S02 s1 - PPT Cinemática-solucionario

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Bienvenidos estimados y estimadas 
estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
¿con qué tipo de las manzanas se identifican?
Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
Inicio
Recordando la sesión anterior
¿Qué es una derivada?Saberes Previos
Inicio
En matemáticas utilizamos derivadas
para estudiar el comportamiento de las
funciones, hallar los intervalos de
crecimiento, de decrecimiento, los
máximos y mínimos relativos y
absolutos, los intervalos de concavidad
y convexidad, los puntos de inflexión.
Pero las aplicaciones de las derivadas
no se reducen al ámbito matemático,
también se aplica a la física, química,
biología, las ingenierías.
UTILIDAD
CÁLCULO APLICADO A LA 
FÍSICA 1
Semana 2 – Sesión 1
Cinemática
Datos/Observaciones
Logros de la Sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas
relativos al calculo diferencial mediante la utilización de
diversos métodos expuestos en clase, en base a la
correcta interpretación del problema y a la presentación
del resultado en una secuencia lógica y fundamentada.
Utilidad
✓Derivada de una función
✓Reglas básicas de la derivada
✓Elementos de cinemática
AGENDA
Datos/Observaciones
La Derivada
Definición 1: La derivada de una función 𝒇 en 𝒙, ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇, es el límite:
siempre y cuando este límite exista.
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
➢ Las notaciones para la primera derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥 son:
o 𝑓′(𝑥): se lee “𝑓 prima de 𝑥”.
o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∶ se lee “derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥”,
➢ Las notaciones para la segunda derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥, son:
𝒇′ 𝒙 ;
𝒅𝒚
𝒅𝒙
; 𝒚′;
𝒅 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
; 𝑫𝒙(𝒚)
𝒇′′ 𝒙 ;
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
; 𝒚′′;
𝒅𝟐 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙𝟐
; 𝑫𝒙𝒙(𝒚)
Datos/Observaciones
La Derivada
Definición 2: La derivada de una función 𝒇 en 𝒙𝟎, ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇, es el límite:
si este límite existe<∩ 𝒇′ 𝒙𝟎 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
INTERPRETACIONES DE 𝑓´ 𝑥0
GEOMÉTRICA:
𝒇´ 𝒙𝟎 representa la pendiente de la 
recta tangente a la gráfica de la 
función 𝒚 = 𝒇 𝒙 , en el punto 
𝒙𝟎; 𝒇(𝒙𝟎) .
FÍSICA:
𝒇´ 𝒙𝟎 es la razón de 
cambio instantánea de
𝒚 = 𝒇(𝒙), cuando 𝒙 = 𝒙𝟎.
Transformación
Datos/Observaciones
La Derivada
Ejemplo 1: Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐, halle 𝒇′(𝒙)
Transformación
Solución: 
𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐−𝟏
𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝒙
Datos/Observaciones
La Derivada
Ejemplo 2: Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔, halle 𝒇′ 𝒙 , 𝐞𝐧 𝒙𝟎 = 𝟒
Transformación
𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙𝟔−𝟏
Solución: 
𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙𝟓
Reemplazando 𝒙𝟎 = 𝟒
𝒇′ 𝟒 = 𝟔 𝟒 𝟓
𝒇′ 𝟒 = 𝟔 𝟏𝟒𝟒
Datos/Observaciones
Reglas de la derivada
𝑘𝒇 ′(𝒙) = 𝑘𝒇′(𝒙)01. DERIVADA DEL PRODUCTO POR UNA CONSTANTE: 
02. DERIVADA DE UNA SUMA: 𝒇 + 𝒈 ′(𝒙) = 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)
03. DERIVADA DE PRODUCTO DE FUNCIONES: 𝒇. 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 . 𝒈 𝒙 + 𝒇 𝒙 . 𝒈′(𝒙)
04. DERIVADA DEL COCIENTE DE FUNCIONES: 𝒇
𝒈
′
𝒙 =
𝒇′ 𝒙 . 𝒈 𝒙 − 𝒇 𝒙 . 𝒈′ 𝒙
[𝒈(𝒙)]𝟐
Transformación
Datos/Observaciones
La Derivada
Ejemplo 3: Si y =
1
2
𝑥3 + 5 𝑥 − 3, determine 𝑦′.
Transformación
Solución: 
y =
1
2
𝑥3 + 𝑥
1
5 − 3
𝑦′ =
1
2
× 3𝑥2 +
1
5
𝑥−
4
5
𝑦′ =
3
2
𝑥2 +
1
5
𝑥−
4
5
¿Existe alguna diferencia entre distancia y desplazamiento?
Datos/Observaciones
POSICIÓN
Considere una partícula situada en un punto de una
curva espacial definida por la función de trayectoria
s(t). El vector de posición r = r(t) designará la
posición de la partícula, medida con respecto a un
punto fijo O. Observe que tanto la magnitud como la
dirección de este vector cambiarán a medida que la
partícula se mueve a lo largo de la curva.
Transformación
Desplazamiento
Suponga que durante un breve intervalo Δt la partícula se
mueve una distancia Δs a lo largo de la curva a una nueva
posición, definida por r’ = r + Δr. El desplazamiento Δr
representa el cambio de posición de la partícula y se
determina mediante una resta vectorial, es decir:
rrr −= '
Δ𝑥 = 𝑥2(𝑡2) − 𝑥1(𝑡1)
ΔԦ𝑟 = Δ𝑥 Ƹ𝑖 + Δ𝑦 Ƹ𝑗
ΔԦ𝑟 = Ԧ𝑟2 − Ԧ𝑟1
En una dimensión
En dos dimensiones
Datos/Observaciones
TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO
s
s
s
TRAYECTORIA CIRCULAR
TRAYECTORIA RECTA
TRAYECTORIA PARABOLICA
Datos/Observaciones
Velocidad media
La velocidad media es una magnitud
vectorial que se define como la razón del
desplazamiento por unidad de tiempo
0 5 107
x 2,0 m = +
t 2,0 s=
x (m)
Ԧ𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
+2 𝑚
2 𝑠
Ƹ𝑖 = +1 Ƹ𝑖 𝑚/𝑠
t
r
vmedia


