Semana 7 - Distribuciones de Probabilidades Discretas más importantes

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Distribución de 
probabilidades 
discretas más 
importantes
Módulo 6
Probabilidad y Estadística
2022 - 2
Videoconferencia 07
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Objetivo:
Al finalizar el módulo podrás resolver, interpretar y tomar decisiones en problemas
de situaciones reales haciendo uso de las probabilidades y distribuciones de
probabilidad discreta, utilizando el software estadístico IBM SPSS.
ÍNDICE
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
1. Introducción
2. Variable aleatoria
3. Tipos de variable aleatoria
4. Distribución discreta Binomial
5. Distribución discreta Poisson
6. Ejemplos de aplicación
7. Conclusiones
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Observe la imagen y 
responda las siguientes 
interrogantes: 
b. Imagen 1, 2, 3, 4 , 5 y 6
c. Imagen 1,2,4 y 5
a. Imagen 3 y 6
Número de estudiantes que 
participan de una clase virtual
Número de accidentes 
ocurridos en un día
Peso de una persona
Número de pacientes 
hospitalizados
Número de nacimientos
Temperatura 
ambiente
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
INTRODUCCIÓN
b. Variables cualitativas y cuantitativas
c. Variables nominales y ordinales
a. Variables dependientes e independientes
d. Variables razón e intervalo
VARIABLE ALEATORIA
Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de
mediciones en algún tipo de experimento aleatorio.
• X: Nº de casas vendidas en Trujillo.
• X: Nº de administradores reconocidos a nivel nacional.
• X: Ventas diarias de una empresa.
• X: Nº de clientes que llegan diariamente a Plaza Vea.
• X: Nº de automóviles que llegan a una Estación de Servicio.
• X: Nº de llamadas telefónicas que recibe una secretaria.
• X: Edad de las personas.
• X: Tiempo de vida de un neumático.
• X: Nº de artículos defectuosos de un proceso productivo.
EJEMPLOS:
Se denota por una X.
Es aquella que puede tomar diferentes valores a través del tiempo o de sujeto a sujeto.
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Su rango es un conjunto finito de números (1,2,3,….n),
por ejemplo:
• X: Nº de casas vendidas en Trujillo.
• X: Nº de administradores reconocidos a nivel nacional.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Su rango es un conjunto infinito no numerable de valores
{x /x ϵ R}, por ejemplo:
• X: Ventas diarias de una empresa.
• X: Edad exacta de las personas.
• X: Tiempo de vida de un aparato electrónico.
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Una variable aleatoria se llama discreta cuando el conjunto de valores que esta toma es
un conjunto discreto, es decir un conjunto de números enteros.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
EJEMPLOS:
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Una distribución de probabilidad es un modelo matemático que desarrolla en
forma analítica el comportamiento de un fenómeno (variable) real .
LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
◦ Distribución Binomial
◦ Distribución Poisson
LAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS
◦ Distribución Normal
◦ Distribución Normal Estándar
◦ Distribución t de Student
◦ Distribución Chi Cuadrado
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
• Los parámetros de la distribución binomial son “n” y “p”.,
donde:
n = Número de ensayos o tamaño de muestra
p = probabilidad de éxito en cada ensayo.
De aquí se obtiene que la probabilidad de fracaso es q = 1-p
• Si una v.a. X tiene una distribución binomial, está se denota
por:
• Su función de probabilidad está dada por:
),( pnBX →
xnx )1(px]P[X −−== pCnx
Parámetros:
n , p
DISTRIBUCIÓN DISCRETA BINOMIAL
CARACTERISTICAS:
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente
PROPIEDADES DE EQUIVALENCIA:
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
1. P ( X ≤ a ) = CDF y CDF no centrada(SPSS)
2. P ( X = a ) = PDF y PDF no centrada(SPSS)
3. P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a )
4. P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 )
5. P (X < a ) = P ( X ≤ a-1 )
6. P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 )
7. P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 )
8. P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )
EJEMPLOS
La siguiente información corresponde a los
resultados del control anual de salud ocupacional de
40 trabajadores de la empresa “Peruvian Center”.
Estas variables nos permitirán conocer el estado de
salud actual de los trabajadores, para prevenir
enfermedades de riesgo que afecten la
productividad laboral.
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
EJEMPLO 01
Por registros del control anual de salud del año anterior se tiene conocimiento que, el 25% de trabajadores tienen
problemas visuales. Si se extrae una muestra aleatoria de cinco trabajadores de la empresa.
