫ ∫∫ eeeee ddadJI
S
πρρπ
π
ρ ρϕρρ 
 
 
2. Sobre el volumen de un cilindro de radio R y altura L existe una corriente de densidad, en coordenadas 
cilíndricas, 
∧→
= ϕRLIJ 2 . ¿Cuál es la corriente que pasa a través de la superficie: ,2R≤ρ ,0=ϕ Lz 2≤ ? ¿Qué 
dirección tiene la inducción magnética sobre el eje del cilindro? 
Sol. 
2
2 2
0 0
0 I
L
L
R
R
L R
SS
S dzddzdJdanJadJI =•+•=•=•= ∫ ∫∫ ∫∫∫
∧→∧→∧→→→
ρϕρϕ 
 
 
3. Sobre el volumen de una esfera de radio R existe una corriente de densidad, en coordenadas esféricas, 
∧→
= ϕ22R
IJ . 
¿Cuál es la corriente que pasa a través de la superficie: ,2Rr ≤ 
2
0 πθ ≤≤ , 0=ϕ ? ¿Qué dirección tiene la 
inducción magnética sobre el eje z? 
Sol. 
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822
0
2
2
2/
0
22/
0 0
2
ππθϕθϕ
ππ IR
rdrdrdrdJdanJadJI
R
I
R
R
R
SS
S ==•+•=•=•= ∫ ∫∫ ∫∫∫
∧→∧→∧→→→
 
 
 
4. Considere un conductor cilíndrico de longitud L y sección transversal uniforme A, cuyos extremos se mantienen a 
una diferencia de potencial constante .V∆ Determine la resistencia del alambre. 
Sol. 
Puesto que (0) ( )V V V L E d l E L
+ → →
+ −
−
 ∆ = − = − • =  ∫ e 
A
I J d a J A g E A
→ →
= • = =∫ , se tiene: 
 
V L
R
I g A
∆= = . 
 
 
 
 
Tipos de corriente eléctrica 
De Polarización. Se da en dieléctricos cuyo vector polarización varía en el tiempo. P tJ P
→ →
= ∂ 
Dem. 
Durante la polarización de un material las cargas ligadas se mueven una pequeña distancia alrededor de sus posiciones 
de equilibrio y/o los dipolos existentes se orientan, por lo tanto, las cargas ligadas, dado que se conservan, obedecen 
una ecuación de continuidad: 0
VP
PJ t
ρ→ ∂
∇ • + =
∂
, y como VP Pρ
→
= −∇ • , entonces P tJ P
→ →
= ∂ 
 
De Magnetización. Atribuible a materiales magnéticos cuyo vector magnetización posee un rotacional no nulo y/o no 
es perpendicular a la superficie de éstos. )'(')'(
→→→→
×∇= rMrJ M , 
∧→→→→
×= ')'()'( nrMrK M (A estudiar la próxima clase) 
 
De convección. Se debe al movimiento de partículas cargadas en el vacío, en un gas o en un fluido. Son resultado de 
un movimiento que implica transporte neto de masa. 
Si se tienen varios tipos de carga con densidades Viρ y velocidades 
→
iv , vVi i
i
J ρ
→ →
=∑ 
 
De conducción. Es debida al movimiento de los electrones de conducción en un medio conductor.