=


Rapidez
La rapidez es una magnitud escalar que
se define como la razón de la distancia
recorrida por unidad de tiempo
t
s
v


=
Transformación
Velocidad instantánea
Ԧ𝑣 ≡ lim
t→0
Ԧ𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 = lim
𝑡→0
ΔԦ𝑟
Δ𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
Datos/Observaciones
Aceleración media
La aceleración media es la tasa media de cambio de la velocidad en un
intervalo de tiempo Δt.
t
v
amedia


=


Transformación
Aceleración instantánea
Ԧ𝑎 ≡ lim
t→0
Ԧ𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 = lim
𝑡→0
Δ Ԧ𝑣
Δ𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
Datos/Observaciones
Ejemplo
Una pelota que rueda se mueve desde x1 = 3.4 cm hasta x2 = –4.2 cm durante 
el tiempo desde t1 = 3.0 s hasta t2 = 5.1 s. ¿Cuál es su velocidad promedio?
Práctica
Solución: 
 = −2 1x x x
 = −2 1t t t
 = − − = −x ( 4,2) (3,4) 7,6m
 = − =t 5,1 3,0 2,1s
Ԧ𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
∆ Ԧ𝑥
∆𝑡
Ԧ𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
−7,6 𝑚
2,1 𝑠
Ԧ𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = −3,62 𝑚/𝑠
Datos/Observaciones
Ejemplo
Un caballo se aleja de su entrenador galopando en línea recta una distancia de 116 m en 14,0 s. 
Luego regresa abruptamente y recorre la mitad de la distancia en 4,8 s. Calcule a) la rapidez 
promedio y b) la velocidad promedio para todo el viaje, usando “alejándose de su entrenador” 
como el sentido positivo del movimiento.
Práctica
Solución: 
116m
=0x 0 =1x 116m
58m
=1x 116m
=2x 58m
a)
𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
∆𝑠
∆𝑡
 = + =s 116 58 174m
 = + =t 14 4,8 18,8s
=
174 𝑚
18,8 𝑠
𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 9,26𝑚/𝑠
b)  = − =x (58) (0) 58m
 = + =t 14 4,8 18,8s
Ԧ𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
∆ Ԧ𝑥
∆𝑡
=
58 𝑚
18,8 𝑠
Ԧ𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 3,1 𝑚/𝑠
Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado, de modo que su posición x satisface
x = 2,0 t2 – 12,0 t + 8,0 donde x se mide en centímetros y t en segundos con t ≥ 0.
