PR 05 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

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El método de obtención del máximo común divisor
por divisiones sucesivas, aparece ya descrito en el
siglo IV (a.C.) en la obra "Elementos", del matemático
griego Euclides. En dicha obra también se proponía un 
método parta obtener el mínimo común múltiplo.
¿Sabías qué?
 
 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d) 
I. DEFINICIÓN 
 Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números enteros 
positivos. 
 
 Ejemplo: Sean los números 8 y 12. 
 
D = { 1 ; 2 ; 4 ; 8}8
D = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6; 12}12 
 
 Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 Entonces el m.c.d.(8;12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
II. Método para hallar el m.c.d. 
 
POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA
Se extrae de los números todos los
factores comunes hasta obtener
números PESI, luego el m.c.d. de 
dichos números es el producto de 
los factores extraídos.
Ejemplo:
8
4
2
-
-
-
12
6
3
2
2
m.c.d. = 2 × 2 = 4
 
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POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
A los números se les descompone
canónicamente, luego el m.c.d. de
dichos números es el producto de 
todos sus divisores primos comunes
elevados a su menor exponente.
Ejemplo:
8
4
2
1
2
2
2
entonces el m.c.d.(8;12) = 2 = 42
12
6
3
1
2
2
3
luego: 8 = 23
12 = 22 × =3
 
 
 
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 
 
1. Completa el siguiente cuadro: 
Número Divisores
36
24
40
DivisoresNúmero
27
18
30 
 Ahora completa el siguiente cuadro: 
Número
18 y 24
30 y 40
18 y 27
24 y 36
Divisores comunes m.c.d.
 
2. Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea en cada caso: 
 
 
a. 49 y 63
-
m.c.d. =
b. 48 y 72
-
m.c.d. =
c. 90 y 120
-
m.c.d. = 
 
 
 
 
 
 
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3. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso: 
 
 a. 52 y 78 b. 56 y 72 c. 84 y 96 
 
 
 
 
 
 
 
4. Hallar el m.c.d. si: 
 A = 22 × 34 × 5 
 B = 22 × 15 
 m.c.d.(A;B) = 
 
DEMUESTRA LO APRENDIDO 
 
 
1. Hallar el mc.d. por descomposición simultánea, en cada caso: 
 
 a. 45 y 95 b. 75 y 125 c. 24; 36 y 68 
 d. 30; 60 y 90 e. 20; 36 y 40 f. 18 y 15 
 
2. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso: 
 
 a. 64 y 96 b. 160 y 180 c. 30; 60 y 72 
 d. 48; 52 y 72 e. 50; 300 y 600 f. 48 y 36 
 
3. Hallar el mc.d. de A, B y C; si: 
 A = 33 × 54 × 8 
 B = 12 × 27 
 C = 25 × 36 
 
 
 DESAFÍO 
 • Hallar el m.c.d. de: 5 y 9. ¿Qué ocurrió? 
 • ¿Por qué no se estudia el mínimo común divisor? 
 
 
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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) 
 
I. DEFINICIÓN 
 Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números enteros 
positivos diferentes de "0". 
 
 Ejemplo: Sean los números 4 y 6. 
 
4 = 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 . . .
º
6 = 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 . . .
º
 
 
 Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 Entonces el m.c.m.(4;6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
II. Métodos para hallar el m.c.m. 
 
POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA
Se extraen de los números todos los
factores comunes y no comunes hasta
obtener la unidad en cada número;
luego, el mc.m. de dichos números es 
el producto de los factores extraídos.
Ejemplo:
4
2
1
1
-
-
-
-
6
3
3
1
2
2
3
m.c.m.(4;6) = 2 × 2 × 3 = 12
 
 
POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
A los números se les descompone
canónicamente; luego, el m.c.m. de 
dichos números es el producto de 
todos los divisores primos comunes
y no comunes elevados a su mayor
exponente.
Ejemplo:
4
2
1
2
2
entonces el m.c.m. = 2 × 32
6
3
1
2
3
luego: 4 = 22
6 = 2 × 3
 
 
 
 
 
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¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 
 
1. Completa el siguiente cuadro: 
Número Múltiplos (10 primeros)
8
10
12
Múltiplos (10 primeros)Número
15
16
20
 
 Ahora completa el siguiente cuadro: 
Número
8 y 12
10 y 15
8 y 20
16 y 20
Múltiplos comunes m.c.m.
 
 
2. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso: 
 
a. 30 y 45
-
m.c.m. =
b. 12; 15 y 20
-
m.c.m. =
c. 42; 36 y 48
-
m.c.m. = 
 
3. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso: 
 
 a. 45; 75 y 90 b. 12; 14 y 16 c. 9 y 15 
 
 
4. Hallar el m.c.m. de A y B; si: 
 A = 23 × 32 × 53 
 B = 26 × 3 × 52 
 
 
 
 
 
 
 
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DEMUESTRA LO APRENDIDO 
 
1. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso: 
 
 a. 35 y 63 b. 12 y 60 c. 15 y 25 
 
 d. 24 y 36 e. 9 y 15 e. 120; 148 y 200 
 
2. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso: 
 
 a. 85 y 30 b. 36 y 99 c. 96 y 100 
 
 d. 24 y 30 e. 200; 300 y 400 e. 160; 180 y 360 
 
3. Hallar el m.c.m. de P, Q y R; si: 
 P = 32 × 53 × 72 
 Q = 2 × 33 × 52 × 7 
 R = 32 × 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DESAFÍO 
 • Hallar el m.c.m. de 0 y 4. ¿Qué sucede? 
 • ¿Se podrá hallar el máximo común múltiplo de dos números?