Encuentre la probabilidad de que :
a) Ninguno tenga problemas visuales.
b) Exactamente uno tenga problemas visuales.
c) Menos de dos tengan problemas viduales.
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
SOLUCIÓN
415
1 .75)0(25.01)P(X C==
1)P(X0)P(X1)P(X2)P(X =+===
505
0 .75)0(25.00)P(X C== = 0.237
= 0.396
= 0.633
a) Ninguno tenga problemas visuales
b) Exactamente uno tenga problemas visuales
c) Menos de dos tengan problemas viduales
xnx )1(px)P(X −−== pCnx
Función de probabilidad
Parámetros: n= 5 ; p = 0.25
X: Número de trabajadores con problemas visuales
Rango de X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
1. Abrir una ventana de datos en SPSS, 
luego agregar el valor 1 en la primera 
celda.
2.En el menú principal entrar a la opción 
Transformar---- Calcular Variable
a) Ninguno tenga problemas visuales 𝐏(𝐗 = 𝟎)
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
CASO 2. P ( X = a ) = PDF y PDF no centrada(SPSS)
Distribuciones de probabilidades discretas mas importantes3. En calcular aparece la ventana, que 
se muestra, luego ingresar a 
Variable Objetivo: Bn_a
4. En el grupo de funciones ubicar:
PDF y PDF no centrada
luego en la parte baja aparece:
Pdf.Binom
5. Cuando ubicamos a 
PDF.BINOM, damos 
clic y se activará la 
función binomial 
como se muestra, 
luego completamos 
con los datos 
solicitados, valor a 
estimar, n y p.
PDF.BINOM(0, 5,0.25)
6. Luego damos ACEPTAR para terminar
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
7. Luego que hemos dado ACEPTAR en vista de variables, 
incrementamos el número de decimales de la variable 
generada.
8. Observamos que aparece el 
valor de la probabilidad solicitada 
en vista de datos.
P(X = 0)= 0.2373
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
b) Exactamente uno tenga problemas visuales 𝐏(𝐗 = 𝟏)
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
CASO 2. P ( X = a ) = PDF y PDF no centrada(SPSS)
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Observamos que aparece el valor 
de la probabilidad solicitada en 
vista de datos.
P(X = 1)= 0.3955
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
1. Para el caso de la 
probabilidad acumulada, 
utilizamos el mismo 
procedimiento, creamos otra 
variable Bn_c
2. En la función de probabilidad 
agregamos: 
CDF.BINOM(1,5,0.25)
3.Luego damos ACEPTAR para terminar
c) Menos de dos tengan problemas visuales
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
P X < 2 = 𝑃 𝑋 ≤ 2 − 1 = 𝑃 𝑋 ≤ 1
CASO 5. P ( X < a ) = P (X ≤ a - 1 )
4. En la ventana de Vista de 
datos se observa que aparece 
el valor de la probabilidad 
solicitada.
P(X < 2) = P(X ≤ 1)= 0.63281
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
P X < 2 = 𝑃 𝑋 ≤ 2 − 1 = 𝑃 𝑋 ≤ 1 = 0.6328
CASO 5. P ( X < a ) = P (X ≤ a - 1 )
La función de probabilidad de Poisson define la probabilidad de
exactamente x ocurrencias o “éxitos”, que aparecen por unidad de
tiempoo espacio.
• Los sucesos son independientes entre si.
• Se utiliza cuando se quieren evaluar variables aleatorias discretas
pero ocurridos en espacios continuos.
• Estos espacios continuos pueden ser el tiempo, volumen, espacio,
etc.
B. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON
𝑋 → 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)
Simeon Poisson
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.meteored.com/ram/numero6/imagenes/f6_Poisson.jpg&imgrefurl=http://www.meteored.com/ram/429/de-satanes-y-satelites-antecedentes-de-la-teledeteccion/&usg=__Dj1kJgwqmZq_9fwlpQrBdGq_OrA=&h=326&w=268&sz=19&hl=es&start=27&um=1&tbnid=NA3SVKCZJRxi3M:&tbnh=118&tbnw=97&prev=/images?q=distribucion+poisson&start=20&ndsp=20&um=1&hl=es&sa=N
Donde λ = Número esperado de éxitos.
e = Constante matemática.
x = Número de éxitos por unidad.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON.
𝑋 → 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆 =
𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
Ejemplos:
➢ # de defectos de una tela por m2
➢ # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.
➢ # de bacterias por cm2 de cultivo
➢ # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.