a) Determine la velocidad del objeto cuando t = 1,0 s y cuando t = 6,0 s.
b) ¿En qué momento la velocidad es cero?
c) ¿Cuándo es positiva?
𝑣(𝑡) = 𝑥′(𝑡)
𝒙 𝒕 = 𝟐, 𝟎𝒕𝟐 − 𝟏𝟐, 𝟎𝒕 + 𝟖, 𝟎
𝒗 𝒕 = 𝒙′ 𝒕 = 𝟒, 𝟎 𝒕 − 𝟏𝟐, 𝟎
𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏
𝒇(𝒙)
, = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
𝟒, 𝟎𝒕 −𝟏𝟐, 𝟎
𝒗(𝒕 = 𝟏) = 𝟒, 𝟎(𝟏) − 𝟏𝟐, 𝟎
𝒗 𝒕 = 𝟒, 𝟎𝒕 − 𝟏𝟐, 𝟎
𝒗(𝒕 = 𝟏) = −𝟖, 𝟎
𝒗(𝒕 = 𝟔) = 𝟒, 𝟎(𝟔) − 𝟏𝟐, 𝟎
𝒗 𝒕 = 𝟒, 𝟎𝒕 − 𝟏𝟐, 𝟎
𝒗(𝒕 = 𝟔) = 𝟏𝟐, 𝟎
a)
Ejercicios
𝒗(𝒕) = 𝟒, 𝟎𝒕 − 𝟏𝟐, 𝟎 = 0
𝒕 = 𝟑, 𝟎 𝒔
𝟒, 𝟎𝒕 = 𝟏𝟐, 𝟎
𝒕 =
𝟏𝟐,𝟎
𝟒,𝟎
Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado, de modo que su posición x satisface 
x = 𝟐, 𝟎𝒕𝟐 − 𝟏𝟐, 𝟎𝒕 + 𝟖, 𝟎 donde s se mide en centímetros y t en segundos con t ≥ 0.
a) Determine la velocidad del objeto cuando t = 1,0 s y cuando t = 6,0 s. 
b) ¿En qué momento la velocidad es cero? 
c) ¿Cuándo es positiva?
b) 
La velocidad es 
positiva cunado el 
𝒕 > 𝟑, 𝟎
𝒗(𝒕) = 𝟒, 𝟎𝒕 − 𝟏𝟐, 𝟎
Velocidad Tiempo
V=-12 t=0
V=-8 t=1
V=-4 t=2
V=0 t=3
V=4 t=4
c) 
Ejercicios (continuación)
Práctica
Practicando
Alternativas
a) 𝑣 3 = − 16 𝑚/𝑠
𝑏) 𝑣 3 = 48𝑚/𝑠
c) 𝑣 3 = −32 𝑚/𝑠
Solución: 
Hallando la velocidad:
Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el nivel del piso con 
una velocidad inicial, está a 𝑠 𝑡 = −16𝑡2 + 64𝑡 metros después de t 
segundos. Determine la velocidad instantánea para t=3 s.
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −32𝑡 + 64
Evaluando en t=3 s:
𝑣(3) = −32(3) + 64
𝑣 3 = −32 𝑚/𝑠
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre
Datos/Observaciones
IMPORTANTE
1. Las reglas de derivación
son importantes en la
física.
2. Las derivadas nos
describen el cambio
instantáneo.
Excelente tuparticipación
No hay nada como 
un reto para sacar lo 
mejor de nosotros.
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.
PARATI
1. Sigue practicando,
vamos tu puedes!! .
2. No olvides que 
tienes un FORO 
para tus consultas.
Cierre
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6: CÁLCULO APLICADO A LA FÍSICA 1
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25
	Diapositiva 26
	Diapositiva 27
	Diapositiva 28
	Diapositiva 29
	Diapositiva 30