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Bienvenidos estimados y estimadas estudiantes. En breve iniciamos la sesión. ¿con qué tipo de las manzanas se identifican? ¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada? ¿Que recordamos de la clase anterior? Datos/Observaciones Recogemos nuestros Saberes Previos ¿Qué es la derivada? ¿Qué es la integral? Inicio ¿Qué es una integral según el video? Para la ingeniería en general, es fundamental el uso del cálculo integral. Este es parte fundamental en el cálculo de superficies, volúmenes y otras medidas que pueden estar determinadas, y suelen estarlo, por una función. Es de esta forma que los ingenieros logran hacer los cálculos complejos en forma correcta y eficaz para construir infraestructura y tecnología, de la cual mucha de ella es utilizada por gran parte de la población actual. Utilidad CÁLCULO APLICADO A LA FÍSICA 1 INTEGRALES (Semana 03 – Sesión 1) Datos/Observaciones Logros de la Sesión Al finalizar la sesión de aprendizaje, los estudiantes resuelven ejercicios y problemas aplicando las reglas del cálculo integral. Utilidad ✓ Integral definida. ✓ Integral indefinida. ✓ Ejercicios. ✓ Cierre. AGENDA ¿conocen alguna herramienta matemática para calcular el área encerrada? Datos/Observaciones Integral Indefinida Transformación Definición Se dice que una función 𝐹 es una antiderivada de una función 𝑓 sobre algún intervalo 𝐼 si 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 en 𝐼. Ejemplo Una antiderivada de 𝑓(𝑥) = 4𝑥 es 𝐹 𝑥 = 2𝑥2 + 7 Definición Una función puede tener varias antiderivadas, por ejemplo 𝐹(𝑥) = 2𝑥2 + 7 , 𝐺(𝑥) = 2𝑥2 + 16 y 𝐻 𝑥 = 2𝑥2 + 𝜋 son antiderivadas de 𝑓(𝑥) = 4𝑥. Propiedad Si 𝐺′(𝑥) = 𝐹′(𝑥) para toda 𝑥 en algún 𝐼, entonces 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, para toda 𝑥 en 𝐼. Es decir, las antiderivadas difieren por una constante. Datos/Observaciones Integral Indefinida Transformación Si 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), la antiderivada más general de 𝑓 se representa por: න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 Se lee, la integral indefinida de 𝒇(𝒙) respecto a x. Integrando Constante de integración Signo de integral Variable de integración Datos/Observaciones Integral Indefinida Transformación Datos/Observaciones Integral Indefinida Transformación sin( ) cos( )x dx x c= − + cos( ) sin( )x dx x c= + 2sec ( ) tan( )x dx x c= + 2csc ( ) cot( )x dx x c= − + tan( ) ln | cos( ) |x dx x c= − + cot( ) ln | sin( ) |x dx x c= + sec( ) ln | sec( ) tan( ) |x dx x x c= + + csc( ) ln |csc( ) cot( ) |x dx x x c= − + sec( ) tan( ) sec( )x x dx x c= + csc( )cot( ) csc( )x x dx x c= − + 2 2 1 1 arctan x dx c x a a a = + + Datos/Observaciones ¿Integrar y derivar corresponden al mismo proceso? Transformación Datos/Observaciones Ejemplo 1 1) Calcular −++−= dxx x xxI )4 3 2 3( 22/13 −++−= dxxdx x dxxdxxI 22/13 4 1 3 2 3 2 3 3 2 3 x − c x xx x dx xx xx +−+−=++− 4 ln 3 2 2 4 ) 4 3 2 3( 3 4 2 3 4 4x = xln 3 2 + c x + − + − 1 4 1 Solución Datos/Observaciones Ejemplo 2 2) Calcular 2 2 4 (sin sec ( ) ) 2 xI x x e dx x = + − + + Solución 4 cos tan( ) arctan 2 2 x xI x x e c = − + − + + 2 2 1 sin sec ( ) 4 2 xI xdx x dx e dx dx x = + − + + Datos/Observaciones Ejemplo 3 Encuentre 𝑓(𝑥) si: ቊ 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 − 𝑒𝑥 𝑓 0 = 2 ( ) ( )xf x x e dx= − 2 ( ) 2 xxf x e c= − + Reemplazando x=0 2 00(0) 2 2 f e c= − + = 3c = 2 ( ) 3 2 xxf x e= − + Datos/Observaciones Ejemplo 4 Calcular: = dxxeI x2 Solución: 2u x= 2du xdx= 2 du xdx = Cambio de variable Reemplazando: 2 u duI e= 1 2 uI e du= 1 2 uI e C= + Reemplazando: 2u x= 21 2 xI e C= + Datos/Observaciones Ejemplo 5 Calcular: = dxxx I 3ln 1 Solución: Cambio de variable lnu x= 1 du dx x = ( ) 3 1 1 ln I dx xx = Reemplazando: 3 1 I du u = 3I u du−= 4 4 1 4 4 u I C C u − = + = − + − Reemplazando: lnu x= 4 1 4ln I C x = − + Datos/Observaciones Ejemplo 6 න 1 𝑥2 + 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 Solución: ( ) 22 2 3 1 2x x x+ + = + + Cambio de variable 2 2 12 3 2 1 2 x x x + + + = + 1 2 x u + = 2 dx du = 2dx du= Reemplazando: 22 1 1 1 2 11 12 1 22 I du dx xx = = + + ++ 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 I du du u u = = + + 12 tan 2 I u C−= + Reemplazando: 1 2 x u + = 12 1tan 2 2 x I C− + = + Datos/Observaciones Ejemplo 7 Encuentre 𝑓(𝑥) si: ቊ 𝑓′ 𝑥 = sen 2𝑥 − tan 3𝑥 𝑓 0 = 1 ( ) ( 2 tan 3 )f x sen x x dx= − ( )ln cos3cos 2 ( ) 2 3 xx f x C= − + + 1 ( ) 2 3 cos3 f x sen xdx sen xdx x = − Reemplazando x=0 ( )ln cos3(0)cos 2(0) (0) 1 2 3 f C= − + + = 7 6 C = ( )ln cos3cos 2 7 ( ) 2 3 6 xx f x = − + + Practicando Calcular la siguiente integral: Solución Datos/Observaciones ¿Qué hemos aprendido hoy? Para culminar nuestra sesión respondemos a: Cierre básicas definidas de las e ✓ Las reglas integrales indefinidas. ✓El área bajo la curva se puede determinar con la integral. NO OLVIDAR NO OLVIDAR! Diapositiva 1 Diapositiva 2 Diapositiva 3 Diapositiva 4 Diapositiva 5 Diapositiva 6 Diapositiva 7: CÁLCULO APLICADO A LA FÍSICA 1 Diapositiva 8 Diapositiva 9 Diapositiva 10 Diapositiva 11 Diapositiva 12 Diapositiva 13 Diapositiva 14 Diapositiva 15 Diapositiva 16 Diapositiva 17 Diapositiva 18 Diapositiva 19 Diapositiva 20 Diapositiva 21 Diapositiva 22 Diapositiva 23 Diapositiva 24 Diapositiva 25 Diapositiva 26 Diapositiva 27
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