➢ # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente
PROPIEDADES DE EQUIVALENCIA:
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
1. P ( X ≤ a ) = CDF y CDF no centrada(SPSS)
2. P ( X = a ) = PDF y PDF no centrada(SPSS)
3. P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a )
4. P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 )
5. P (X < a ) = P ( X ≤ a-1 )
6. P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 )
7. P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 )
8. P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )
EJEMPLO 02
Se conoce que el número promedio de llamadas que ingresan a la
central telefónica de la oficina de recursos humanos de la
empresa Peruvian Center, para solicitar permiso de ausencia al
trabajo por salud, es de 3 llamadas por mes. Calcular las
siguientes probabilidades:
a.Reciban exactamente dos llamadas telefónicas en un mes.
b.Reciban a lo más 2 llamadas telefónicas en un mes.
c.Reciban más de 1 llamada en 15 días.
d.Reciban exactamente 3 llamada en 2 meses.
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Se conoce que el número promedio de llamadas a una central telefónica es de 3 llamadas por mes.
Calcular las siguientes probabilidades:
a.Reciban exactamente dos llamadas telefónicas en un mes
b.Reciban a lo más 2 llamadas telefónicas en un mes.
c.Reciban más de 1 llamada en 15 días.
( )
x!
λe
x/λXP
xλ−
==
a. Se tiene que λ = 3 llamadas por mes. ( )
3 2e 3
P X 2 0.224
2!
−
= = =
b. ( )P X 2 P(X 0) P(X 1) P(X 2) = = + = + =
=
e−330
0!
+
e−331
1!
+
e−332
2!
= 0.0497 + 0.149 + 0.224 = 0.423
c. Se tiene un nuevo λ’ = 1.5 llamadas por 15 días.
𝑃 𝑋 > 1 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 1 = 1 − 0.5578 = 0.4422
Parámetro: λ = 3 llamadas por mes
X: Nro. de llamadas telefónicas que
ingresan a la central de la empresa
Rango de X ={0,1,2,3,4,5………..∞}
Parámetro:
λ = 3 (llamadas en 30 días)
Lambda = 3 llamadas en 1 mes 
3 ----- en 30 días
Nuevo Lambda: λ ----- en 15 días
Nuevo Lambda = 3*15 /30 = 1.5
a. Se tiene que λ = 3 llamadas por mes
1. Abrir una ventana de datos en SPSS, 
luego agregar el valor 1 en la primera 
celda.
2.En el menú principal entrar a la opción 
Transformar---- Calcular Variable
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
𝑃 𝑋 = 2 = 0.2240
CASO 2. P ( X = a ) = PDF y PDF 
no centrada(SPSS)
b.
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
𝑃 𝑋 ≤ 2 = 0.4232
CASO 1. P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) = CDF y 
CDF no centrada(SPSS)
c. Se tiene un nuevo λ = 1.5 llamadas por 15 días.
𝑃 𝑋 > 1 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 1 = 1 − 0.5578 = 0.4422
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
CASO 3. P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a )
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
Evaluando lo aprendido
https://kahoot.it/
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CONCLUSIONES
➢ Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio
muestral de un experimento aleatorio y puede tomar diferentes valores a través del tiempo o de
sujeto a sujeto.
➢ Los tipos de variable aleatoria pueden ser discretas, cuyo rango es un conjunto finito de
números, o continuas, cuyo rango es un conjunto infinito no numerable de valores.
➢ La aplicación de la distribución binomial se da en variables aleatorias discretas, cuyas
respuestas son dicotómicas, y sus parámetros son la probabilidad de éxito (p) y el tamaño de la
muestra (n).
➢ La distribución Poisson se emplea cuando se cuentan los valores distribuidos al azar en espacio
o tiempo, su parámetro de la distribución es lambda (media o promedio).
Distribuciones de probabilidades discretas más importantes
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Recordamos nuestro logro de sesión...!!
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¿Lo lograste? 
Al finalizar el módulo podrás resolver, interpretar y tomar decisiones en problemas de 
situaciones reales haciendo uso de las probabilidades y distribuciones de probabilidad 
discreta, utilizando el software estadístico IBM SPSS.
Te invito a participar de la próxima clase:
MÓDULO 7: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS 
MAS IMPORTANTES
Puedes ir explorando aplicaciones de las distribuciones de probabilidad en los siguientes videos:
Aplicaciones de la Distribución Normal
Introducción a la Distribución Normal
https://www.youtube.com/watch?v=3mikDVlYiok
https://www.youtube.com/watch?v=kH8Rw0AjRBA
https://www.youtube.com/watch?v=3mikDVlYiok
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